Sucesiones y convergencia

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1 Capítulo 2 Sucesiones y convergencia 1. Definiciones Una de las ideas fundamentales del análisis es la de límite; en particular, el límite de una sucesión. En este capítulo estudiaremos la convergencia de sucesiones, además del concepto de completitud en espacios métricos. Definición 2.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión en X es una función f : Z + X. Si, para cada n, f(n) = x n, entonces escribiremos la sucesión f como (x n ) n=1. Decimos que (x n ) n=1 converge a x X, y escribimos x n x, si, para todo ε > 0, existe N Z + tal que, si n N, entonces d(x n,x) < ε. Los siguientes enunciados son equivalentes a decir que x n x: Para todo ε > 0, existe N Z + tal que, si n N, entonces x n B ε (x). Para todo abierto U en X que contiene a x, existe un N Z + tal que, si n N, entonces x n U. x 1 x 2 x 3 x ε Figura 1. Ejemplo de una sucesión que converge a x. Todos los puntos x n, excepto un número finito de ellos, están a distancia ε de x. 21

2 22 2. Sucesiones y convergencia Ejemplo 2.2. Sea x 0 X, y considere la sucesión dada por x n = x 0, n = 1,2,... Entonces es claro que x n x 0, ya que d(x n,x 0 ) = 0 < ε para todo ε > 0 y n Z +. En este caso decimos que (x n ) n=1 es una sucesión constante. Ejemplo 2.3. Dada una sucesión (x n ) n=1, si existe N Z + tal que x n = x, para algún x X y para todo n N, decimos que (x n ) n=1 es finalmente constante a x. Al igual que en el ejemplo anterior, x n x. Ejemplo 2.4. Considere la sucesión x n = 1/n en R. Entonces x n 0. Para mostrar ésto, sea ε > 0. Por la propiedad Arquimidiana de R, existe N Z + tal que N > 1/ε. Entonces, si n N, 1 n 0 1 = n 1 N < ε. Ejemplo 2.5. Sea (X, ) un espacio normado. Una sucesión (x n ) n=1 en X converge a x si, y sólo si, la sucesión (y n ) n=1, dada por y n = x n x, converge al vector 0. Para verificar ésto, supongamos que x n x. Entonces, dado ε > 0, existe un N tal que n N implica x n x < ε. Entonces n N implica y n < ε y, por lo tanto, y n 0. El enunciado inverso se demuestra de manera similar. Proposición 2.6. Si una sucesión (x n ) n=1 converge, entonces su límite es único; es decir, si x n x y x n y, entonces x = y. Demostración. Sea ε > 0, y sean N 1 y N 2 tales que d(x n,x) < ε/2 y d(x m,y) < ε/2, para n N 1 y m N 2. Tales N i existen por convergencia. Ahora bien, si N = máx{n 1,N 2 }, entonces d(x,y) d(x,x N ) + d(x N,y) < ε/2 + ε/2 = ε. Como ε es arbitrario, concluimos que d(x,y) = 0. Por lo tanto x = y. Cuando no haya motivo de confusión, escribiremos la sucesión (x n ) n=1 simplemente como (x n ), o incluso como x n, mientras que el límite de la sucesión (x n ) se denotará como o simplemente lím x n. lím x n, n Si A X, decimos que (x n ) está en A si, para todo n, x n A. Las siguientes preguntas aparecen de manera natural, dada una sucesión (x n ) en A: Si x n x, entonces x A? Bajo qué condiciones podemos garantizar que x A? Podemos clasificar el conjunto de puntos x tales que existe alguna sucesión (x n ), en A, tal que x n A?

3 1. Definiciones 23 Las respuestas a estas preguntas se pueden concluir del siguiente teorema. Teorema 2.7. Sea (X,d) un espacio métrico y A X. Entonces x Ā si, y sólo si, existe (x n ) en A tal que x n x. Demostración. Si x Ā, entonces, para todo ε > 0, B ε(x) A. Escogemos entonces, para cada n, x n B 1/n (x) A. Es fácil verificar que x n x (ejercicio 2). De manera inversa, supongamos que existe una sucesión (x n ) en A tal que x n x. Entonces, cualquier bola con centro en x contiene a algún elemento x n de la sucesión (de hecho a todos excepto a lo más un número finito de ellos). Si x A, entonces x Ā; si x A, entonces cualquier bola con centro en x contiene algún punto en A distinto de x, por lo que x es un punto de acumulación de A y, por lo tanto, x Ā. Este teorema nos asegura que, si (x n ) está en A y x n x, entonces x no necesariamente es un elemento de A, pero está en la cerradura de A. Además, si A es cerrado, entonces siempre x A. Si A no es cerrado, podemos encontrar puntos de acumulación de A que no estén en A, y el teorema nos permite concluir que existen sucesiones que convergen a tales puntos. Como ejemplo, consideremos la sucesión (1/n). Esta sucesión está en el intervalo (0,1], pero su límite, 0, no lo está. Si (x n ) es una sucesión, una subsucesión de (x n ) es una función g : Z + {x n : n Z + }, digamos g(k) = x nk, tal que, si k < l, entonces n k < n l. Proposición 2.8. Si x n x, entonces x nk (x nk ) de (x n ). x para toda subsucesión Demostración. Sea ε > 0. Como x n x, existe N tal que n N implica d(x n,x) < ε. Entonces, como n k k para todo k, si k N entonces n k N y por lo tanto d(x nk,x) < ε. La siguiente pregunta aparece muy frecuentemente en análisis, y de hecho es clave en la solución de muchos problemas: Si (x n ) es una sucesión en A, qué condiciones debe satisfacer el conjunto A para garantizar que existe una subsucesión (x nk ) tal que x nk x para algún x A? Un conjunto con tal propiedad es llamado secuencialmente compacto, y haremos un estudio más detallado de tales conjuntos en el siguiente capítulo.

