Límites y continuidad

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1 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si, y sólo si, para cada ε > se tiene que E, ε) A. Es decir, es un punto de acumulación de un conjunto A si en cada entorno de hay otros puntos de A. De los puntos de A que no son de acumulación, se dice que son puntos aislados de A. Nota: Es decir, es punto de acumulación de A si cerca de siempre hay otros) puntos de A, por pequeño que hagamos el círculo de cercanía; en consecuencia, a un punto de acumulación de un conjunto siempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. Sólo así tiene sentido la definición del ite siguiente. Definición 9.- Sea f: A IR y sea IR un punto de acumulación de A. Se dice que el ite de la función f) cuando tiende a es L, y se representa por f) = L, también con f L, cuando ) si, y sólo si, para cada ε > eiste δ > tal que si A y < < δ, entonces f) L < ε. El significado de esta farragosa definición sería lo siguiente: el ite en de f es L si la imagen de cada cercano a está cerca de L. Puede quedar un poco más claro epresando esta crecanía mediante entornos: La definición anterior es, evidentemente, equivalente a: Diremos que el ite de la función f cuando tiende a es L si, y sólo si, para cada entorno de L, EL, ε), eiste un entorno reducido de, E, δ) tal que si A E, δ), entonces f) EL, ε). En la figura de la derecha vemos que, en efecto, para los puntos cercanos a en fondo rojo) sus imágenes en fondo rojo) están dentro de la cercanía de L fijada en fondo verde). L+ε L L ε δ +δ Ejemplo Para f: [, + ) IR dada por f) =, se tiene que f) =. Para cada ε >, tomamos δ = ε >, si [, + ) y < < δ, es decir, si < < ε se verifica que < ε = ε, pero esto es lo mismo que = = < ε. Nota: Para el ite no importa la función en el punto, sino su valor en puntos cercanos ponemos < < δ en la definición).,, = Así, f) = tiene f) = aunque f) =, ya que si y, la función toma los valores f) = en esos puntos y entonces f) = =. Y también la función g) = tiene por g) = =. f g El valor de la función en el punto es primordial sin embargo para el concepto de continuidad: Definición 93.- Sea f: A IR, se dice que f es continua en el punto A si, y sólo si, para cada ε > eiste δ > tal que si A y < δ entonces f) f ) < ε. Observación: Si el punto no está aislado, la definición es equivalente a que f) = f ).

2 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9. Límite y continuidad de una función en un punto Ejemplo La función de la nota anterior f) =,, = no es continua en, pues f) = f); mientras que la función g) = sí lo es pues g) = = g). También es continua en la función f) = del ejemplo anterior, pues = =. Ejemplo 94 La función f) = e es continua en. En efecto, por ser e estrictamente creciente: si < < δ, es < e < e δ, luego < e = e < e δ si δ < < es e δ < e <, luego < e = e < e δ = eδ < e δ. e δ Entonces, para cada ε > tomamos δ = ln + ε) y si < < δ, se tiene que e < e δ = e ln+ε) = + ε) = ε Luego se cumple que e = = e y e es continua en. 9.. Algunos resultados interesantes Proposición 95.- Sea f: A IR y un punto de acumulación de A. Entonces a) f) = L f) L) = b) f) = c) Si h =, entonces f) = L h f + h) = L f) = Demostración: Basta observar que la definición de ite para el segundo término de la a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < < δ = f) L) = f) L < ε para el segundo término de la a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < < δ = f) = f) < ε y para el segundo término de la 3 a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < h = < δ = f + h) L = f) L < ε coinciden con la definición de los ites para los respectivos primeros términos de la equivalencias. Los resultados a) y c) anteriores deben considerarse definiciones equivalentes de la definición de ite y nos permiten transformar un ite en un ite de valor o a un ite en el punto. Con el apartado b) cambiamos la función por otra acotable, lo que cobra interés tras los resultados siguientes: Proposición 96.- Sean f, g, h: A IR y un punto de acumulación de A..- Si f) g) h) en A y f) = L = h), entonces.- Si g está acotada en A y f) =, entonces g) f) = g) = L Ejemplo El sen =, pues = y el seno está acotado sen y, para cualquier y IR) Límites y continuidad con las operaciones básicas El cálculo de los ites y, por tanto el estudio de la continuidad, se etiende ampliamente y de manera sencilla mediante las operaciones básicas de las funciones: Propiedades 97.- Si f) = L IR y a) [f) + g)] = f) + g) = L + L. b) [f) g)] = f) g) = L L. g) = L IR, entonces: f) f) c) g) = g) = L L, siempre que L.

