V. DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

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Eugenio Espejo Martínez
hace 6 años
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1 V. DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS A. ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN En la geometría analítica hay dos problemas por resolver: 1. Dada la ecuación de una curva construir una gráfica.. Dadas algunas condiciones de la gráfica encontrar su ecuación. Por el momento el primer caso ya se estudió. Por ejemplo; la ecuación f x x 1 se puede realizar su gráfica. yx Para el segundo caso se tiene que hacer un análisis de la ecuación, que consiste en encontrar: 1. Intersecciones con los ejes.. Simetrías con los ejes. 3. Extensiones para x (dominio), para y (imagen) y asíntotas. 4. Tabulación y gráfica. 1. INTERSECCIONES CON LOS EJES. Veamos que sucede cuando una curva corta al eje x o al eje y. Intersecciones con el eje x A B C Coordenadas de estos puntos: A ( quién sabe?, 0) B ( quién sabe?, 0) C ( quién sabe?, 0) D (0, quién sabe?) D Intersección con el eje y Como podrás darte cuenta, siempre que una curva corta al eje x, en estos puntos la ordenada (y) siempre toma el valor de cero, y en las intersecciones con el eje y la abscisa (x) es la que vale cero, es decir: 1 49

2 Ejemplo: Encontrar las intersecciones con los ejes coordenada x e y si la ecuación de la curva es: x xy y 4 Primero para las intersecciones con el eje x (se hace y 0), sustituyendo; x x(0) 0 4 x 4 x ó x Entonces las intersecciones con el eje x son: Para las intersecciones con el eje y (se hace x 0), se tiene: y 0 0 y 4 y 4 entonces la intersección con el eje y es: Ejercicios.- Encuentra las intersecciones con los ejes de las siguientes ecuaciones: a) x y 9 b) c) d) e) x xy y 6 16 y xy x x x y y y x Para encontrar las intersecciones con el eje x, se hace: y=0 y se despeja x. De igual maneara para el eje y, se hace: x=0 y se despeja y. (0, 4) (,0) (,0) 50

. SIMETRÍAS Para las simetrías, tenemos que una función es simétrica con el eje x si lo que está arriba del eje x es lo

3 . SIMETRÍAS Para las simetrías, tenemos que una función es simétrica con el eje x si lo que está arriba del eje x es lo mismo que lo que está abajo la simetría con el eje y se presenta si lo que hay a la derecha del eje y es lo mismo que del lado izquierdo. Finalmente, una ecuación tiene simetría con el origen si al trazar la curva y x lo que hay arriba de ella es lo que hay abajo. Ejemplo.- Encontrar las simetrías de la ecuación y 8x y 17 0 Para la simetría con el eje x se tiene que observar el exponente de y, si contiene sólo términos cuadráticos y o con potencias pares 4 6 y, y, y,..., entonces sí hay simetría con x, así, nuestra ecuación tiene a y (exponente par) y a impar), por tanto no hay simetrías con el eje x. 1 y (exponente 51

4 Para ver la simetría con el eje y, de manera análoga, sólo debe de haber exponentes pares para x, y en nuestra ecuación hay 8x (exponente impar), por tanto tampoco hay simetría con el eje y. Finalmente, para la simetría con el origen, tanto x como y deberán presentar exponentes pares, o bien, tener el término xy, o ambas cosas. Para nuestra ecuación 1 y 8x y 17 0 no hay simetrías con el origen, pues existen y y 8x con exponentes impares. Ejercicios.- Decir si hay simetrías con el eje x, con el eje y o con el origen para: a) x x y 0 b) c) d) e) x x y 4 4 y 16 x xy y 0 x 6x y 3. EXTENSIONES (DOMINIO E IMAGEN) Cuando tenemos una ecuación xy 3x 6 0, encontrar las extensiones significa encontrar el Dominio (extensión para x) y la imagen o rango (extensión para y). A) EXTENSIÓN PARA X (DOMINIO) Primero despejamos a y y posteriormente contestaremos, tomando en cuenta dicho despeje, qué valores puede asumir x. xy 3x 6 0 éste término tiene y y además es positivo, por tanto, se quedará de este lado de la igualdad y quitaremos lo demás. xy 3x 6 ahora sólo falta quitar x que está multiplicando con y 3x 6 y x Qué valores puede tomar x? Bueno, esto también ya se había realizado cuando se calculó el dominio de funciones sin graficar y como x está como denominador no podrá tomar el valor de cero. Esto quiere decir que en x 0 hay una asíntota vertical 5

es decir, la extensión para x es E,0 0, x B) EXTENSIÓN PARA Y (IMAGEN O RANGO) Para la extensión de y,

factorizando a x x y3 6 6 x y 3 Qué valores puede tomar y?

cero, entonces en x y 3 claramente y no puede ser 3.

