CAPÍTULO IX FUNCIONES POLINOMIALES. FUNCIONES RACIONALES

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1 CAPÍTULO IX FUNCIONES POLINOMIALES. FUNCIONES RACIONALES 9. Funciones polinomiales. Algunas funciones básicas que ye hemos encontrado son : función constante : función lineal : función cuadrática : f () a f () a b f () a b c Si se etiende esta secuencia, se obtienen funciones de mayor grado, por ejemplo... f () a b c d f () a b c donde todos los coeficientes a, b, c, d, e son constantes y la función f () depende solo de la variable. La forma más general de éste tipo de función se llama polinomio y es... d e f () a n n a n... a a a 0 9. n donde n es un número entero positivo llamado el grado del polinomio, es decir todas las potencias de la variable independiente de una función polinomio deben ser enteras y positivas. Los coeficientes: a n, a n,..., a, a, a 0 son números constantes y en particular: a n se llama coeficiente líder a 0 se llama término constante Así por ejemplo son polinomios las siguientes funciones : a) f () 5 grado : 5 coeficientes: a 0 0 6, a 6, a, a, a 0 y a 5 ( nótese que los términos nulos del polinomio tienen coeficiente cero ) coeficiente líder : término constante: 0 b) f () grado : coeficientes: a 0, a, a, a coeficiente líder : término constante: Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

2 c) f () grado : coeficientes: a 0, a 0, a 0, a 0, a (nótese que las potencias de los coeficientes no tienen que ser enteros positivos) coeficiente líder : término constante: En cambio las siguientes funciones no son polinomios. d) f () 5 puesto que uno de los términos contiene a la variable independiente elevada a un eponente entero ; pero negativo. ( ) e) f () Uno de los términos contiene a la variable independiente elevada a una potencia positiva pero fraccionaria. ( ) f) f () 8 Uno de los términos contiene a la variable independiente elevada a una potencia positiva pero fraccionaria. ( negativa ( ) ) y otro término la contiene elevada a una potencia entera Los coeficientes: a n, a n,... a, a, a 0 de una función polinomio pueden ser números complejos o pueden estar restringidos al conjunto de números reales, enteros, racionales etc. En consecuencia, dada su definición, que solo involucra sumas algebraicas, productos y potencias enteras y positivas, el dominio de una función polinomio puede ser el conjunto de números complejos, el conjunto de números reales o cualquiera de los subconjunto de números que constituyen a éstos conjuntos. Consideremos ahora los primeros polinomios: Polinomio de grado cero o función constante. f () a 0 Para cualquier valor de ésta función siempre tiene el mismo valor : a 0. Representa una línea recta horizontal en el plano XY. Por ejemplo en la gráfica de la derecha se muestra el polinomio f () 5 0 Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

3 Polinomio de grado uno o función lineal. f () a 0 a Representa una línea recta en el plano XY. Y La constante a 0 se llama intercepto al origen. Es el punto donde la recta corta al eje Y, es decir es el valor del P(,y) polinomio en 0 : f () 0 a 0 a ( 0) a 0 Como ya se dijo en el capítulo de las ecuaciones lineales, la constante a se llama pendiente y representa una medida de la inclinación de la línea recta respecto al eje horizontal X es decir : f () a 0 BP a tan AB ao A B X Ejemplo. Si se sabe que f () es una función lineal y que f () ; f ( ) 8, hallar su ecuación. Solución : A partir de la forma general para un polinomio de primer grado: f () a 0 a, se deben determinar los coeficientes a y a 0 que cumplan con las condiciones del problema, esto es... f () que en la forma general significa... a 0 ()a f ( ) 8 que en la forma general significa... 8 a 0 a Estas son dos ecuaciones simultáneas en las incógnitas a y a 0. Resolviendo este sistema, se obtiene la solución : a y a 0, por lo cual la función lineal buscada es: f () que representa una línea recta que corta al eje Y en el punto ( 0)y tiene una pendiente de Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

4 Polinomio de segundo grado o función cuadrática. P () a 0 a a Representa una parábola vertical. Los puntos donde la parábola corta al eje X son las soluciones de la ecuación cuadrática : P () 0 es decir a a a 0 0 Los valores de que satisfacen una ecuación como ésta se llaman raíces. Si la parábola nunca corte al eje X, las raíces no serán números reales sino complejos. Éste es un polinomio de grado par, sus gráficas se etienden "hacia arriba" si el coeficiente líder es positivo ( a 0) o se etienden "hacia abajo" si tal coeficiente es negativo ( a 0 ) como se muestra en los siguientes ejemplos: f () El coeficiente líder ( ) es negativo, la parábola se etiende desde el infinito negativo ( ) a la izquierda hasta el infinito negativo ( ) a la derecha. El vértice de la parábola representa el valor máimo de la función g () El coeficiente líder () es positivo, la parábola se etiende desde el infinito positivo ( ) a la izquierda hasta el infinito positivo ( ) a la derecha. El vértice de la parábola representa el valor mínimo de la función Ejemplo. Graficar el polinomio de º grado f () 8. Solución : Es necesario escribir la función en la forma : f () A( a) b completando el trinomio cuadrado perfecto de la función inicial. Factorizando el coeficiente de queda : 8 6 Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

5 Sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de resulta : Los tres primeros términos que quedan encerrados entre paréntesis rectos son un trinomio cuadrado perfecto,porque provienen de elevar al cuadrado un binomio. 8 ( ) 6 5 ( ) Si ahora comparamos esta ecuación con la función básica g (), concluimos que la gráfica de f () A( a) b es idéntica a la gráfica de la parábola g () ecepto que... está desplazada hacia la derecha unidades porque a. (es decir tiene su eje de simetría en ) está desplazada hacia arriba en 5 unidades porque b 5 ( por lo tanto tiene su vértice en el punto ( 5) como el coeficiente líder : es positivo, se concluye también que la parábola se etiende "hacia arriba" y no corta al eje X en algún punto es decir, no tiene raíces reales. la gráfica de f () está "alargada" en la dirección vertical, debido al valor del coeficiente líder. g f 5 Ejemplo. Graficar el polinomio de º grado f () 9. Solución : Escribamos la función en la forma : f () A( a) b completando su trinomio cuadrado perfecto : Factorizando el coeficiente de : 9 9 Sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de resulta : 9 9 Pedro Ferreira Herrejon 5 Funciones Polinomiales y Racionales

