Propiedades más importantes de los logaritmos: El logaritmo de una multiplicación es igual el logaritmo de la suma. log =log +log

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2 Para empezar a tratar el tema de los logaritmos tenemos que tener en muy en cuenta, la definición de logaritmo, así como las tres propiedades más importantes de los logaritmos. Definición de logaritmo: log = = Propiedades más importantes de los logaritmos: El logaritmo de una multiplicación es igual el logaritmo de la suma. log =log +log El logaritmo de la división es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. El logaritmo de la potencia. log =log log log =log Tenemos que tener muy claro la definición del logaritmo como estas tres propiedades para poder afrontar los ejercicios correctamente. Nota: Tanto en la definición como en las propiedades he utilizado log, para el Ln (logaritmo neperiano) tiene la misma definición y las mismas propiedades.

3 Otras cosas a tener en cuenta de los logaritmos es que no existe el logaritmo de 0 ni de un número negativo. Tampoco existe un logaritmo cuya base sea negativa. Ejemplo 1 log 27= Aplicando la definición de logaritmo: 3 = 27 Llegados a este punto, el 27 lo tenemos que poner como potencias de 3 para poder resolverlo. 3 = 3 Como las bases son iguales los exponentes también, por lo tanto: Ejemplo 2 = 3 log0.125 = Aplicando la definición de logaritmo: 1 2 = Tenemos que convertir en potencia de hacemos: veamos como lo Por lo tanto: 0.125= = 1 8 = =

4 Por lo tanto: = 3 Ejemplo 3 log " 16 = 4 =16 Como tenemos una raíz en la base aplicando las propiedades de las potencias tenemos que convertirla en una potencia para poder operar. 4 = 16 Ahora de nuevo tenemos que poner 16 como potencias de 4 4 =4 Por lo tanto igualando exponentes: Ejemplo = 2 = 4 log 125 =3 = 125 En este caso tenemos que poner 125 como un número elevado al cubo para poder resolver a: =5 Por lo tanto en este caso igualamos las bases:

5 =5 Ejemplo 5 log 125 = 3 % = 125 En este caso tenemos que poner 125 como un número elevado a la -3. Como el exponente es negativo estamos obligados a poner 125 como una potencia negativa, llevándolo al denominador % = & % Ejemplo 6 = 1 5 log = 8 2 ' = Tenemos que poner 2 8 con un exponente al cuadrado. Esto se hace aplicando las propiedades de las potencias. Por lo tanto: Ejemplo 7 2 " = = 2 " =16 ) log ( 1 = 16 Aplicamos la definición de logaritmo:

6 ) 2 = ( 1 16 ) Aplicando las propiedades de las potencias ponemos 2 y * como una potencia y transformamos + 2 ) = ( ) =,2 %" 2 =2 %" = 4 6 = 8 6 = 4 3 en una potencia de 2. Después de hacer todos estos ejemplos utilizando la definición de logaritmo, vamos a ver ejemplos de cómo usar las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 8 Sea log = 3 y log- = 2 calcular: log ( -) log ( - ) log log (2-) +

7 log ( - " )./ Utilizando la propiedad de los logaritmos, que nos dice que el logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos. log( -) = log+./0- = 3+2 = 5 Utilizando la propiedad, que nos dice que el logaritmo del cociente es igual a la resta de los logaritmos. log1 2 =./0./0- =3 2 = 1 - Aplicando la propiedad de la potencia: log = 2./0 = 2 3 = 6 Teniendo que./010 = 1 y aplicando la propiedad de la multiplicación: log(10-) =./010+./0+./0- = = 6 Aplicando primero la propiedad de la multiplicación y después la de la potencia: log( - " )=./0 +./0- " =3./0+4./0- =9+8 =17 Aplicando la propiedad del cociente, del producto y la de la potencia por este orden:./ =./0100 log( - )=./0100 (./0 +./0- ) =./ /0 2./0- = = 8

8 Sigamos viendo ejemplos, cada vez más complicados. Seguimos suponiendo que./0 = 3 y./0- =2./0 - log4- log - Pasando la raíz a potencia (por propiedades de las potencias):./0 - = log (-) = 1 2 log(-) = 1 2 (./0+./0-) = 1 2 (3+2) =5 2 log44-5 =./04+./0-+./0 =./04+./0-+./0 =./04+./ /0 =./ Nota: log4 le podemos operar con la calculadora o dejarlo así indicado. Ejemplo 9 log( -) = 3log4-5 = 34./0+./0-5 =3./0+./0- =3./ /0- = = 12 2 Desarrollar al máximo el siguiente logaritmo 8 ln7 8 :=ln, 9 ln, 9, = ln " ln = 3 4 ln 2 3 ln Nota: Véase que las propiedades de los logaritmos, funcionan exactamente para los logaritmos neperianos

9 Ahora vamos a ver ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas. Ejemplo 10 2log+log2 =log log4 Primero aplicamos las propiedades de la potencia y después la de la suma y la resta. log +log2 = log log4 log2 = log 4 2 = 4 8 = 8 = =0 =0 = 1 8 Estas soluciones hay que comprobarlas en la ecuación inicial = 0 no es solución porque no existe el log0. = Si es ' solución Ejemplo 11. Resolver la siguiente ecuación logarítmica ln2+ln(+2) ln(+1) = 2 En este ejemplo lo primero que hacemos es pasar ln(+1) que esta dividiendo al otro lado de la igualdad multiplicando para que la ecuación sea más fácil resolverla.

10 ln2+ln+2 =2ln+1 Aplicamos las propiedades de las potencias (en este caso la de la suma y la de la potencia) ln;2+2< = ln = = = 3 =3 = ± 3 De nuevo solo es válida la solución positiva = + 3 Ejemplo 12. Resolver la siguiente ecuación logarítmica. log +1+log 1 =1 Aplicando la propiedad de la multiplicación, podemos agrupar en un solo logaritmo, la parte izquierda de la ecuación. log +1 1 =1 Ahora nos interesa convertir ese 1 que tenemos en la parte derecha de la ecuación en un logaritmo, para que podamos resolver la ecuación. Esto se hace utilizando la definición de logaritmo. log = =

11 En este caso = 2, que es la base. P es el resultado que en este caso es 1 por lo tanto nuestra incognita es x. = 3 = = 3 Por lo tanto podemos decir que log 3 = 1 Por lo tanto: log +1 1 =log = 3 1 = 3 =4 =±2 De nuevo tenemos que comprobar las soluciones en la ecuación inicial. Vemos que = 2 no puede ser solución porque el logaritmo de un número negativo no existe. Por lo tanto la solución es = 2