S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas
|
|
- José Luna Redondo
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 1 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas Ahora vamos a generalizar el procedimiento que hemos utilizado para resolver sistemas de una ecuación con una incógnita y de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Para empezar, debemos notar que cuando resolvimos un S.E.L. de 2 ecuaciones con dos incógnitas, en los métodos de eliminación (suma y resta), sustitución e igualación, el propósito que perseguimos siempre fue de transformar el S.E.L. en un problema de una ecuación lineal con una sola incógnita. Es decir, redujimos un problema nuevo a un tipo de problema que ya sabemos cómo resolver. En este caso haremos lo mismo. x + y + z = 6 x y + z = 2 Ejemplo 1 En este primer ejemplo utilizaremos el método de suma y resta. Para esto, primero debemos decidir qué variable vamos a eliminar. Por ejemplo, podemos eliminar la variable z. Sumamos las primeras dos ecuaciones del S.E.L.: x + y + z = 6 2 x + 2 y = 6 Así hemos obtenido una ecuación que tiene solamene las variables x, y. Podemos simplificar la ecuación dividiendo ambos lados de la igualdad entre 2 y obtener: x + y = 3 A esta nueva ecuación la llamaremos la ecuación A Ahora vamos a sumar las ecuaciones dos y tres: Esta última ecuación implica que 1 x = 1. x y + z = 2 2 x = 2 De la ecuación A sabemos que x + y = 3, pero x = 1, por lo que necesariamente, y = 2. De la primera ecuación del S.E.L. y con los valores de las variables x, y podemos encontrar el valor de la variable z. Para esto, sustituimos los valores que ya conocemos en cualquiera de las ecuaciones del S.E.L.. x + y + z = z = 6 1 Traduce a palabras la ecuación para encontrar su solución. z = 6 3 = 3
2 2 Entonces, la solución del S.E.L. es: x = 1, y = 2, z = 3. Vamos a verificar la solución: x + y + z = = = 0 x y + z = = 2 Al resolver un S.E.L. de 3 ecuaciones con 3 incógnitas podemos usar cualquiera de los métodos que ya hemos estudiado. En el siguiente ejemplo aplicaremos el método de sustitución. Ejemplo 2 x + y + z = 10 x y + z = 6 Iniciamos despejando la variable x de alguna de las ecuaciones. Elegimos la segunda ecuación: x = z y Ahora sustituimos este valor de x en las otras dos ecuaciones. Empezamos sustituyendo en la primera ecuación: (x) + y + z = 10 (z y) + y + z = 10 2 z = 10 z = 5 Por suerte hemos encontrado el valor de z. Ahora vamos a sustituir el valor de y en la tercera ecuación: x y + z = 6 (z y) y + z = 6 2 y + 2 z = 6 Esta última ecuación puede simplificarse si dividimos entre dos ambos lados de la igualdad: y + z = 3 Pero ya sabemos que z = 5, por lo que: y + z = 3 y + 5 = 3 Implica que y = 2.
