1.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

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2 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. En ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproima una función cuando la variable independiente toma valores "próimos a" un número real dado. Para ello es necesario introducir un nuevo concepto matemático, el de límite de una función en un punto.. Definición intuitiva de límite: Sean f) a a, b R b,y f) una función real de variable real; la epresión quiere decir que siempre que tome valores próimos al número a, tanto mayores como menores, los correspondientes valores de la función f, se aproiman al número b. Dando valores cada vez más próimos a los puntos indicados, estima el valor de los siguientes límites: a sen ) ) ) b) c) Ent ) Puede comprobarse fácilmente que: - en el caso a) el límite es 9 - en el caso b) el límite es - en el caso c) no eiste el límite, ya que la función se aproima a dos valores diferentes cuando la toma valores menores o mayores a. Véase la gráfica siguiente: Página de

3 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad. Límites laterales. Como se ha observado en el ejemplo c), en ocasiones la función alcanza valores diferentes por la derecha o por la izquierda de un punto. Por eso es necesario definir los límites laterales. Definición: Límite lateral de f) en a por la izquierda, es el valor b al que se aproima la función cuando la variable tiende al valor a, aproimándose por valores menores que a. Se denota f ) b. a El límite lateral de f) en a por la derecha, es el valor b al que se aproima la función cuando la variable tiende al valor a, aproimándose por valores mayores que a. Se denota f ) b. a Si los límites laterales de la función en un punto, eiste y coinciden, entonces diremos que eiste el límite de la función en ese punto, y coincide con ese valor. Es decir, si: eisten los límites laterales f ) y f ) a a y su valor coincide f ) a a f ), Entonces, f ) f ) f ) a a a Observa la gráfica de la siguiente función y di cuáles son los límites laterales de la función en. Calcula también f). f ) f ) f ) Como los límites laterales no coinciden, no eiste el límite de la función en Página de

4 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Ejercicio: Observa la gráfica y completa: a) fa ) f ) a b) fa ) f ) a c) fa ) f ) a d) fa ) f ) a e) fa ) f ) a a a a a a f ) f ) f ) f ) f ) f ) a f ) a f ) a f ) a f ) a Observando los resultados de los resultados anteriores, estudia el dominio, la imagen y la continuidad de la función.. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES El primer paso para el cálculo del límite de una función en un punto, consiste en sustituir el valor de la variable en la función, y realizar las operaciones indicadas. Pueden darse las siguientes situaciones:.- Se obtiene un valor real, que es el límite buscado..- Se obtiene una cantidad arbitrariamente grande, pero puede calcularse el límite..- Aparecen epresiones que no son reales, ni resulta inmediato saber a qué valor tiende el límite La epresión no es real, recibe el nombre de indeterminación Página de

5 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad En el cálculo de límites podemos encontrarnos las siguientes situaciones, que no son indeterminaciones, y es importante tener claro. Tipo k k Ejemplo k > k < k > < k < ) / / ) k k k > ) ) k < ) ) ) ) e e ) k ) Indeterminación: Es una epresión que no tiene sentido en R, y deberemos utilizar técnicas apropiadas para resolverla. Tipos de indeterminación: k, con k Veamos cómo resolver cada tipo de indeterminación. Página de

6 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad k.- Indeterminación, con k El resultado de esta indeterminación será ±, para saber qué valor le corresponde, hallaremos los límites laterales; si éstos coinciden, el límite toma dicho valor, en caso contrario, no eiste el límite No eiste.a- Indeterminación con funciones racionales Se resuelve factorizando numerador y denominador, simplificando, y calculando el límite en la epresión simplificada. ) ) ) ) ) ) ) ) ).b- Indeterminación con funciones irracionales Se resuelve multiplicando numerador y denominador por la epresión conjugada del radical o radicales que aparezcan, y se calcula el límite en la epresión simplificada. Página de

7 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad.c- Indeterminación con funciones trigonométricas. En otras ocasiones puede ser necesario utilizar otros recursos, véase el límite de esta función trigonométrica..- Indeterminación Se resuelve la indeterminación dividiendo numerador y denominador por la potencia de mayor grado de la variable que aparece en el denominador. Simplificamos la epresión y hallamos el límite de dicha epresión. Ejemplo : Con funciones irracionales) Ejemplo : Con funciones racionales) Se procede de la misma forma, pero en este caso podemos predecir el resultado del límite estudiando los grados de los polinomios numerador y denominador. P ) ) Q a) Si Grado[P) ] es mayor que Grado[Q)], el límite será dependiendo de los signos b) Si Grado[P) ] an numerador y denominador, esto es, bn c) Si Grado[P) ]es menor que Grado[Q)], el límite será ±, de los coeficientes principales de los polinomios Grado[Q)], el límite será el cociente de los coeficientes principales del Página 7 de

8 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Página 8 de Es decir: Ejemplos: ) a ) b ) c.- Indeterminación Suelen aparecer cuando hallamos el límite del producto de dos funciones f ) y g) y ) ) g y f a a resuelve la indeterminación operando, y simplificando hasta transformarla en una indeterminación del tipo o ) ) ) )

9 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Página 9 de.a Indeterminación con funciones racionales Se resuelve la indeterminación operando, y simplificando, normalmente se transforma en una indeterminación del tipo o o k 9 ) límite No eiste el b Indeterminación con funciones irracionales Se resuelve la indeterminación multiplicando y dividiendo por la epresión conjugada y se simplifica antes de hallar de nuevo el límite. ) ) ) ) ).c Indeterminación con funciones trigonométricas. Se resuelve la indeterminación transformando la epresión usando las relaciones entre las razones trigonométricas y simplificando. cos π π tg tg cos cos cos cos sen sen tg π π π La última indeterminación está resuelta en el caso.c)

