FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Transcripción

1 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 1. Crecimiento exponencial. La función exponencial. 1.1 La Función Exponencial. Una función exponencial es una expresión de la forma siguiente:,,. Donde es una constante denominada base y el exponente t es una variable. El dominio de la función es el conjunto de los números reales. El rango de la función es el conjunto de los números reales positivos. La gráfica de la función exponencial, en el caso de que b>1 es la siguiente:,. Como puede observarse, la función es creciente y por tanto es una función uno a uno. A medida que el valor de la variable independiente se hace más negativa, el valor de la función se acerca a cero, tomando valores positivos, pero nunca llega a ser cero. Se dice, entonces que la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función. Consideraciones similares se pueden hacer cuando se hace un análisis de la gráfica de la función cuando 0 < b < 1. La gráfica de la función, en el caso de que 0 < b < 1, es la siguiente:

2 ,. De las gráficas anteriores se puede notar que la función exponencial, o bien es creciente, o bien es decreciente. Por tanto esta función es uno a uno y tiene sentido definir su función inversa; esta se definirá en la siguiente sección. Ejemplo 1. Grafique para. Si se hace una tabla con algunos valores de t en ese intervalo, se tendrá: Por tanto, su gráfica es: Con frecuencia se utiliza, como base de la función exponencial, el número irracional y se define la función 1.2 La Función Logarítmica. Logaritmos Definición. Para y se define el logaritmo en base b de N, y se escribe, como el exponente x al que hay que elevar b para obtener N. Es decir: Ejemplo 4. Según la anterior definición se tiene: Todavía, no se está en capacidad de responder preguntas como que es. Lo único que se puede decir es que es un número x que satisface que.

3 Hay que notar que los números negativos y el cero carecen de logaritmo en cualquier base debido a que, según la definición, no existen números reales x que cumplan que: si. Así, por ejemplo, no existe porque no hay un número real x, que cumpla que Propiedades de los Logaritmos. Hay cinco propiedades fundamentales de los logaritmos y son las siguientes: Para demostrar que se parte del hecho siguiente: Sea y. Por la definición de logaritmo se tiene que y. Por tant Usando la definición de logaritmo, en la expresión anterior, se tiene que, O sea que:. Para demostrar que, hay que hacer notar que. Utilizando la definición de logaritmos se obtiene que. Usando la definición de logaritmo se pueden obtener otras dos propiedades adicionales a saber: Ejemplo 5. Escríbase la siguiente expresión como un único logaritmo:. Si se utilizan las propiedades anteriores, la expresión se puede rescribir como: Ejemplo 6. Hállense los valores de x que satisfacen que:. Se sabe que.

4 Por tanto,. Usando la definición de logaritmo se obtiene:. O sea que: Por tanto y. El valor de se desecha porque no están definidos logaritmos de números negativos. 1.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Definición. Una ecuación que contiene funciones exponenciales o logarítmicas se llama, respectivamente, ecuación exponencial o ecuación logarítmica. Estas ecuaciones son condicionales en el sentido que se satisfacen solo para uno o varios valores de la variable independiente. Ejemplo 8. Resuelva para x y para y el siguiente sistema: De la segunda igualdad se tiene que. Como, se tiene que y por tant Reemplazando en la primera ecuación: Log (Log + Log y) (Log - Log y) = 8 (3Log y + Log y) (3Log y - Log y) = 8 (4 Log y) (2Log y) = 8 8Log = 8 Por tanto: Log y = 1 y Log y = -1. y. Como, se obtiene que las parejas que satisfacen el anterior sistema de ecuaciones son: Ejemplo 9. y. Resuelva para x, la siguiente ecuación:. Se sabe que. Por tant O sea, ; ;.

5 Si reemplazamos el valor hallado, en la ecuación original se tiene que:. Como no están definidos los logaritmos de números negativos, la ecuación original no tiene una solución en los reales. Ejemplo 10. Resuelva para x, la ecuación. Se sabe qué. La ecuación original, por tanto, se convierte en. O sea que:.. Entonces y. Ejemplo 11. Resuelva la ecuación. La anterior ecuación es equivalente a. Si se hace se tiene:, o sea ó. Para,, o sea,. Para,, o sea,. 1.4 Ejercicios. 1. Simplifique las siguientes expresiones: 2. Resuelva para x las siguientes ecuaciones: 3. Resuelva para x las siguientes ecuaciones. 4. Resuelva para x las siguientes ecuaciones.

6 5. Resuelva para x las siguientes ecuaciones: 6. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 7. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 8. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 9. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: