Universidad de Antioquia

Transcripción

1 . Introducción Funciones polinomiales Instituto de Matemáticas * Facultad de Ciencias Eactas Naturales Unviersidad de Anquioquia Medellín, 28 de septiembre de 20 Los polinomios forman una clase mu importante de funciones en matemáticas que están definidos en términos de sumas, restas multiplicaciones de monomios. Los polinomios aparecen en diversas áreas de la matemática las ciencias naturales, usualmente en problemas de aplicación que invocuran ecuaciones polinómicas, es por esto que es de gran importancia contar con métodos para calcular estimar (aproimar) sus raíces. Encontrar las raíces de una ecuación polinómica es uno de los problemas más antiguos en matemáticas. Sin embargo, los conceptos formales la notación que actualmente utilizamos para resolver este tipo de problemas, sólo fueron desarrollados a partir del siglo XV d. C. Antes de esto, las ecuaciones eran escritas en palabras no con los símbolos actuales. El matemático francés Francois Viète (Fontena-le-Comte, París, Figura : F. Viète 603) es considerado uno de los precursores del álgebra moderna. En su obra principal Isagoge Artem Analcitem ( Introducción al arte analítico ), se presenta por primera vez una concepción consistente sistemática de la noción moderna de ecuación algebraica. Viète introduce el uso de símbolos para representar los términos que constituen una ecuación: vocales para las incógnitas consonantes para los valores conocidos (coeficientes). Este enfoque, además de proporcionar métodos para resolver ecuaciones lineales cuadráticas, permitió establecer la relación que eiste entre las formas de las soluciones de una ecuación sus coeficientes. El trabajo de Viète al final del siglo XVI marca el inicio de lo que actualmente conocemos como álgebra. Durante este período se desarrollaron métodos para la búsqueda sistemática de soluciones de ecuaciones de grado superior ( técnicas para aproimar dichas soluciones) que finalmente conducirían al surgimiento del concepto de polinomio. Este período fue testigo de la adopción de muchas de las ideas del álgebra en otras disciplinas matemáticas como la geometría, el análisis la lógica, finalizó con el surgimiento de nuevos objetos matemáticos que finalmente reemplazarían a los polinomios como tema principal de estudio del álgebra. 2. Polinomios Definición 2.. Se dice que f es una función polinomial de grado n, con coeficientes reales, si Ejemplo f() = a n n +a n n +...+a +a 0 con a n 0.. f() = a 0 con a 0 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el grado de f es f() = a +a 0 corresponde a la recta con pendiente a el grado de f es. * Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.

2 2 Instituto de Matemáticas, 3. f() = a 2 +a +a 0 es una parábola con eje vertical, el grado de f es 2. Observación. Todas las funciones polinomiales son funciones continuas (no tienen cortes ni interrupciones). 2.. Casos especiales El comportamiento de la gráfica de una función polinomial dependerá del grado de la función. Porejemplo,paraf() = a n tendremoslassiguientesdependiendoqueelgradonseaparoimpar. Si nesunenteropositivoimpar(figura(2)), f esunafunciónimparlagráficadef essimétrica con respecto al origen. Notemos que conforme n aumenta, la gráfica crece con más rapidez para >. Si n es un entero positivo par (figura (3)), f es una función par la gráfica de f es simétrica con respecto al eje. Observemos que a medida que el eponente aumenta, la gráfica se aplana alrededor del origen. - - f 3 f 5 f 7 Figura 2: f 3 () = 3,f 5 () = 5,f 7 () = Figura 3: f 2 () = 2,f 4 () = 4,f 6 () = Teorema del valor intermedio para funciones polinomiales Como la idea en esta sección, es tratar de caracterizar las funciones polinomiales, el siguiente resultado nos dice otra propiedad importante de las mismas. Teorema 2. (Teorema del valor intermedio). Si f es una función polinomial f(a) f(b) para a < b, entonces f toma todo valor entre f(a) f(b) en el intervalo [a,b]. Es decir, si k es cualquier número entre f(a) f(b), por lo menos ha un número c entre a b tal que f(c) = k, Gráficamente tenemos lo siguiente: f 4 f 2 f 6