6 Los tres primeros términos que quedan encerrados entre paréntesis rectos son un trinomio cuadrado perfecto, es decir provienen del cuadrado de un binomio. Así que factorizando se obtiene : 9 9 ( ) ( ) ( ) Si se compara esta ecuación con la función básica g (), se concluye que la gráfica de f () A( a) b es idéntica a la gráfica de la parábola g () ecepto que... está desplazada hacia la izquierda unidades porque a. (es decir la recta vertical es su eje de simetría ) está desplazada hacia arriba en unidades porque 6 g b (por lo tanto tiene su vértice en el punto ( ) el coeficiente líder: es negativo. Por lo tanto, la parábola se etiende "hacia abajo" y tiene dos raíces reales. la gráfica de f () está "alargada" e invertida en la dirección vertical respecto a la gráfica de, debido al signo y valor del coeficiente líder. f Ejemplo. Si f () es una función cuadrática tal que f () 0, f ( ) 0 y f (), determinar su ecuación. Solución : Substituyendo los valores de f () y en la ecuación cuadrática f () a b c, se obtiene: f 0 () implica que a() 0 b( 0) f ( ) 0 implica que a( ) b( ) f () implica que a() b( ) c es decir c c 0 es decir a b c es decir a b c 0 c Resolviendo este sistema de ecuaciones simultáneas, se obtiene como solución : a, b y c por lo cual la función cuadrática buscada es: f () Que se puede rescribir completando el cuadrado perfecto como : f () Pedro Ferreira Herrejon 6 Funciones Polinomiales y Racionales

7 cuya gráfica es idéntica a la de la parábola g () pero desplazada horizontalmente, verticalmente y además alargada en la dirección vertical por un factor de. f Como se ilustra en la figura de la derecha, la curva de la función encontrada pasa efectivamente por los puntos ( 0), ( 0) y ( ) 0 Polinomio de grado tres o función cúbica. P () a 0 a a a Para valores grandes de, el término de mayor valor del polinomio es a, donde a se llama coeficiente líder. Éste término tiene el mismo signo que cuando a 0, por lo cual la gráfica del polinomio se etenderá en el plano cartesiano desde "abajo a la izquierda", hasta "arriba a la derecha", esto es desde el infinito negativo a la izquierda hasta el infinito positivo a la derecha.. Una conclusión semejante y simétrica se obtiene si a 0. Esto significa que la gráfica de esta función polinomio cruza al eje X por lo menos una vez,. En consecuencia la ecuación f () 0 necesariamente tiene al menos una raíz real, como se muestra en el siguiente ejemplo: Pedro Ferreira Herrejon 7 Funciones Polinomiales y Racionales

8 Ejemplo 5. Consideremos las gráficas de los polinomios : f () y F() f () 5 F() La función f () tiene raíces reales. Su gráfica se etiende desde a la izquierda hasta + a la derecha porque el coeficiente líder es positivo. La función F() tiene una sola raíz real. Su gráfica se etiende desde + a la izquierda hasta a la derecha porque el coeficiente líder 6 es negativo. 9. Comportamiento etremo de un polinomio. Para valores grandes de, el término de mayor valor numérico en un polinomio f () es el término líder a n n porque en él aparece la mayor potencia de. Por lo tanto, cuando la variable independiente toma valores muy grandes positivos (se dice que " tiende al infinito positivo " : ) o valores muy grandes negativos ( se dice que " tiende al infinito negativo " : ), entonces el valor del polinomio será prácticamente igual al valor del término líder a n n, puesto que los demás términos del polinomio a n, a n... etc. al involucrar potencias de menores que n son de menor valor. Además, su signo algebraico estará determinado por: n n el signo algebraico del coeficiente líder a n el grado n ( par o impar) del polinomio. De éste modo, omitiendo los detalles que tenga la gráfica de un polinomio cerca del origen de coordenadas, (es decir para valores de que no sean grandes o etremos), es posible predecir como será en general la gráfica de un polinomio a la izquierda y a la derecha sobre el eje X, en base a su grado n y al signo de su coeficiente líder a n, como sigue : Pedro Ferreira Herrejon 8 Funciones Polinomiales y Racionales

9 Si el grado n del polinomio ES PAR, entonces n es un número positivo, dado que las potencias pares de números positivos o negativos son siempre números positivos, así que el signo de a n n queda determinado en este caso solo por el signo del coeficiente líder. Y + + Y f() X f() X n es par a n > 0 - n es par - a n < 0 El coeficiente líder es positivo y el grado es par. El polinomio tiende al infinito positivo dado que a n n 0 cuando la variable independiente toma valores muy grandes negativos o positivos. El coeficiente líder es negativo y el grado es par. El polinomio tiende al infinito negativo dado que a n n 0 cuando la variable independiente toma valores muy grandes negativos o positivos. Considérese por ejemplo las gráficas de los polinomios... f () g () Si el grado n del polinomio ES IMPAR, entonces n es un número que tiene el mismo signo que, dado que las potencias impares de números reales positivos son números positivos y las potencias impares de números negativos son números negativos así que el signo de a n n queda determinado en este caso por la combinación de signos del coeficiente líder a n y de n Pedro Ferreira Herrejon 9 Funciones Polinomiales y Racionales

10 Y + + Y f() f() X X - n es impar a n > 0 n es impar a n < 0 - El coeficiente líder es positivo y el grado impar. Cuando es un valor positivo muy grande, el polinomio tiende al infinito positivo dado que n es positivo y a n n también. Cuando es un valor negativo muy grande, el polinomio tiende al infinito negativo dado que n es negativo y a n n también. El coeficiente líder es negativo y el grado impar. Cuando es un valor positivo muy grande, el polinomio tiende al infinito negativo dado que n es positivo y a n n es negativo. Cuando es un valor negativo muy grande, el polinomio tiende al infinito positivo dado que n es negativo y a n n es positivo. Considérese por ejemplo las gráficas de los polinomios... f () 8 g () Pedro Ferreira Herrejon 0 Funciones Polinomiales y Racionales

