Veamos ahora el comportamiento de la función parte entera (f(x) = E(x)). Si x se aproxima a 2, a qué valor tiende f(x)?

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1 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. C O N C E P T O D E L Í M I T E D E U N A F U N C I Ó N E N U N P U N T O Consideremos la función f(x)x², cuya gráfica es una parábola. Si x se aproxima a, a qué valor se aproxima f(x)? Para tener una idea de la respuesta basta evaluar la función en puntos cada vez más próximos a, como en las tablas adjuntas: Por la izquierda de ( - ): x f ( x)?,9,99,999,9999 3,6 3,96 3,996 3,9996, 4,4, 4,4, 4,4 Por la derecha de ( +) : x + f ( x)?, 4,4 De aquí podemos deducir que al aproximarse x a (por la izquierda y por la derecha), los valores correspondientes de la función f(x) se aproximan a 4. Por tanto, el ite de la función f cuando x tiende a, es 4. Abreviadamente lo expresaremos así: f ( x) 4 x Veamos ahora el comportamiento de la función parte entera (f(x) E(x)). Si x se aproxima a, a qué valor tiende f(x)? Por la izquierda de ( - ): x f ( x)?,9,99,999, Por la derecha de ( +) : x + f ( x)?,,,, Observando las tablas de valores podemos deducir que los valores de f(x) no se aproximan a un valor fijo. Por la izquierda son iguales a, y por la derecha a. En este caso decimos que la función no tiene ite en x. Sin embargo, sí podemos concluir que el ite de la función a la izquierda de es, y el ite de la función a la derecha de es. Estos valores son los ites laterales y se representan así: f ( x), x - f ( x ) x + Una función f tiene ite en un punto cuando existen los dos ites laterales y son iguales. Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones -

2 . P R O P I E D A D E S D E L O S L Í M I T E S Veamos algunas propiedades de los ites que permitirán su cálculo sistemático: - El ite de una función en un punto, si existe, es único. k k - El ite de la función constante en un punto es la misma constante: x a xa - El ite de la función identidad en un punto es el valor de dicho punto: x a Si f ( x) y g ( x), entonces se verifica: existen x a x a - El ite de la suma f+g es igual a la suma de los ites. - El ite de la resta f-g es igual a la resta de los ites. - El ite de la función kf (k constante) es igual al producto de k por el ite de f. - El ite del producto fg es igual al producto de los ites. - El ite del cociente f/g es igual al cociente de los ites, si g ( x) ¹ x a - El ite de la potencia f(x) g(x) es igual a la potencia de los ites si f ( x) > x a 3. I N D E T E R M I N A C I O N E S Las propiedades anteriores nos indican cómo operar con ites tanto finitos como infinitos. A veces pueden aparecer expresiones inicialmente idénticas pero con un resultado diferente según las funciones que se operen. Estas expresiones se llaman indeterminaciones. x 4 Sean las funciones f(x) x²-4, g(x) x- y h (x) x. De la observación de sus gráficas se deduce que f ( x) y g ( x) x x Si aplicamos las propiedades de los ites, obtenemos: h( x) x x x ² - 4) x ² - 4 ( x x - ( x - ) x Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones -

3 Consideremos ahora las funciones f(x)x³-x, h(x)x- y g ( x) x³ - x. De la observación de las x - gráficas deducimos también que los ites de las dos funciones cuando x tiende a es. De nuevo, g ( x). si aplicamos las propiedades obtenemos: x En los dos casos obtuvimos la expresión, que no es ningún número pues no tiene sentido dividir h( x) 4 y g ( x). Por eso entre cero. Sin embargo, si observamos las gráficas, tenemos que x x decimos que la expresión es una indeterminación. También son indeterminaciones las siguientes expresiones: 4., -,,,, CÁLCULO DE LÍMITES - Límite de funciones polinómicas en xa: f ( x) P(a) Si f(x) P(x) an xn + + ax + a, x a ( x - ) - x - Límite de funciones polinómicas en el infinito: Si f(x) P(x) an xn + + ax + a, n¹, + f ( x ) x - si an > si an El cálculo de ites en menos infinito se reduce al caso anterior, pues f ( x) f ( - x). x - x ( x - ), ( - x - ) -, ( x - ) -, ( - x - ) x x x - x - Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 3

4 3- Límite de funciones racionales en xa: Si f ( x ) P ( x) Q( x) es una función racional, pueden darse tres casos: Si Q(a) ¹, f ( x ) x a x - P(a). Q(a ) x ³ - 7 x ² + 6 x ( -)³ - 7 ( -)² + 6 ( -) -7 - x - ( -) Si Q(a) y P(a), estamos en un caso de indeterminación del tipo. Para resolver esta indeterminación descomponemos los polinomios y simplificamos, calculando el ite de la expresión simplificada. x³ - 7 x² + 6x ( x ² - 6 x ) ( x - ) x² - 6 x 5 x - x x ( -) ( x - ) x - Si Q(a) y P(a), el ite es +, -, o no existe, dependiendo del signo de los ites laterales: - - x ² x + x - - -, pues x x² - x + y - - x ² x + x + 4- Límite de funciones racionales en el infinito: Si a x n a f ( x) n Q ( x ) b x m b m P( x), estamos en el caso de indeterminación. Sólo consideramos el cálculo de ites en más infinito, ya que en menos infinito se reduce al caso anterior. Se pueden dar tres casos: Si n< m, entonces: P( x) x + Q ( x ) 3x ² + x - x + x ³ - x + P( x) a n. Si n m, entonces x + Q ( x ) b m 3x³ + x - 3 x + 4 x ³ - x + 4 Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 4