4 24 2. Sucesiones y convergencia Sin embargo, podemos listar algunas propiedades, necesarias, para que un conjunto A sea secuencialmente compacto. Como la subsucesión (x nk ) también está en A, entonces, para garantizar que x A, A debe ser cerrado en X. Ahora bien, A debe ser acotado. Definición 2.9. Sea (X,d) un espacio métrico y A X. Decimos que A es acotado si existe x X y M > 0 tales que A B M (x); es decir, A está contenido en alguna bola en X. Esta definición es equivalente a decir que existen x X y M > 0 tales que d(y,x) < M, para todo y A. Todas las sucesiones convergentes son acotadas, es decir, si x n x, entonces el conjunto {x n : n Z + } es acotado. De hecho, sea N tal que d(x n,x) < 1 para todo n N. Entonces, si tomamos M = máx{d(x,x 1 ),d(x,x 2 ),...,d(x,x N ),1}, entonces d(x n,x) M para todo n, por lo que {x n : n Z + } B M+1 (x). Ahora bien, si A no es acotado, podemos construir una sucesión en A que no tiene ninguna subsucesión convergente. Para ésto, haremos uso de la siguiente proposición. Proposición Sea (X,d) un espacio métrico y A X, y asumimos que A no es acotado. Entonces, para todo M > 0, n Z + y x 1,x 2,...,x n X, B M (x 1 ) B M (x 2 )... B M (x n ) A. Demostración. Demostraremos la contrapositiva de la proposición. Supongamos que A B M (x 1 ) B M (x 2 )... B M (x n ). Entonces, para x A, existe i tal x B M (x i ). Si tomamos entonces y por lo tanto A B R (x 1 ). R = máx i=2,...,n d(x i,x 1 ) + M, d(x,x 1 ) d(x,x i ) + d(x i,x 1 ) < R, Con esta proposición a la mano podemos construir la siguiente sucesión en A: escójase x 1 A (es claro que A, ya que no es acotado) y, habiendo escogido x 1,x 2,...,x k, escogemos x k+1 A\ ( B 1 (x 1 ) B 1 (x 2 )... B 1 (x k ) ). Es claro que (x n ) no puede tener ninguna subsucesión convergente, ya que d(x m,x n ) 1 para todos m y n, por lo que cualquiera dos puntos x n,x m no pueden estar a distancia menor que, digamos, 1/2 de algún punto en común (ejercicio 3).

5 2. Sucesiones de Cauchy y completitud 25 A M M M M M M M M M Figura 2. Si A no es acotado, entonces no puede ser cubierto por un número finito de bolas de radio M. Estas observaciones permiten concluir que A tiene que ser cerrado y acotado para ser secuencialmente compacto. Sin embargo, estas condiciones están lejos de ser suficientes, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Considere (R,d A ) donde d A es la métrica acotada: d A (x,y) = x y 1 + x y. Entonces R es cerrado (en sí mismo) y acotado, ya que d A (x,y) 1 para todo x,y. Sin embargo, la sucesión x n = n no tiene ninguna subsucesión convergente porque, para cualquier m y n, m n, d A (x m,x n ) = m n 1 + m n 1 2, donde hemos utilizado el hecho que la función r 1+r es creciente para r > 0. Como en la construcción anterior, x m y x n no pueden estar a distancia menor que 1/4 de algún número en común. Decimos que A es totalmente acotado si, para todo ε > 0, existen x 1,x 2,...,x n X tales que B ε (x 1 ) B ε (x 2 )... B ε (x n ) A. Por la construcción anterior vemos que, si A es secuencialmente compacto, entonces deber ser totalmente acotado. En el siguiente capítulo mostraremos que estas condiciones, cerrado y totalmente acotado, son suficientes para garantizar que un conjunto es secuencialmente compacto. 2. Sucesiones de Cauchy y completitud Hasta ahora, la única manera que tenemos para concluir que una sucesión converge es verificando la definición de convergencia directamente. Esto es, debemos conocer el límite a priori. r

6 26 2. Sucesiones y convergencia Como lo hemos hecho en ejemplos anteriores, podemos concluir que una sucesión no converge (o incluso que no tiene subsucesiones convergentes), si los términos de la sucesión no se acercan entre sí. Esta es una condición necesaria para convergencia, y es llamada la condición de Cauchy. Sin embargo, sólo en ciertos espacios esta condición es suficiente, y dichos espacios son llamados completos. En esta sección haremos precisas las ideas de convergencia de Cauchy y completitud en un espacio métrico. Definición Sea (x n ) una sucesión en un espacio métrico (X,d). Decimos que (x n ) es una sucesión de Cauchy (o satisface la condición de Cauchy) si, para cada ε > 0, existe N Z + tal que, si m,n N, entonces d(x m,x n ) < ε. La siguiente proposición explora distintas relaciones entre convergencia, sucesiones de Cauchy y sucesiones acotadas. Proposición Sea (X,d) un espacio métrico y (x n ) una sucesión en X. 1. Si (x n ) converge, entonces (x n ) es una sucesión de Cauchy. 2. Si (x n ) es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada. 3. Si (x n ) es una sucesión de Cauchy y alguna subsucesión de (x n ) converge a x, entonces x n x. Demostración. 1. Supongamos que x n x. Dado ε > 0, existe N tal que si n N entonces d(x n,x) < ε/2. Entonces, si m,n N, d(x m,x n ) d(x m,x) + d(x,x n ) < ε 2 + ε Sea N tal que si m,n N entonces d(x m,x n ) < 1. Si tomamos M = máx{d(x 1,x N ),d(x 2,x N ),...,d(x n,x N 1 ),1}, entonces, para todo n, d(x n,x N ) M. Por lo tanto, (x n ) está en B M (x N ). 3. Supongamos que x nk x. Entonces, dado ε > 0, existe K tal que, si k K, d(x nk,x) < ε/2. Como (x n ) es de Cauchy, existe N 1 tal que, si m,n N 1, d(x m,x n ) < ε/2. Si tomamos N = máx{n K,N 1 }, entonces n N implica d(x n,x) d(x n,x nk ) + d(x nk,x) < ε 2 + ε 2 = ε. El primer inciso de la proposición anterior establece que ser una sucesión de Cauchy es una condición necesaria para que una sucesión sea convergente;

