Logaritmos y sus propiedades

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Alfonso Márquez Duarte
hace 6 años
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1 Universidad Rural de Guatemala Curso: Matemática II TEMA: Logaritmos Catedrático: Lic. Francisco Escobar Logaritmos y sus propiedades 1- Definición de Logaritmo Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado. Por ejemplo: 5 0 = = = = 125, etc. Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log 5 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5 para que dé 1; el log 5 5 es 1; el log 5 25 es 2, el log es 3, etc. - No existe el logaritmo de los números negativos. - El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión log b a, siempre, por definición, a R + y b R + {1}. - La expresión log b a, se lee como: logaritmo de a en base b. 1

2 Volvamos a la definición de logaritmo: exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado.si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver log b a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos. Ejemplo1: - Calcula el valor de log equivale a resolver la ecuación: log = x Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir: 7 x =343 7 x = 7 3 luego, igualando los exponentes, se concluye que x= 3 Luego, log = 3 Ejemplo 2: - Calcula el valor de log 0,7 0,343 equivale a resolver la ecuación: log 0,7 0,343 = x Luego: 0,7 x = 0,343 0,7 x = (0,7) 3 Luego, igualando exponentes tenemos: x=3 log 0,7 0,343 = 3 Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento. 2- Propiedades 2.1- Logaritmo de la unidad El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0. log b (1) = 0 ; con b 1. log 5 (1) = 0 porque 5 0 =1 log 7 (1) = 0 porque 7 0 = 1 log 20 1 = = 1 2

3 2.2- Logaritmos de la base El logaritmo de la base es igual a 1. log b (b) = 1 ; con b 1. log 5 (5) = = 5 log 6 (6) = = 6 log 12 (12) = = Logaritmo de una potencia con igual base: El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número. log b b n = n, con b 1 log = Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log b (a c) = log b a + log b c log b (5 2) = log b 5 + log b Logaritmos de un cociente El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor. 3

4 2.6- Logaritmo de una potencia El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. log a c n = n log a c log = 2 log Logaritmo de una raíz El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz. 4

5 2.8- Cambio de base todo p, a, b > 0; b, c 1 para log 2 5 = log 5 / log 2 En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que se cumple en general: - log b (p q) log b p log b q - log b (p + q) log b p + log b q - log b (p q) log b p log b q 3- Calcula cada uno de los siguientes logaritmos a) log 2 64 b) log c) log 5 1 d) log 3 3 e) log f) log g) log

6 h) log Respuestas: a- 6 b- 5/2 c- 0 d- 1 e- 7 f- 3/4 g- 0 h-3 REPASO: LOGARITMOS DEFINICIÓN Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de dicho número. Logaritmo de un número (P) es el exponente (x) al que hay que elevar la base (a) para que nos de dicho número (P). La base tiene que ser positiva y distinta de 1 Ejemplos se lee logaritmo en base a de P (logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3) pues 3 es el exponente al que hay que elevar 2 para que nos de 8 (logaritmo en base 2 de es igual a -3) pues -3 es el exponente al que hay que elevar 2 para que nos de 6

7 (logaritmo en base 10 de es igual a 4) pues 4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que nos de (logaritmo en base 10 de es igual a -4) pues -4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que nos de PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si 2. El logaritmo de la base es 1, pues 3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base, pues 4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores 5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador 6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia 7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice 8. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base 7

8 EJERCICIOS Expresa los logaritmos decimales de los siguientes números en función de log 2. Los números son los siguientes: 4, 16,, 0.5; 0.25; 0.125; ,,, Hay que expresar los números dados en función de 2. Cuando no ponemos la base del logaritmo se entiende que es 10, o sea que se trata de logaritmo decimal. a) (Propiedad b) (Propiedad c) (Propiedad d) (Propiedad e) (Propiedad f) (Propiedad g) (Propiedad 8

9 h) (Propiedad i) (Por la propiedad 7) j) (Por la propiedad 7), (Por la propiedad 6) k) (Por la propiedad 7), el (lo hemos hecho más arriba en el apartado e) l) (Por la propiedad 7), el (por la propiedad 9

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Titulo: POTENCIACION Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com