Límites de funciones
|
|
- Francisca Prado Araya
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Límites de funciones Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla. Límites de funciones polinomiales y racionales Ejemplo Sin el apoyo de las propiedades de los límites que se acaban de mencionar, empezaríamos realizando la suma de fracciones algebraicas que está indicada en la función. Mejor calculamos dos límites, aplicando la propiedad III El primero de los límites es inmediato, dado que al sustituir no obtenemos división entre cero: = 2 2 El segundo límite lo calculamos factorizando el denominador: = Ahora podemos simplificar la fracción, con lo que obtenemos: = = = 4 Así que: = = = 3 4 Se te queda como ejercicio verificar con el uso de una tabla de valores que el resultado es correcto Ejemplo 2 aplicando la propiedad V de los límites. Este problema se resolvió en la página??. /7
2 Aplicamos directamente la propiedad V de los límites para verificar el resultado: = + Y ambos resultados son correctos = 32 + = = 5 3 Observa que como en el numerador como en el denomimador tenemos funciones polinomiales, podemos sustituir directamente el valor al cual tienen las funciones. También debes notar que el denominador no se hace cero. Eso nos permite evaluar inmediatamente el límite. Sin embargo, algunos límites no eisten. Ejemplo aplicando la propiedad V de los límites. Este problema es parecido al anterior. Aplicamos directamente la propiedad V de los límites: 2 + = Pero no tiene sentido dividir entre cero. 2 + = 32 + = 2 0 Si tratamos de resolver el problema tratando de simplificar, nos damos cuenta que no podemos factorizar el binomio de 2 +. Esto nos indica que conforme nos acercamos a = la gráfica de la función y = 2 + crece mucho, porque precisamente en = esta gráfica tiene una asíntota. 2/7
3 f Cuando nos acercamos a = por la derecha, la función tiende a crecer infinitamente. Es decir, 2 + = + Por otra parte, cuando se acerca mucho a por la izquierda, la función se hace negativa y se va a menos infinito: 2 + = Si ambos límites laterales fueran iguales, por ejemplo, que ambos se fueran a +, entonces concluiríamos que el límite es ese valor. Pero no ocurre así, los dos límites laterales son distintos. Entonces, 2 + no eiste. Límite lateral Cuando calculamos el límite 0 f usando valores de tales que i < 0, entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la izquierda. Por otra parte, si calculamos el mismo límite pero usando valores de tales que i > 0, entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la derecha. Definición Cuando los dos límites son iguales decimos que el límite eiste y es igual al valor común obtenido en ellos. Cuando los límites laterales no coinciden decimos que el límite 0 f no eiste. 0 Ejemplo 4 3/7
4 Ya sabemos que la función y = / no está definida cuando = 0. Además, cuando es negativo, los valores de y que le corresponden también son negativos. Y cuando es positivo, los valores que le corresponden de y también son positivos. Cuando es muy cercano a cero, los valores de y crecen. Por ejemplo, considere, =, con k N, entonces: 0k = 0 k = 0 k = 0 k Conforme k crece, los valores de se acercan cada vez más a cero, porque = 0 k. Profesor: Haga notar que: Pero los valores de y se hacen cada vez más grandes: y = 0 k. Observa que > 0 implica que y > 0. Cuando sea negativo ocurrirá lo mismo, pero ahora los valores de y serán negativos. y que y = 0 k 0k = y y = Entonces, por una parte, el límite por la izquierda: Y el límite por la derecha: = = Como ambos límites son diferentes, el límite: no eiste. 0 Observa notación: f 0 la indica el límite por la izquierda, mientras que: f 0 + indica el límite por la derecha. 4/7
