TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS"

Montserrat Maldonado Serrano
hace 7 años
Vistas:

1 TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 2.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES Definición de sucesión de números reales Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x : N n x n - Una sucesión asigna a cada número natural un número real determinado de manera única. - A cada elemento de la sucesión lo denotamos por x n x n y lo llamaremos término. - La sucesión se denota por x n n N ó simplemente x n - Al elemento x n se le llama término n-ésimo de la sucesión.

2 Definición: Una sucesión en forma recursiva o inductiva vendrá dada cuando demos el valor de x 1 y una fórmula para obtener x n 1 a partir de x n. Operaciones con sucesiones Definición: Si x n y y n son dos sucesiones de números reales, se define: Suma: x n y n x n y n Producto: x n y n x n y n Cociente: Si z n es una sucesión con z n 0 n N, entonces x n z n x n z n Sucesiones convergentes Definición: Diremos que el número real l es el límite de la sucesión x n y escribimos como lim x n l si 0, n 0 N tal que n n 0 x n l

3 Definición: Se dice que la sucesión x n es convergente si existe l tal que lim x n l. Unicidad del límite Teorema: Una sucesión x n si tiene límite, este es único, es decir, si lim x n a y lim x n b entonces a b. Propiedades de las sucesiones convergentes Teorema: Sean x n y y n dos sucesiones de números reales que convergen a x e y respectivamente y sea. Entonces : 1. lim x n y n lim x n lim y n x y lim x n y n lim x n lim y n xy lim x n lim x n x lim x n y n lim x n lim y x n y si lim y n 0.

4 Nota: Igualmente para sucesiones convergentes se tiene: a) lim ln x n ln lim x n ln x b) c) lim a x n lim xn y n lim x n a a x con a 0 lim x n lim yn x y Desigualdades entre sucesiones convergentes Teorema: Sea xn una sucesión convergente de números reales, con xn 0 n N. Entonces: lim x n 0. Teorema: Sea xn y yn dos sucesiones convergentes con xn yn, n N. Entonces : lim x n lim y n.

5 Teorema: Sean xn, yn y zn sucesiones de números reales tales que xn yn z n, n N y que lim x n lim z n. Entonces : lim x n lim y n lim z n. Teorema: Sea x n una sucesión de números reales estrictamente positivos, tales que L lim x n 1 x n.sil 1, entonces x n converge y lim x n Sucesiones acotadas Definición: Una sucesión x n es acotada si M tal que x n M, n N. Por tanto una sucesión x n está acotada si y sólo si el conjunto x n : n N de sus términos, está acotado en. Teorema: Toda sucesión de números reales convergente, está acotada.

6 2.1.4 Sucesiones monótonas Definición: Sea x n una sucesión de números reales. Diremos que x n es monótona creciente si : x 1 x 2 x 3...x n x n 1 Diremos que es monótona decreciente si: x 1 x 2 x 3...x n x n 1. Teorema de la convergencia monótona: Una sucesión de números reales monótona es convergente es acotada. Además: a) Si x n es creciente y acotada, entonces lim x n supx n. b) Si y n es decreciente y acotada, entonces lim y n inf y n Subsucesiones Definición: Sea x n una sucesión y sea r 1 r 2... r n... una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces a la sucesión x n

7 x r1, x r2,...,x rn,... se le llama subsucesión de x n. Teorema: Si un sucesión x n converge a x, entonces cualquier subsucesión suya también converge a x Sucesiones divergentes Definición: Diremos que la sucesión x n tiene límite y escribimos como lim x n Si M, n 0 N tal que n n 0 x n M. Diremos que la sucesión x n tiene límite - y escribimos como lim x n Si M, n 0 N tal que n n 0 x n M. Definición: Las sucesiones que tienden a

8 , se llaman divergentes. Propiedades de las sucesiones divergentes Teorema:Una sucesión de números reales monóptona es divergente es no acotada. a) Si x n es creciente y no acotada lim x n b) Si x n es decreciente y no acotada lim x n Teorema: Sean x n y y n dos sucesiones de números reales con x n y n n N. a) Si lim x n lim y n b) Si lim y n lim x n Cálculo de límites Indeterminaciones Cuando se opera con límites infinitos se

9 pueden producir indeterminaciones (no se sabe el valor del límite).estas pueden resolverse utilizando operaciones algebraicas, infinitésimos o el Criterio de Stolz. Recordemos los distintos tipos de indeterminaciones. a) tipo suma: Si a n y b n, a n b n es una indeterminación de tipo b) tipo producto o cociente: b 1 Producto: Si a n y b n, a n b n da lugar a una indeterminación 0. b 2 Cociente: Si a n 0 y b n 0, osi a n b n a n y b n a n da lugar a b n indeterminaciones 0 0 y, respectivamente. c) tipo potencial-exponencial

10 c 1 Si a n 1 y b n, a n b n da lugar a una indeterminación 1. Nota: El número e es el límite de una sucesión de este tipo; de hecho, es igual a e donde lim b n a n 1 c 2 Si a n 0 y b n 0, a n b n da lugar a la indeterminacion 0 0 c 3 Si a n y b n 0, a n b n da lugar a la indeterminacion 0 Nota: No son indeterminaciones 0 0, 0,, 0 Infinitésimos Definición: Se dice que x n y y n son equivalentes si lim x n 1. Lo y n escribiremos como x n y n -Silim x n 0, alasucesión x n se le dice que es un infinitésimo.

11 -Silim x n, alasucesión x n se le dice que es un infinito. Proposición: Sean x n, y n y z n sucesiones de números reales tales que x n y n, entonces: i Si lim x n z n existe lim y n z n y lim x n z n lim y n z n ii Si lim z n x n existe lim z n y n lim z n x n lim z n y n existe y Tabla de infinitésimos equivalentes Sea a n un infinitésimo, entonces se verifica: 1) sin a n tan a n log 1 a n a n 2) 1 cos a n a n 2 2

12 3) a n sin a n a n 3 6 4) tan a n a n a n 3 3 5) c a n 1 log c a n 6) Si limb n 1 log b n b n 1 7 Si a 0 n a 1 1 n log a Criterio de Stolz Criterio de Stolz: Sean x n y y n dos sucesiones. Si lim x n x n 1 y n y n 1 existe lim x n x n 1 y n y n 1 lim x n y n siempre que : i y n sea estrictamente creciente y ii lim y n. 2.2 Sucesiones de números complejos Definición: Se llama sucesión de números complejos a una aplicación N C, que denotaremos por z n n N o

13 simplemente z n, con z n C. Definición: Diremos que una sucesión z n de números complejos onverge a l C si 0, N 0 / n N 0 z n l. Proposición: Sea z n x n y n i y l a bi las expresiones en forma binómica de z n y l respectivamente, entonces se tiene que z n l x n a e y n b

Documentos relacionados

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN. Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x : n x n -

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN. Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x : n x n - Una sucesión asigna a cada número natural un número