7 2. Sucesiones de Cauchy y completitud 27 pero esta condición no es suficiente en todo espacio métrico, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Considere el subespacio Q de R, es decir, d(r,s) = r s para cualquiera r,s Q. Considere la sucesión r 1 = 1,r 2 = 1.4,r 3 = 1.41,r 4 = 1.414,.... En R, dicha sucesión convergería a 2, y por lo tanto es de Cauchy en R. Obviamente también es de Cauchy en Q. Sin embargo, 2 Q, por lo que (r n ) no converge en Q, por unicidad del límite. Definición El espacio métrico (X,d) es completo si toda sucesión de Cauchy converge. El ejemplo 2.14 implica que el espacio Q no es completo. Ejemplo R es completo. Este hecho se sigue del llamado axioma de completitud de los números reales: Sea S un subconjunto de R acotado por arriba. Entonces S tiene un supremo. La demostración del hecho de que toda sucesión de Cauchy en R converge a partir de este axioma es bosquejada en el ejercicio 7, y los detalles se dejan al lector. Ejemplo R l es completo. Ésto se sigue de la completitud de los reales: Supongamos que x n = (x 1 n,x 2 n,...,x l n) es una sucesión de Cauchy en R l. Entonces es fácil ver que cada (x i n) es una sucesión de Cauchy en R y, por lo tanto, converge. Si x i n x i, para cada i, entonces (Véase el ejercicio 5.) (x 1 n,x 2 n,...,x l n) (x 1,x 2,...,x l ). Ejemplo Un espacio métrico discreto es completo. De hecho, toda sucesión de Cauchy en un espacio discreto es finalmente constante y por lo tanto converge. En particular, un espacio finito es completo (ejercicio 4). El espacio ( C([0,1]), u ) es completo. Estableceremos este enunciado como teorema. Teorema El espacio métrico C([0,1]) con la norma uniforme es completo. Demostración. Recordemos que ( C([0,1]), u ) es el espacio métrico de todas las funciones f : [0,1] R, continuas, cuya métrica está dada por d u (f,g) = f g u = máx f(x) g(x). x [0,1]

8 28 2. Sucesiones y convergencia Sea (f n ) una sucesión de Cauchy; es decir, para todo ε > 0, existe N Z + tal que, si m,n N, entonces f n (x) f m (x) < ε para todo x [0,1]. Nótese que N no depende de x. Ahora bien, si tomamos x [0,1], la sucesión dada por x n = f n (x) es una sucesión de Cauchy en R, por lo que, como R es completo, converge, digamos a L(x). Entonces L define una función en [0,1], dada por L(x) = lím n f n(x). Ésto significa que, para cada x [0,1] y ε > 0, existe un N x (que depende de x) tal que, si n > N x, entonces f n (x) L(x) < ε. Decimos entonces que (f n ) converge punto por punto a L. Demostraremos que, de hecho, f n L en C([0,1]), es decir, (f n ) converge uniformemente a L C([0,1]). Ésto lo haremos en dos pasos: Paso 1: Para cada ε > 0 existe N tal que, si n N, entonces f n (x) L(x) < ε, para todo x [0,1]; es decir, N no depende de x. Paso 2: L es continua en cada punto x [0,1]. Para demostrar el paso 1, sea ε > 0. Tomamos N (la sucesión (f n ) es de Cauchy) tal que, si m,n N, entonces f n (x) f m (x) < ε/2 uniformemente. Demostraremos que f n (x) L(x) < ε para n N, uniformemente en x. Fijamos x 0 [0,1] y estimaremos la diferencia f n (x 0 ) L(x 0 ), para n N. Ahora bien, sabemos que la sucesión (f n (x 0 )) converge a L(x 0 ), por lo que podemos encontrar un N x0 tal que f n (x 0 ) L(x 0 ) < ε/2, para todo n N x0. Escogemos ahora un entero n 0 con n 0 > N y n 0 > N x0. Entonces, si n N, tenemos que f n (x 0 ) L(x 0 ) f n (x 0 ) f n0 (x 0 ) + f n0 (x 0 ) L(x 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε. Como x 0 es arbitrario y N no depende de x 0, podemos concluir que, si n N, f n (x) L(x) < ε, para todo x [0,1]. Entonces f n L uniformemente. Para demostrar el paso 2, tomamos un x 0 [0,1] y demostraremos que L es continua en x 0 ; es decir, dado ε > 0, mostraremos que podemos encontrar un δ > 0 con la propiedad que x x 0 < δ implica L(x) L(x 0 ) < ε. Sea ε > 0. Por convergencia uniforme, podemos escoger un entero n 0 tal que f n0 (x) L(x) < ε 3

