Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro

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1 Capítulo 12 Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro Integrales impropias. Paso al límite bajo la integral. Continuidad y derivabilidad de las integrales dependientes de un parámetro Un inconveniente de la integral de Riemann es que sólo se aplica a funciones acotadas sobre conjuntos acotados. Este inconveniente se resuelve parcialmente con la noción de integral impropia de Riemann absolutamente convergente con la que comienza este capítulo. Luego se estudia la validez del paso al límite bajo la integral de Riemann (y bajo una integral impropia absolutamente convergente), y se obtienen resultados sobre continuidad y derivabilidad de funciones definidas por integrales que dependen de un parámetro. Aunque la integral de Riemann es completamente satisfactoria como herramienta para el cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas sin embargo, para estos problemas de paso al límite, la integral de Riemann comienza a mostrar sus deficiencias: Para garantizar la integrabilidad de la función límite y el paso al límite bajo la integral hay que recurrir a la convergencia uniforme, una hipótesis que suele ser demasiado restrictiva en las aplicaciones Integrales impropias El objetivo de esta sección es el de extender la definición de la integral f para el caso de funciones, que no se suponen acotadas, definidas en conjuntos R n que tampoco se suponen acotados. En lo que sigue, dado un conjunto R n, denotaremos por K la familia de los compactos K que son medibles Jordan. En este capítulo sólo consideraremos dominios R n que se pueden expresar en la forma = j=1 K j donde K j K es una sucesión creciente tal que todo K K está contenido en algún K m. Diremos entonces que es un recinto de integración y que (K j ) es una sucesión expansiva en. Es obvio que todo compacto medible Jordan es un recinto de integración. La demostración de que todo abierto R n es un recinto de integración es una consecuencia inmediata del siguiente 298

2 Lecciones de Análisis atemático II lema: Obsérvese que si {Q j : j } es la sucesión que proporciona el lema, entonces K j = {Q k : k, k < j}, es una sucesión expansiva de compactos medibles Jordan cuya unión es. Lema 12.1 Si R n es abierto existe una familia finita o numerable de cubos semiabiertos disjuntos dos a dos {Q j : j }, N, con Q j, tal que = j Q j, y cada compacto K se puede cubrir con una cantidad finita de cubos de la familia. Dem: Para cada k N, sea D k = {j2 k : j Z}. Llamaremos cubos diádicos de lado 2 k a los cubos semiabiertos de la forma Q = n [d j, d j + 2 k ), con d j D k, para 1 j n, j=1 Sea Q k la familia, finita o numerable formada por los cubos diádicos Q, de lado 2 k, que cumplen Q, a los que llamaremos cubos de rango k. Sea E 1 = Q 1 la familia finita o numerable formada por los cubos de rango 1. De manera recurrente se define E k+1 Q k+1 como la familia finita o numerable formada por los cubos de rango k + 1, que no están contenidos en cubos de rango inferior. La unión de las familias E = E 1 E 2 E k... proporciona una familia numerable de cubos diádicos semiabiertos y disjuntos {Q j : j }, con la propiedad requerida. En efecto, el compacto K, es disjunto del cerrado F = R n \, y por lo tanto existe δ > tal que d(x,y) δ para cada x K, y cada y F. En R n consideramos la distancia asociada a la norma, para la que se cumple que el diámetro de cada Q E k es 2 k. Elegimos p N tal que 2 p < δ. Entonces, dado x K, hay un único cubo diádico Q de lado 2 p tal que x Q, y la condición diam(q) = 2 p < δ implica que Q, luego Q Q p. Se sigue que Q está contenido en algún cubo de una familia E j con j p. Esto demuestra que K está cubierto por los cubos de las familias E 1, E 2, E p, luego los cubos de la familia E p+1 no intersecan a K. Teniendo en cuenta que para cada k p N la familia {Q E k : Q K } es finita (porque K es acotado), se obtiene que {j : Q j K } es finito. Definición 12.2 Una función f : R, definida en un recinto de integración R n se dice que es localmente integrable Riemann (brevemente, localmente integrable) cuando para cada K K la restricción f K es integrable Riemann sobre K. Una función localmente integrable Riemann f : R se dice que es absolutamente integrable Riemann sobre, cuando cumple [IA] : sup K K f < + K En virtud de 1.14, toda función continua f : R es localmente integrable. Es claro que la condición de integrabilidad absoluta [IA], equivale a sup j N K j f < +, donde K j K, es cualquier sucesión expansiva en. 299