3 Instituto de Matemáticas, 3 f(b) k f(a) a c b = k Una consequenciadel Teoremadelvalorintermedioes quesi f(a) f(b) tienen signoscontrarios (uno positivo otro negativo), al menos ha un número c entre a b tal que f(c) = 0, es decir, f tiene un cero (o raíz) en c. = f() a c b (a,f(a)) (b,f(b)) (a,f(a)) a c b (b,f(b)) = f( ) Ejemplo 2.3. La función f() = tiene un cero entre 2 3. Note que al sustituir por 2 3, obtenemos que f(2) = 5 f(3) = 5. Ejemplo 2.4. Considera la función polinomial f() = encuentra los valores de para los cuales f() > 0 f() < 0. Además trazar la gráfica de f. Nota que podemos factorizar a f() como f() = = ( 2 2) = (+3)( 4). A partir de esta ecuación vemos que los ceros, es decir los tales que f() = 0, son los puntos 3, 0 4, así que estos puntos nos dicen que podemos dividir el eje en los intervalos (, 3), ( 3,0), (0,4) (4, ) de la misma manera que en desigualdades podemos resumir la situación con la siguiente tabla:

4 4 Instituto de Matemáticas, intervalo (, 3) ( 3, 0) (0, 4) (4, ) f() + + (+3) ( 4) + Signo f() + + Concluimosquef() > 0en( 3,0) (4, )f() < 0en (, 3)(0,4),locualrepresentamos gráficamente como = Propiedades de la división Sean f() g() polinomios en. Decimos que g() es un factor de f(), si f() es divisible por g(). Ejemplo es divisible entre 2 +9, entre 2 9, entre +3 entre 3. (Producto notable) es divisible entre 2 +3 entre (Producto notable) es divisible entre (División sintética) Teorema 3. (Algoritmo de la división para polinomios). Si f() p() son polinomios si p() 0, entonces eisten polinomios únicos q() r() tales que f() = p()q()+r() donde r() = 0 o el grado de r() es menor que el grado de p(). El polinomio q() se conoce como el cociente el polinomio r() se conoce como el residuo en la división de f() entre p(). A través del siguiente ejemplo, recordemos el procedimiento de la división de polinomios. Ejemplo Divide entre 2 +.

5 Instituto de Matemáticas, 5 Por tanto, tenemos que = ( )( 2 +) 3 2. Un caso especial del algoritmo de la división es el siguiente teorema: Teorema 3.2 (Teorema del residuo). Si un polinomio f() se divide entre c, entonces el residuo es f(c). Ejemplo 3.3. Sin efectuar la división, calcula el residuo que se obtiene al dividir el polinomio f() = entre +3. Según el teorema, el residuo que se obtiene al dividir el polinomio dado f() entre +3 es f( 3) = ( 3) 4 +5( 3) 3 +5( 3) 2 4( 3) 7 = = 4. Puedes comprobar el resultado efectuando la división (ejercicio). A partir del teorema del residuo, obtenemos el siguiente resultado: Teorema 3.3 (Teorema del factor). Un polinomio f() tiene un factor c si sólo si f(c) = 0. Ejemplo 3.4. Por medio del teorema del factor, demuestra que 5 es un factor de f() = Notemos que 5 será factor de f() si f(5) = 0. En efecto, f(5) = 5 3 8(5) 2 +9(5) 20 = = 0. Al dividir un polinomio f() entre c, las operaciones resultantes pueden ser bastante largas si se utiliza la división ordinaria. Eiste un método para efectuar rápidamente esta división denominado división sintética. El profesor te ilustrará en el tablero el procedimiento de división sintética por medio del siguiente ejemplo. Ejemplo 3.5. Dividir el polinomio entre El cociente está dado por el residuo es 3. Observación 2. No olvides que este método se aplica sólo cuando el divisor es de la forma c En términos de notación de esta sección podemos concluir que las siguientes epresiones son equivalentes:. f(a) = b (el valor de f en = a es igual a b). 2. El número a es solución de la ecuación f() = b. 3. El punto (a,b) está en la gráfica de f. 4. Si f() se divide entre a, el residuo es b.