9 3. Espacios vectoriales completos 29 para todo x [0,1]. Ahora bien, como f n0 es continua, existe un δ > 0 tal que, si x x 0 < δ, entonces f n0 (x) f n0 (x 0 ) < ε 3. Entonces, si x [0,1] y x x 0 < δ, tenemos L(x) L(x 0 ) L(x) f n0 (x) + f n0 (x) f n0 (x 0 ) + f n0 (x 0 ) L(x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Más adelante estudiaremos la continuidad de funciones en un espacio métrico y, de manera similar a C([0,1]), definiremos el espacio C(X,Y ) como el espacio de funciones continuas acotadas de X a Y, con una métric apropiada. Así como lo hemos hecho para C([0, 1]), podemos mostrar que C(X,Y ) es completo si Y es completo. Sin embargo, C([0,1]) no es completo con la norma 1 (ejercicio 11). El siguiente teorema será de utilidad más adelante. Teorema Sea (X,d) un espacio métrico completo y E un subespacio de X. Entonces E es completo si y sólo si E es cerrado en X. Demostración. Supongamos que E es completo, y sea x X un punto de acumulación de E. Entonces, existe una sucesión (x n ) en E tal que x n x. Como (x n ) converge en X, es una sucesión de Cauchy en X. Pero la métrica de E es la restricción a E de la métrica de X, por lo que entonces (x n ) es también de Cauchy en E. Como E es completo, (x n ) converge en E. Como E es un subespacio de X, la proposición 2.6 implica que x n x en E, es decir, x E. Por lo tanto, E es cerrado. Supongamos ahora que E es cerrado en X, y sea (x n ) una sucesión de Cauchy en E. Como E es un subespacio de X, (x n ) es también una sucesión de Cauchy en X y, como X es completo, entonces converge, digamos a x. Pero entonces (x n ) es una sucesión en E que converge a x, lo cual implica que x Ē. Como E es cerrado, x E, lo cual implica que x n x en E. Por lo tanto, E es completo. 3. Espacios vectoriales completos En esta sección estudiaremos la completitud de un espacio métrico (X, d), cuando (X, ) es un espacio normado y la métrica d es inducida por la norma; es decir, d(x, y) = x y. En este caso podemos estudiar la completitud del espacio X a través de series convergentes en X; en particular, de series absolutamente convergentes en X.

10 30 2. Sucesiones y convergencia Definición Sea (X, ) un espacio normado. Una serie en X es un par de sucesiones ((x n ),(s n )) en X tales que (2.1) s n = x k, k=1 para cada n Z +. A la sucesión (s n ) se le llama la sucesión de sumas parciales de la serie. Decimos que la serie (2.2) es convergente (o que converge), si la sucesión (s n ) de sumas parciales converge en X. Denotaremos a la serie ((x n ),(s n ) como (2.2) x n, n=1 o simplemente x n. Si s n s, entonces escribiremos x n = s, n=1 donde el signo de igualdad se refiere al límite de la serie. Decimos que (2.2) es absolutamente convergente (o que converge absolutamente), si la sucesión (r n ), (2.3) r n = x k, k=1 converge en R. Como la sucesión (r n ) es monótona creciente, entonces escribiremos simplemente xn < para indicar que x n es absolutamente convergente. Nótese que mientras (2.1) define una sucesión de vectores, (2.3) define una sucesión de números reales nonegativos. La convergencia de cada una de éstas no necesariamente implica la convergencia de la otra. Ejemplo Considere la sucesión en R x n = ( 1)n n. La serie x n converge en R, pero no converge absolutamente, ya que la sucesión de sumas parciales 1 k diverge. k=1

11 3. Espacios vectoriales completos 31 Sin embargo, es conocido que si una serie en R es absolutamente convergente, entonces converge. Esto resulta ser equivalente a la completitud de los números reales, como lo veremos a continuación. Definición Si el espacio normado (X, ) es completo, entonces decimos que X es un espacio de Banach. Por ejemplo, R, R l ó C([0,1]), con la norma uniforme, son espacios de Banach. El siguiente teorema caracteriza a los espacios de Banach a través de sus series absolutamente convergentes. Teorema Sea (X, ) un espacio normado. Entonces X es un espacio de Banach si, y sólo si, toda serie en X absolutamente convergente es convergente. Es decir, X es completo si, y sólo si, la sucesión (2.1) converge siempre que (2.3) converge. Demostración. Para demostrar este teorema supongamos primero que X es un espacio de Banach; es decir, toda sucesión de Cauchy en X converge. Sea entonces x n un serie absolutamente convergente; en otras palabras, suponemos que la sucesión ( n 1 x k ) converge. Demostraremos que (s n ), la sucesión de sumas parciales, converge. Como X es completo, es suficiente con mostrar que (s n ) es una sucesión de Cauchy. Sea ε > 0. Como la sucesión ( n 1 x k ) converge en R, entonces es una sucesión de Cauchy. Tomemos entonces N tal que si n,m N, entonces m x k x k < ε. Pero esto significa, si n > m, que 1 x m+1 + x m x n < ε. Por lo tanto, si n,m N y n > m, tenemos que m s n s m < x k x k = x k m+1 x m+1 + x m x n < ε, por lo que la sucesión (s n ) es de Cauchy y, por lo tanto, converge. Ahora suponemos que toda serie absolutamente convergente es convergente en X. Para mostrar que X es completo, sea (x n ) un sucesión de Cauchy. Mostraremos que esta sucesión converge. Observemos que es suficiente, por la proposicón 2.13, demostrar que alguna subsucesión de (x n ) converge.

12 32 2. Sucesiones y convergencia Primero, para cada k Z +, sea n k tal que, si m,n n k, entonces x n x m < 2 k y, además, n k+1 n k. Tal sucesión es posible ya que (x n ) es una sucesión de Cauchy. Definimos la sucesión y 1 = x n1, y k = x nk x nk 1, k = 2,3,.... Por la construcción de las n k, es claro que y k < 2 (k 1), luego y k < x n1 + 2 (k 1) < x n1 + 1 k=1 k=2 y, por lo tanto, la serie y k es absolutamente convergente. Por hipótesis, es convergente; es decir, para algún y X, y k y. Pero N y k = x n1 + k=1 k=1 N (x nk x nk 1 ) = x nn, k=2 por lo que concluímos que la subsucesión (x nk ) converge. Este teorema muestra por qué en R toda serie absolutamente convergente es de hecho convergente, como es mostrado en los cursos elementales de cálculo. Ésto es equivalente a completitud. Más aún, este teorema nos permite desarrollar un criterio para convergencia uniforme de series de funciones en C([0,1]), el cual es llamado el criterio M de Weierstrass. Corolario 2.25 (Criterio M de Weierstrass). Sea (f n ) una sucesión de funciones en C([0,1]). Si existe una sucesión (M n ) de números nonegativos tales que f n (x) M n, para todo x [0,1], y la serie M n converge, entonces la serie f n (x) n=1 converge absoluta y uniformemente en [0,1]. Demostración. Las hipótesis se pueden reescribir de la siguiente forma: f n u M n, para todo n, Mn < ; es decir, converge. Entonces la serie f n u converge, por lo que entonces f n es una serie absolutamente convergente. Como C([0, 1]) es completo con la norma uniforme, entonces la serie f n converge en C([0,1]), es decir, uniformemente.