3 93 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9. Límite y continuidad de una función en un punto Corolario 98.- Sean f y g funciones continuas en un punto A, entonces:.- f + g es continua en el punto..- fg es continua en el punto. 3.- f g es continua en el punto siempre que g ). Ejemplos La función f) = n es continua en IR: En general, si P X) es un polinomio, n = ) n) ) = ) n = n P ) = P ), luego continuo en todo IR. Y una función racional, f) = P ) Q), será continua en los puntos de su dominio salvo en aquellos a con P ) Qa) =, pero esos no pertenecen al dominio) y en todos ellos Q) = P ) Q. ) f) = e es continua en IR, pues lo es en Ejemplo 94) y, para los demás puntos, se tiene e = e +h = e e h = e e h = e e = e h h h Teorema 99.- Sean f: A IR y g: fa) IR. Si a f) = b y g es continua en b, entonces gf)) = gb) = g ). f) a a Corolario.- Si f es continua en a y g continua en fa), entonces g f es continua en a. Ejemplo La función f) = es continua en por ser polinómica; la función g) = es continua en = f), pues = = = = ; y h) = es continua en = g). Entonces, la composición h g f)) = hgf))) = es continua en. Además, = = ) = =. Imponiendo condiciones sobre la función f, podemos dar una variante del teorema 99 anterior que prescinde de la condición de continuidad de g : Proposición Convergencia propia).- Sean f: A IR y g: fa) IR. Si a f) = b, con f) b para todos los de un entorno reducido E a, δ ) de a, entonces g f)) = gf)) = gy). a f) b y b y, si y Ejemplo Sea gy) =, si y =, no continua en. Para f) = e se cumple la condición pedida, pues f) = e = f) si es est. creciente), luego gf)) = gy) =. En efecto, como y gf)) = ge ) = e si e, se tiene gf)) = e = )., si Sin embargo, si tomamos la función f) =, que no verifica la condición de la proposición, si = f) = = f) si ), se tiene que: gf)) = g) = gy) =. y 9... Límites laterales Definición.- Sean a < c < b y f: a, c) c, b) IR. Diremos que L es el ite por la izquierda de f en c, si para cada ε > eiste δ > tal que cuando < c y < c < δ, se tiene que f) L < ε. Diremos que L es el ite por la derecha de f en c, si para cada ε > eiste δ > tal que cuando > c y < c < δ, se tiene que f) L < ε.

4 94 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9. Límite y continuidad de una función en un punto Los representaremos, respectivamente, por f) = f) = L c <c c y c >c f) = c + f) = L Proposición 3 Límites laterales).- Sean a < c < b y f: a, c) c, b) IR. Entonces c f) = L f) = f) = L c c + Ejemplo Sea f) = =, si, si <. Entonces = = y = = = = + + Nota: Si sólo hay función en un lado, el ite coincide con el ite lateral. Por ejemplo, = +, pues en los puntos a la izquierda de no está definida la función. Definición 4.- Si f no es continua en un punto, pero se cumple que f) = f ) ó que f) = f ), se dice que f es continua por la izquierda o continua por la derecha en. + Ejemplo Todas son funciones discontinuas en, la tercera es continua por la derecha y las dos últimas son continuas por la izquierda. La discontinuidad de la primera función suele denominarse evitable porque basta rellenar el hueco para hacerla continua), de la quinta se dice de salto infinito y de las tres restantes de salto finito. 9.. Límites con infinito De manera similar a como se definen los limites para valores reales, podemos definir ites donde la variable se acerca a + ó a, o que sea la función la que pueda tomar valores cércanos a ellos valores, tan grandes que superan cualquier cota K >, o tan pequeños que rebasan cualquier cota por abajo K < ). Las definiciones son análogas, sin más que cambiar la aproimaciones a puntos reales por aproimaciones a : Definición 5.- Si f es una función real de variable real, se tienen las siguientes definiciones: f) = + f) = L f) = si, para cada K >, eiste δ > tal que si < < δ = f) > K si, para cada ε >, eiste M > tal que si < M = f) L < ε si, para cada K >, eiste M > tal que si > M = f) < K Análogamente: f) =, f) = L, f) = +, Ejemplo Para a >, a = + y =. f) = + y En efecto: para cada K > tomamos M = K a > y si > M, entonces f) = a > am = a K a = K para cada K > tomamos δ = K > y si δ < <, entonces f) = < δ = K f) =. Las operaciones del resultado Propiedades 97 son válidas también cuando tenemos ites en el infinito o con valor infinito, aunque aparecen situaciones cuyo resultado no puede determinarse usando las reglas generales. Si f) = a y g) = b, donde tanto como a y b pueden ser ±, el valor del ite para las funciones f + g, f g, f g y f g, se obtiene de las siguientes tablas:

