Por ser un cociente entre dos longitudes, el radián no tiene dimensión. De la definición obtenemos la relación entre radianes y grados:

Transcripción

1 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Medida de ángulos Unidad Como unidad del tamaño de un ángulo se utiliza el radián, más natural y con más sentido geométrico que el grado. Recordemos que un ángulo mide radianes si es la razón entre el arco de una circunferencia correspondiente al ángulo medido y el radio de esa circunferencia. Por ser un cociente entre dos longitudes, el radián no tiene dimensión. De la definición obtenemos la relación entre radianes y grados: grados 180 = radianes Sentido Trabajando en el plano, se tomará por defecto como origen de ángulos el eje OX positivo. Para representar gráficamente un ángulo de radianes debemos tener en cuenta su signo: situando una de las aristas del ángulo en este semieje, para situar la otra se seguirá el criterio avanzar a partir del semieje OX positivo en sentido antihorario (sentido positivo) si el signo de es positivo avanzar a partir del semieje OX positivo en sentido horario (sentido negativo) si el signo de es negativo Figura 1.- Sentido Pág.1

2 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Las funciones seno y coseno Las razones seno y coseno, cuya definición se recuerda a continuación, dan lugar a funciones y = senx, y =cosx definidas en todo el eje real, periódicas. Pág.

3 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Figura : Función sen(x) Figura 3: Función cos(x) En las figuras y 3 puede comprobarse que en [0, / ], el seno es una función estrictamente creciente, el coseno es estrictamente decreciente en [0, / ] y ambas toman valores únicamente entre 1 y 1. Razones fundamentales Pág.3

4 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso seno coseno Identidades trigonométricas La identidad trigonométrica fundamental es sen x x =1 cos consecuencia del Teorema de Pitágoras. Se listan a continuación las relaciones para el seno y coseno de la suma y las del ángulo doble que se deducen de ellas: cos( x y) = cos x cos y sen x sen y sen( x y)= sen x cosy cosxsen y Para el seno y coseno de la diferencia basta tener en cuenta que sen( x) = sen x, cos( x) = cos x Pág.4

5 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso cos = cos x xsen x sen x = sen x cosx 1 cosx cos x = 1 cosx sen x = La función tangente La definición de tangente se recuerda en la figura 4, se relaciona con el seno y el coseno por la sen expresión tg = cos sen tg = cos Figura 4. Tangente La función tangente es periódica y no está definida en ninguno de los puntos de la forma / k para k entero. No está acotada y de hecho puede hacerse arbitrariamente grande (resp. pequeña) a la izquierda (resp. derecha) de /. Ver representación gráfica en la figura 5. Pág.5

6 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Figura 5: Gráfica de la función tangente De la relación con el seno y el coseno se deducen las siguientes identidades tg x tg y tg ( x)= tg x tg ( x y)= 1 tg xtg y Funciones circulares inversas arcsenx y y, sen y x Dominio = 1,1; Imagen =, ; es impar; no es periódica; es monótona estrictamente creciente; está acotada (inferiormente por y superiormente por ); es inyectiva; no es suprayectiva. Pág.6

7 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Figura 6: Gráficas de las funciones seno y arcoseno arccos x y 0 y, cos y x Dominio = 1,1; Imagen = 0, ; no es ni par ni impar; no es periódica; es monótona estrictamente decreciente; está acotada (inferiormente por 0 y superiormente por ); es inyectiva; no es suprayectiva. Figura 7: Gráficas de las funciones coseno y arcocoseno Pág.7

8 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso arctg x y y, tg y x Dominio = ; Imagen =, ; es impar; no es periódica; es monótona estrictamente creciente; está acotada (inferiormente por y superiormente por ); es inyectiva; no es suprayectiva. Figura 8: Gráficas de las funciones tangente y arcotangente Pág.8