3 Lecciones de Análisis atemático II Proposición 12.3 Si f : R es absolutamente integrable sobre el recinto de integración R n, hay un único α R que verifica: Para cada ǫ > existe K(ǫ) K tal que K K, K K(ǫ) K f α < ǫ. Además, para cada sucesión expansiva K j K se cumple α = lím j K j f. Dem: En primer lugar, es claro que sólo puede haber un número real α verificando la condición del enunciado (basta razonar de forma análoga al caso de la unicidad del límite de una sucesión de números reales). Para demostrar la existencia de este número consideramos una sucesión K j K expansiva en, y comenzamos viendo que la sucesión de las integrales α j = K j f es de Cauchy. Según la hipótesis, es finito el supremo A = sup K K f, luego para cada K ǫ > existe K(ǫ) K tal que f A ǫ/2 K(ǫ) Como la sucesión (K j ) es expansiva, K(ǫ) está contenido en algún K m. Entonces, si p q m se cumple K p K q K m K(ǫ), luego α p α q = f K p\k q f = f f K p\k q K p K q A f A (A ǫ/2) = ǫ/2 K(ǫ) Para terminar la demostración basta ver que el límite α = lím j α j, de esta sucesión de Cauchy cumple la condición del enunciado. Como la desigualdad α p α q ǫ/2, es válida para p > q m, aplicándola con q = m, y pasando al límite cuando p +, se obtiene que α α m ǫ/2 Es claro que cada K K con K K m verifica f α m = f f = f K K K m K\K f = m K\K m = f f f f A (A ǫ/2) = ǫ/2 K K m K K(ǫ) luego α f α α m + α m f ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ K K En lo que sigue, el número α que interviene en la proposición 12.3 lo denotaremos α = lím f(x) dx K K K (Este es un caso particular de la noción de límite de una red que se suele estudiar en los cursos de Topología General). 3

4 Lecciones de Análisis atemático II Definición 12.4 Cuando f : R es absolutamente integrable Riemann sobre el recinto de integración R n, se define f(x) dx = α donde α = lím K K f(x) dx es el número que interviene en la proposición K También se suele decir que f es una integral de Riemann impropia absolutamente convergente, de valor α. En las condiciones de la definición 12.3, para una función f, es fácil ver que f = sup f = sup K K j N K donde K j K es cualquier sucesión expansiva en. Cuando sólo se supone que f es localmente integrable en, también se define f = sup f = sup f + K K K j N K j de modo que, en este caso, la integral f es (absolutamente) convergente cuando su valor es finito. La segunda parte de la conclusión de la proposición 12.3 es útil a la hora de calcular el valor de una integral impropia absolutamente convergente f(x) dx: Se elige una sucesión expansiva K j K tal que las integrales α j = K j f(x)dx sean fácilmente calculables y luego se calcula el límite f(x) dx = lím j α j. K j f Paso al límite bajo la integral Los resultados sobre continuidad y derivabilidad de integrales dependientes de un parámetro se refieren en última instancia a la posibilidad de que cierto proceso de paso al límite (límite funcional, límite de cocientes incrementales) pase bajo la integral. Comenzamos estudiando la validez de la integración término a término de sucesiones (integrales que dependen del parámetro k N): Teorema 12.5 Sea f k : R una sucesión de funciones integrables Riemann sobre un conjunto medible Jordan R n, que converge uniformemente hacia f : R. Entonces f es integrable sobre, y f(x)dx = lím f k (x)dx k Dem: Consideremos primero el caso = A R n, donde A es un rectángulo cerrado n-dimensional. 31