13 3. Espacios vectoriales completos 33 De nuevo, el criterio M de Weierstrass se puede generalizar a los espacios C(X,Y ), donde Y es un espacio de Banach. En este caso, C(X,Y ) es también un espacio de Banach. Estudiaremos estas generalizaciones más adelante en estas notas. Ahora estudiaremos la convergencia de una serie que no necesariamente converge de manera absoluta. El resultado más importante en esta área es el siguiente teorema, debido a Dirichlet. Antes, definiremos una sucesión monótona. Definición Decimos que una sucesión (a n ) en R es monótona creciente (o monótona decreciente) si, para cada n, a n+1 a n (ó a n+1 a n, respectivamente). Si una sucesión es monótona creciente o monótona decreciente, diremos simplemente que es monótona. Teorema 2.27 (Dirichlet). Sea (X, ) un espacio de Banach, (λ n ) una sucesión en R y (x n ) una sucesión en X tales que 1. λ n 0 para todo n; 2. λ n es monótona y λ n 0; y 3. La sucesión de sumas parciales de (x n ), s n = x k, es acotada en X. k=1 Entonces la serie n=1 λ nx n converge. Demostración. Demostraremos que la sucesión y n = λ k x k k=1 es de Cauchy en X. Como X es completo, esto es suficiente para concluir que converge. Para esto, sean n > m enteros positivos y escribimos y n y m = λ k x k = λ k (s k s k 1 ) = k=m+1 k=m+1 = λ n s n + λ k s k n 1 k=m+1 k=m+1 k=m+1 λ k s k 1 = k=m+1 (λ k λ k+1 )s k λ m+1 s m. λ k s k n 1 k=m λ k+1 s k

14 34 2. Sucesiones y convergencia Como (s n ) es acotada, existe M > 0 tal que s n M para todo n. Como (λ n ) es monónotona y converge a 0, λ k λ k+1 0 para todo k. Sea ε > 0. Como λ n 0, existe N tal que, si n N, λ n < ε/2m. Entonces, si n > m N, y n y m λ n s n + λ n M + n 1 k=m+1 n 1 k=m+1 (λ k λ k+1 ) s k + λ m+1 s m (λ k λ k+1 )M + λ m+1 M = λ n M + (λ m+1 λ n )M + λ m+1 M = 2λ m+1 M < ε. Ejemplo 2.28 (Series alternantes). Si a n > 0 tal que (a n ) es monótona y converge a 0, entonces decimos que la serie ( 1) n a n es alternante. Podemos aplicar el teorema de Dirichlet para conluír que dichas series son convergentes en R, tomando λ n = a n y x n = ( 1) n. Ejemplo Para α R, consideremos la serie sen nα (2.4). n n=1 Supongamos que α 2πk, con k Z. 1 Si tomamos x n = sen nα, tenemos entonces que x k = 1 (e ikα e ikα ) = 1 (e iα1 einα ) e inα e iα1 2i 2i 1 eiα 1 e iα k=1 = k=1 sen α + sen nα sen(n + 1)α, 2(1 cos α) la cual es acotada. Como 1 es monótona y converge a cero, entonces la serie n (2.4) converge. Ejemplo Sin embargo, no podemos decidir si la serie (2.4) converge uniformemente en α o no, debido a que el cociente (2.5) f n (x) = sen x + sen nx sen(n + 1)x 2(1 cos x) no es uniformemente acotado en x. De hecho es posible demostrar que existe una constante c > 0 tal que Véase la figura 3. f n u cn. 1 En tal caso la serie sería idénticamente cero.

15 4. Espacios de Banach de dimensión finita Figura 3. Gráfica de las funciones f n para n = 10, 20, 50. Se puede apreciar que dicha suma no es uniformemente acotada (de hecho f n u 5n, por el ejercicio 12), aunque sí acotada para cada x. 3π 4. Espacios de Banach de dimensión finita En el ejercicio 8 del capítulo 1 definimos el concepto de normas equivalentes: Si 1 y 2 son normas en X, decimos que son equivalentes si existen c,c > 0 tales que, para todo x X, c x 1 x 2 C x 1. Si dos normas son equivalentes, entonces inducen métricas homeomorfas, y por lo tanto las sucesiones convergentes respecto de una son también convergentes respecto a la otra. En el mismo ejercicio, se demuestra que las normas E, M y T en R l son equivalentes. Demostraremos ahora que cualquiera dos normas en K l son equivalentes, si K = R o C. Teorema Sean 1 y 2 normas en K l. Entonces son equivalentes. Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que, por ejemplo, 1 es la métrica del taxi: x T = x x l. (Escribiremos el índice de la coordenada de cada vector en K l como superíndice.) Sea entonces cualquier norma en R l. Entonces, para x K l, x = x 1 e x l e l x 1 e x l e l,