3 3 Para encontrar el valor de x utilizamos el primer despeje que hicimos: x = z y x = 5 2 = 3 Con lo que la solución del S.E.L.es: x = 3, y = 2, z = 5. Vamos a verificar el resultado: x + y + z = = = 0 x y + z = = 6 Igual pudimos haber sustituido el valor de la variable z que encontramos al inicio y simplificar el problema aún más. El siguiente ejemplo se resuelve con el método de igualación. x + y + z = 10 x + y z = 4 x y + z = 8 Ejemplo 3 Empezamos despejando la variable x de dos ecuaciones. Elegimos las primeras dos ecuaciones del S.E.L.: x + y + z = 10 x = 10 y z x + y z = 4 x = 4 y + z Ahora igualamos esos despejes y obtendremos una ecuación: x = 10 y z = 4 y + z 6 = 2 z Que implica z = 3. Ahora vamos a simplificar el problema. En la siguiente igualación, vamos a sustituir el valor que ya conocemos. Despejamos x de nuevo, pero ahora de las últimas dos ecuaciones: x + y z = 4 x = 4 y + z x y + z = 8 x = 8 + y z Y al igualar obtenemos: x = 4 y + z = 8 + y z 2 y + 2 z = y + 2 z = 4
4 4 Simplificamos la ecuación dividiendo entre dos ambos lados de la igualdad: Pero ya sabíamos que z = 3, por lo que y = 1. y + z = 2 Finalmente, podemos encontrar el valor de la variable x a partir de cualquiera de los despejes: x = 8 + y z x = = 6 Ahora verificamos que la solución sea correcta: x + y + z = = 10 x + y z = = 4 x y + z = = 8 El siguiente ejemplo se resuelve a través del método de los determinantes. Para esto, primero definimos cómo encontrar un determinante de tres por tres. Definición 1 Determinante de tercer orden Se calcula con la siguiente relación: a b c d e f = (a)(e)(i) + (d)(h)(c) + (g)(b)( f ) (c)(e)(g) ( f )(h)(a) (i)(b)(d) g h i Ejemplo 4 x + y + z = 10 x + y z = 4 x y + z = 2 Primero encontramos el determinante principal del S.E.L.: = = (1) + ( 1) + ( 1) (1) (1) (1) = Dado que = 0, el S.E.L. tiene solución única. Ahora calculamos los determinantes auxiliares para cada una de las variables. Recuerda que en cada caso sustituimos la columna de las constantes por la columna de la variable correspondiente. Empezamos calculando el determinante auxiliar en x: x = = (10) + ( 4) + ( 2) (2) (10) (4) =
5 5 Ahora calculamos el determinante auxiliar en y: y = = (4) + (2) + ( 10) (4) ( 2) (10) = Y finalmente, calculamos z : z = = (2) + ( 10) + (4) (10) ( 4) (2) = Ahora podemos calcular el valor de cada una de las variables: x = x = 12 4 = 3 y = y = 16 4 = 4 z = z = 12 4 = 3 Ahora verifica que la solución sea correcta. El siguiente ejemplo es una aplicación sencilla de los S.E.L. s de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Aarón, Bernardo y Claudio están jugando canicas. Aarón y Bernardo tienen 2 canicas más que el doble de lo que tiene Claudio. Entre Aarón y Claudio tienen 7 canicas más de las que tiene Bernardo, y entre los tres juntan 47 canicas. Cuántas tiene cada uno de ellos? Ejemplo 5 Primero debemos escribir el S.E.L. que modela esta situación. El texto del problema nos dice que «Aarón y Bernardo tienen 2 canicas más que el doble de lo que tiene Claudio.» Esto significa que si sumamos las cantidades de canicas que tiene Aarón más las que tiene Bernardo, esto será igual al doble de las que tiene Claudio más dos. Matemáticamente, si A representa la cantidad de canicas que tiene Aarón, B las que tiene Bernardo, y C las que tiene Claudio, tenemos: A + B = 2 C + 2 Lo cual puede reescribirse de la siguiente forma: A + B 2 C = 2 La siguiente oración del problema dice: «Entre Aarón y Claudio tienen 7 canicas más de las que tiene Bernardo», esto es: A + C = B + 7 Que puede escribirse como: A B + C = 7.