5 Es importante hacer notar que no todos los límites de funciones racionales cuando tiende a cero no eisten. El verdadero problema surge cuando el denominador de la función racional se hace cero. Entonces habrá que ver que los límites laterales coincidan. 0 2 Ejemplo 5 En este caso, la función tampoco está definida para = 0. De nuevo, la gráfica presenta una asíntota en = 0. Pero y siempre es positiva, porque aparece elevada al cuadrado. Esto nos indica que los límites laterales tienden a infinito los dos. Esto es evidente de la gráfica de la función: y y = El límite por la izquierda es: Y el límite por la derecha: Como ambos límites son iguales, 0 2 = = 0 2 = Ejemplo 6 5/7
6 Si empezamos sustituyendo = 3 en la función obtenemos una indeterminación: y3 = = 0 0 Así que lo que tenemos que hacer es factorizar: = Podemos escribir: = = Como el denominador no se hace cero en el último límite, podemos evaluar la función en = 3. También podemos justificar este resultado usando la propiedad V de los límites. Se te queda como ejercicio. Algunos límites parecen difíciles, pero no lo son. Ejemplo Si sustituimos = 2 en la función obtenemos cero sobre cero: y2 = = 0 0 Así que tenemos que simplificar la epresión si es posible. Recuerda que p p = p para cualquier valor p. Entonces, = = Ahora sí podemos evaluar el límite porque no tenemos división entre cero: 2 = 2 = 2 2 = 0 = Y terminamos. Debes tener en mente que no siempre basta con sustituir el valor al cual tiende. También hay que verificar que este valor esté en el dominio de la función. El dominio de la función y = 2 es: 2, porque el radicando debe ser no negativo para que la función asigne un valor a y. 6/7
7 El siguiente ejemplo termina el anterior. 2 2 Ejemplo 8 Primero debemos observar que = 2 es el mínimo valor que puede tomar para que la función y = 2 nos devuelva un valor para y. Por ejemplo, si =, obtenemos: y = 2 =. Como no nos devuelve un número real, decimos que no está definida para < 2. Esto nos hace imposible calcular el límite por la derecha de esta función. En otras palabras, el límite por la izquierda no eiste. Por otra parte, el límite por la derecha se puede calcular fácilmente. Dado que la función está definida para 2, tenemos: 2 = 2 2 = 0 = Pero para que el límite 2 eista, se requiere que los límites laterales sean iguales. 2 Como un límite lateral no eiste el izquierdo, es imposible que los dos límites laterales sean iguales y por eso 2 no eiste. 2 Profesor: Sugiera grafiquen función. que la La moraleja que debes aprender de los dos ejemplos anteriores es que no basta con simplificar y sustituir. Siempre tienes que tener en mente que para que el límite: f 0 eista, deben eistir los dos límites laterales por la izquierda y por la derecha: 0 f y + 0 En el caso de que la función no esté definida a la izquierda o a la derecha de 0 nos impide calcular el límite por ese lado, por lo que el límite no eiste. f Ejemplo 9 Ya sabemos que cuando 0, el cociente / no está definido. 7/7
8 Podemos hacer un cambio de variable, definiendo: u = /, entonces: u = u u + 3 La fracción en términos de u puede simplificarse si factorizamos el numerador: u u + 6 u = u + 2u + 3 u + 3 = u + 2 Y al regresar a escribirlo en términos de tenemos: = Profesor: Mencione que el denominador se hace cero cuando u = 3, que implica = /3. Esto puede descomponerse como una suma de límites, gracias a la propiedad III de los límites: = Por la propiedad I, tenemos: 0 2 = 2, pero ya sabíamos que 0 no eiste página 3. Entonces, el límite tampoco eiste. Limites de funciones trigonométricas En los siguientes ejemplos vamos a estudiar los límites de funciones trigonométricas que más frecuentemente se encuentran en la resolución de problemas en matemáticas, ingeniería, administración, ciencias sociales y otras ramas del conocimiento. Ejemplo 0 sin 0 Si sustituimos = 0 en la función, obtenemos cero sobre cero. Así que tendremos que utilizar otra forma. Primero nos basaremos en la gráfica para tener una idea y después utilizaremos una forma algebraica para verificar el resultado. 8/7
