Tema 7: Funciones de una variable. Límites y continuidad.

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1 Tema 7: Funciones de una variable. Límites y continuidad. José M. Salazar Noviembre de 2016

2 Tema 7: Funciones de una variable. Límites y continuidad. Lección 8. Funciones de una variable. Límites y continuidad.

3 Índice 1 Funciones de una variable. Primeras definiciones y propiedades Definición y elementos principales Operaciones 2 Funciones elementales 3 Sucesiones Definiciones y propiedades Teorema de la convergencia monótona. Número e 4 Límites Definición y tipos. Unicidad del ĺımite Propiedades. Regla del Sandwich 5 Continuidad y teoremas relacionados Definiciones y propiedades principales Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrrados

4 Primeras definiciones Ejemplos (Expresión de una función) Expresión anaĺıtica expĺıcita: Área de un círculo A(r) = πr 2. Representación gráfica. Tablas de valores. Descripción verbal. Construcción de un recipiente rectangular sin tapa con volumen V = 10 m 3. L = 2A, con L longitud de la base, A ancho de la base y H altura. Coste del recipiente si el precio del material de la base es 10 e m 2 y el de los lados de 6 e m 2? 10 = 2A 2 H H = 5 A 2 C = 10[2A 2 ] + 6[2AH + 2(2A)H] = 20A A

5 Primeras definiciones Definición (Función real de variable real y sus elementos) Sea A R. Una función real de variable real es una aplicación f : A R R. Se llama dominio de f, Dom(f ), al conjunto A. Si f viene dada en forma anaĺıtica, entonces: Dom(f ) = {x R : f (x) R} Se llama imagen de f al conjunto Im(f ) = {y = f (x) : x Dom(f )} = f (Dom(f )) La gráfica o grafo de f es G f = {(x, y) R 2 : y = f (x) con x Dom(f )}

6 Primeras definiciones Definición (Función real de variable real y sus elementos) La función f es periódica si existe T > 0 tal que f (x) = f (x + T ) para todo x Dom(f ). El menor de tales T > 0 se llama período de la función. Si f ( x) = f (x) para todo x Dom(f ), se dice que f es par. Si f ( x) = f (x) para todo x Dom(f ), se dice que f es impar.

7 Primeras definiciones Definición (Función real de variable real y sus elementos) Una función f : A R es creciente (resp. decreciente) si para todo x 1 < x 2 es f (x 1 ) f (x 2 ) (resp. f (x 1 ) f (x 2 )). Si la desigualdad es estricta, decimos que f es estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente). Una función f es acotada inferiormente (resp. acotada superiormente) si existe k R tal que f (x) k (resp. f (x) k) para todo x Dom(f ). Decimos que f es acotada si lo es superior e inferiormente.

8 Operaciones con funciones Definición (Operaciones) Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x). Producto: (fg)(x) = f (x)g(x). Cociente: (f /g)(x) = f (x)/g(x). Producto por escalar: (kf )(x) = kf (x). Composición: (g f )(x) = g(f (x)). Definición (Función inversa) Dada f inyectiva (si x y, entonces f (x) f (y)), la función recíproca o inversa de f, f 1 : Im(f ) Dom(f ) R, es la función tal que (f 1 f )(x) = x x Dom(f ). Se tiene que f 1 es inyectiva y (f f 1 )(y) = y y Im(f ).

9 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Funciones polinómicas. P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 con n N y a i R. El grado del polinomio, gr(p), es el mayor m tal que a m 0. En estas funciones Dom(P) = R. f(x) = x 3 f(x) = x 2 f(x) = mx + n

10 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Funciones racionales. f (x) = P(x) con P(x), Q(x) Q(x) polinomios. Dom(f ) = {x R : Q(x) 0}. f(x) = 1 x

11 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Función potencia. f (x) = x p con p R, x > 0. y = x 4 y = x 2 y = x y = x 1/2 1 y = x 1/4 1

12 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Función exponencial. f (x) = a x con a > 0. Al número a se le llama base. Se tiene Dom(f ) = R. Además, si a 1, Im(f ) = (0, + ) y si a = 1, Im(f ) = {1}. Dados a, b > 0, se cumple: 1. a x a y = a x+y 2. ax a = a x y 3. (a x ) y = a xy y 1 4. a = a x 5. (ab) x = a x b x 6. ( ) a x x b = a x b x La función f (x) = a x es estrictamente creciente si a > 1, estrictamente decreciente si a < 1 y constante si a = 1. a < 1 a > 1 1 a = 1

13 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Función logarítmica. f (x) = log a (x) con a > 0, a 1. Al número a se le llama base. Es la función inversa de a x. Se tiene: log a : (0, ) R Dom(f ) = (0, + ) e Im(f ) = R. Dados a, b > 0 y distintos de 1, se cumple: 1. log a (xy) = log a (x) + log a (y). 2. log a (x/y) = log a (x) log a (y). 3. log a (x y ) = y log a (x). 4. log a x = log b (x)/ log b (a). 5. a x = b x log b (a).