6 6 La siguiente oración del problema dice: «Entre los tres juntan 47 canicas». Esto es: A + B + C = 47 Entonces, el S.E.L. que modela esta situación es: Ahora debemos resolverlo. A + B 2 C = 2 A B + C = 7 A + B + C = 47 Vamos a utilizar el método de los determinantes. Calculamos primero el determinante principal : = = ( 1) + ( 2) + (1) (2) (1) (1) = Dado que = 0, el S.E.L. tiene solución única. Así que podemos seguir calculando los determinantes auxiliares: A = = ( 2) + ( 14) + (47) (94) (2) (7) = B = = (7) + ( 94) + (2) ( 14) (47) (2) = C = = ( 47) + (2) + (7) ( 2) (7) (47) = Y a partir de estos valores podemos conocer cuánto tiene cada uno de ellos: A = A = 72 6 = 12 B = B = = 20 C = C = 90 6 = 15 Ahora verificamos que la solución sea correcta. Primera Condición: «Aarón (12) y Bernardo (20) tienen 2 canicas más que el doble de lo que tiene Claudio (15):» se cumple, porque: = 2 (15) + 2 Segunda Condición: «Entre Aarón y Claudio tienen 7 canicas más de las que tiene Bernardo:» se cumple, porque: =
7 7 Tercera Condición: «Entre los tres juntan 47 canicas:» se umple, porque: = 47 Entonces, Aarón tiene 12 canicas, Bernardo tiene 20 y Claudio tiene 15. Tres bombas de distintos colores se utilizan para llenar una piscina. Cuando trabajan solamente las bombas amarilla y blanca tardan 12 minutos. Cuando trabajan solamente las bombas blanca y café tardan 6 minutos y 40 segundos, es decir 6 + 2/3 minutos. Cuando trabajan las bombas amarilla y café tardan 7 minutos y medio, es decir, 7.5 min. Cuánto tardarán las tres en llenar la piscina trabajando juntas? Reto 1 Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se extrajo del libro Matemáticas II escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 17 de septiembre de Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org
Método de Sustitución
Método de Sustitución El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las
Más detallesInterpretación gráfica
Interpretación gráfica En la introducción de la sección Sistemas de Ecuaciones Lineales se presentó la interpretación gráfica (o geométrica) de la solución de un S.E.L.. Este tema está relacionado con
Más detallesEcuación general de la circunferencia
Ecuación general de la circunferencia Hasta aquí hemos calculado la ecuación de la circunferencia dejándola como la suma de binomios al cuadrado igualada a una constante positiva. Ahora vamos a ir un paso
Más detallesReglas del producto y del cociente
Reglas del producto y del cociente Al igual que la regla de la potencia, ya calculamos las fórmulas para calcular la derivada de un producto de dos funciones en la página?? y del cociente de dos funciones
Más detallesDistancia entre un punto y una recta
Distancia entre un punto una recta Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta. Distancia de un punto a una recta La fórmula para calcular
Más detallesIntegración de funciones trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este
Más detallesTécnicas de integración. Cambio de variable
Técnicas de integración En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere
Más detallesDenominadores con factores lineales
Denominadores con factores lineales uando al sumar dos fracciones algebraica obtenemos una nueva fracción con denominador que se puede factorizar hasta tener factores lineales, significa que los denominadores
Más detallesIntegral indefinida de funciones algebraicas
Integral indefinida de funciones algebraicas En esta sección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones. ( 1) d Ejemplo 1 Empezamos aplicando la regla (i) para separar
Más detallesEcuaciones exponenciales y logaritmicas
Ecuaciones exponenciales y logaritmicas Cuando hacemos preguntas relacionadas a funciones exponenciales o logaritmicas generalmente obtendremos una ecuación logarimica o exponencial. Elevé el número 3
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Variación inversa. entonces,
Variación inversa La función racional más sencilla es: Esta función en palabras nos dice que cuando x crece el valor de y decrece en la misma proporción. Por ejemplo, si el valor de x crece al doble, el
Más detallesMétodo de fórmula general
Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula
Más detallesMétodo de Igualación
Método de Igualación Ya vimos que la solución del S.E.L. debe ser tal que cuando sustituyamos los valores de las variables en cada ecuación obtengamos una igualdad verdadera. Entonces, el valor de x que
Más detallesDiferenciabilidad en un intervalo
Diferenciabilidad en un intervalo Ahora que conocemos cómo calcular la derivada de una función en un punto conviene hacer la pregunta más general: «Cómo podemos saber si una derivada se puede derivar en
Más detallesForma pendiente-ordenada al origen
Forma pendiente-ordenada al origen Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B(0, b), entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es b. Conociendo este punto es muy sencillo
Más detallesLa derivada como razón de cambio instantánea
La derivada como razón de cambio instantánea Observa que la razón de cambio instantánea es un límite: y(t + t) y(t) lim lim t 0 t t 0 t Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma normal