5 Lecciones de Análisis atemático II Por la convergencia uniforme, la sucesión ρ k = sup x A f k (x) f(x) +, converge hacia, luego existe k tal que ρ k < +, para todo k k. Como f k (x) ρ k f(x) f k (x) + ρ k para todo x A, obtenemos que f es acotada sobre A. Además, para todo k N se cumple f k ρ k v(a) f f f k + ρ k v(a) A A A A luego f f 2ρ k v(a) A A y pasando al límite se obtiene f = f, es decir, f es integrable sobre A. A A Por otra parte, usando la desigualdad f(x) f k (x) ρ k, válida para todo x A, y todo k N, resulta f k (x)dx f(x)dx f(x) f k (x) dx ρ k v(a) A A luego, lím k A f k(x) = A f(x)dx. Para demostrar el teorema cuando es un conjunto medible Jordan arbitrario, basta fijar un rectángulo cerrado n-dimensional A y aplicar lo que se acaba de demostrar a la sucesión ˆf k : A R, definida por ˆf k (x) = f k (x) si x, ˆfk (x) = si x Como esta sucesión converge uniformemente hacia ˆf : A R, (definida en forma similar), resulta que ˆf es integrable sobre A, y lím k A ˆf k = ˆf, lo que significa A que f es integrable sobre, y f = lím k f k. Corolario 12.6 Sea n=1 f k(x) una serie de funciones f k : R, integrables Riemann sobre un conjunto medible Jordan R n, que converge uniformemente. Entonces f(x) = n=1 f k(x) es integrable sobre, y se cumple f(x)dx = A k=1 f k (x)dx Dem: La sucesión S k = k j=1 f j, converge uniformemente sobre hacia f, y en virtud de 12.5 la sucesión S k = k j=1 ( f j) converge hacia f. Cuando se sabe que la función límite es integrable Riemann los siguientes resultados (teoremas 12.7 y 12.8) garantizan el paso al límite bajo la integral con hipótesis más débiles que la convergencia uniforme. 32

6 Lecciones de Análisis atemático II Teorema 12.7 Sea f n : R una sucesión de funciones integrables Riemann en el conjunto medible Jordan R n que converge puntualmente hacia una función f : R que se supone integrable Riemann sobre. Si la sucesión f n es uniformemente acotada, (existe C > tal que f n (t) C para todo t, y todo n N) entonces f(x) dx = lím f n (x) dx n En lo que sigue diremos que la sucesión f n : R está dominada por la función g : [, + ) cuando para todo t y todo n N se cumple f n (t) g(t). Teorema 12.8 Sea f n : R una sucesión de funciones absolutamente integrables Riemann en el recinto de integración R n que converge puntualmente sobre hacia una función localmente integrable f : R. Si la sucesión f n está dominada por una función absolutamente integrable Riemann g : [, + ) entonces f es absolutamente integrable Riemann y se cumple f(t)dt = lím n f n(t)dt. Los teoremas 12.7 y 12.7, en el contexto de la teoría de la integral de Lebesgue, son versiones particulares del teorema de la convergencia dominada. Funciones definidas por integrales. Sea R n medible Jordan, T un conjunto, y f : T R una función tal que para cada t T la función parcial f t : R es integrable Riemann. En estas condiciones la integral dependiente del parámetro t T, F(t) = f(t,x)dx define una función F : T R. Cuando T es un espacio métrico (resp. un abierto de R k ) se estudian a continuación condiciones suficientes para que F sea continua (resp. derivable). Teorema 12.9 Sea (T, d) un espacio métrico, R n Jordan. Si f : T R es continua, la función F(t) = f(t,x)dx definida en T, también es continua. un compacto medible Dem: Como (T, d) es un espacio métrico podemos utilizar la caracterización de la continuidad por sucesiones: Basta demostrar que si una sucesión t k T converge hacia t T, entonces F(t k ) converge hacia F(t). Como K = {t k : n N} {t}, y son compactos también lo es K, para la distancia ρ((u,x), (v,y)) = máx{d(u,v), d 2 (x,y)} luego f es uniformemente continua sobre K, es decir, para cada ǫ >, existe δ >, tal que u,v T, x,y, d(u,v) < δ, d 2 (x,y) < δ f(u,x) f(v,y) < ǫ 33