14 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) La función f (x) = log a (x) es estrictamente creciente si a > 1 y estrictamente decreciente si 0 < a < 1. a > 1 1 a < 1

15 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Funciones trigonométricas. f (x) = sen x, f (x) = cos x y las obtenidas a partir de ellas. Función f (x) = sen x: Dom(f ) = R, Im(f ) = [ 1, 1], f impar, f periódica con T = 2π. 2π 3π/2 π π/2 π/2 π 3π/2 2π f (x) = sen x

16 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Función f (x) = cos x: Dom(f ) = R, Im(f ) = [ 1, 1], f par, f periódica con T = 2π. 2π 3π/2 π π/2 π/2 π 3π/2 2π f (x) = cos(x)

17 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Función f (x) = tg x: Dom(f ) = R \ {π/2 + kπ : k N}, Im(f ) = R, f impar, f periódica con T = π. 2π 3π/2 π π/2 π/2 π 3π/2 2π f (x) = tg(x)

18 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Funciones trigonométricas inversas. f (x) = arcsen x, f (x) = arccos x y el resto de inversas de las trigonométricas. Función f (x) = arcsen x: Inversa de sen(x) en el dominio [ π/2, π/2]. Se tiene: arcsen : [ 1, 1] [ π/2, π/2] Dom(f ) = [ 1, 1], Im(f ) = [ π/2, π/2] y f estrictamente π/2 creciente. 1 1 π/2 f (x) = arcsen x

19 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Función f (x) = arccos x: Inversa de cos(x) en el dominio [0, π]. Se tiene: arccos : [ 1, 1] [0, π] Dom(f ) = [ 1, 1], Im(f ) = [0, π] y f estrictamente decreciente. π π/2 1 1 f (x) = arccos x

20 Funciones elementales Ejemplos (Tipos de funciones elementales) Función f (x) = arctg x: Inversa de tg(x) en el dominio ( π/2, π/2). Se tiene: arctg : R ( π/2, π/2) Dom(f ) = R, Im(f ) = ( π/2, π/2) y f estrictamente creciente. π/2 π/2 f (x) = arctg x

21 Sucesiones Definición (Sucesión) Una sucesión es una función f : N R. Se escribe f (n) = a n y se la denota por {a n }. A a n se le llama termino general de la sucesión. Definición (convergencia) Se dice que {a n } es convergente si existe un valor a R, tal que para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que a n a < ɛ para todo n n 0. Al valor a se le llama ĺımite de la sucesión. Se escribe lim a n = a o {a n } a. Si la sucesión no es convergente, se dice n que es divergente. Teorema El ĺımite de una sucesión {a n }, si existe, es único.

22 Sucesiones Definición (Límite infinito) Dada {a n } divergente, escribimos lim n a n = + (resp. lim n a n = ) si: M R n 0 N : a n > M (resp. a n < M) n n 0. Se dice que {a n } diverge a + (resp. ). Propiedades Si lim n a n = a R y lim n b n = b R, entonces: lim n (a n ± b n ) = a ± b. lim n (a nb n ) = ab. lim n (a n/b n ) = a/b si b n 0 para todo n y b 0.

23 Convergencia monótona Definición (Sucesión monótona) Una sucesión {a n } es creciente (resp. decreciente) si a n a n+1 n (resp. a n a n+1 n). La sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Definición (Sucesión acotada) Una sucesión {a n } es acotada superiormente, acotada inferiormente o acotada si lo es el conjunto imagen de la sucesión {a 1,..., a n,... }. Teorema (Convergencia monótona) Toda sucesión monótona y acotada es convergente.

24 Subsucesiones Definición (Subsucesión) Dada una sucesión {a n }, y dada una familia estrictamente creciente de números naturales n 1 < n 2 < < n k <, a la sucesión {a nk } se la llama subsucesión de {a n }. Teorema Si una sucesión converge a un valor a 0, toda subsucesión suya también converge a a 0. Teorema Toda sucesión admite una subsucesión monótona.

25 Número e Definición (Número e) La sucesión {( 1 + n) 1 n } es monótona y acotada y, por tanto, convergente. A su ĺımite se lo denota por {( e = lim ) n } n n Observación De especial relevancia en el estudio del cálculo serán las funciones e x y log e (x) = ln(x), inversas la una de la otra.

26 Límite de una función en un punto Definición (Límite) Dada una sucesión {x n } Dom(f ) tal que {x n } c, con x n c para todo n, se dice que lim x c f (x) = l R si ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x c < δ, con x Dom(f ), entonces f (x) l < ɛ Teorema lim f (x) = l si y sólo si {x n} c con x n c y x n Dom(f ) x c para todo n, entonces {f (x n )} l. Teorema El ĺımite, si existe, es único.