Forma normal Todavía nos falta una última forma de la ecuación de la recta que nos ayudará a estudiar el último tema de esta unidad. Ecuación de la recta en su forma normal La ecuación de la recta en su
Más detallesTeoremas de los límites
Teoremas de los límites Empezamos esta sección dando la definición de límite. Límite Sea y = f (x una función. Si podemos formar la sucesión x 1, x 2,, x n de valores de la variable x tales que cada uno
Más detallesEcuaciones ordinarias de la parábola
Ecuaciones ordinarias de la parábola En la sección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a utilizar la ecuación. Empezaremos estudiando las parábolas con vértice
Más detallesResolución de Ecuaciones de Segundo Grado
Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Ecuación de Segundo Grado Es una ecuación que se puede escribir de la forma: a x 2 + b x + c = 0 () donde a, b, c R, y a = 0. A la ecuación de segundo grado también
Más detallesEcuaciones de la tangente y la normal
Ecuaciones de la tangente la normal Ahora que sabemos cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva dada su ecuación, independientemente de que ésta sea una función o no lo sea, podemos
Más detallesSolución de un sistema de desigualdades
Solución de un sistema de desigualdades En la sección anterior tuvimos oportunidad de resolver desigualdades de dos variables. En el último ejemplo vimos nuestro primer sistema de desigualdades, que aunque
Más detallesCentro fuera del origen
Centro fuera del origen Ya conoces la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen. Si trasladamos el centro de la circunferencia h unidades a la derecha k unidades hacia arriba, obtenemos
Más detalles1 Razones y proporciones
1 Razones y proporciones Es muy importante que el estudiante comprenda por qué deben realizarse de esa manera los procedimientos. Por ejemplo, frecuentemente se explica la regla de tres cuando estudiamos
Más detallesEcuación ordinaria de la hipérbola
Ecuación ordinaria de la hipérbola Empezamos estudiando la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, que es la ecuación que se deduce anteriormente. Ahora vamos a utilizarla para calcular ecuaciones
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Método de despeje
Método de despeje Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones. Resuelve la siguiente
Más detallesMáximos y mínimos usando la segunda derivada
Máimos mínimos usando la segunda derivada Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular los máimos mínimos de funciones. Ya
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Lugares geométricos
Lugares geométricos En esta sección estudiaremos el concepto de lugar geométrico, concepto clave para el desarrollo del estudio de los conceptos de este semestre. Lugar geométrico El conjunto de todos
Más detallesParábolas con vértice fuera del origen
Parábolas con vértice fuera del origen En este apartado vamos a etender lo que estudiamos en la sección anterior. Ahora vamos a considerar parábolas con vértices fuera del origen. En estos casos, tendremos
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Polígonos
Polígonos En esta sección vamos a utlizar las fórmulas que a conocemos para calcular perímetros áreas de polígonos. Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos. alcula el
Más detallesLa derivada. Razón de cambio promedio e instantánea
La derivada En esta sección empezamos con el estudio del concepto más importante de este curso. La derivada, la cual vamos a definir más adelante, es una herramienta poderosísima que ayuda a ingenieros,
Más detallesOperaciones con polinomios
1 Operaciones básicas Operaciones con polinomios Cuando realizamos la suma de dos o más polinomios sumamos términos semejantes con términos semejantes. El estudiante al escuchar esto puede causarle confusión
Más detallesLímites de funciones
Límites de funciones Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla. Límites de funciones polinomiales y racionales 2 + 2 2 4 Ejemplo Sin el apoyo de las
Más detallesCoordenadas de un punto
Coordenadas de un punto En esta sección iniciamos con las definiciones de algunos conceptos básicos sobre los cuales descansan todos los demás conceptos que utilizaremos a lo largo del curso. Ejes Coordenados
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces,
Más detallesDerivadas de orden superior
Derivadas de orden superior Ya habrás observado que al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por ejemplo, la derivada de la función y = x 2 es y = 2 x. Observa que y es otra función, generalmente
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma general
Forma general La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas. En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación
Más detallesSISTEMA DE 2 ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS Debemos tener, al menos, tantas ecuaciones como incógnitas para poder hallar éstas. Cuando al resolver un problema nos encontramos con dos incógnitas relacionadas
Más detallesFunciones crecientes y decrecientes
Funciones crecientes y decrecientes Ahora estudiaremos el comportamiento de la función a partir de la derivada. Hasta ahora hemos calculado máximos y mínimos de funciones. También sabemos que cuando f