5 es decir, la extensión para x es E,0 0, x B) EXTENSIÓN PARA Y (IMAGEN O RANGO) Para la extensión de y, despejamos a x: xy 3x 6 0 como hay dos términos que tienen a x, los dejaremos del lado izquierdo xy 3x 6 factorizando a x x y3 6 6 x y 3 Qué valores puede tomar y? Recuerda que en los números reales no hay raíces cuadradas 6 de números negativos y tampoco divisiones por cero, entonces en x y 3 claramente y no puede ser 3. Esto quiere decir que hay ahora una asíntota horizontal en y 3 Extensión de x y para la extensión en y tenemos: E,3 3, Extensión de y Extensión de y y Asíntota vertical, coincide con el eje y x=0 Extensión de x 53

6 Ejercicios.- Encontrar las extensiones para x (despejar y) y las extensiones para y (despejar x) a) xy y 4 0 b) xy 5x y 0 c) xy 6 3y d) e) x x y x 16 y TABULACIÓN Y GRÁFICA En esta cuarta y última parte que se tiene que realizar en el análisis de una ecuación, hay que tomar el despeje de y y hacer una tabulación como ya la has realizado cuando graficaste una función, tomando en cuenta la información obtenida de las intersecciones con los ejes, extensiones, asíntotas y simetrías. Realicemos un ejemplo completo de como analizar una ecuación. Ejemplo 1.- Analizar la ecuación xy 3y 6 0 Consideremos la siguiente tabla, la cual la puedes utilizar para cualquier ecuación que desees analizar y completemos la información requerida: Se hace Operaciones Intersecciones con los ejes y 0 y se despeja a x x 0 y se despeja y pares de x pares de y pares de x e y y si está el término xy Se despeja x Con x: (, 0) (, 0) Con y: ( 0, ) ( 0, ) Simetrías Con y: ( sí ) ( no ) Con x: ( sí ) ( no ) Con el origen: ( sí ) ( no ) Para y: x Extensiones Asíntota horizontal y Se despeja y Para x: y Asíntota vertical x 54

Completando la tabla tenemos: Se hace Operaciones Intersecciones con los ejes y 0 y se despeja a x x 0 y se despeja y pares de x pares de y pares de x e y y si está el término xy Se despeja x

0 y 3 y 6 0 impar 6 3y y xy 3y 6 0 impar xy 3y 6 0 Además de xy está y xy 3y 6 0 xy 3 y 6 0 xy 3 y 6 3y 6 x y xy 3 y 6 0 y x 3 6 6 y x 3 Con x: ( no, 0) ( no, 0) Con y: ( 0, ) ( 0, ) Simetrías

7 Completando la tabla tenemos: Se hace Operaciones Intersecciones con los ejes y 0 y se despeja a x x 0 y se despeja y pares de x pares de y pares de x e y y si está el término xy Se despeja x Se despeja y x Absurdo! 0 y 3 y 6 0 impar 6 3y y xy 3y 6 0 impar xy 3y 6 0 Además de xy está y xy 3y 6 0 xy 3 y 6 0 xy 3 y 6 3y 6 x y xy 3 y 6 0 y x y x 3 Con x: ( no, 0) ( no, 0) Con y: ( 0, ) ( 0, ) Simetrías Con y: ( sí ) ( no ) Con x: ( sí ) ( no ) Con el origen: ( sí ) ( no ) Para y: x Extensiones 3y 6 y Asíntota horizontal y 0 Para x: y 6 x 3 3 Asíntota vertical x 6 Finalmente tomamos el despeje de y y x 3 y tabulamos: x y (0,) Asíntota vertical 3 x Poner primero: Intersecciones Asíntotas Asíntota horizontal y 0 55

8 Si ponemos los puntos calculados en nuestra tabla terminamos graficando nos debe quedar: Ejercicios.- Analizar las siguientes ecuaciones (realizar los cuatro pasos: intersecciones, extensiones y asíntotas, simetrías, tabulación y gráfica): a) y 8x 1 b) xy 3y 4x 0 c) x y 4 0 d) xy y 4 0 e) x 4 y

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