INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

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1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes FUNCIONES EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA DESEMPEÑOS Identificar, graficar y aplicar del entorno. las funciones exponenciales y lineales en la solución de problemas Demostrar interés por la asignatura colocando cuidado en clase a las indicaciones y actividades propuestas por el docente y cumpliendo con las tareas y trabajos oportunamente, además de cumplir con el proceso de autoevaluación del estudiante. INDICADORES DE DESEMPEÑOS Conoce e interpreta las características de funciones exponenciales y logarítmicas. Interpreta y diferencia correctamente una ecuación exponencial de una logarítmica. line Construye ecuaciones exponenciales y logarítmicas a partir de una situación problema. CONTENIDOS: Introducción. Propiedades y representación gráfica de la función exponencial Ecuaciones exponenciales Propiedades y representación gráfica de la función logarítmica. Ecuaciones logarítmicas. INTRODUCCIÓN Se presentan dos funciones de gran importancia en la matemática, como son: la función exponencial y la función logarítmica. Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real

2 Definición. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x. Como para todo,la función exponencial es una función de en. En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. Teorema (Leyes de los Exponentes) Sean a y b reales positivos y x, y, m, n,entonces: a 0 = 1 2. a 1 = a a m a n = a m+n (a m ) n = a m n 9. a n b n = (a b) n 10. Gráfica de la Función Exponencial FUNCIÓN EXPONENCIAL CON a > 1 y a 1

3 Cuando a > 1, si x < y, entonces,.es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. Note que cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial acotada superiormente. Es decir, no está crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, tiende a cero (0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 1) f(x) = 2 x x y = 2 x 1/8 1/4 1/ FUNCIÓN EXPONENCIAL CON

4 Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces,. Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en todo su dominio. Note que cuando la base a < 1, la función exponencial no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. x y = ½) x /2 1/4 1/8 1/16 La función exponencial de base e Al igual que, e es un número irracional donde e = La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = e x exponencial de base e. define a la función Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e x. La gráfica de f(x) = e x es:

5 La gráfica de la función exponencial f(x) = e -x es: Ejercicios Representa las funciones exponenciales: 2. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) ( )

6 Resolución de ecuaciones exponenciales Caso 1: Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes. s Más ejemplos Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 2 x = 8 2) 10 x = 100 3) 4 x - 3 = 8 4) x = 125 5) 2 x = 64 6) 27 x + 1 = 9 Ecuaciones con base e En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b. s:

7 Simplifica. 3) Simplifica: (e 3x + 1 ) (e 2x 5 ) 4) Halla el valor de x en e 3x 4 = e 2x Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales LA FUNCIÓN LOGARITMICA Definición de logaritmo El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

8 Logaritmos decimales y neperianos Logaritmos decimales Los logaritmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x). Logaritmos neperianos Los logaritmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). Funciones logarítmica con La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a..

9 x 1/8 1/4 1/ Funciones logarítmica con x 1/8 1/4 1/

10 Ejercicios Representa las funciones logarítmicas: 4. ( ) ( ) f(x) = ln x 6. ( ) Propiedades de los logaritmos El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: 2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

11 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz: 5. Cambio de base: Ecuaciones logarítmicas Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta: Las propiedades de los logaritmos. 2. Inyectividad del logaritmo: 3. Definición de logaritmo:

12 4. Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos. En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia. Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos: Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo. 2. En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente. Restamos en los dos miembros log x y teniendo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos:

13 Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal: 3. En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de la potencia de un logaritmo. Teniendo en cuenta la inyectividad de los logartmos tenemos: Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución. 4. Multiplicamos en los dos miembros por log(3x 4). En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en cuenta la inyectividad de los logaritmos. Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontraríamos al sustituir en la ecuación nos encontraríamos en el denominador un logaritmo negativo.

14 Ejercicios Calcular por la definición de logaritmo el valor de y Calcula el valor de x aplicando la definición de logaritmo Resolver las ecuaciones logarítmicas DIEGO ALONSO CASTAÑO ALZATE DOCENTE