11 Los detalles que tenga la gráfica del polinomio en la región cercana al origen de coordenadas ( la región sombreada en los esquemas generales anteriores ), dependen de como sean los otros términos del polinomio. De hecho, uno de los problemas más importantes del Álgebra es determinar la forma precisa de la gráfica en esa región, así como conocer los puntos por los que la gráfica del polinomio cruza al el eje X, lo que equivale al problema de resolver la ecuación f () 0 o hallar las raíces del polinomio. Aunque el comportamiento etremo es una manera poco precisa para determinar la gráfica de un polinomio, proporciona sin embargo información inmediata sobre la forma general de tal gráfica. Por ejemplo, del análisis anterior se deduce que: todo polinomio de grado impar cruza necesariamente al menos una vez por el eje X, lo cual significa que tiene por lo menos una raíz real un polinomio de grado par podría no tener ninguna raíz real. Otras características generales de los polinomios son las siguientes... la gráfica de una función polinomio es continua. Esto significa que no tiene "saltos", " agujeros" o separaciones" como los tiene por ejemplo una función definida por partes. agujero Y salto separación f() X las funciones polinomiales tienen gráficas continuas función no polinomial, definida por partes la gráfica de una función polinomio solo tiene cambios suaves, es decir, de un punto a otro la gráfica no puede variar bruscamente de dirección. 0 Las gráficas de las funciones polinomiales tienen cambios suaves. No tienen "picos" Esta función cambia de dirección en forma abrupta en. No puede representar una función polinomio. Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

12 Ejemplo 6. Describir el comportamiento etremo de los siguientes polinomios: a) P () 5 b) f () s 7 s 5s 7s c) Q (). 8 Solución : P () f () s El grado del polinomio es impar y su coeficiente líder es positivo, así que su gráfica "sube" a la derecha ( tiende al + ) y "baja" hacia la izquierda ( tiende a ) El grado de éste polinomio es impar y su coeficiente líder es negativo, por lo tanto su gráfica "sube" a la izquierda (tiende al + ) y "baja" hacia la derecha ( tiende a ). Q () El grado del polinomio es par y el coeficiente líder es negativo, su gráfica "baja" a la derecha (tiende al ) y "baja" hacia la izquierda ( tiende a ) La prueba del coeficiente líder para determinar el comportamiento etremo de la gráfica de un polinomio solo indica que la gráfica sube o baja a la izquierda o la derecha. Otros detalles más finos como intersecciones o puntos mínimos y máimos (que en éstos ejemplos se muestran) se deben determinar con otros procedimientos. Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

13 9. Raíces de funciones polinomiales. Se dice que un número r es una raíz o cero de la función polinomio P () si es una solución de la ecuación P () 0, es decir, si se cumple que... Pr () 0 En otras palabras, una raíz de un polinomio es cualquier número que al ser subtituido en la ecuación que define al polinomio, haga que el valor de tal ecuación sea cero. Si los coeficientes del polinomio son números reales, las raíces del polinomio son geométricamente las intersecciones de su gráfica y P() con el eje X. Por ejemplo, sea el polinomio... P () 6 8 ( ) ( ) ( ) las intersecciones con el eje X de la gráfica y P() de éste polinomio ocurren en ya que P() 0, P( ) 0 y P( ) 0. Estos valores de son también las soluciones de la ecuación : Como se puede notar en el ejemplo anterior, la factorización es un paso esencial para determinar las raíces de un polinomio y algunas de las herramientas que se pueden usar para factorizar un polinomio son la división de polinomios y la división sintética. 9.a DIVISION DE POLINOMIOS. Al igual que en la división de números reales, la división de dos polinomios P () y D () genera un polinomio cociente Q () y un polinomio residuo R () de grado menor al divisor... P () D () Q () R () D () Siendo P () el polinomio dividendo y Q() el polinomio divisor.ilustremos el algoritmo de la división de polinomios con el siguiente ejemplo : P () D () 7y 6 y y Primer paso : Se ordena el polinomio dividendo P () y el polinomio divisor D () en potencias descendentes de una de sus variables. Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

14 P () D () 6 y 7y y Segundo paso : Se insertan coeficientes cero para cualquier término que falte con potencia de grado menor al término líder y se acomodan los polinomios en el esquema tradicional de división para los números reales P () D () / 6 y y 0 y 0 y 7y 0 y Tercer paso : Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor : 6 y y y de ésta división parcial por el divisor D () y el resultado de la multiplicación se resta al dividendo para obtener así un polinomio residuo parcial... Cuarto paso : Se multiplica el resultado y y 0 y / y 6 y 0 y 7y 6 y 0 y 9 y 0 y 8 y 0 y Quinto paso : Se repite el paso anterior con el polinomio residuo parcial considerado ahora como dividendo hasta que el grado del residuo final menor que el grado del divisor y 0 y / y 6 y 0 y 7y 6 y 0 y 9 y 8 y 0 y 0 y 8 y 0 y El polinomio residuo R () es de grado cero, con lo cual finaliza el algoritmo. Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

15 De éste modo, la división de los polinomios anteriores genera el resultado... P () D () 6 y 7y y y y Cuando el polinomio residuo es nulo : R () 0, se dice que el polinomio divisor D () y el polinomio cociente Q () son factores del polinomio dividendo P () porque... P () D () 0 Q () implica que P () D ()Q D () Ejemplo 7. Dividir el polinomio P () 6 0 entre el polinomio D () Solución : Con ambos polinomios ya ordenados en potencias decrecientes de la literal, el procedimiento de división se ilustra en el siguiente esquema : Cociente Divisor : er residuo parcial : Residuo final : o residuo parcial : Dividendo En éste ejemplo, la división es eacta porque el residuo final es cero y se escribe : P () D () Esto significa que el polinomio divisor y el residuo son factores del polinomio dividendo, es decir P () D ()Q y es posible escribir... 6 ( ) 0 Q () Pedro Ferreira Herrejon 5 Funciones Polinomiales y Racionales

16 La división de polinomios queda resumida en el siguiente... ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Si P () y D () son polinomios tales que D () 0 y el grado del polinomio divisor D() es menor o igual que el grado del polinomio dividendo P (), entonces eisten dos polinomios únicos Q() y R () tales que : P () D () Q () R () D () donde R () es el polinomio residuo que es de grado menor que el divisor D () 9.b DIVISIÓN SINTÉTICA Este es un procedimiento muy rápido para realizar la división de dos polinomios ; pero se aplica solamente cuando el polinomio divisor tiene la forma lineal D () a. Durante el procedimiento de división formal de polinomios, algunos coeficientes y variables se repiten varias veces. La idea de la división sintética es evitar ésta repetición con el fin de aumentar la rapidez al dividir. Ilustremos ésta idea con un ejemplo : º P () Consideremos la división : D () para la división de polinomios : 9 9 bajo el procedimiento formal ( ) 9 0 Pedro Ferreira Herrejon 6 Funciones Polinomiales y Racionales