5 95 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9. Límite y continuidad de una función en un punto f + g b = b IR b = + a = a IR a + b + a = f g b = b < b = b = b = + b > b = + a = + + a a b a < + b a = a a a > + b b a = f g b = b < b = b > b = + a = + + a < + ab ab a = a > ab ab + a = En estos casos, no se garantiza la eistencia del ite, pero sí que se tiene f g b = b < b = b > b = + a = + + < a < + a b a b a = a > a b a b + a = f g +. Hay siete indeterminaciones clásicas, indicadas con que en el fondo se reducen a dos i) e ii)): i) ii) iii) iv) v) vi) vii) Nota: Teniendo en cuenta que a b = e b ln a, las indeterminaciones v), vi) y vii) se reducen a. Ejemplo = + ) = = ++ + = = + + = Ejemplo = ) = ) = 3 = ) 3 = 3 + = 3 = 3 Ejemplo = + = ) =. + + = + + = + + = ++ = teniendo en cuenta que cuando +, será > y por tanto = =. Ejemplo 9 + = ) =. + = = + ) + + ) = = + ) = Ejemplo Por definición, e = n+ < n + ) = e n + + n )n de donde + n+ + < + n + ) n + ) < + ) n+ + = n+ )n+ n + n + y para cada >, eiste n IN con n < n +, luego con. De esta desigualdad y de n < n +, tenemos que: = n + n + n+ + n + + ) < + ) + ) n n n ) n+ + si +, entonces n y n+ +, por lo que se cumple que e + ) e. ) n + < + ) n n n

6 96 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9. Límite y continuidad de una función en un punto Nota: La Proposición de convergencia propia cobra nuevo interés con los ites con infinitos para los que también es válida), pues la condición de continuidad no es aplicable en muchos de estos casos. Además, la condición de convergencia propia, que cuando f) sea f) se cumple de manera obvia. Ejemplo Consideremos y = en ), y z = hy) = y en ) entonces + ) ) = y + y ) y = y y + y ) y = y y + y )y = + y + y )y = + y + y ) + ) y )y = + y + y ) + z + z )z = e = e Continuidad de algunas funciones elementales.- Ver sus gráficas en la figura 8. de la página 88.) f) = e es continua en IR y f) = ln es continua en, + ) y f) = α continua en, ) y f) = sh es continua en IR y f) = ch es continua en IR y f) = th es continua en IR y e = y e = +. ln = y + = y +α sh = y ch = y th = y ln = +. α = si α> resp. y si α<). sh = +. ch = +. th =. f) = sen y f) = cos son de periódicas de periodo π, continuas en IR y f) = tg es de periodo π, continua en su dominio y π + f). ± tg = y tg =. π 9..3 Infinitésimos e infinitos equivalentes Definición.- Se dice que una función f es un infinitésimo en si f) =. Una función f) se dice que es un infinito en si f) = + o ). Definición 3.- Dos infinitésimos en, f y g, se dicen equivalentes en si Dos infinitos en, f y g, se dicen equivalentes en si f) g) =. f) g) =. Proposición 4.- Si g) y h) son infinitésimos o infinitos) equivalentes en, entonces g)f) = h)f) y f) g) = f) h), siempre que los segundos ites eistan. Demostración: Si eiste f)h) y g) h) =, entonces: h)f) = h) h)f) = Análogamente para el otro caso. g) g)h)f) h) = g)f) Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 5.- Usaremos la notación f g para indicar que f y g son infinitos o infinitésimos equivalentes: a n n + + a + a a n n cuando ± a n n + + a a cuando sen) cuando tg) cuando sen cuando ± cos) cuando ln + ) cuando e cuando sh) cuando ch) cuando