16 36 2. Sucesiones y convergencia por las propiedades de norma, donde {e 1,...,e l } es la base estándar de K l. Si tomamos M = máx{ e 1,..., e l }, entonces x M x M x l = M x T. Para la inversa, demostraremos que, para cada i = 1,...,l, existe c i > 0 tal que x i c i x, para todo x K l. De esa forma obtendremos que x T = x x l (c c l ) x. Esto lo demostraremos por inducción en l, la dimensión del espacio. El caso l = 1 es trivial, porque cualquier norma es, de hecho, un múltiplo del valor absoluto (simplemente hay que notar que, para x K, x = x 1 ). Suponemos ahora que el caso l 1 es cierto, y demostraremos el caso l. Por contradicción, y sin pérdida de generalidad, suponemos que, para cada n, existe un x n K l tal que x 1 n > n x n. Si tomamos y n = x n x 1 n = e 1 + x2 n x 1 e xl n n x 1 e l, n entonces y n 0 con respecto a, ya que y n = 1 x 1 n x n < 1 n. Sea z n = y n e 1. Luego, z n e 1. Pero z n se encuentra en el espacio generado por {e 2,...,e l }, llamémoslo V, isomorfo a K l 1. Este isomorfismo induce una norma 2 en K l 1 a partir de la restricción de a V, por lo que nuestra hipótesis de inducción implica que existen constantes c 1,...,c l 1 > 0 tales que (2.6) z i c i z 1 e z l 1 e l, z 1,...,z l 1 K,i = 1,...,l 1. Entonces, como (z n ) converge en la norma, es una sucesión de Cauchy, y (2.6) implica que cada a i n = xi n x 1, i = 2,...,l 1, n es de Cauchy en K, y por lo tanto converge, digamos, a a i. Entonces la desigualdad del triángulo implica que z n converge a a 2 e a l e l. 2 Si φ : V K l 1 es un isomorphismo, la norma inducida está dada por x φ = φ 1 x.

17 4. Espacios de Banach de dimensión finita 37 Por unicidad de límites, e 1 = a 2 e a l e l, lo cual contradice el hecho de que {e 1,...,e l } es una base. Esto termina la demostración del teorema con las constantes 1 c = y C = M. c c l Podemos generalizar este resultado a otros espacios vectoriales. Teorema Sean (X, X ) y (Y, Y ) dos espacios vectoriales sobre K de la misma dimensión finita, y sea φ : X Y un isomorfismo. Entonces, existen constantes c, C > 0 tales que para todo x X. c x X φ(x) Y C x X Demostración. Sea l = dim X y ψ : K l X un isomorfismo. Definimos entonces las normas 1 y 2 en K l por x 1 = ψ(x) X, x 2 = φ ψ(x) Y. Por el teorema 2.31, existen constantes c,c > 0 tales que c x 1 x 2 C x 2 para todo x K l. Entonces, para x X, y c x X = c ψ 1 (x) 1 ψ 1 (x) 2 = φ ψ(ψ 1 (x)) Y = φ(x) Y, φ(x) Y = φ ψ(ψ 1 (x)) Y = ψ 1 (x) 2 C ψ 1 (x) 1 = C x X. Si en el teorema 2.32 X = Y, y tomamos el isomorfismo φ como la identidad, tenemos entonces el siguiente corolario. Corolario Si X es un espacio vectorial sobre K de dimensión finita, entonces cualesquiera dos normas en X son equivalentes. La completitud de K l (ejemplo 2.17) y el teorema 2.32 implican el siguiente resultado. Corolario Si (X, ) es un espacio normado de dimensión finita, entonces es un espacio de Banach.

18 38 2. Sucesiones y convergencia Demostración. Sea (x n ) una sucesión de Cauchy en X, y demostraremos que converge. Si dim X = l, tomamos entonces un isomorphismo φ : X K l, y definimos y n = φ(x n ). (y n ) es entonces una sucesión en K l. Por el teorema 2.32, existen constantes c,c > 0 tales que c x φ(x) E C x para todo x X, donde E es la norma euclideana en K l. Entonces, para todo m,n, y m y n E = φ(x m x n ) E C x m x n, lo cual implica que (y n ) es también de Cauchy. Como K l es completo, (y n ) converge, digamos y n y. Sea x = φ 1 (y). Como x n x 1 c y n y E, x n x. Corolario Sea X un espacio de Banach y Y un subespacio de dimensión finita. Entonces Y es cerrado en X. Demostración. Como Y es un espacio normado de dimensión finita, es entonces completo, por el corolario Por el teorema 2.20, Y es cerrado en X. Sin embargo, un subespacio de dimensión infinita de un espacio de Banach puede ser cerrado o no (ejercicios 17 y 18). 5. La completitud de un espacio métrico A todo espacio métrico (X,d), no necesariamente completo, se le puede asignar un espacio métrico completo ( X, d), llamado la completitud de X. Considere la colección X de todas las sucesiones de Cauchy en (X, d). Definimos la siguiente relación de equivalencia: (x n ) (y n ) lím n d(x n,y n ) = 0. A la clase de equivalencia de (x n ) la denotaremos por [x n ]. La clase denotada por [x] corresponderá a la clase que contiene a la sucesión constante x n = x. Es fácil ver que, si x n x, entonces [x n ] = [x]. Lema Si (x n ) y (y n ) son dos sucesiones de Cauchy en X, entonces la sucesión ( d(x n,y n ) ) converge en R.

19 5. La completitud de un espacio métrico 39 Demostración. Demostraremos que la sucesión ( d(x n,y n ) ) es de Cauchy en R. Primero, por la desigualdad del triángulo, para todo m,n, lo cual implica que d(x n,y n ) d(x n,x m ) + d(x m,y m ) + d(y m,y n ), d(x m,y m ) d(x m,x n ) + d(x n,y n ) + d(y n,y m ), d(x n,y n ) d(x m,y m ) d(x n,x m ) + d(y n,y m ). Como (x n ) y (y n ) son de Cauchy, para cada ε > 0 existe N tal que, para n,m N, d(x n,x m ) < ε 2 Entonces, para n, m N, tenemos y d(y n,y m ) < ε 2. d(x n,y n ) d(x m,y m ) d(x n,x m ) + d(y n,y m ) < ε 2 + ε 2 = ε. Entonces ( d(x n,y n ) ) es de Cauchy en R, y por lo tanto converge. Sea X = X/ el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación. Definimos la función d en X X como (2.7) d([(xn )],[(y n )]) = lím n d(x n,y n ). Observamos que d está bien definida. Esto es, si (x n ) (u n ) y (y n ) (v n ), entonces lím d(x n,y n ) = lím d(u n,v n ). Este enunciado se sigue de la desigualdad d(x n,y n ) d(u n,v n ) d(x n,u n ) + d(y n,v n ), y el hecho de que d(x n,u n ) y d(y n,v n ) convergen a 0. Teorema La función d : X X [0, ) dada por (2.7) define una métrica en X. Además, ( X, d) es completo. Demostración. Verificamos primero que la función d satisface las propiedades de una métrica: 1. Si [x n ],[y n ] X y d([x n ],[y n ]) = 0, entonces lím d(x n,y n ) = 0, por lo que x n y n y [x n ] = [y n ]. Si [x n ] = [y n ], entonces d([x n ],[y n ]) = lím d(x n,y n ) = Para [x n ],[y n ] X, d([x n ],[y n ]) = lím d(x n,y n ) = lím d(y n,x n ) = d([y n ],[x n ]).