10 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Página de.- Indeterminación Aparece al calcular [ ] ) ) ) ) ) g a g a a f f Para poder resolver esta indeterminación es necesario conocer el número e, que se obtiene como límite al que converge la sucesión cuyo término general es n n n a e n n n n /n)^n,,,7,,9,,,7,8,9,,7,9,7,7,7 Gráficamente: En general: Si ) f, entonces, e f f ) ) ) ) e e Este tipo de límites también pueden resolverse mediante esta epresión :

11 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad.- RAMAS INFINITAS: ASÍNTOTAS Y RAMAS PARABÓLICAS Cuando hacemos tender la a infinito, es decir, nos alejamos indefinidamente por el eje de abscisas a la derecha o la izquierda) la función puede tener distintos comportamientos: aproimarse cada vez más a una dirección asíntota) ó parecerse a una rama de parábola, sin tender a una dirección como límite rama parabólica). En la figura se observan algunos de los casos que analizaremos con detalle a continuación Observa la "peculiar definición de asíntota" de la izquierda. Refleja de una forma clara qué es asíntota: una recta, por lo tanto horizontal, vertical u oblicua, a la que se aproima cada vez más la función, sin llegar a tocarla. Página de

12 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad..- Tipos de asíntotas Asíntotas verticales: Éstas son las distintas situaciones que podríamos encontrar si f) está definida a ambos lados de a Criterio práctico: Las posibles asíntotas verticales de una función: racional, se localizan en los valores de donde se anula el denominador. logarítmica, se localizan en los puntos etremos de su dominio de definición. Nota: Una vez que sabemos dónde puede haber asíntotas verticales, hay que comprobar que el límite de la función en dicho punto es o. Para situar la función respecto a la asíntota vertical a, hallaremos los límites laterales en a. Podríamos encontrarnos todas estas situaciones al intentar hallar una asíntota vertical: Nota: Es muy importante que entiendas que la función jamás puede cortar una asíntota vertical. Página de

13 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Asíntotas horizontales: Si una función f) tiene Asíntota Horizontal en y l, se podrían dar las siguientes situaciones: Si observas las gráficas anteriores comprobarás que es muy importante saber si la función se aproima a la asíntota por encima o por debajo. Para situar correctamente la función respecto de la asíntota estudiaremos el signo que tiene f ) l cuando tiende a ±. Si f ) l) ± Si f ) l) > f) se sitúa sobre la asíntota cuando ± < f) se sitúa bajo la asíntota cuando ± ± Nota: A diferencia de lo que ocurre con las asíntotas verticales, en ocasiones la gráfica de la función puede cortar a una asíntota horizontal, ya que la función sólo se aproima a la recta cuando ±. Véase el segundo gráfico de los ejemplos anteriores). Página de

14 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Asíntotas oblicuas Es decir, la función no presenta asíntota horizontal, ya que f ) aproima a una recta oblicua de ecuación y m n no es finito, y se m es la pendiente de la recta n es la ordenada en el origen Para situar la función respecto a la asíntota estudiaremos el signo de f) - m n) cuando ± Si [ f ) m n) ] ± Si [ f ) m n) ] > f) se sitúa sobre la asíntota cuando ± < f) se sitúa bajo la asíntota cuando ± ± Nota: Si una función tiene asíntota horizontal cuando ±, entonces no tendrá asíntota oblicua. Por lo tanto como es más "sencillo" calcular las asíntotas horizontales, siempre las calcularemos antes y solo si no hay asíntotas horizontales, comprobaremos si tuviera asíntotas oblicuas. Criterio práctico: Una función racional presenta asíntotas oblicuas si el grado del numerador es uno más que el del denominador Página de

15 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Intuitivamente, diremos que una función es continua si podemos trazar o recorrer su gráfica sin levantar la mano del papel, ni encontrarnos ningún obstáculo indefiniciones, saltos, asíntotas...) Sin embargo, podemos estudiar de una forma más precisa la continuidad de una función en un punto, en un intervalo o incluso en su dominio de definición, y eso lo haremos a través de los límites...- Continuidad de una función en un punto..- Continuidad de una función en un intervalo abierto. Diremos que una función es continua en un intervalo abierto a, b) si lo es en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. Si la función es continua en todo su dominio, entonces diremos que la función es continua...- Operaciones de funciones continuas Si f) y g) son dos funciones continuas en a, podemos afirmar que: f) g) es continua en a f) g) es continua en a f ) es continua en a, siempre que ga) g ) fg)) es continua en a, si f es continua en ga)..- Propiedades de las funciones continuas: Las funciones polinómicas, eponenciales, logarítmicas, con radicales y trigonométricas son continuas en todo su dominio, luego presentarán discontinuidades en los puntos en los que no estén definidas, es decir, los que no pertenezcan al dominio de definición de la función, y por lo tanto en estos puntos habrá que estudiar con detalle y con ayuda de los límites el tipo de discontinuidad que presentan. Página de

16 º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad..- Tipos de discontinuidad Eisten varios tipos de discontinuidades: Las discontinuidades evitables se llaman así, porque podrían solventarse redefiniendo la función en un punto, bien porque no estuviera definida o bien porque la imagen de la función en dicho punto no coincide con el valor de los dos límites laterales en dicho punto, que son iguales y finitos. La función no está definida en La discontinuidad se evita redefiniendo: si f ) si > Página de