9 La gráfica de la función es la siguiente: y y = sin De la gráfica inmediatamente podemos concluir que el límite buscado es, es decir: sin = 0 Observa que la función no está definida para = 0 debido a la división entre cero. Ahora vamos a jusfiticar el resultado por medio de un método algebraico. Suponemos que es un ángulo medido en radianes, positivo. Si fuera negativo, el resultado puede calcularse por medio de este mismo método, recordando que sin = sin. Observa que: sin = sin de manera que al cambiar el signo de el resultado sigue siendo válido. Consideramos la siguiente figura: sin tan cos El área del triángulo inscrito al arco de circunferencia es menor al área del sector circular del arco de radianes. Igualmente el área del sector circular del arco es menor al área del triángulo más grande. 9/7
10 Así que se cumple la siguiente desigualdad: Área interno A sector Área eterno 2 sin cos 2 2 tan Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre 2 sin, obtenemos: cos sin cos Cuando se acerca mucho a cero cos se acerca mucho a. Entonces, cuando tiende a cero, tenemos que: sin El recíproco sin, por tanto, debe también tender a uno: sin = 0 Con este resultado podemos calcular otros límites de funciones trigonométricas. Ejemplo 0 sin2 sin3 Dado que se aproima a cero sin llegar a serlo, podemos multiplicar por 2 en el numerador y denominador de la función sin2. De la misma manera, multiplicamos por 3 en el numerador y denominador de la función sin3, así obtenemos: sin2 sin2 sin = 0 sin3 0 sin3 = 2 0 sin Ahora aplicamos las propiedades II y V de los límites para obtener: 2 sin2 sin2 2 sin = 0 sin3 3 sin3 = sin Ahora aplicamos el resultado que obtuvimos en el ejemplo anterior haciendo u = 2 y v = 3, con lo que tenemos: sin sinu sin2 0 2 u 0 u = = = 2 0 sin3 sin3 sinv 3 = v 0 v Profesor: Mencione que si 0, entonces u = 2 0 como v = /7
11 Entonces, 0 sin2 = 2 sin3 3 0 sin 2 3 tan2 Ejemplo 2 Necesitamos transformar la función a funciones cuyos límites ya conozcamos. En el primer paso multiplicamos por 3 2 en el numerador y en el denominador de la fracción: sin 2 3 tan2 = sin sin3 2 tan2 = tan2 El primer factor ya tiene la forma de un límite conocido, haciendo u = 3. Ahora recuerda que tan α = sin α cos α. Sustituyendo esta identidad en el segundo factor obtenemos: sin 2 3 tan2 = sin3 2 3 Este resultado puede reescribirse como: sin 2 3 tan2 = 9 Ahora ya podemos calcular el límite: sin tan2 9 sin2 cos2 = sin3 2 2 cos2 3 2 sin2 = 9 2 = sin3 2 3 sin3 2 9 cos2 3 sin2 sin sin2 cos2 2 sin2 cos2 Aplicamos las propiedades de los límites para simplificar el cálculo: sin sin3 2 = 0 tan sin2 cos2 = 9 sin sin2 cos2 = 9 sin cos sin2 0 = 9 sin sin2 cos2 0 2 = = /7
12 Entonces, 0 sin 2 3 tan2 = 9 2 Ejemplo 3 A través de una gráfica calcula: sin 0 La gráfica de la función y = sin es la siguiente: 0.5 y y = sin Observa que conforme se acerca a cero, / crece muy rápidamente. Entonces, podemos transformar el límite como sigue: sin = sin 0 Pero cuando se hace muy grande la función sin varía entre y. En otras palabras, no eiste una asíntota horizontal a la cual se aproime la función sin cuando tiende a infinito. Por tanto este límite no eiste. sin 0 = sin no eiste. El siguiente ejemplo está muy relacionado con el anterior. Ejemplo 4 sin 0 Vamos a empezar con la gráfica de la función para darnos una idea del resultado del límite: 2/7
13 0.5 y y = sin Al parecer tiende a cero. Vamos a justificarlo usando las propiedades de los límites. sin 0 = sin 0 0 Nosotros ya sabemos que el segundo factor siempre está en el intervalo [, ]. Como el primer factor se acerca mucho a cero, cuando tiende a cero estaremos multiplicando un número muy pequeño por otro número en el intervalo [, ]. El resultado de ese producto debe ser un número muy cercano a cero, como lo muestra la gráfica de la función. Estrictamente hablando, Entonces, el límite es: = 0 0 sin = 0 0 Hay muchas aplicaciones en diferentes ramas de las ciencias de los límites de funciones trigonométricas. En este apartado solamente hemos eplicado los más frecuentes y los que te pueden dar una idea de cómo resolver límites de funciones trigonométricas. Otras funciones que hemos estudiado en otros semestres son las funciones eponenciales y las logarítmicas. Limites de funciones eponenciales y logarítmicas 2 0 Ejemplo 5 Las funciones eponenciales están definidas para todo real. Cuando = 0, 2 =. Entonces, si hacemos que los valores de se acerquen a 0, esperamos que 2 se acerque a. 3/7