17 º Reteniendo solamente los coeficientes y dejando implícito el signo de los positivos queda el esquema : º Eliminación de los coeficientes duplicados. El coeficiente en el término del divisor es innecesario pues siempre es de la forma ( a) º Moviendo los coeficientes del cociente al último renglón y cambiando el signo del divisor, se obtiene el esquema final : De manera que, en éste arreglo ordenado de números, todos los coeficientes de los polinomios cociente y residuo se obtienen por simples sumas y productos. En resumen, al realizar la división sintética de dos polinomios se tiene que el... er renglón Se forma con el término constante del divisor (cambiado de signo) y con los coeficientes del polinomio dividendo P () en el mismo orden en que aparecen las potencias decrecientes de su variable independiente. Si falta alguna de éstas potencias, se escribe cero en el lugar correspondiente Pedro Ferreira Herrejon 7 Funciones Polinomiales y Racionales

18 er renglón Es la suma de los renglones primero y segundo. Su primer elemento siempre es el coeficiente líder del primer renglón y a ecepción del último número, el cual representa el residuo de la división, los demás números de éste renglón son los coeficientes del polinomio cociente Q () escritos en orden decrecientes de las potencias de la variable. o renglón Sus elementos son el producto del coeficiente divisor por el coeficiente inmediato anterior en el er renglón. Ejemplo 8. Dividir el polinomio : P () entre el polinomio D () Solución : El divisor tiene la forma lineal : a ( ) [ ( ) ], es decir a. Por lo tanto, es posible aplicar el procedimiento de la división sintética. Además el primer renglón en ésta división está formado por el número a y los coeficientes ordenados del polinomio dividendo P (). Resulta entonces... P () D () : 0) 0) ) (5) El último número del tercer renglón es el residuo de la división y vale cero, esto indica que la división es eacta. Los demás números del renglón son los coeficientes ordenados en potencias decrecientes del polinomio cociente Q (), el cual es por lo tanto : Q () Como en este caso resultó el residuo cero, entonces por lo tanto se puede escribir: P () Q ()D 9 5 () 5 ( ) es un factor del polinomio P () y 5 ( ) Pedro Ferreira Herrejon 8 Funciones Polinomiales y Racionales

19 Ejemplo 9. Dividir el polinomio : P () entre D () Solución : El divisor es lineal pero no tiene la forma ( a) porque el coeficiente de no es. Sin embargo es posible hacer todavía la división sintética si se factoriza tal coeficiente : P () ( ) P () P () Ahora el divisor tiene la forma lineal requerida ( a) para la división sintética con a. El primer renglón en la división sintética estará entonces formado por el término constante y los coeficientes de P() ordenados en potencias descendentes de, de modo que queda: P () : el último renglón contiene los coeficientes del polinomio cociente ordenados en potencias descendentes de la variable y el último número de éste tercer renglón, es el residuo de la división. En éste caso el residuo no es cero, lo cual indica que ésta división no es eacta. Por lo tanto por el algoritmo de la división, se ha obtenido que : P () D () Q () R () D () P () 9 () 5 y finalmente... P () ( ) P () ( ) Pedro Ferreira Herrejon 9 Funciones Polinomiales y Racionales

20 9. El teorema del residuo y el teorema del factor. Es posible calcular fácilmente el valor de un polinomio P () para un valor dado a de su variable independiente sin ser necesario substituir dicho valor en la epresión algebraica del polinomio, gracias al siguiente teorema : TEOREMA DEL RESIDUO El valor del polinomio P () en a, es decir Pa ( ), es el residuo de la división P () a DEMOSTRACIÓN : Del algoritmo de la división se tiene que : P () a R () Q () o también: P () Q () ( a) ( a) R () así que evaluando en a resulta... Pa ( ) Qa ( ) ( a a) Ra ( ) Qa ( ) () 0 Ra ( ) 0 Ra ( ) pero dado que el grado del divisor es,el grado del residuo debe ser cero, es decir es un polinomio de grado cero (una constante), de aquí que... Pa ( ) R y queda demostrado. Ejemplo 0. Evaluar el polinomio : P () en Solución : Usando el teorema anterior, el residuo obtenido al dividir el polinomio entre el factor lineal [ ( ) ], es precisamente el valor del polinomio evaluado en, esto es P( ). Por división sintética ese residuo es : P () : Pedro Ferreira Herrejon 0 Funciones Polinomiales y Racionales

21 por lo tanto: P( ) 55. En cambio, la evaluación directa de éste polinomio no es tan sencilla pues implica mayor complejidad en las operaciones algebraicas... P( ) 8 9 9( ) 7 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 8( 7) 9( 9) 9( ) Gracias al teorema del residuo podemos evaluar cualquier polinomio en cualquier punto. Sin embargo, el teorema del residuo tiene también otras aplicaciones como se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo. Si el polinomio : P () k se divide por, el residuo es. Hallar el valor del coeficiente constante k. Solución : Por la división sintética se tiene : P () ( ) : k 5 5 k 5 5 k k de acuerdo al problema, el residuo ( k) debe valer, así que resolviendo la ecuación : k resulta k 7 y se puede comprobar fácilmente que... P () k P( ) ( ) ( ) 7( ) 7 8 Con éste ejercicio se ilustra que usando el teorema del residuo, es posible ajustar uno o varios coeficientes de un polinomio para que éste tome un valor predeterminado de antemano. En otras palabras, podemos hacer que la gráfica de un polinomio pase por un punto predeterminado del plano cartesiano, ajustando uno o varios de sus coeficientes por medio del teorema del residuo. Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