7 97 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9. Límite y continuidad de una función en un punto Ejemplos sen ) e sen ) = ln) ln) =. En efecto, = ln) = ln+t) t t = } sen ) } = = e e = + } sen ) = = t = t t = = Nota: La hipótesis de la Proposición, en el sentido de que los infinitésimos o infinitos) sean factores o divisores de la función, deben tenerse muy presentes pues sólo así garantizaremos el resultado. El ejemplo siguiente muestra cómo al sustituir un sumando por otro se falsea el resultado. Sabemos que sen y son infinitésimos equivalentes en =, pero sen no puede ser sustituido por en el ite: sen 3, pues si lo hacemos obtendríamos como ite cuando su valor correcto es 6. Los infinitésimos o infinitos equivalentes son funciones que tienen un comportamiento similar en el ite, pero no igual. Por ello, si los usamos en sumas o restas podemos eliminar esa diferencia como ocurre en el ite anterior) y dejar sin sentido el ite. Al sustituir sen por en la resta de arriba estamos asumiendo que son iguales, pues sutituimos sen por, lo que no es cierto es sen si ); de hecho, el seno es más parecido a sen 3 6 con lo que la deferencia es más parecida a sen 3 6 que a Asíntotas de una función Una buena ayuda para la representación de la gráfica de las funciones son las asíntotas. La gráfica de f es una representación en el plano IR formada por los puntos, y) con la condición y = f) luego de la forma, f)); por consiguiente, la gráfica puede tener puntos que se alejan hacia el infinito. Basta tener en cuenta que si el dominio es IR, cuando + los puntos de la gráfica se alejan hacia +, f)). Estos alejamientos de la gráfica se llaman ramas infinitas de la función, y puede ocurrir que eistan rectas tales que la función se parezca a una recta en estas ramas infinitas. Las rectas cumpliendo la condición de que la distancia de los puntos de una rama infinita a esa recta tienda hacia a medida que se alejan, se denominan asíntotas de la función. Dado que en IR, los puntos se alejan en la forma, ),, y) o, ) aquí, puede ser tanto + como ), buscaremos tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales e inclinadas. Asíntotas verticales Si f) = ± tenemos una rama infinita a la izquierda del punto y la recta = es una asíntota vertical de esa rama el signo del ite + o, nos indicará el comportamiento de la rama infinita). Si + f) = ± hay rama infinita a la derecha de y la recta = es asíntota vertical de esa rama. Asíntotas horizontales e inclinadas Aunque la búsqueda de asíntotas horizontales e inclinadas pueden verse como procesos distintos, en ambos casos la variable se aleja hacia el infinito, f)), f)) y también, la recta es de la forma y = m + n con m = para las horizontales). Si buscamos una recta y = m + n cumpliendo que f) m + n) cuando +, también se cumplirá que f) m n, de donde f) m n f) luego se tendrá que m =. Y conocido m, se tendrá f) m + n) f) m n, de donde n = f) m. En consecuencia, eistirá asíntota cuando + o en + ), si eisten y son reales los valores de los f) ites m = y n = f) m. En ese caso y = m + n es la asíntota buscada. Idénticamente para asíntotas en. Ejemplo La función f) = )+), tiene por dominio, Domf) =, ), 3) 3, + ). Como ) 3) el numerador, es continuo en IR, las asíntotas verticales si eisten) estarán en los puntos donde se anule el denominador, es decir,, y 3.

8 98 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9. Teoremas del ĺımite y de continuidad f) = + ) ) + ) ) ) 3) = = + ) + ) f) = + + ) 3) = + ) + 3) + = 3 + = ) ) + ) 3 3 ) f) = 3 3 ) 3) = + = + f) = = + Luego las asíntotas verticales son = cuando, f) ) y = 3 cuando 3, f) + y cuando 3 +, f) + ). Estudiamos las asíntotas en +, m = f) = ) + ) ) 3) = = n = f) = ) + ) ) 3) ) 3) )8 3 3) = ) 3) ) + ) + ) ) 3) ) 8 4 = 4 = 4 y = 4 = y = +4 = 3 luego y = +4 es asíntota de f cuando +. Análogamente, se obtiene que y = 4 es asíntota cuando. 9. Teoremas del ite y de continuidad Teorema 6 de acotación y del signo para ites).- Sean f: A IR IR y un punto de acumulación de A. Si f) = L IR, eiste un entorno E, δ) tal que f está acotada en E, δ) A. Además, si L, el valor de f) tiene el mismo signo que L. Demostración: Sea ε > fijo, entonces eiste E, δ) tal que f) L < ε, luego L ε < f) < L + ε, para todo E, δ). En consecuencia, f está acotada en dicho entorno reducido. Para la segunda parte, basta tomar ε tal que <L ε<f) si L>, o tal que f)<l+ε<, si L<. Corolario 7.- Si f: A IR es continua en, entonces f está acotada en algún entorno de. Además, si f ), el valor de f) tiene el mismo signo que f ). 9.. Teoremas de continuidad en intervalos cerrados Teorema de Bolzano 8.- Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuesto en a y b es decir, fa)fb) < ) entonces c a, b) tal que fc) =. Teorema de los valores intermedios 9.- Si f: [a, b] IR es continua en [a, b] y fa) fb), entonces para cada k entre fa) y fb), eiste c a, b) tal que fc) = k. Demostración: Supongamos fa)<fb), y sea fa)<k <fb). La función g: [a, b] IR dada por g)=f) k es continua en [a, b] y verifica que ga) = fa) k < y gb) = fb) k >, luego por el Teorema de Bolzano 8) eiste c a, b) tal que gc) = fc) k =, es decir, con fc) = k. Análogamente si fb) < fa). Corolario.- Sea I un intervalo de IR y f: I IR continua en I, entonces fi) es un intervalo de IR.