14 Matemáticamente: 2 = 0 La gráfica nos muestra eso: f y = Ejemplo 6 e 0 De nuevo, cuando tiende a cero, e tiende a. Pero no queremos el límite de la función e cuando tiende a cero, sino de e. Así que aplicando las propiedades de los límites, obtenemos: e = e = = 0 La gráfica muestra el mismo resultado geométricamente: 4/7
15 y y = e Observa que cuando crece mucho, los valores de y tienden a. Observa que la gráfica siempre nos ayuda a verificar el resultado de calcular un límite. Sin embargo, también podemos calcular los límites sin necesidad de una gráfica. Dependiendo del caso, decidiremos si utilizar la gráfica para verificar el resultado que obtuvimos al calcular el límite o para ayudarnos a calcularlo. ln 0 Ejemplo 7 Cuando tiende a cero por la derecha, ln se va a. Pero por la izquierda, ln no está definida. De esto nos damos cuenta con la gráfica. Entonces, cuando tiende a cero, ln se va a, porque el signo menos refleja la gráfica respecto al eje. Aplicando las propiedades de los límites, podemos calcular el límite por la derecha: 0 ln + = = = Pero no podemos calcular el límite por la izquierda, porque la función ln no está definida para /7
16 Entonces, ln no eiste. 0 Ejemplo 8 ln 0 En este caso, dado que el argumento de la función siempre es no negativo, la función está definida para toda, ecepto en = 0. Cuando tiende a cero por la derecha, ln se va a. Igual ocurre por la izquierda, debido a la simetría de la función. Entonces, cuando tiende a cero, ln se va a, tanto por la izquierda como por la derecha. Luego, La gráfica de la función es la siguiente: ln = 0 y y = ln Ejemplo 9 La población de una especie de rata que vive en el mercado de un municipio se calcula con la siguiente fórmula: Pt = e.02t donde la población inicial es de 700 ratas t = 0, y t es el tiempo medido en días. Si no se utilizan raticidas para controlar la población, cuál será la población de ratas a los 30 días? Primero debes observar que el denominador de la función nunca se hace cero. Eso se debe a que: e.02t = = e.02t pero la función eponencial nunca toma valores negativos. Entonces, el denominador nunca se hace cero. Profesor: El modelo dado es ficticio. Pero las poblaciones de ciertas presentan especies comportamiento de éste. el 6/7
17 Luego, el límite: Vamos a calcularlo Pt = t 30 t e.02t eiste. Como la función está definida para toda t R, tenemos que evaluar la función en t = 30: Pt = t 30 t e.02t = = e.0230 Entonces, si en un mercado hay 700 ratas al inicio del mes, al final del mismo habrá 200 ratas. Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 200 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 0 de agosto de 200. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.m 7/7
0. Noción intuitiva de límite Noción intuitiva de límite Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal,
Más detallesTeoremas de los límites
Teoremas de los límites Empezamos esta sección dando la definición de límite. Límite Sea y = f (x una función. Si podemos formar la sucesión x 1, x 2,, x n de valores de la variable x tales que cada uno
Más detallesIntegral indefinida de funciones algebraicas
Integral indefinida de funciones algebraicas En esta sección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones. ( 1) d Ejemplo 1 Empezamos aplicando la regla (i) para separar
Más detallesReglas del producto y del cociente
Reglas del producto y del cociente Al igual que la regla de la potencia, ya calculamos las fórmulas para calcular la derivada de un producto de dos funciones en la página?? y del cociente de dos funciones
Más detallesCálculo Diferencial. Efraín Soto Apolinar
Cálculo Diferencial Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 2010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Cálculo Diferencial Primera edición.