22 Ejemplo. Para qué valor de la constante k el polinomio P () k tendrá el mismo valor cuando se evalúe, en o en?. Solución : De acuerdo con el teorema del residuo : Así que por división sintética : P( ) es el residuo de la división P() es el residuo de la división P () ( ) P () P () ( ) : k k k ( k) ( k) k P () ( ) : k 6 8 9k 7k 6 k 9k 7k Igualando ambos residuos : k 7k se obtiene que k buscado es : P () 5 y entonces el polinomio El lector puede comprobar por un cálculo directo que en efecto P( ) y P() TEOREMA DEL FACTOR El valor del polinomio P () tiene como factor a ( a) si y solo si Pa ( ) 0 DEMOSTRACIÓN : Del algoritmo para la división de polinomios se tiene que : P () ( a) Q () R () ( a) Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

23 que se puede escribir también como : P () ( a) Q () R () Si P () es de grado n, entonces el polinomio Q () debe ser de grado ( n ) puesto que está multiplicado por el factor lineal ( a). Además R () tiene que ser un polinomio de grado cero, puesto que el divisor ( a) es de grado uno Por otra parte, del teorema del residuo se sigue que el residuo de la división anterior es R P( a) es decir: P () ( a) Q () Pa ( ) de modo que... Si suponemos que Pa ( ) 0 entonces P () ( a) Q () y por lo tanto ( a) es un factor de P () Si suponemos que ( a) es un factor de P (), entonces P () a como residuo cero y por el teorema del residuo se sigue que Pa ( ) 0. Queda así demostrado el teorema en sus dos implicaciones o sentidos. Q () 0 dará Ejemplo. Trazar la gráfica del polinomio P () sabiendo que ( ) y ( 5) son dos de sus factores. Solución : De acuerdo con el teorema del factor ( ) es un factor de P () solo si P() 0 y en efecto, por división sintética, podemos comprobar que... P () ( ) : Los números de la tercera línea de ésta división sintética son los coeficientes del polinomio cociente y el último es el residuo, el cual es cero. En consecuencia, podemos escribir al polinomio P () factorizado como P () ( ) Q () ( ) Veamos ahora si ( 5) es un factor de Q () y por lo tanto, también de P (): 7 Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

24 Q () ( 5) : y en efecto el residuo es cero. Se deduce que Q 5 factorizar éstos polinomios como: y Q () ( 5) 6 () P() 5 0 y por lo tanto es posible P () ( ) Q () ( ) ( 5) 6 El factor de º grado de P () puede factorizarse a su vez en forma directa o determinando las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente : 6 0 y de modo que éste polinomio se factoriza como: 6 6 ( nótese que se factorizó el coeficiente líder) ( ) ( ) Finalmente, el polinomio P () factorizado totalmente tiene la forma : P () ( ) ( 5) ( ) ( ) Las raíces de éste polinomio se obtienen resolviendo la ecuación P () 0 : ( ) ( 5) ( ) ( ) 0 y dado que cuando el producto de dos o más factores es cero, al menos uno de ellos es cero, se concluye que : si ( ) 0 entonces si ( 5) 0 entonces 5 si si ( ) 0 entonces ( ) 0 entonces. Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

25 Las raíces del polinomio dividen a la recta numérica (que es el eje X de un sistema de coordenadas rectangular ) en 5 partes o intervalos. Para obtener la gráfica del polinomio es necesario conocer el signo algebraico de sus factores en todos esos intervalos, para determinar si el polinomio es positivo o negativo, esto es, para decidir si su gráfica está por encima, o por debajo del eje X. Esto se logra haciendo una tabla como la que se muestra enseguida, en la cual se ha substituido para, un valor numérico arbitrario en cada uno de los intervalos determinados por las raíces y se ha calculado el valor (positivo o negativo) de cada factor, asi como el signo del polinomio Asi que el polinomio P () es positivo (y su gráfica está por encima del eje X ) en los intervalos : 5, y y es negativo (su gráfica está por debajo del eje X ) cuando la variable toma un valor en : o Además P() es un polinomio de grado par y coeficiente líder positivo, asi que su gráfica se etiende desde + a la izquierda hasta + a derecha, como se muestra en la gráfica de la derecha. Ejemplo. Para cierto polinomio P () de grado se sabe que P( ) 0, P() 0 y P 0. Hallar la epresión algebráica de tal polinomio. Pedro Ferreira Herrejon 5 Funciones Polinomiales y Racionales

26 Solución : De acuerdo con el teorema del factor : si P( ) 0 entonces P () tiene el factor ( ) es decir ( ) si P() 0 entonces P () tiene el factor ( ) si P 0 entonces P () tiene el factor es decir Dado que P () es de grado, sólo tiene tres factores. Por lo tanto, salvo por una constante arbitraria C, la forma general de éste polinomio debe ser... P () C( ) ( ) C Ejemplo 5. Hallar la epresión algebraica del polinomio P () de º grado que tiene las raíces o ceros:, y los factores: ( ) y que además pasa por el punto 0, ( ) Solución : Del teorema del factor se deduce que : si P( ) 0 entonces es un factor de P () si P( ) 0 entonces es un factor de P () Dado que el polinomio es de º grado, sólo tiene factores, y salvo por una constante arbitraria C, su forma algebraica debe ser: P () C ( ) Además, si la gráfica del polinomio pasa por el punto 0 esto es... C( 0 ) ( 0 ) 0 ( 0 ) C( ) ( ) ( ), se debe cumplir que P() 0, De ésta manera la constante vale C y el polinomio buscado tiene la ecuación : P () ( ) Pedro Ferreira Herrejon 6 Funciones Polinomiales y Racionales

27 es decir... P () P () 5 Este polinomio es de grado par y como su coeficiente líder es negativo, su gráfica se etiende desde a la izquierda hasta a derecha y tiene raíces o ceros reales ( su gráfica cruza veces el eje X ), como se puede apreciar en la gráfica de la derecha. 0 EJERCICIO 9. En los ejercicios a 8 encuentre el residuo y el cociente que se producen al dividir el primer polinomio entre el segundo, empleando la división sintética, ; ( ). 5 ; ( ). 5 ; ( ) 7 ; ( ) ; ( ) 6 ; ( ) 8. 5 ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) 6 ; ( ) 7 ; ( ) 6 ; ( ) ; ( ) 5. a a a ; ( a) 6. a a a ; ( a) 7. 5 a a ; ( a) 8. a 0a a 6 ; ( a) Pedro Ferreira Herrejon 7 Funciones Polinomiales y Racionales