Más detallesÁngulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercer recta que no es paralela a ellas, se forman varios ángulos de interés. La secante a una curva
Más detallesConstante de integración
Constante de integración Cuando impongamos una condición que deba satisfacer la antiderivada de la función dada, por ejemplo, que pase por un punto dado, tendremos la posibilidad de reducir toda una familia
Más detallesAplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales
Aplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que aquí nos enfocaremos más a problemas de economía,
Más detallesCongruencia de triángulos
Congruencia de triángulos Como habrás observado, la idea de que dos segmentos o dos ángulos tienen la misma medida sirve mucho para demostrar teoremas en geometría. Igualmente, cuando dos triángulos tienen
Más detallesTEMA 5 ANEXO II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEMA 5 ANEXO II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A) INTRODUCCIÓN Una ecuación puede tener dos incógnitas. Después de simplificar nos queda una ecuación del tipo ax + by = c, donde x e y son las incógnitas,
Más detallesConversión de la forma general a la forma ordinaria
Conversión de la forma general a la forma ordinaria Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables
Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función logarítmica
Función logarítmica Ya hemos definido la función eponencial. Supongamos que sabemos que =, deseamos conocer qué valor debe tener para que la igualdad sea verdadera. En otras palabras, deseamos conocer
Más detallesTriangulación de polígonos. Perímetros y áreas
Triangulación de polígonos Para calcular el área de un polígono de n lados nos apoyaremos en la fórmula para calcular el área de un triángulo. Empezamos dibujando n diagonales que partan de un mismo vértice:
Más detallesDefinición y Clasificación de Polígonos. Definición
Definición y Clasificación de Polígonos Además del triángulo hay una gran cantidad de otras figuras geométricas delimitadas por segmentos de recta que son importantes en geometría. Definición Polígono
Más detallesDesigualdades con una incógnita
Desigualdades con una incógnita Nosotros utilizaremos las propiedades de las desigualdades para epresarlas de la manera más simple posible. Resuelve la desigualdad: 5 1 > 24 Ejemplo 1 Empezamos sumando
Más detallesSeries y sucesión lineal
Series y sucesión lineal En la naturaleza muchas veces aparecen las sucesiones de números. Por ejemplo, cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, tuvo que inventar un conjunto de números que le sirviera
Más detalles1 Ecuaciones y propiedades de la recta
Ecuaciones propiedades de la recta Ecuaciones propiedades de la recta En esta sección estudiaremos la caracterización de la recta desde el punto de vista algebraico. A partir del concepto de pendiente
Más detallesCircunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntos En la sección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo calculamos el punto donde se intersectan las tres mediatrices de los lados de un triángulo. Este punto,
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Suma de ángulos
Suma de ángulos En esta sección vamos a demostrar algunos teoremas que nos ayudarán a resolver problemas más adelante. La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a 180 (n 2). Teorema
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES Ecuación es una igualdad que contiene por lo menos una incógnita, que se representa por medio de una letra, cuyo valor se debe averiguar. Por ejemplo: 3x + 2 = 4 donde debemos calcular
Más detallesECUACIONES SIMULTÁNEAS
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 201 Lic. Manuel
Más detallesECUACIONES Y SISTEMAS: TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS
ECUACIONES Y SISTEMAS: TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS Una ecuación es una igualdad que contiene números, letras y operaciones, las letras se llaman incógnitas y dicha igualdad es cierta solamente para algunos
Más detallesLa diferencial como aproximación al incremento
La diferencial como aproximación al incremento Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproximaciones. Esta aproximación está basada en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial.
Más detallesSistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales Existen diferentes métodos de resolución: Método de sustitución. Método de reducción. Método de igualación. En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones
Más detallesTitulo: SISTEMAS DE ECUACIONES Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
Más detallesEc. rectas notables en un triángulo
Ec rectas notables en un triángulo omo recordarás del curso de geometría plana (segundo semestre), las rectas notables de un triángulo son: Medianas: Una mediana es la recta que pasa por el punto medio
Más detallesProblemas geométricos y algebraicos. Reglas de los exponentes
Problemas geométricos y algebraicos Aquí empezamos a estudiar los conceptos que más vamos a utilizar en los cursos de matemáticas. Los temas de esta unidad son los conceptos de álgebra que no debes olvidar.