Más detallesTécnicas de integración. Cambio de variable
Técnicas de integración En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere
Más detallesInterpretación gráfica
Interpretación gráfica En la introducción de la sección Sistemas de Ecuaciones Lineales se presentó la interpretación gráfica (o geométrica) de la solución de un S.E.L.. Este tema está relacionado con
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función logarítmica
Función logarítmica Ya hemos definido la función eponencial. Supongamos que sabemos que =, deseamos conocer qué valor debe tener para que la igualdad sea verdadera. En otras palabras, deseamos conocer
Más detallesClasificación y transformación de funciones
Clasificación transformación de funciones En esta sección vamos a conocer la forma en como se han clasificado las funciones para su estudio. También vamos a conocer ciertas funciones que «hacen la transformación
Más detallesDiferenciabilidad en un intervalo
Diferenciabilidad en un intervalo Ahora que conocemos cómo calcular la derivada de una función en un punto conviene hacer la pregunta más general: «Cómo podemos saber si una derivada se puede derivar en
Más detallesDistancia entre un punto y una recta
Distancia entre un punto una recta Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta. Distancia de un punto a una recta La fórmula para calcular
Más detallesIntegración de funciones trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Lugares geométricos
Lugares geométricos En esta sección estudiaremos el concepto de lugar geométrico, concepto clave para el desarrollo del estudio de los conceptos de este semestre. Lugar geométrico El conjunto de todos
Más detallesCentro fuera del origen
Centro fuera del origen Ya conoces la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen. Si trasladamos el centro de la circunferencia h unidades a la derecha k unidades hacia arriba, obtenemos
Más detallesMáximos y mínimos usando la segunda derivada
Máimos mínimos usando la segunda derivada Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular los máimos mínimos de funciones. Ya
Más detallesEcuaciones de la tangente y la normal
Ecuaciones de la tangente la normal Ahora que sabemos cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva dada su ecuación, independientemente de que ésta sea una función o no lo sea, podemos
Más detallesDenominadores con factores lineales
Denominadores con factores lineales uando al sumar dos fracciones algebraica obtenemos una nueva fracción con denominador que se puede factorizar hasta tener factores lineales, significa que los denominadores
Más detallesLa derivada como razón de cambio instantánea
La derivada como razón de cambio instantánea Observa que la razón de cambio instantánea es un límite: y(t + t) y(t) lim lim t 0 t t 0 t Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos
Más detallesParábolas con vértice fuera del origen
Parábolas con vértice fuera del origen En este apartado vamos a etender lo que estudiamos en la sección anterior. Ahora vamos a considerar parábolas con vértices fuera del origen. En estos casos, tendremos
Más detallesCongruencia de triángulos
Congruencia de triángulos Como habrás observado, la idea de que dos segmentos o dos ángulos tienen la misma medida sirve mucho para demostrar teoremas en geometría. Igualmente, cuando dos triángulos tienen
Más detallesEcuaciones ordinarias de la parábola
Ecuaciones ordinarias de la parábola En la sección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a utilizar la ecuación. Empezaremos estudiando las parábolas con vértice
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Rectas. Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:
Rectas Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas: a partir de su ecuación, a partir de dos de sus puntos a partir del ángulo que forma con uno de los ejes su distancia al origen,
Más detallesSolución de un sistema de desigualdades
Solución de un sistema de desigualdades En la sección anterior tuvimos oportunidad de resolver desigualdades de dos variables. En el último ejemplo vimos nuestro primer sistema de desigualdades, que aunque
Más detallesEcuación general de la circunferencia
Ecuación general de la circunferencia Hasta aquí hemos calculado la ecuación de la circunferencia dejándola como la suma de binomios al cuadrado igualada a una constante positiva. Ahora vamos a ir un paso
Más detallesFunciones crecientes y decrecientes
Funciones crecientes y decrecientes Ahora estudiaremos el comportamiento de la función a partir de la derivada. Hasta ahora hemos calculado máximos y mínimos de funciones. También sabemos que cuando f
Más detallesS.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas
1 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas Ahora vamos a generalizar el procedimiento que hemos utilizado para resolver sistemas de una ecuación con una incógnita y de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Para
Más detallesForma pendiente-ordenada al origen
Forma pendiente-ordenada al origen Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B(0, b), entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es b. Conociendo este punto es muy sencillo
Más detallesCoordenadas de un punto
Coordenadas de un punto En esta sección iniciamos con las definiciones de algunos conceptos básicos sobre los cuales descansan todos los demás conceptos que utilizaremos a lo largo del curso. Ejes Coordenados
Más detallesResolución de Ecuaciones de Segundo Grado
Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Ecuación de Segundo Grado Es una ecuación que se puede escribir de la forma: a x 2 + b x + c = 0 () donde a, b, c R, y a = 0. A la ecuación de segundo grado también
Más detallestiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x
UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite L cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ) L, cuando al acercarnos
Más detallesEcuaciones exponenciales y logaritmicas
Ecuaciones exponenciales y logaritmicas Cuando hacemos preguntas relacionadas a funciones exponenciales o logaritmicas generalmente obtendremos una ecuación logarimica o exponencial. Elevé el número 3
Más detallesOperaciones con polinomios
1 Operaciones básicas Operaciones con polinomios Cuando realizamos la suma de dos o más polinomios sumamos términos semejantes con términos semejantes. El estudiante al escuchar esto puede causarle confusión
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Variación inversa. entonces,
Variación inversa La función racional más sencilla es: Esta función en palabras nos dice que cuando x crece el valor de y decrece en la misma proporción. Por ejemplo, si el valor de x crece al doble, el
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Polígonos
Polígonos En esta sección vamos a utlizar las fórmulas que a conocemos para calcular perímetros áreas de polígonos. Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos. alcula el
Más detallesLa derivada. Razón de cambio promedio e instantánea
La derivada En esta sección empezamos con el estudio del concepto más importante de este curso. La derivada, la cual vamos a definir más adelante, es una herramienta poderosísima que ayuda a ingenieros,
Más detallesEcuación ordinaria de la hipérbola
Ecuación ordinaria de la hipérbola Empezamos estudiando la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, que es la ecuación que se deduce anteriormente. Ahora vamos a utilizarla para calcular ecuaciones
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables
Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido
Más detallesTEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Más detallesGráficas de las funciones racionales
Gráficas de las funciones racionales Ahora vamos a estudiar de una manera geométrica las ideas de comportamiento de los valores que toma la función cuando los valores de crecen mucho. Es importante que
Más detallesRepartido 4. Profesor Fernando Díaz Matemática A 3ro E.M.T. Iscab 2016
Repartido 4 Profesor Fernando Díaz Matemática A 3ro E.M.T. Iscab 2016 6. Estudiar los límites laterales de las siguientes funciones en los puntos que anulan al denominador: A) B) 7. Estudiar la existencia
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. La función racional
La función racional Ahora estudiaremos una extensión de las funciones polinomiales. Las funciones racionales se definen a partir de las funciones polinomiales. Esta generalización es semejante a la que
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites
Más detallesDesigualdades con una incógnita
Desigualdades con una incógnita Nosotros utilizaremos las propiedades de las desigualdades para epresarlas de la manera más simple posible. Resuelve la desigualdad: 5 1 > 24 Ejemplo 1 Empezamos sumando
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma normal
Forma normal Todavía nos falta una última forma de la ecuación de la recta que nos ayudará a estudiar el último tema de esta unidad. Ecuación de la recta en su forma normal La ecuación de la recta en su
Más detallesMétodo de Sustitución
Método de Sustitución El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las
Más detallesProblemas geométricos y algebraicos. Reglas de los exponentes
Problemas geométricos y algebraicos Aquí empezamos a estudiar los conceptos que más vamos a utilizar en los cursos de matemáticas. Los temas de esta unidad son los conceptos de álgebra que no debes olvidar.