28 En los ejercicios 9 a 6, determinar el valor de la constante k para que al dividir el primer polinomio entre el segundo, el residuo sea el que se indica k k k 0 5. ( k ) k 6. k k k k ; ( ), residuo 0. ; ( ), residuo k ;. k ; ; ( ), residuo. k k k k 6 ; k ; k ( ), residuo 0 ( ), residuo ( ), residuo ( ), residuo k ; ( ), residuo EJERCICIO 9. Sin hacer la división, encontrar el residuo que se obtendría al dividir el primer polinomio entre el segundo... 5 ; ( ). ; ( ). 7 ; ( ) ; ( ) ; ; ( ) ; ( ) ; ( ) 5 ( ) Demostrar usando el teorema del factor, que el segundo polinomio es un factor del primero.. 5 ; ( ). 0 6 ; ( ). 6 7 ; ( ) 5 ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( 5) ; ; ; ( ) ; 0. 8 ; Pedro Ferreira Herrejon 8 Funciones Polinomiales y Racionales

29 . n a n ; ( a). 8a a a a a ; ( a). 5a a a ; ( a). n a n ; a 5. n a n ; a n par 6. n a n ; ( a) n impar En los ejercicios 7 a, encontrar todas las raíces de los polinomios P ().Use el recíproco del teorema del factor. 7. P () ( ) ( ) ( ) 8. P () ( ) ( 5) ( ) 5 9. P () ( ) ( ) ( ) 0. P () ( ). P () ( ) ( ). P () 5( ) 6. P () ( ). P () El teorema fundamental del álgebra y el teorema de las n raíces. Teorema fundamental del álgebra Todo polinomio P () de grado n 0 tiene al menos una raíz Teorema de las n raíces Todo polinomio P () de grado n 0 se puede epresar como el producto de n factores lineales de la forma ( a b). Por lo tanto, todo polinomio P () de grado n tiene eactamente n raíces ( no necesariamente distintas ) Pedro Ferreira Herrejon 9 Funciones Polinomiales y Racionales

30 Estos dos teoremas fueron demostrados por primera vez en 797 por uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos cuando tenía tan solo 0 años de edad. El matemático alemán Carl Friedrich Gauss quien contribuyó al estudio de diversas ramas de las matemáticas, incluidas la teoría de la probabilidad y la geometría. En su tesis doctoral demostró que cada polinomio algebraico tiene al menos una raíz o solución. Este teorema se sigue denominando teorema fundamental del álgebra. Gauss aplicó también sus trabajos matemáticos a la electricidad y el magnetismo. Una unidad de inducción magnética recibe su nombre. Demostrar el teorema fundamental del álgebra, rebasa el nivel matemático de éste curso ( y de otros cursos de álgebra superior) ; pero podemos dar un esbozo de prueba del teorema de las n raíces : Si P () a n n a n n.. a a 0 es un polinomio de grado n 0, entonces, por el teorema fundamental del álgebra tiene al menos una raíz, sea ésta r. En consecuencia, por el teorema del factor, este polinomio se puede escribir como... Q P () r () donde Q () es un polinomio de grado n. Si ( n ) 0 entonces nuevamente por el teorema fundamental, el polinomio Q () tiene al menos una raíz, sea ésta r, por lo cual se puede escribir : Q Q () r () donde Q () es un polinomio de grado n. En consecuencia... P () r r Q ( ) Si ( n ) 0 entonces nuevamente por el teorema fundamental, el polinomio Q () tiene al menos una Q raíz, sea ésta r. en consecuencia se puede escribir : Q () r () donde Q () es un polinomio de grado n. Entonces... r Q P () r r () Se continúa de esta manera hasta que Q n () sea de grado cero, es decir, hasta que Q n () a n sea una constante llegándose finalmente a la epresión... r P () r r.. r n r n y entonces para que la ecuación P () 0 se cumpla, los posibles valores de son r, r,... r n. Si se supone otro valor distinto para, por ejemplo a n r, entonces la epresión : a n r r r r r r.. r r n r r n 0 Pedro Ferreira Herrejon 0 Funciones Polinomiales y Racionales

31 será siempre distinta de cero puesto que r no es igual a ninguno de los valores r, r,... r n. Por lo tanto, la ecuación P () 0 tiene eactamente n raíces (que pueden ser reales o complejas, repetidas o simples ). Si uno de los factores lineales r k ocurre m veces se dice que r k es una repetida o una raíz de multiplicidad m. Por ejemplo el polinomio P() ( ) 5 ( ) ( 0) ( ) de grado 9, tiene nueve raíces : la raiz. de multiplicidad 5, la raíz de multiplicidad y las raíces simples 0 y Ejemplo 6. Si es una raíz doble del polinomio P () escriba P() como un producto de factores de primer grado Solución : Como es de multiplicidad, P () se puede escribir... P () ( ) Q () 6 9 Q () Donde el polinomio Q () ha de ser de º grado, dado que P () es de grado y su forma algebraica puede ser determinada dividiendo P () entre el factor ( ), obteniéndose... Q () 6 0 Además, por la fórmula cuadrática, éste polinomio se factoriza : Q () [ ( i) ] [ ( i) ] Se debe cumplir entonces que... P () ( ) [ ( i) ] [ ( i) ] Nótese que las dos raíces complejas determinadas en éste ejemplo son números conjugados entre si. Se puede demostrar que éste es en general el comportamiento de las raíces complejas de un polinomios, es decir: Teorema de las raíces complejas Si polinomio P () con coeficientes reales tiene raíces complejas, éstas ocurren siempre por pares conjugados Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

32 Una importante consecuencia de éste teorema es que cualquier polinomio de grado impar tiene por lo menos una raíz real, dado que necesariamente al menos una de sus raíces queda sin "pareja conjugada". Notemos además que cualquier polinomio con coeficientes racionales se puede escribir como un polinomio con coeficientes enteros, determinando el mcm de todos los denominadores. Por ejemplo en el polinomio... P () 8 6 el teorema siguiente se refiere entonces a polinomios que tengan coeficientes enteros. Teorema de las raíces racionales Si polinomio P () a n n a n n.. a a 0 con coeficientes enteros a n, a n,...a, a 0 tiene raíces racionales, éstas deben ser de la forma primer coeficiente a n. b c donde b es un factor del último coeficiente a 0 y c es un factor del DEMOSTRACIÓN. b Supongamos que es una raíz racional del polinomio P c () a n n a n n que solo tiene coeficientes enteros. b Esto significa que el polinomio evaluado en vale cero... P b 0 c c es decir... a n n b a n c ( Suponemos que la fracción.. a a 0 n b a b a 0 0 c c está escrita en su mínima epresión, con b y c enteros primos.. b c relativos ). Multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por c n queda... a n b n a n b n c.. a bc n y etrayendo el factor c... a n b n ca n b n.. a bc n a 0 c n a 0 c n 0 (*) Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