20 40 2. Sucesiones y convergencia 3. Si [x n ],[y n ],[z n ] X, d([x n ],[y n ]) = lím d(x n,y n ) lím(d(x n,z n ) + d(z n,y n )) = lím d(x n,z n ) + lím d(z n,y n ) = d([x n ],[z n ]) + d([z n ],[y n ]). Sea [x k n] k una sucesión de Cauchy en ( X, d), donde escribimos el índice de la sucesión en X como superíndice en x k n. Debemos mostrar que la sucesión [x k n] k converge en X, para concluir que X es completo. Como la sucesión [x k n] k es de Cauchy, existe un entero K 1 tal que, si k,l K 1, d([x k n] k,[x l n] l ) < 1 2. Por la definición de d, para cada l K 1 existe un entero N(1,l), el cual escogemos de tal forma que N(1,l) N(1,l 1), tal que n N(1,l) implica y, para n,m N(1,l), Tal N(1,l) existe porque d(x K 1 n,x l n) < 1 2 d(x l n,x l m) < 1 2. lím n d(xk 1 n,x l m) = d([x K 1 n ] K1,[x l n] l ) < 1 2 y la sucesión (x l n) n=1 es de Cauchy para cada l. Inductivamente, escogemos enteros K p y N(p,l), l K p, de la manera siguiente: Una vez escogidos K p 1 y N(p 1,l), l K p 1, p 2, escogemos K p K p 1 tal que k,l K p implica d([x k n] k,[x l n] l ) < 1 2p, y, para cada l K p, escogemos N(p,l) de tal forma que N(p,l) N(p,l 1) y N(p,l) N(p 1,l); n N(p,l) implica y d(x Kp n,x l n) < 1 2p ; n,m N(p,l) implica d(x l n,xl m ) < 1 2p.

21 5. La completitud de un espacio métrico 41 Tomamos entonces la sucesión y n = x Kn N(n,K. n) La sucesión y n es de Cauchy en X: Si m > n, tenemos que d ( x Kn N(n,K n),xkm N(m,K m) ya que N(m,K m ) N(n,K n ). ) d ( x K n N(n,K n),xkn N(m,K m) < 1 2n + 1 2n = 1 n, ) + d ( x K n N(m,K m),xkm N(m,K m) La sucesión [x k n] k converge a [y n ] en X: Si k K p y n N(p,k), tenemos que d(x k n,y n ) = d(x k n,x Kn N(n,K n) ) d(x k n,xkp n ) + d(x Kp n,x Kp N(p,K ) p) + d(x Kp N(p,K p),xkp N(n,K n) ) + d(xkp N(n,K n),xkn N(n,K n) ) < 1 2p + 1 2p + 1 2p + 1 2p = 2 p, porque N(p,k) N(p,K p ) p y N(n,K n ) N(p,K p ). Por lo tanto, ) para k K p, y concluímos que d([x k n ] k,[y n ]) < 2 p lím k [xk n ] k = [y n ]). Si identificamos cada elemento de x X con [x] en X, tenemos una inyección j : X X tal que d(j(x),j(y)) = d(x,y), es decir, que preserva la métrica. Tales funciones son llamadas isometrías. Si identificamos X con j(x) X, entonces podemos decir que X es un subespacio de algún espacio métrico completo. Si X es completo, entonces toda clase de equivalencia en X es igual a [x] para algún x X, ya que toda sucesión de Cauchy en X converge. Por lo tanto, la isometría j : X X es biyectiva, y su inversa también es una isometría. Entonces, (X,d) y ( X, d) no sólo son homeomorfos, sino que también decimos que son isométricos. Si (X,d X X ) es un subespacio del espacio completo (Y,d), entonces podemos indentificar a X con algún subespacio E de Y y ( X, d) es isométrico a (E,d E E ). De hecho, E es la cerradura de X en Y. Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera.

22 42 2. Sucesiones y convergencia Teorema Sean (X,d) y (Y,d ) espacios métricos, donde (Y,d ) es un espacio completo, y sea j : X Y una isometría. Entonces existe una isometría φ : X Y tal que φ( X) = j(x). En otras palabras, si podemos identificar isométricamente a X como un subespacio de Y, entonces podemos identificar a X como la cerradura de X en Y. Demostración. Si (x n ) es una sucesión de Cauchy en X, entonces (j(x n )) es una sucesón de Cauchy en Y y, como Y es completo, converge. Dada [x n ] X, definiremos entonces φ como φ([x n ]) = lím n j(x n). Para verificar que φ está bien definida, observemos que, si [x n ] = [y n ], entonces d(x n,y n ) 0 y, por lo tanto, límj(x n ) = lím j(y n ) (ejercicio 19). Para demostrar que φ es una isometría, tenemos que mostrar que d([x n ],[y n ]) = d (límj(x n ),lím j(y n )). Pero d([x n ],[y n ]) = límd(x n,y n ) = lím d (j(x n ),j(y n )), por lo que, si j(x n ) x y j(y n ) y en Y, el resultado se sigue de la desigualdad d (j(x n ),j(y n )) d (x,y) d (j(x n ),x) + d (j(y n ),y). En términos menos precisos, X es el menor espacio métrico completo que contiene a X. El siguiente corolario se sigue de manera inmediata del teorema Corolario Sea X un espacio métrico y X su completitud. Entonces, para cada x X existe una sucesión x n en X tal que x n x en X. En este corolario, de hecho, estamos identificando a X como subespacio de X.