6 6 Instituto de Matemáticas, 4. Teorema fundamental del álgebra el teorema fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raíces complejas. Aunque desde la antiguedad era conocido que muchas ecuaciones polinómicas particulares satisfacían el teorema, fue sólo hasta el siglo XVIII que el matemático alemán Carl Friedrich Gauss lo demostró. Este teorema fue fundamental para establecer las bases conceptuales que permitieron consolidar al álgebra como una disciplina de estudio de las matemáticas. Los ceros de un polinomio f() son las soluciones de la ecuación f() = 0 geométricamente corresponden a las intersecciones con el eje de la gráfica de f. El polinomio de grado n =, f() = a + b tiene un cero, b/a. El polinomio de grado n = 2, f() = a 2 + b + c posee al menos un cero que está dado por b+ b 2 4ac 2a o b b 2 4ac 2a. En general, para polinomios de grado n tenemos el siguiente resultado: Teorema 4. (Teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio de grado n posee al lo menos un cero, que puede ser real o complejo. Los teoremas del factor del residuo vistos en el taller anterior se pueden etender al sistema de los números complejos. Así, el número complejo z = a+bi es un cero de un polinomio f() si sólo si z es un factor de f(). Como consecuencia del teorema fundamental del álgebra (4.) tenemos el siguiente resultado: Teorema 4.2 (Teorema de factorización completa para polinomios). Si f() es un polinomio de grado n, entonces eisten n números complejos z,z 2,...,z n tales que f() = a( z )( z 2 ) ( z n ), donde a es el coeficiente principal de f(). Observemos que cada número z k en el teorema de factorización completa (4.2) es un cero de f() cada uno de estos ceros puede repetirse, por ejemplo f() = tiene dos ceros iguales: z = z 2 =, pues f() = ( ) 2. Otros ejemplos son los siguientes: Polinomio f() Forma factorizada Ceros de f() ( (3+2i))(+(3+2i)) 0, ±3+2i ( ( 3 )) ( ( i 3 )) i ± 2 i ( 6 + ) (+i)( i) 3 3, ±i Si todos los ceros enunicados en el teorema de factorización completa (4.2) son distintos... Teorema 4.3 (Número máimo de ceros de un polinomio). Un polinomio de grado n tiene a lo sumo (como máimo) n ceros complejos diferentes. Definición 4.. Si un factor, digamos c, se presenta m veces en la factorización del polinomio f(), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la ecuación f() = 0.

7 Instituto de Matemáticas, 7 Ejemplo 4.2. Paraelpolinomiof() = ( ) 2 ( 4) 3 tenemosque 4esun cerode multiplicidad 3, es un cero de multiplicidad 2 0 es un cero de de multiplicidad. Teorema 4.4 (Número eacto de ceros de un polinomio). Si f() es un polinomio de grado n si cada cero de multiplicidad m se cuenta m veces, entonces f() tiene precisamente n ceros. Ejercicio 4.3. Eprese f() = como producto de factores encuentra sus ceros.. Observemos que f() = 3 ( 2 2) = 3 (+)( 2) luego los ceros de f() son 0,0,0,,2. 5. Ceros racionales e irracionales No todo polinomio tiene ceros racionales, pero en caso de tenerlos, los podemos hallar con auda del siguiente teorema Teorema 5. (Ceros racionales de un polinomio). Todo cero racional de un polinomio f() = a n n +a n n + +a +a 0 es de la forma c d, donde c es un factor de a 0 d es un factor de a n. Ejercicio 5.. Halla todos los ceros de f()= Primero observemos que f() = ( ) por tanto 0 es una raíz de f() = 0. Descartando esta raíz obtenemos la ecuación = 0. Como a 5 = a 0 = 24, las posible raíces racionales son: ±, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±2 ±24. Probamos con (no ha un orden específico para hacer esto), utilizando división sintética: = f() = ( 2) ( ) }{{} Repetimos el procedimiento con el polinomio q () probamos con 3: Para el polinomio q 2 () probamos con 4: q () = f() = ( 2)(+3) ( ) }{{} q 2() = f() = ( 2)(+3)(+4) ( 2 2 ) }{{} q 3()

