Tema 3: Salud y matemáticas

Transcripción

1 1.- Un burdo rumor Tema 3: Salud y matemáticas -Te voy a contar un secreto pero no se lo digas a nadie. A mi me lo han contado con esa condición. Yo no se lo cuento a nadie: -Resulta que la hija de mi vecina es una y patatín patatán El chismoso no ha cumplido su palabra y está largando el chisme que afecta a la hija de su vecina. Se lo ha contado a 3 personas. Cuántas personas conocen el secreto? Lo saben el chismoso y los tres a los que ha informado: = 4 personas Cada una de las 3 personas, se lo ha contado a otras 3 más cada una, entonces ya lo conocen un total de: = 13 personas Cada una de las 9 personas, se lo cuenta a 3 personas cada una, entonces el supuesto secreto es sabido por un total de: = 40 personas Y si seguimos, al final lo sabe todo el pueblo. Si nos fijamos, la suma anterior se puede poner de esta otra forma: Recuerda que: 3 0 = = = = 27 Es decir, el rumor se está extendiendo de forma exponencial. Qué te parece si esto lo representamos en una gráfica? Bloque IX. Tema 3, Página 1 de 10

2 Gráfica de la función: y = 3 x 3 2 = = = 3 Este tipo de gráfica se llama exponencial, y como puedes ver, crece muy rápidamente. De hecho, la siguiente potencia de 3 se escapa del dibujo. 2.- Cómo se propaga un virus? La propagación de un virus sigue el mismo patrón que la del chisme. Un ejemplo: Una persona está rodeada de una media de cuatro personas a las que infecta con un virus, estas cuatro personas infectan a otras cuatro, y estas cuatro a otras cuatro más y así sucesivamente durante los quince días de incubación del virus. Qué ocurrió realmente? En un principio el virus se encontraba en una única persona: 4 0 = 1 Seguidamente pasó a 4 personas más: = = 5 Bloque IX. Tema 3, Página 2 de 10

3 Cada una de las 4 anteriores lo pasaría a otras 4 personas: Y así sucesivamente = = 21 Contesta 1. En el ejemplo anterior, cuál será el próximo número de personas infectadas? 2. Para recordar, calcula el valor de las siguientes potencias: a) 2 5 = b) 3 4 = c) 1 59 = d) = e) 5 3 = f) 3 6 = g) 2 10 = 3. Calcula las siguientes sumas de potencias (recuerda que lo primero es calcular las potencias): a) = b) = c) = 4. Resuelve los siguientes productos (lo primero es calcular las potencias): a) = b) = c) = Bloque IX. Tema 3, Página 3 de 10

4 Otro ejemplo: Un virus se triplica cada hora y muere. Si comenzamos con una población de 2000 virus, cuántos habrá al cabo de un día? La solución la podemos encontrar en la siguiente tabla: Hora h Nº virus h Esta fórmula nos servirá para calcular la cantidad de virus que habrá cuando hayan transcurrido un número cualquiera de horas, h. Si queremos saber los virus al cabo de un día, solo tendremos que sustituir la ha por 24, que son las horas de un día: = virus Más de 564 billones de bichitos puñeteros! Contesta 5. En el ejemplo anterior, cuántos virus habrá al cabo de 12 horas? 6. Y al cabo de 6 horas? Continuamos con nuestro ejemplo: Ahora nos hacemos la siguiente pregunta: cuántas horas deben transcurrir para que el número de virus sea de 1 millón aproximadamente? Ya hemos visto que el número de virus en función de las horas transcurridas se calcula con la fórmula: V = h Bloque IX. Tema 3, Página 4 de 10

5 Como queremos que el número de virus sea , igualamos: = h Se trata de despejar la incógnita h, para ello, pasamos 2000 dividiendo a la izquierda: Efectuamos la división: = 3 h = 3h Y ahora viene la novedad: cómo se despeja una incógnita que está en el exponente?. Esto no lo hemos hecho nunca, pero alguna vez tenía que ser la primera. h = log Esto tan extraño se lee: logaritmo de 500 en base 3 Y significa: número al que hay que elevar 3 para que el resultado sea 500 Y cómo se calcula? Pues esto es lo mejor: agarra tu calculadora, que será como esta: Localiza esta tecla y efectúa la siguiente operación: log 500 log 3 El resultado de esta división es la h buscada: h = 5, 65. Ponemos 6 horas y todos contentos. Por si te pica la curiosidad, la función que hemos utilizado es el logaritmo decimal, o lo que es lo mismo, el logaritmo en base 10. Ahora tendrás que calcular algunos logaritmos. Bloque IX. Tema 3, Página 5 de 10