33 el número entre paréntesis es un entero N, dado que todos los coeficientes son enteros y también lo son b y c. La ecuación anterior queda entonces : a n b n cn Como ambos lados de ésta ecuación son enteros entonces c tiene que ser un factor de a n b n ; pero además, dado que b y c son enteros primos relativos entonces no puede ser factor de b n sólo puede ser factor de a n Por otra parte, si la ecuación ( * ) se escribe como... b n c.. a c n a 0 c n b a n b n a n el número entre paréntesis es un entero M, dado que todos los coeficientes son enteros y también lo son b y c. La ecuación se escribe entonces : a 0 c n bm Como ambos lados de ésta ecuación son enteros entonces b tiene que ser un factor de a 0 c n ; pero además, dado que b y c son enteros primos relativos, no puede ser factor de c n sólo puede ser factor de a 0. Esto demuestra el teorema. Así por ejemplo, en P () a a a a a 0 donde a, a, a, a y a son enteros... si P() 0 entonces a es un entero par por qué? si P si P 0 entonces a 0 es un entero par por qué? ( ) 0, P() 0 y a, a 0 entonces el polinomio P () no tiene raíces racionales por qué?. Nótese que el teorema anterior solo establece las condiciones necesarias en las que un polinomio con coeficientes enteros podría tener raíces racionales ; pero no establece que deba tenerlas. Ejemplo 7. Calcular las raíces racionales del polinomio P () Solución : Si éste polinomio tiene alguna raíz racional, el numerador de tal raíz debe ser un factor del término constante : 6 y su denominado debe ser un factor del primer coeficiente : 8 Con los factores de estos coeficientes se forman las siguientes combinaciones para las posibles raíces racionales de P () Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

34 Numerador : Factores de 6 ± ± ± ±6 Denominador: Factores de 8 ± ± ± ± ±6 ± ±(/) ± ±(/) ± ± ±(/) ±(/) ±(/) ±(/) ±8 ±(/8) ±(/) ±(/8) ±(/) eliminando las posibilidades repetidas solo queda el conjunto : 6,,, /,, /, /, /8, /, /8 Escogiendo cualquiera de éstas posibilidades (se sugiere empezar por las raices enteras), y usando el teorema del residuo y el teorema del factor se puede determinar cuáles de éstas posibilidades son efectivamente raíces de P (). Por ejemplo, si se desea decidir si obtiene... es o no una raíz de P (), por el teorema del residuo se P () ( ) de modo que el residuo es cero y en efecto Por el teorema del factor se obtiene entonces que... P () ( ) Q () es raíz del polinomio, es decir P( ) ( ) 8 Si el polinomio cociente Q () tiene una raíz racional, entonces también será raíz de P (), por lo que podemos ensayar las posibilidades para las raíces racionales de ese polinomio. Dado que el primero y el último coeficiente de éste polinomio quedaron en éste ejemplo iguales a los de P (), las posibles raíces racionales de Q () son las mismas de la tabla anterior, así que por ejemplo si se escoge es o no una raíz de Q () se tiene... Q () ( ) Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

35 () 0 y por lo tanto es en efecto raíz de Q (). De modo que Q Del teorema del factor se deduce ahora que... P () ( ) Q () ( ) ( ) Q ( ) ( ) ( ) 8 y las raíces del factor cuadrático se pueden encontrar fácilmente por la fórmula general para la solución de una ecuación cuadrática o bien, ensayar la división sintética con las posibles raíces racionales generadas por los coeficientes 8 y. El polinomio P () queda finalmente factorizado como... P () ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] y del teorema del factor se deduce que sus raíces son y En éste caso, las raíces del polinomio fueron todas racionales.. Ejemplo 8. Encontrar las raíces del polinomio P () Solución : Como todos los coeficientes del polinomio son enteros, es posible que éste tenga algunas raíces racionales, las cuales, de acuerdo con el teorema anterior, deben tener como numerador un factor de y como denominador un factor de. Las posibilidades para sus raices raciones se ilustran en la siguiente tabla : Factores de ± ± ± ± ±6 ±8 ± ± Factores de ± ± ± ± ± ±6 ±8 ± ± ± ±(/) ± ±(/) ± ± ± ±6 ±(/) ± ±(/) ±(/) ±(/) ± ±(/) ± ± ±8 eliminando las posibilidades repetidas ( las que aparecen en los cuadros sombreados ), queda el conjunto: ),, (/),,,,,,, 8,, Verifiquemos algunas de éstas posibilidades son o no raíces de P (): Pedro Ferreira Herrejon 5 Funciones Polinomiales y Racionales

36 P () ( ) Del teorema del residuo se sigue que P() 75 y por lo tanto no es raíz de P (). P () ( ) El teorema del residuo implica que P() 0, y por lo tanto es una raíz de P (). Para el polinomio cociente Q () se descartan ahora las posibilidades: y ±, puesto que no es raíz de P () y el término constante de Q () es ahora. La siguiente menor posibilidad de raíz racional positiva y no entera es : Q () / y en efecto que Q polinomio P 0, así que es una raíz de Q () y en consecuencia también del (), el cual, por el teorema del factor se puede escribir ahora como... P () ( ) Q () ( ) Q ( ) 8 8 ( ) 8 El nuevo polinomio cociente : Q () tiene las mismas posibles raíces racionales que Q () y que P (). Probemos con : Q ( ) ( ) Pedro Ferreira Herrejon 6 Funciones Polinomiales y Racionales