8 8 Instituto de Matemáticas, Para el polinomio q 3 () = 2 2 tenemos que sus raíces están dadas por ( 2)± ( 2) 2 4 ( ) = 2± 8 = 2±2 2 = ± Por tanto, f es un polinomio de grado 5 que tiene 3 ceros racionales 2 ceros irracionales: ( ( f() = ( 2)(+3)(+4) ))( ( 2 + )) 2. Observación 3. El polinomio anterior tiene dos ceros irracionales que se presentan en pares conjugados. En general, se presenta la siguiente situación Teorema 5.2 (Ceros irracionales conjugados). Si los coeficientes de p() = a n n +a n n + a +a 0 son enteros si c = s+t u es un cero irracional de p() (u no es cuadrado perfecto), entonces c 2 = s t u también es un cero de p(). Finalizamos esta sección con el siguiente resultado Teorema 5.3 (Suma producto de ceros). La suma el producto de los ceros del polinomio p() = a n n +a n n + a +a 0, a n 0 vienen dados en términos de sus coeficientes por medio de 6. Ceros complejos Suma de ceros = a n Producto de ceros = ( ) na 0 a n El teorema fundamental del álgebra (4.) nos garantiza que todo polinomio de grado n posee al menos un cero, que en algunos casos resulta ser real en otros complejo. Cuando los ceros son complejos (parte imaganiria no nula) los coeficientes del polinomio son reales, tenemos el siguiente resultado Teorema 6. (Ceros conjugados de un polinomio). Si un polinomio f() de grado n > tiene coeficientes reales si z = a+bi con b 0 es un cero complejo de f(), entonces el conjugado z = a bi también es un cero de f(). Ejercicio 6.. Encuentre un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga como ceros a 3+2i 4i.. Por el teorema anterior 3 + 2i, 3 2i, 4i + 4i, son los ceros de f(). Por el teorema del factor f() se puede epresar como el producto de ( 3 + 2i), ( 3 2i), ( 4i) (+4i), así f() = [ ( 3+2i)][ ( 3 2i)][ ( 4i)][ (+4i)] = [ ][ 2 2+6] = Observación 4. Aunque el teorema de factorización completa (4.2) nos garantiza que todo polinomio p() de grado n se puede epresar como producto de factores lineales p() = a( z )( z 2 ) ( z n ), estos factores no siempre tendrán coeficientes reales. a n

9 Instituto de Matemáticas, 9 Teorema 6.2. Todo polinomio con coeficientes reales se puede epresar como el producto de factores lineales /o cuadráticos con coeficientes reales. Ejemplo 6.2. El polinomio p() = tiene coeficientes reales se puede factorizar como producto de factores lineales cuadráticos (con coficientes reales) p() = = ( 3 2 )+(4 4) = 2 ( )+4( ) = ( )( 2 +4) o como producto sólo de factores lineales (pero con coeficientes complejos) ( p() = ( ) )( 2i + ) 2i. Referencias [] I. Stewart, Historia de las matemáticas. Crítica, [2] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra Trigonometría con Geometría Analítica, undécima edición, editorial Thomson, 2006.