MATE 5201: Cálculo Avanzado

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1 Solución Asignación 3. Universidad de Puerto Rico, Río Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Matemáticas San Juan, Puerto Rico MATE 520: Cálculo Avanzado. Suponga que (b n ) es una secuencia acotada y (a n ) una secuencia tal que lim(a n ) = 0. Demuestre que lim(a n b n ) = 0. Explique por qué el Teorema no puede utilizarse. Demostración: Como (b n ) es una secuencia acotada, entonces existe M > 0 tal que b n M para toda n N. Ahora, sea ε > 0, entonces existe K(ε) N tal que si n K, entonces a n < ε/m. Observe que si n K, entonces tenemos ( ε ) a n b b M a n < M = ε. M Concluimos que a n b n 0. Note que el Teorema no puede utilizarse, pues no sabemos si (b n ) converge. 2. Sea y n = n + n para n N. Demuestre que (y n ) and ( ny n ) convergen. Encuentre (y demuestre) sus límites. Demostración: Primero probaremos que y n 0. Para ésto, observe que y n = n + n = ( n + ( ) n + + n n) = <. n + + n n + + n n Ahora, sea ε > 0. Escoja K(ε) N tal que /K(ε) < ε 2 (Arquimedes). Note que si n K, entonces Concluimos que y n 0. y n = n + n < n K < ε. Estudiemos ahora la secuencia ( ny n ). Como (mire arriba) entonces nyn = y n = n n + + n = n + + n, (n + )/n + = + /n +. Ahora, sabemos que /n 0. Entonces, por el Teorema de los Límites, tenemos que + /n 0. Ahora, por teorema, si (x n ) es una secuencia de números

2 no-negativos que converge a x, entonces ( x ) converge a x. Por lo tanto, n p + /n. Finalmente, por el Teorema de los Lı mites, podemos decir que nyn = p. 2 + /n + Muerto el Pollo. Nota: Si quierejugar el juego ε K(ε), entonces verifique que lo siguiente: para 0 < ε < / 2 podemos escojer K(ε) natural tal que K(ε) > ε2. 2ε2 Ma s au n, para n K(ε), tenemos nyn /2 < ε. 3. Haga lo siguiente: (a) Provea una secuencia convergente (xn ) de nu meros positivos con la propiedad de que lim(xn+ /xn ) =. Solucio n: Considere la secuencia (xn ) = (). BOOM! Ahora, si quiere algo ma s complicado, pues considere la secuen un ejemplo cia (xn ) = ( n + n). Por el ejercicio anterior sabemos que xn 0. El Teorema de los Lı mites puede utilizarse para demostrar xn+ /xn. (b) Provea una secuencia divergente (xn ) de nu meros positivos con la propiedad de que lim(xn+ /xn ) =. Solucio n: Considere la secuencia (xn ) = (n). BOOM! 2

3 4. Suponga que (x n ) es una secuencia convergente y sea (y n ) otra secuencia. Suponga que para todo ε > 0 existe K N tal que x n y n < ε para todo n K. Implica ésto que (y n ) es una secuencia convergente? Justifique su respuesta (demostración o contraejemplo). Respuesta a la pregunta: Demostración: Suponga que x n x. Demostraremos que y n x. Suponga que ε > 0. Como x n x, entonces existe K(ε) N tal que para todo n K (ε) tenemos que x n x < ε 2. También, por hipótesis, existe K 2 (ε) N tal que para toda n K 2 (ε) tenemos que x n y n < ε 2. Sea K(ε) = max{k (ε), K 2 (ε)}. Observe que si n K(ε), entonces y n x = y n x n + x n x y n x n + x n x (desigualdad del triángulo) < ε 2 + ε 2 = ε. Concluimos que y n x. 5. Suponga que (x n ) y (y n ) son secuencias convergentes. Defina u n = max{x n, y n } y v n = min{x n, y n }. Demuestre que (u n ) y (v n ) son convergentes. Demostración: Suponga que x n x y y n y. Más aún, sin perder la generalidad, suponga que x y (de lo contrario, intercambie los roles). Suponga primero que x = y. Entonces, existe K(ε) N tal que para n K(ε) tenemos x n x < ε y y n x < ε. 3