23 Ejercicios 43 Ejercicios 1. Muestre la equivalencia de los enunciados posteriores a la definición Sea (X,d) un espacio métrico, x X y (x n ) en X tal que, para cada n, x n B 1/n (x). Entonces x n x. Utilice este hecho para mostrar la veracidad de los siguientes enunciados: 1 n 0, en R. 2n n+1 2, en R. Si a,b,c,d > 0, entonces an + b cn + d a c. 3. Sea (x n ) una sucesión en el espacio métrico (X,d) y N > 0 tal que, para todo n,m N, d(x n,x m ) ε 0 > 0. Entonces (x n ) no tiene ninguna subsucesión convergente. 4. Sea (x n ) una sucesión de Cauchy en el espacio discreto X. Entonces converge. 5. Sea (x 1 n,...,x l n) una sucesión en R l. Entonces (x 1 n,...,x l n) converge a (x 1,...,x l ) R l si, y sólo si, cada (x i n ) converge a (xi ) en R. 6. Sea (X, ) un espacio normado y (x n ),(y n ) sucesiones en X tales que x n x y y n y. Entonces x n + y n x + y; Para λ,µ K, λx n + µy n λx + µy. 7. En este ejercicio mostraremos la completitud de R a partir del axioma * Sea S un subconjunto de R acotado por arriba. Entonces S tiene un supremo, es decir, una mínima cota superior. Siga los siguientes pasos: El axioma (*) es equivalente al siguiente enunciado: Sea S un subconjunto de R acotado por debajo. Entonces S tiene un ínfimo, es decir, una máxima cota inferior. Toda sucesión en R tiene una subsucesión monótona. Una sucesión monótona acotada converge en R. Toda sucesión de Cauchy converge en R. 8. Sean (X,d) y (X,d ) espacios métricos homeomorfos (es decir, U X es abierto en (X,d) si, y sólo si, es abierto en (X,d )). Entonces (X,d) y (X,d ) tienen las mismas sucesiones convergentes; es decir, (x n ) converge en (X,d) si, y sólo si, converge en (X,d ). Esto quiere decir que convergencia es una propiedad topológica.

24 44 2. Sucesiones y convergencia 9. Sin embargo, completitud no es una propiedad topológica; es decir, existe un espacio X con métricas d y d tales que (X,d) y (X,d ) son homeomorfos, pero uno es completo y otro no. 10. Sin embargo, si (X, ) y (X, ) son homeomorfos, muestre que (X, ) es completo si y sólo si (X, ) lo es. 11. Sea (f n ) una sucesión de funciones en C([0,1]) dadas por 1 n si 0 x < f n (x) = n 1 si 1 x n x 1. Entonces (f n ) es de Cauchy en ( C([0,1]), 1 ), pero no converge. 12. Considere las funciones sen x + sen nx sen(n + 1)x x 2πk,k Z f n (x) = 2(1 cos x) 0 x = 2πk,k Z. a) (f n (x)) es acotada para cada x R; b) (f n ) no es uniformemente acotada; de hecho ( π ) f n 5n n 3π para n 4. (Sugerencia: Considere los primeros términos de las series de Taylor de sen y cos alrededor de 0.) 13. Dada una serie n=1 x n, un reordenamiento de x n es la serie x φ(n), n=1 donde φ : Z + Z + es una biyección. Suponga que la serie a n converge a a 0 en R, pero que no es absolutamente convergente. Muestre que, para todo x R, existe un reordenamiento a φ(n) de a n tal que a φ(n) converge a x. 14. Sea x n una serie en un espacio de Banach que converge absolutamente, y digamos converge a x. Muestre que todos los reordenamientos de xn convergen a x. (Sugerencia: Si φ : Z + Z + es una biyección, entonces x φ(n) = x n.) 15. Sea f n (x) = a n x 2 + b n x + c n una sucesión de polinomios cuadráticos tal que 1 0 f n (x) dx 0. Entonces las sucesiones (a n ),(b n ) y (c n ) convergen a 0 en R.

25 Ejercicios Sea r Z + y P r el conjunto de polinomios de grado menor que r. Si (f n ) es una sucesión en P r que converge uniformemente a f en [0,1], entonces f P r. 17. Considere los polinomios f n (x) = x x n xn. La sucesión (f n ) converge uniformemente en [0,1], pero su límite no es una función polinomial. (Sugerencia: Utilice el criterio M de Weiestrass.) 18. Sea H el subespacio de C([0,1]) dado por las funciones f : [0,1] R que satisfacen f(1 x) = f(x) para x [0,1] (dichas funciones son llamadas pares en [0,1]). H es un subespacio cerrado de ( C([0,1]), u ) de dimensión infinita. 19. Sean (x n ) y (y n ) sucesiones en el espacio métrico (X,d) tales que lím d(x n,y n ) = 0. Entonces (x n ) converge si, y sólo si, (y n ) converge, y en tal caso (x n ) y (y n ) tienen el mismo límite. 20. Sea (X, ) un espacio normado y considere la completitud ( X, d) de (X, ), construída en la sección 5. Entonces X es un espacio vectorial con las operaciones y se puede normar con [x n ] + [y n ] = [x n + y n ], λ[x n ] = [λx n ], [x n ] = lím x n. Además, induce la métrica d y, por lo tanto, ( X, ) es un espacio de Banach.

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