Más detallesIDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS
REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 IDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones de las que se busca una solución común.
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Rectas. Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:
Rectas Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas: a partir de su ecuación, a partir de dos de sus puntos a partir del ángulo que forma con uno de los ejes su distancia al origen,
Más detallesDefiniciones I. Una solución de una ecuación son aquellos valores que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta.
Ecuaciones Definiciones I Una ecuación es una igualdad algebraica que se verifica únicamente para un conjunto determinado de valores de las variables o indeterminadas que forman la ecuación. a + b 2 =
Más detallesTEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ 6.00. Cuánto
Más detallesSistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que queremos en ellas es encontrar su solución común. a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c La solución de un sistema es
Más detallesTEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES
TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES. Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco. Manuel González de León. CURSO 2011-2012 Página 1 de 11 Profesor: Manuel González de León Curso
Más detallesFunciones especiales
Funciones especiales En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático. Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.
Más detallesInt. indefinida de funciones exponenciales
Int. indefinida de funciones exponenciales Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones exponenciales de la forma: y = e v y y = a v Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de
Más detallesEntonces la regla de tres simple se utiliza para calcular magnitudes o cantidades proporcionales.
REGLA DE TRES SIMPLE La regla de tres simple es una herramienta muy útil y a la vez muy fácil de usar. La utilizamos diariamente, por ejemplo, cuando deseamos saber cuánto costarán 3 kg de naranjas, si
Más detallesSistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas 1. Método de igualación 1) a + b = 9 a b = 1 } Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Suele ser mejor utilizar la que tenga los
Más detallesTema 3: Ecuaciones. 1.- Ecuaciones de primer y segundo grado. 2.- Ecuaciones del tipo.
Tema 3: Ecuaciones. En este tema, estudiaremos las denominadas ecuaciones, que no son más que igualdades entre expresiones algebraicas, junto con una incógnita que debemos encontrar. Empezaremos dando
Más detallesInterpretación geométrica de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada Ya estudiamos una interpretación geométrica de la razón de cambio instantánea. Ahora vamos a profundizar un poco más en este concepto recordando que la derivada
Más detallesTema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Sistemas Lineales pueden ser de No lineales Gráficamente Ecuaciones se clasifican se resuelven Algebraicamente Compatible determinado Compatible indeterminado
Más detallesTEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES
TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1 Ecuaciones lineales con dos incógnitas Actividades página 111 1. Obtén dos soluciones de cada ecuación y representa las rectas correspondientes. b) x y Esto se lee como
Más detallesSistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 está compuesto por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, de tal manera que se trata de encontrar
Más detallesMATEMATICA. Facultad Regional Trenque Lauquen
Qué es el álgebra? Es el manejo de relaciones numéricas en los que una o más cantidades son desconocidas, incógnitas, a las que se las representa por letras, por la cual el lenguaje simbólico da lugar
Más detallesDesigualdades de dos variables
Desigualdades de dos variables Ahora vamos a estudiar un caso más general. Cuando graficamos la ecuación: obtenemos una recta en al plano. + = 0 Cada punto que está sobre la recta satisface la ecuación.
Más detallesTEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas
TEMA 6 Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas 1. Ecuación de Primer grado con dos incógnitas Vamos a intentar resolver el siguiente problema: En una bolsa hay bolas azules y rojas,
Más detallesTEMA: 7 SISTEMAS DE ECUACIONES 3º ESO UNA ÚNICA SOLUCIÓN SCI 0=0 INFINITAS SOLUCIONES. 0=nº NO TIENE SOLUCIÓN
TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES º ESO 1. TIPOS DE SOLUCIONES SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO SCD UNA ÚNICA SOLUCIÓN SE CORTAN EN UN PUNTO SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO SCI 0=0 INFINITAS SOLUCIONES COINCIDENTES
Más detallesCONSTRUCCIÓN DE FÓRMULAS DE FUNCIONES LINEALES
CONSTRUCCIÓN DE FÓRMULAS DE FUNCIONES LINEALES En este apartado aprenderemos a construir la fórmula de una función lineal, a partir de tener algunas características de ellas como datos. Veremos, cómo armamos
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES CONCEPTOS Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones que se pueden escribir de la forma: f1( x1, x,..., xn) = 0 f( x1, x,..., xn) = 0... fm( x1, x,...,
Más detallesTema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice
Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice 1. ECUACIONES... 2 1.1. Ecuaciones de primer grado... 2 1.2. Ecuaciones de segundo grado... 3 1.2.1. Ecuación de segundo grado completa...