Más detallesApuntes de Límites de funciones
Apuntes de Límites de funciones En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y sus principales características. En este tema, introducimos la idea intuitiva de límite de
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma general
Forma general La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas. En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación
Más detalles1 Razones y proporciones
1 Razones y proporciones Es muy importante que el estudiante comprenda por qué deben realizarse de esa manera los procedimientos. Por ejemplo, frecuentemente se explica la regla de tres cuando estudiamos
Más detallesMétodo de fórmula general
Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula
Más detallesTEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales
Más detallesApuntes de Límites de funciones
Apuntes de Límites de funciones En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y sus principales características. En este tema, introducimos la idea intuitiva de límite de
Más detallesInterpretación geométrica de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada Ya estudiamos una interpretación geométrica de la razón de cambio instantánea. Ahora vamos a profundizar un poco más en este concepto recordando que la derivada
Más detalles1. Halla el dominio, el recorrido, las asíntotas y los límites e imágenes que se indican para cada gráfica. y asíntota vertical de:
Identificación gráfica de funciones, límites asíntotas Al observar la gráfica de una función es posible determinar gran cantidad de parámetros características de dicha función aunque no conozcamos su epresión,
Más detallesAplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales
Aplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que aquí nos enfocaremos más a problemas de economía,
Más detallesInt. indefinida de funciones exponenciales
Int. indefinida de funciones exponenciales Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones exponenciales de la forma: y = e v y y = a v Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de
Más detallesLímite de una Función
Cálculo _Comisión Año 06 Límite de una Función I) Límite Finito Muchas veces interesa analizar el comportamiento de los valores de una función, para valores de la variable independiente cercanos a uno
Más detallesTEMA 10.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD
TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES TEMA.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Una sucesión de números reales es un conjunto de números (a, a, a 3,...,
Más detallesGUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICE-RECTORADO ACADEMICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA AREA DE MATEMATICAS GUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III Prof. Orlando Baisdem Pérez Puerto Ordaz,
Más detallesLímite de una función
Idea intuitiva de límite Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesLímite de una función Funciones continuas
Límite de una función Funciones continuas Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 2014-2015 1 LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO. 3 1. Límite cuando la variable tiende
Más detallesSean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:
Límite de funciones. Cálculo Propiedades. Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces: En general calcular el límite de una función "normal", cuando
Más detallesDerivadas de orden superior
Derivadas de orden superior Ya habrás observado que al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por ejemplo, la derivada de la función y = x 2 es y = 2 x. Observa que y es otra función, generalmente
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. Sol: Sol: 0. Sol: 1/2 28) Sol: 4 30) Sol: Sol: 13. Sol: + Sol: 2/3. Sol: Sol: 1
) ) ) + 5 + + + + + + + + 5 + ) ( ) + 5) ( + ) + ) ( + ) + LÍMITES DE FUNCIONES ) 7) ( ) + + + / No eiste, porque vale si, y si + 8) ( ) + 9) 5 + 0) 5 + ) 5+ ) 5+ ) + 5+ ) 5) + + + ) + + + + + 7) + + 8)
Más detallesLÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos
Más detallesActividades resueltas
9 CAPÍTULO 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD. CONCEPTO DE LÍMITE Qué es un ite? Límite: lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremos capaces de acercarnos todo lo que queramos. En sentido
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático
Análisis Matemático Unidad 4 - Límite de una función en un punto Límite de una función en un punto El límite de una función para un valor de x es el valor al que la función tiende en los alrededores de
Más detallesPRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES
APUNTE TEORICO-PRACTICO PRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carreras: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero Año: 16 Introducción
Más detallesPRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES
APUNTE TEORICO-PRACTICO PRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carreras: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero Año: 15 Introducción
Más detallesÁngulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercer recta que no es paralela a ellas, se forman varios ángulos de interés. La secante a una curva
Más detallesTEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. LÍMITES EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores
Más detallesacademiavictorloza.com
1.- DEFINICIÓN intuitiva de LÍMITE DE UNA FUNCIÓN La idea de límite no es una idea sencilla o que aparezca intuitivamente. La célebre historia de Aquiles y la tortuga estuvo sin solución durante varios
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() = L, si al tomar cada vez valores más
Más detalles1.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. En ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproima una función cuando la variable