5 Si n> m, entonces + P( x) x + Q ( x ) - si a n > b m si a n b m 3x ³ + x - - 3x³ + x - +, - x + 4 x ² - x + x + 4 x ² - x + Resolución de indeterminaciones: Ya vimos cómo resolver las indeterminaciones del tipo y, que se originaban al calcular ites de funciones racionales. Veremos, mediante ejemplos, cómo resolver otros casos sencillos de indeterminaciones, excepto las del tipo y. Calcula Se trata de una indeterminación -. En este caso la indeterminación se resuelve efectuando las operaciones indicadas, pues así se obtiene el ite de una función racional que ya sabemos calcular. Efectuando la diferencia, tenemos: Si la indeterminación surge al restar dos radicales, se resuelve multiplicando numerador y denominador por el conjugado de la expresión radical. Por ejemplo: ( x + x x +)( ) IND. x + Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 5

6 ( x +x x +) ( x + x x +) x + x + x x + - x + x + x + x + x + x + x + x+ x + x + x+ x + x + x - x + x + x + x + x - IND. x + x + x + x + Ahora esta indeterminación se resuelve como si fuese una función racional: x + x + x + x + x + La estrategia de multiplicar y dividir por el conjugado de una expresión con radicales también se utiliza en la resolución de otras indeterminaciones en las que aparecen radicales. x x x- IND x x x x x x x- x x x x x x x x x + x x- x x x x Indeterminación : Esta indeterminación se resuelve normalmente, reduciéndola a alguna de las anteriores con solo operar las expresiones. 5x + x - 4 IND. x - x x 5x + x x 3 + x - x - 4 IND. x - x x x - 4 x 3 - x 5 x 3 + x - x x - 4 x 3 - x 4 Indeterminación ± Para resolver esta indeterminación utilizaremos el siguiente resultado: f ( x) y g ( x) entonces el f ( x ) Si x x x ± g( x ) e λ Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 6

7 donde λ [ f ( x ) ] g( x ) x ± Exemplo: x + x - n + x + 3 x - + IND. x + x - x + x - - x + x-3 3x - - 3x - 3x - n + n + n + x + x + x + 3x - 8 x n + x + x + x - n + x + 3 x - e e3 5. A S Í N T O T A S D E U N A F U N C I Ó N Ramas infinitas son tramos de curva que se alejan indefinidamente. Para que haya una rama infinita, por lo menos una de las variables ha de tender a infinito. Cuando una rama infinita se aproxima a una recta, a esta se le llama asíntota de la curva. Según su inclinación, las asíntotas pueden ser de varios tipos: Asíntotas verticales: La recta xx es una asíntota vertical de una función f si se cumple alguna de las condiciones siguientes: Sea la función x 3 x f ( x ) x Las posibles asíntotas verticales son aquellos puntos donde se anula el denominador. No pertenecen, por tanto, al dominio de la función y nunca pueden ser atravesadas por la gráfica. x x± posibles asíntotas verticales No es asíntota vertical No es asíntota vertical Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 7

8 Entonces x - es una asíntota vertical. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: Puede suceder que los puntos de una gráfica se acerquen a una recta horizontal cuando x tiende a menos infinito o a más infinito. En el primer caso, diremos que la recta es una asíntota horizontal por la izquierda de la función; en el segundo, diremos que es una asíntota horizontal por la derecha. La recta yl es una asíntota horizontal de una función f si se cumple alguna de las condiciones siguientes: Si alguno de estos ites vale infinito o menos infinito, tenemos una rama infinita. Ejemplos: f ( x) x 3 - x x - x3 - x + pues x + x - x3 - x - pues x - x - x - x x + + x + x - x - x x - - x - x - No hay asíntota horizontal, tendremos una rama infinita. f ( x ) 3 x x + 3 x 3 x + x + 3 x 3 x x+ Entonces y3 es una asíntota horizontal. En principio la gráfica de una función no corta a la asíntota, pero en el caso de las asíntotas horizontales sí puede hacerlo cerca del origen de coordenadas. Esto no contradice la definición de asíntota, ya que las asíntotas horizontales explican el comportamiento de la función para valores muy grandes o muy pequeños. Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 8