27 Límites laterales En adelante, por simplicidad, trabajaremos en un intervalo I = (a, b) con c I y f una función definida en I (salvo quizá en c). Definición (Límites laterales) Dado l + R, se dice que lim f (x) = l + si y sólo si ɛ > 0 existe x c + δ > 0 tal que si 0 < x c < δ, entonces f (x) l + < ɛ. El ĺımite por la izquierda, lim f (x) = l, se define de modo x c análogo. Los ĺımites laterales también se pueden definir empleando sucesiones que se aproximen por cada uno de los lados de c. Teorema Existe lim f (x) si y sólo si existen los ĺımites laterales y coinciden, x c esto es, lim f (x) = lim f (x) = l R x c + x c

28 Límites infinitos y en el infinito Definición Límites infinitos. Decimos que lim f (x) = + (resp. ) si x c para todo M R existe un δ > 0 tal que f (x) > M (resp. f (x) < M) para todo x tal que 0 < x c < δ. Los ĺımites laterales infinitos se definen de modo análogo, pero aproximándose por el lado adecuado de c. Límite finito en el infinito. Si (a, + ) Dom(f ), se dice que f tiende a l cuando x +, esto es, lim f (x) = l si para x todo ɛ > 0 existe M R tal que si x > M entonces f (x) l < ɛ. Límite infinito en el infinito. Si (a, + ) Dom(f ), decimos que lim x + f (x) = + si para todo M R, N R tal que si x > N entonces f (x) > M. De modo análogo se definen los ĺımites lim f (x) = + y lim x x f (x) =. lim f (x) =, x +

29 Propiedades de los ĺımites Propiedades Sean f, g tales que lim f (x) = l 1 y lim g(x) = l 2. Entonces: x c x c lim α = α, α R. x c lim αf (x) = αl 1, α R. x c lim (f (x) ± g(x)) = l 1 ± l 2. x c lim (f (x)g(x)) = l 1l 2. x c lim x c f (x) g(x) = l 1 l 2 (l 2 0). lim (f x c (x))n = l1 n. lim x c f (x)g(x) = l l 2 1 (l 1 > 0).

30 Propiedades de los ĺımites Observación Los casos 0 0,, 0,, 1, 0 0, 0 son indeterminaciones. Ejemplos sen x lim = 1 x 0 x cos x 1 lim = 0 x 0 x

31 Regla del sandwich Teorema (Regla del Sandwich) Si f (x) g(x) h(x) en un entorno de c (salvo, quizá, en el propio c) y lim f (x) = lim h(x) = l, entonces lim g(x) = l. x c x c x c

32 Coninuidad Definición (Continuidad) Una función f es continua en c si se satisfacen las condiciones siguientes: f (c) está definida. lim f (x) = f (c). x c Observación Otra caracterización de continuidad se hace con sucesiones: f es continua en c Dom(f ) si para toda sucesión {x n } c, {x n } Dom(f ), se verifica que {f (x n )} f (c). Definición Decimos que f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada punto del intervalo.

33 Continuidad lateral Definición (Continuidad lateral) La función f es continua por la izquierda (resp. derecha) de c Dom(f ) si lim f (x) = f (c) (resp. lim f (x) = f (c)). x c x c + Teorema La función f es continua en c si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda de c.

34 Tipos de discontinuidades Definición Si f no es continua en c, se dice que f tiene en c una discontinuidad. La discontinuidad es: Evitable si existe lim x a f (x) R. Inevitable en caso contrario.

35 Propiedades de la continuidad Teorema (Propiedades de la continuidad) Sean f, g continuas en c R. Entonces kf es continua en c para cualquier k R. (f ± g) es continua en c. (fg) es continua en c. Si g(c) 0, entonces f g es continua en c. Si h es continua en g(c), entonces (h g)(x) = h(g(x)) es continua en c. Teorema Si f es continua y admite inversa, la inversa f 1 es continua. Las funciones elementales (polinomios, funciones racionales, raíces, funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, funciones exponenciales, logarítmicas) son todas ellas continuas.

36 Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados Teorema (Bolzano) Si f es continua en I = [a, b] y tal que f (a) y f (b) tienen distinto signo, entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema (Teorema del valor intermedio) Si f es continua en I = [a, b] y k es un número real entre f (a) y f (b), existe al menos un c I tal que f (c) = k. Teorema (Teorema de Weierstrass) Si f : [a, b] R es continua, entonces f alcanza un máximo y un mínimo en el intervalo [a, b], esto es, existen x 1, x 2 [a, b] tales que f (x 1 ) f (x) f (x 2 ) x [a, b]