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesTema 5: Funciones. Límites de funciones
Tema 5: Funciones. Límites de funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar
Más detallesCURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,
RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan
Más detallestiene una rama infinita cuando x, f(x) o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto ( x, f ( x))
Matemáticas II Curso 03-04 6. Asíntotas Se dice que una función y f ( tiene una rama infinita cuando, f( o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto (, f ( ) se aleja infinitamente
Más detallesUn i d a d 2. Co n t i n U i da d. Objetivos. Al inalizar la unidad, el alumno:
Un i d a d Co n t i n U i da d Objetivos Al inalizar la unidad, el alumno: Identificará cuándo una función es continua en un punto y en un intervalo. Aplicará las operaciones de las funciones continuas
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS LÍMITES Y CONTINUIDAD ENTORNOS. a, donde δ es la. = x
MATEMÁTICAS BÁSICAS LÍMITES Y CONTINUIDAD ENTORNOS Se denomina entorno de un punto a en, al intervalo abierto ( δ a δ ) semiamplitud del intervalo. a, donde δ es la El entorno de a, en notación de conjuntos
Más detallesTEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD
TEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD. IDEA DE LÍMITE. La idea de lmite de una función f() cuando ésta tiende a un punto a, (se escribe f () ), es la del valor al que se acerca la función cuando vamos tomando
Más detallesTema 5: Funciones. Límites de funciones
Tema 5: Funciones. Límites de funciones 1. Concepto de función Una aplicación entre dos conjuntos y es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto un único elemento del conjunto. Una función
Más detalles5.3 Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(x): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + )
Tema 5: Funciones. Dominio, Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones 5.1 Concepto de Dominio de una función Función: es una regla que asigna a cada número real X un único número real Y. X Dom R Dom
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesFUNCIONES. entonces:
FUNCIONES. Si f ( ) para y g( ), entonces: + g f ( ), para + B) g f ( ), para + C) g f ( ), para + D) g f ( ), para + (Convocatoria septiembre 00. Eamen tipo B) La composición de funciones es una operación
Más detallestiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím ( x
UNIDAD.- ímite de funciones. Continuidad (tema del libro). ÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ), cuando al acercarnos
Más detalles1. Límites Algebraicos. 2. Límites Trigonométricos. 3. Límites al infinito
Dependiendo de la clase de límite con la que nos encontremos, tenemos diferentes procedimientos para resolverlos. Para aprender cada procedimiento, haga Click sobre el nombre respectivo: 1. Límites Algebraicos
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) Práctica 6 L Hospital. x x. lim
Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Caso cero sobre cero Veamos tres problemas de límites conocidos: Práctica 6 Parte Regla de L Hospital 3 3 3 sen(3) Los límites y se resuelven mediante
Más detallesTema 7. Límites y continuidad. 7.1 Definición de límite de una función
Tema 7 Límites y continuidad 7.1 Definición de límite de una función Sea f : I R, I R yseaa I un punto de acumulación de I, decimos que f() tiene límite l R en el punto a f() =l si ε > 0, η > 0: a < η
Más detallesUNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
Más detallesTema 10: Integral indenida
Tema 0: Integral indenida May 9, 07 Primitiva de una función Como hemos estudiado, la derivación nos permite encontrar la derivada de una función dada. Por ejemplo, si tenemos la función F () =, su derivada
Más detallesUNIDAD 8.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD (tema 11 del libro) tiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x.
UNIDAD 8.- ÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD (tema del libro). ÍMITE. ÍMITES ATERAES Diremos que una función y f () tiene por ite cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ), cuando al
Más detallesMostrará la convergencia o divergencia de funciones mediante el criterio de límite de una función en un punto.
Un i d a d Lí m i t e s Objetivos Al inalizar la unidad, el alumno: Mostrará la convergencia o divergencia de funciones mediante el criterio de límite de una función en un punto. Calculará límites de funciones
Más detallesConstante de integración
Constante de integración Cuando impongamos una condición que deba satisfacer la antiderivada de la función dada, por ejemplo, que pase por un punto dado, tendremos la posibilidad de reducir toda una familia
Más detallesInfinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito
OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes
Más detallesFUNCIONES REALES. D(f(x)) = R {Raices del denominador} { Indice impar D(f(x)) = D(g(x)) Indice par D(f(x)) = R {P untos del radicando negativo}
FUNCIONES REALES Una función real se define como una aplicación entre dos conjuntos de números reales. Esta aplicación asigna a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo conjunto.
Más detallesDefinición y Clasificación de Polígonos. Definición
Definición y Clasificación de Polígonos Además del triángulo hay una gran cantidad de otras figuras geométricas delimitadas por segmentos de recta que son importantes en geometría. Definición Polígono
Más detallesLímites y continuidad
CDIN06_MAAL_Límites Versión: Septiembre 0 Límites y continuidad por Sandra Elvia Pérez Después de haber repasado las funciones polinomiales, su dominio y rango, estamos listos para iniciar con el estudio
Más detalles