6 Contesta 7. Calcula los siguientes logaritmos: a) log 2 16 = log 16 log 2 = b) log = log 250 log 5 = c) log 3 27 = log 27 log 3 = d) log = log 256 log 4 = 8. Calcula los siguientes logaritmos (y ahora no te pongo la ayudita): a) log 4 67 = b) log = c) log = d) log = 9. En un cultivo de bacterias se sabe que el número inicial de bacterias es de 120 y que se duplica cada hora y mueren. a) Completa la siguiente tabla: Horas Bacterias = 240 b) Cuántas bacterias habrá al cabo de 6 horas? c) Sabrías escribir una fórmula para calcular el número de bacterias pasadas h horas? Bloque IX. Tema 3, Página 6 de 10

7 10. Suponiendo que has completado bien el apartado c del ejercicio anterior, contesta a la siguiente pregunta: cuánto tiempo ha de transcurrir para que el número de bacterias sea ? El logaritmo también se puede dibujar Puedes comprobar que los puntos gruesos corresponden a los siguientes valores: 1) log 2 1 2) log 2 2 3) log 2 4 4) log 2 8 Es decir, esta gráfica corresponde a la función logarítmica: y = log 2 x Si te das cuenta, el crecimiento logarítmico es mucho más suave que el crecimiento exponencial. Vamos a continuar haciendo cálculos, incluso con decimales, que también tienen derecho. Bloque IX. Tema 3, Página 7 de 10

8 Contesta 11. Calcula las siguientes operaciones con potencias: a) 0,75 6 = b) 150 0,45 7 = c) 235 1,5 10 = 12. Calcula los siguientes logaritmos: a) log 0,5 27 = b) log 0,2 250 = c) log 0,4 243 = 3.- Las matemáticas miden los efectos de las drogas Estudiemos un caso que, desgraciadamente, no es inventado. El sábado por la noche, Perico se metió un par de rayitas de cocaína (150 mg). Después del subidón, se le fueron pasando los efectos. Supongamos que cada hora que pasa el organismo de Perico es capaz de eliminar la cuarta parte de la cocaína que tiene en sangre. a) Cuánto tiempo ha de pasar para que no se detecte en un análisis (menos de 0,3 mg) b) Cuánto tardará su organismo en eliminar toda la cocaína que ha tomado? Solución: Hay que tener en cuenta que cada hora que pasa, la sangre de Perico tiene tres cuartas partes de la cocaína que tenía la hora anterior. Este número, puesto en forma decimal (que es más cómodo) es igual a 0,75. Con esta información podemos construir una tabla: Bloque IX. Tema 3, Página 8 de 10

9 Horas Cocaína (mg) ,75 1 = 112, ,75 2 = 84, = 63,28 Observa que cada hora que pasa le queda menos cocaína en la sangre, como era de esperar (a no ser que se meta otra raya). Es fácil comprobar que al cabo de h horas la cantidad de cocaína que queda en su organismo es de C = 150 0, 75 h a) Cuánto tiempo ha de pasar para que no se detecte en un análisis? Pues cuando la cantidad anterior sea igual a 0,3, es decir: 0, 3 = 150 0, 75 h Empezamos a resolver la ecuación, despejando y dividiendo: 0, = 0, 75h 0, 002 = 0, 75 h Ahora despejamos la incógnita, con la operación que ya conocemos: h = log 0,75 0, 002 Aplicamos el cambio que hemos visto: h = log 0, 002 log 0, 75 = 21, 6 Es decir, aproximadamente 21 horas y media. b) Cuánto tiempo tardará en desaparecer por completo la cocaína de su sangre? En este caso tendremos que igualar la fórmula a cero, es decir: Despejamos y dividimos: Despejamos la incógnita: 0 = 150 0, 75 h = 0, 75h 0 = 0, 75 h h = log 0,75 0 Bloque IX. Tema 3, Página 9 de 10

10 Calculamos: h = log 0 log 0, 75 El logaritmo de 0 no se puede calcular, me da error!! Contesta Las matemáticas le están diciendo a Perico que nunca se limpiará completamente de la porquería que se ha metido. 13. De un determinado tóxico se sabe que la cantidad inicial en sangre es de 200 mg y que se pierde una quinta parte cada hora que transcurre. Qué cantidad de tóxico habrá en sangre al cabo de 10 horas? 14. En el ejemplo anterior, cuánto tiempo ha de transcurrir para que la cantidad de tóxico en sangre sea de 100 mg? Bloque IX. Tema 3, Página 10 de 10