9 99 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9.3 Ejercicios Teorema de acotación.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo. Es decir, eiste M > tal que f) M, para todo [a, b]. Teorema de Weierstrass.- Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces f alcanza un máimo y un mínimo en [a, b]. Es decir, α, β [a, b] tal que fα) f) fβ), [a, b]. Corolario 3.- Si f es continua en a, b) y f) = l IR y f) = l IR, la función f está a + b acotada en a, b). También es cierto cuando a es y cuando b es +.) 9.3 Ejercicios 9.9 Calcular los siguientes ites: 7 a) b) 3 d) 4 +) e) g) j) + 3 h) k) c) f) ) i) sen + ) l) + ) Usar ites laterales para verificar la eistencia o no de los siguientes ites: ) a) b) c) ) d) ) 9.9 Probar, razonadamente, que los siguientes ites valen : a) ) e + b) sen a) c) a a 9.93 Usar la continuidad de las funciones, para hallar: a) ln 3 + ) + b) tglncose ))) c) + cos π th π π )) 9.94 Encontrar infinitésimos e infinitos equivalentes a: 9.95 Calcular, si eiste, el valor de: a) sen, cuando + b) + + 4, cuando c) cos ) ), cuando d) ln ), cuando e) 3 3 +, cuando f) cos), cuando π g) ln ), cuando h) e 5, cuando i) sen), cuando π j) tg 6 ), cuando lncos ) sen a) b) +e th) c) 3 7 tg sen 3 + ) d) 3 5 ) cos) ) 9.96 a) Si f y g son ifinitésimos cuando a y infinitésimos equivalentes cuando a. f) a g) = L, probar que f) y L g) son b) Si β es una raíz de multiplicidad m del polinomio P ) = a n n + + a + a, probar que P ) y k β) m son infinitésimos equivalentes cuando β, para algún valor k Usar el resultado a f) = h fa + h) para calcular ln ) a) b) c) π 3 senπ+) cos π) d) π cos π

10 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 9.3 Ejercicios 9.98 Usar el logaritmo neperiano, para probar que + ) = e y que 9.99 Calcular, si eiste, el valor de: + ) = e. a) 3 ) b) ) c) + ) 3 d) π + cos ) 3 cos 9. Considerar las funciones reales de variable real dadas por f) = 3 + y g) = 3. Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definición indíquese también la continuidad lateral, si ha lugar). 9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio: a) f) = c) f) = sen, si, si = b) f) = +, si 3 4, si = d) f) = a +, si < 3 9. Para que valores de las constantes a y b, f) = a + b, si = 3 b, si > Sean las funciones f, g, h: IR IR, definidas a trozos mediante: f) =, si, si > ; g) =, si, si < < 3 +, si 4 +), si, si =, si > 3, si ; h) = es continua en IR? 3 +, si , si + > a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas indíquese también la continuidad lateral). b) Hallar las epresiones de f, g, f +g y f h, como funciones definidas a trozos. c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. Qué ocurre en los casos donde no puede aplicarse la regla general? d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la función g f. 9.4 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones según los valores del parámetro a: a, si a a) f a ) = a ) a +, si > a b) f a ) = a a +, a a +, si < a, si = a si > a 9.5 Probar que las gráficas de las funciones f) = e y g) = 3, se cortan al menos en dos puntos del intervalo [, ]. 9.6 Estudiar si las funciones del ejercicio 9. están acotadas superior e inferiormente.