Más detallesBloque 1. Aritmética y Álgebra
Bloque 1. Aritmética y Álgebra 12. Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático
Más detallesSistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas 1. Método de reducción 1) a + b = 9 a b = 1 } Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos: Regla del producto: dividimos entre 2 2a = 10 a = 5 Para
Más detallesSistema de ecuaciones Lineales
Sistema de ecuaciones Lineales Sistemas Es el co n ju nt o de e cu ac io ne s qu e ve ri fi ca n simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas. Solución de un sistema Conjunto de valores de
Más detallesx = 4/9 x = 4/9 ; y = 2/9
MÉTODO DE REDUCCIÓN (Triangulación) 004 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: RESOLUCIÓN (5) x y (1 ) + y = 5x 10y + y = 9y = 9y = y = /9 x y + y = Calculamos el valor de la otra incógnita, de nuevo,
Más detallesTEMA 3. Algebra. Teoría. Matemáticas
1 1 Las expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son operaciones aritméticas, de suma, resta, multiplicación y división, en las que se combinan letras y números. Para entenderlo mejor, vamos
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES 2 X 2 MÉTODO POR DETERMINANTES
SISTEMAS DE ECUACIONES 2 X 2 MÉTODO POR DETERMINANTES Tenemos estas dos ecuaciones y debemos encontrar el valor de x así como el de y ya que no son de la misma especie (no son la misma letra) y no se pueden
Más detallesTRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte)
TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte) 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.-) Dados los polinomios: P(x) = 3x 2 + 3x - 1, Q(x) = 3x 2 + 2x + 1 y R(x) = -x 3 + 2x 2 +1. Calcular: a) P - Q R
Más detallesEcuaciones, inecuaciones y sistemas
008 _ 00-0.qd 9/7/08 9:7 Página 0 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas INTRODUCCIÓN Para resolver ecuaciones de primer grado aprendemos a transponer términos, resolviendo ecuaciones de primer grado con
Más detallesSi a los lados de un cuadrado se les aumenta el 10% de su medida. en qué porcentaje se incrementa su área?
Ejercicio 75 Si a los lados de un cuadrado se les aumenta el 10% de su medida. en qué porcentaje se incrementa su área? Respuesta Si el lado del cuadrado es x Area= lado por lado El área del nuevo cuadrado
Más detallesIDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS
OBJETIVO 1 IDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones de las que se busca una solución
Más detallesEjercicios resueltos de ecuaciones lineales Ejercicios propuestos por los usuarios del canal de YouTube. 1) Resuelve estas ecuaciones de grado 1
Ejercicios resueltos de ecuaciones lineales Ejercicios propuestos por los usuarios del canal de YouTube 1) Resuelve estas ecuaciones de grado 1 1) Iceking Contreras nos pregunta por esta ecuación: (.1x
Más detallesTEMA 7: Sistemas de ecuaciones
TEMA 7: Sistemas de ecuaciones 7.1 Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones Ejemplo 1. Encuentra soluciones para la siguiente ecuación de primer grado con dos incógnitas: 5 a., 0, 5 Si sustituimos en
Más detallesTEMA 3. Algebra. Teoría. Matemáticas
1 1 Las expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son operaciones aritméticas, de suma, resta, multiplicación y división, en las que se combinan letras y números. Para entenderlo mejor, vamos
Más detallesIDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS
7 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 IDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales con
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS La ecuación ax + b c es una ecuación lineal con dos incógnitas. Las incógnitas son x e y, a y b son los coeficientes de las incógnitas
Más detalles