9 Asíntotas oblicuas: La recta y mx + n, m ¹, es una asíntota oblicua de una función f si se cumple alguna de las condiciones siguientes: a) x - b) x + f ( x) x f ( x) x m e ( f ( x ) - mx ) n x - m e ( f ( x ) - mx ) n x + Si hay asíntotas horizontales no hay oblicuas. f ( x) x 3 - x x - m x [ x 3 x x x 3 x x x x 3 x ] x3 x x + x n x x x x x m x + n x + [ x 3 x x x 3 x x x + x 3 x ] x 3 x x + x x x x + x y x- es asíntota oblicua. Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 9

10 6. C O N T I N U I D A D D E F U N C I O N E S Concepto de función continua en un punto: Una función f es continua en un punto xa si el ite en ese punto coincide con el valor que toma la función en él: f ( x) f ( a ) x a La definición de continuidad de f en xa, implica que se cumplan las tres condiciones siguientes: ) Existe f(a). ) Existe el ite de la función en xa. 3) Los dos valores anteriores coinciden. Si una función no es continua en el punto x a, diremos que es discontinua en él. Ejemplos de funciones discontinuas: Continuidad en un intervalo: Una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) sí y sólo sí es continua en cada uno de los puntos del intervalo. Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] sí y sólo sí: a) f es continua en el intervalo abierto (a, b). b) f es continua por la derecha en x a ( x a + f ( x) f (a) ) c) f es continua por la izquierda en x b ( f ( x ) f (b) ) x b- Ejemplos: Veamos la continuidad de las siguientes funciones en su dominio: { ) f (x ) x x si x< si x<3 si x 3 Estudiamos lo que ocurre en el interior de los intervalos: x -, f ( x) función constante, continua en -,. x,3 f ( x) x - función polinómica, continua en (,3 ). x 3,+ f ( x) x - función polinómica, continua en ( 3,+ ). Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones -

11 Veamos ahora qué ocurre en los puntos donde rompe la función: Continuidad en x. f es discontinua en x Continuidad en x 3. f es discontinua en x3 Por tanto, f es continua en  - {,3} { x +4 ) f ( x ) x+3 x 5 si x si x> x -,- f ( x) x + 4 función polinómica, continua en -,-. x -,+ f ( x) x+3 función racional, continua en -,5 5,+. x-5 x - 5 x 5 -,+ no es continua en x 5. Continuidad en x. f es discontinua en x- Por tanto, f es continua en  - {-,5} { 3) f (x ) + x+ x + 5 si x si <x< si x x -, f ( x) + x + función radical, continua en su dominio: x + x - x -,+ -, -,+ -, f es continua en -,. x, f ( x) x + función polinómica, continua en,. x,+ f ( x) 5 función constante, continua en,+. Continuidad en x. f es continua en x. Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones -

12 Continuidad en x. f es continua en x. Por tanto, f es continua en [,+ ), pues en (, ) no está definida. 7. TIPOS DE DISCONTINUIDADES Según la condición de continuidad que no se cumpla, las discontinuidades pueden clasificarse de la siguiente forma: Discontinuidad evitable en xa: - Existen f(a) y el ite, que es finito, pero no coinciden. - Existe el ite, que es finito, pero no existe la función en a. Discontinuidad inevitable en xa: - De salto finito: Existen los ites laterales, que son finitos, pero no coinciden. - De salto infinito: Existen los ites laterales, pero por lo menos uno de ellos es infinito. - Esencial: Alguno de los ites laterales no existe. Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones -

13 EJERCICIOS. Calcula los ites de las siguientes funciones, cuando x tiende a 3 y a : a) f ( x) x² - 5 x + b) g ( x) x² + x - x - c) h( x) x² - x - 6 x² - 4 x + 3. A partir de la gráfica de f, calcula: 3. Considera la gráfica de la función f. Calcula los siguientes ites e indica en qué puntos f no es continua. 4. Calcula el valor de los siguientes ites: 5. Calcula los ites de las funciones siguientes en los puntos que se indican: a) en -, y. b) en y 3. c) en, y 3. Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 3

14 6. Dadas las funciones definidas a trozos calcula los siguientes ites y representa gráficamente: 7. Representa gráficamente las funciones siguientes, estudiando previamente la continuidad mediante ites: - si x - f (x ) si - x x si x > 8. Calcula los siguientes ites: Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 4

15 9. Calcula las asíntotas de las funciones: x² + x + b) g ( x) x - ( x + )²( x - 4) c) h( x) - x 6x + 3x² - 4 x² + 9 e) l ( x) x ² + 5 x ² - 5 f) m( x) 3x + x-4 a) f ( x) d) i( x). Calcula las asíntotas de las siguientes funciones y represéntalas sobre los ejes coordenados indicando la posición de la curva respecto de ellas. :. Estudia la continuidad y representa gráficamente las siguientes funciones:. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: 3. Estudia la continuidad de f en el intervalo [-,3]: Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 5

16 4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: 5. Calcula el valor de k para que la función sea continua en x -: 6. Calcula los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas: 7. Calcula en cada caso el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas en todo R: Matemáticas I Tema: Límites y continuidad de funciones - 6