4 Note que si n K(ε), entonces tenemos dos posibilidades: max{x n, y n } = x n o max{x n, y n } = y n. Note que en ambos casos tenemos max{x n, y n } x < ε. Por lo tanto, si x = y, entonces (max{x n, y n }) converge a x. Suponga ahora que x < y. Entonces la secuencia lim(y n x n ) > 0. Por la asignación anterior, sabemos que existe M natural tal que si n M, entonces y n x n > 0. Por lo tanto, si n M, entonces max{x n, y n } = y n. Como y n y, entonces existe N (ε) N tal que para n N (ε) tenemos que y n y < ε. Sea N(ε) = max{n, M}. Observe que si n N(ε), entonces max{x n, y n } y = y n y < ε. Concluimos que (max{x n, y n }) converge a y. La demostración de que (min{x n, y n }) es similar. 6. Sea x = 8 y x n+ = 2 x n + 2 para n N. Demuestre que (x n ) está acotada y es monótona. Encuentre su límite. Demostración: Primero demostraremos (por inducción) nque esta secuencia está acotada por abajo, i.e. que x n 4. Note que el caso base es claro, pues x = 8 4. Suponga que es cierto que para algún n, tenemos x n 4. Si consideramos el término x n+, entonces x n+ = 2 x n + 2 (4) + 2 = 4. 2 Concluimos, por inducción, que x n 4 para toda n N. Ahora demostraremos (también por inducción) que (x n ) es decreciente. Observe que x = 8 y x 2 = 6, por lo tanto, el caso base es cierto. Suponga ahora que para algún n, tenemos que x n+ < x n. Consideremos el término x n+2. Note que x n+2 = 2 x n x n + 2 = x n+. Concluimos que la secuencia (x n ) es decreciente. Ahora, como (x n ) es decreciente y acotada por abajo, entonces por el Teorema de la Monotonía, (x n ) es convergente. Suponga que x n x. Entonces el valor de x satisface la siguiente ecuación ( ) x = lim(x n+ ) = lim 2 x n + 2 = 2 x + 2. Resolviendo esta ecuación obtenemos que x = 4. 4

5 7. Sea x > y x n+ = 2 /x n para n N. Demuestre que (x n ) está acotada y es monótona. Encuentre su límite. Demostración: Primero demostraremos que (x n ) esta acotada por abajo por. Note que el caso base ya está dado. Suponga que para algún n tenemos x n >. Note que ésto es equivalente a decir que /x n > Considere ahora el término x n+. Note que x n+ = 2 /x n > 2 =. Concluimos que x n > para todo n N. Ahora demostraremos que (x n ) es decreciente. Para el caso base, observe que x 2 = 2 /x. Si fuera cierto que x 2 x, entonces tendríamos 2 /x x, lo cual implica que x, contradicción. Por lo tanto, x 2 < x y tenemos nuestro caso base. Suponga ahora que para algún n, tenemos que x n+ < x n. Esto último es equivalente a decir que /x n+ < /x n. Considere el término x n+2. Observe que x n+2 = 2 /x n+ < 2 /x n = x n+. Concluimos que la secuencia (x n ) es decreciente. Como (x n ) es decreciente y acotada por abajo, entonces (x n ) es convergente. Digamos que x n x. Entonces el número x satisface la siguiente ecuación ) x = lim(x n+ ) = lim (2 xn = 2 x. O sea, x 2 2x + = 0. Concluimos que x =. 8. Sea (x n ) una secuencia acotada. Para cada n N, defina s n = sup{x k k n} y t n = inf{x k k n}. Demuestre que (s n ) y (t n ) son monótonas y convergentes. También, demuestre que si lim(s n ) = lim(t n ), entonces (x n ) es convergente. Nota: El límite lim(s n ) se conoce como el límite superior y lim(t n ) como el límite inferior. Demostración: Demostraremos que (s n ) está acotada y es decreciente. Primero, sea n N. Note que {x k k n} {x k k n + }. Por lo tanto, por las propiedades del supremo, tenemos que s n = sup{x k k n} sup{x k k n + } = s n+. Concluimos que (s n ) es decreciente. Ahora, sabemos que (x n ) está acotada, o sea, existe M > 0 tal que x n M. Entonces, M x n para todo n N, por 5

6 lo tanto M s n para todo n N. Como (s n ) es decreciente y acotada por abajo, entonces (s n ) converge. La demostración de que (t n ) es creciente y acotada por arriba es similar. Finalmente, note que por definición, t n x n s n para toda n natural. Si lim(t n ) = lim(s n ), entonces por el Teorema del Emparedado sabes que lim(x n ) = lim(t n ) = lim(s n ). 6