37 y dado que el residuo es cero, en efecto Q ( ) 0 y es una raíz de Q (), de Q () y también de P (). Se escribe entonces : P () ( ) ( ) Q ( ) ( ) ( ) 6 El polinomio cociente Q () es una función cuadrática y sus raíces se pueden encontrar fácilmente para obtener la factorización completa de P ()... P () ( ) ( ) ( j) ( j) Este polinomio tiene un par de raíces complejas, una raíz racional negativa y dos raíces racionales positivas. Además por ser de grado impar y coeficiente líder positivo ( a 5 ), su gráfica se etiende desde a la izquierda hasta a la derecha, tal como se puede apreciar en la ilustración de la derecha. EJERCICIO Hallar las raíces racionales de los siguientes polinomios. P () 6. P (). P (). P () P () 6 6. P () P () P () 6 9. P () P () 8. P () 8 6. P () 0. P () 6 9. P (). P () P () Pedro Ferreira Herrejon 7 Funciones Polinomiales y Racionales

38 9.6 Funciones racionales. Así como un número racional es el cociente de dos números enteros, una función racional F()es el cociente de dos polinomios: F() N() D () con el polinomio D () 0, Por ejemplo... f () ; r () son todas funciones racionales. ; p () ; q () 5 Al igual que el conjunto de números racionales incluye al conjunto de números enteros, también el conjunto de funciones racionales incluye al conjunto de funciones polinomiales. El dominio de una función racional está determinado por la condición de ecluir los valores de la variable independiente para los cuales el polinomio denominador se anule ( D () 0 ), puesto que la división por cero no está definida. Por otra parte, las raíces de una función racional están determinadas por la condición N() 0, es decir, la gráfica de una función racional corta al eje de las abscisas en los valores de donde se anula el polinomio numerador. Ejemplo 9. Encontrar las intersecciones con el eje X y el dominio de la función racional : f () Solución : Al factorizar los polinomios numerador y denominador de la función racional se obtiene... f () N() D () ( ) ( ) ( ) ( ) Dado que D( ) 0 y D() 0, el dominio de f () consiste en cualquier número real ecepto, y se puede epresar también por la unión de los intervalos abiertos:, ( ) y Dado que N () 0 y N ( ) 0, la gráfica de f () cruza al eje X en y Pedro Ferreira Herrejon 8 Funciones Polinomiales y Racionales

39 Asíntotas. Consideremos el comportamiento de la sencilla función racional f () toma valores muy cercanos a cero toma valores muy grandes (positivos o negativos), cuando : Es claro que ésta función racional no está definida para 0, sin embargo, cómo son sus valores cuando toma valores muy cercanos a cero pero siempre positivos (es decir, cuando tiende al cero por la derecha)? En al siguiente tabla se observa que a medida que se acerca al cero de esta manera, el valor de la función se hace cada vez más grande y positivo. () se aproima a 0 por la derecha: ( 0 + ) se incrementa sin límite : ( ) Este comportamiento se indica de manera simbólica como... conforme 0+ Y cómo son los valores de ésta función cuando se aproima al cero tomando valores siempre negativos (es decir, cuando tiende al cero por la izquierda )?. En al siguiente tabla se observa que a medida que se acerca al cero de esta manera, el valor de la función se hace cada vez más grande pero negativo. () tiende a 0 por la izquierda ( 0. ) aumenta sin límite : ( ) Pedro Ferreira Herrejon 9 Funciones Polinomiales y Racionales

40 Este comportamiento se escribe de manera simbólica como... En la gráfica de la función f () ilustrada a la derecha, se observa con claridad que la curva se vuelve casi vertical a medida que la variable toma valores cada vez más cercanos a cero. La curva tiende a tocar el eje Y vertical en el infinito, y se dice entonces que la recta 0 ( el eje Y ) es una asíntota vertical para ésta función Este ejemplo ilustra que las asíntotas verticales de una función racional están asociadas a las raíces o ceros de su denominador. conforme 0_ Si en la función racional f () Asíntotas verticales de funciones racionales N() eiste algún número real b tal que Db ( ) 0 D () y N( b) 0, entonces la recta b es una asíntota vertical para la gráfica de f (). Consideremos ahora los valores de la función f () conforme toma valores muy grandes. En al siguiente tabla se observa que si a se le asignan valores positivos cada vez más grandes, el valor de la función es también positivo pero se hace cada vez más pequeño. () se aproima al infinito positivo: ( + ) disminuye sin límite : ( 0 ) Este comportamiento se escribe de manera simbólica como... 0 conforme + En al siguiente tabla se observa también que si toma valores negativos cada vez más grandes, el valor de la función es también negativo pero se hace cada vez más pequeño. Pedro Ferreira Herrejon 0 Funciones Polinomiales y Racionales

41 () tiende al infinito negativo ( ) tiende a cero ( 0 ) Este comportamiento se escribe de manera simbólica como.. En la gráfica de ésta función, ilustrada a la derecha, para valores de menores que y mayores que, se observa que la curva se vuelve casi horizontal a medida que la variable toma valores cada vez más grandes, positivos o negativos. La curva tiende a tocar el eje X horizontal en el infinito, y se dice que la recta y 0 ( el eje X ) es una asíntota horizontal para ésta función 0 conforme Este ejemplo ilustra que las asíntotas horizontales de una función racional están asociadas a las raíces o ceros de su denominador. Asíntotas horizontales y verticales La recta b es una asíntota vertical para la gráfica de la función y f () si f () aumenta o disminuye sin límite conforme se aproima a b por la derecha o por la izquierda sobre el eje X. Simbólicamente... f () b. o conforme f () b.. La recta y b es una asíntota horizontal para la gráfica de la función y f () si f () se aproima a b conforme aumenta o disminuye sin límite por la derecha o por la izquierda sobre el eje X. Simbólicamente... f () b conforme Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales

42 9.8 Comportamiento etremo de una función racional. Así como el comportamiento etremo de un polinomio P () a n n a n n... a a 0 (es decir los valores que asume el polinomio cuando o ) está determinado por el signo de su término líder a n n, de igual manera el comportamiento en los etremos de una función racional : f () N() D () a m m... a b n n... b a a 0 b b 0 está determinado por la razón de los términos líderes de su numerador y su denominador, es decir la función: g () a m m b n n Este cociente tiene un comportamiento muy semejante al de la función racional completa f () conforme o. Consideremos por ejemplo, las gráficas de las siguientes funciones racionales: p f () f () f () 7 g () g () g () Estos tres ejemplos ilustran algunas de las características generales que aparecen en la gráfica de toda función racional, y que se deben a la relación entre los grados del polinomios numerador y del denominador. Pedro Ferreira Herrejon Funciones Polinomiales y Racionales