7 Lecciones de Análisis atemático II Como t k converge hacia t, existe n δ N tal que n n δ d(t k,t) < δ, luego, para todo x se cumple f(t,x) f(t k,x) < ǫ. Esto significa que la sucesión f tk converge hacia f t uniformemente sobre, y aplicando el teorema 12.5 se concluye que la sucesión F(t k ) = f t k converge hacia F(t) = f t. Teorema 12.1 Sea R k abierto y R n un compacto medible Jordan y f : R una función continua, tal que en cada (t,x) K existe y es continua la derivada parcial (t,x). Entonces la función F(t) = t f(t,x)dx, j definida en, es derivable en cada t, respecto a la variable t j, y se verifica F(t) = t j (t,x) dx t j Dem: Suponemos, para simplificar la escritura, que j = 1. Dado t, fijemos una bola cerrada B(t, r). Así, para cada h R, con h < r, está definido (t, h) = F(t 1 + h, t 2, t 3,, t k ) F(t 1, t 2, t 3,, t k ) = h = 1 (f(t 1 + h, t 2, t k,x) f(t 1, t 2, t k,x))dx. h La función s f(s, t 2, t k,x), es derivable en el intervalo (t 1 r, t 1 +r), luego, en virtud del teorema del valor medio, f(t 1 + h, t 2, t k,x) f(t 1, t 2, t k,x) = h t 1 (t 1 + hθ x, t 2, t k,x) donde θ x [, 1] depende de x y de h (t está fijo todo el rato). Se obtiene así que (t, h) = (t 1 + hθ x, t 2, t k,x)dx t 1 luego (t, h) (t,x)dx t 1 (t 1 + hθ x, t 2, t k,x) (t 1, t 2, t k,x) t 1 t 1 dx Como la derivada parcial / t 1 es uniformemente continua sobre el compacto B(t, r) R k+n, para cada ǫ > existe δ (, r) tal que para todo par t,t B(t, r) con d R k(t,t ) < δ, y todo par, x,x, con d R n(x,x ) < δ, se cumple (t,x ) (t,x ) t 1 t 1 < ǫ 34

8 Lecciones de Análisis atemático II Si h < δ (< r), los dos puntos (t 1, t 2 t k ), (t 1 + hθ x, t 2, t k ) están en la bola B(t, r), y la distancia entre ellos es menor que δ, luego, para cada x (t 1 + hθ x, t 2, t k,x) (t 1, t 2, t k,x) t 1 t 1 < ǫ Se sigue que para h < δ se verifica queda demostrado que lím h (t, h) = (t, h) t 1 (t,x)dx (t,x)dx t j ǫc n() y Finalmente exponemos algunos resultados de carácter complementario referentes a integrales impropias dependientes de un parámetro. Son versiones restringidas de resultados más generales cuya formulación adecuada requiere el conocimiento de la integral de Lebesgue. Se obtienen de forma natural combinando los resultados básicos obtenidos hasta ahora. Proposición Sea (T, d) un espacio métrico, R n un recinto de integración y f : T R una función continua tal que existe una función absolutamente integrable g : [, + ) verificando f(t, x) g(x) para todo t T y todo x. Entonces la función F(t) = f(t,x)dx, está definida y es continua en T. Dem: La hipótesis implica que todas las integrales impropias f(t,x)dx son absolutamente convergentes y por lo tanto F(t) está definida para todo t T. Sea K j K una sucesión expansiva de compactos medibles Jordan contenidos en. Según el teorema 12.9, las funciones F j (t) = K j f(t,x)dx están definidas y son continuas en T. Es evidente que la sucesión F j converge puntualmente hacia F, y si demostramos que la convergencia es uniforme, acudiendo al teorema 12.9 obtendremos la continuidad de F. Usando la convergencia de la sucesión K j g(x)dx, y la siguiente desigualdad, válida para j i, y todo t T, F j (t) F i (t) f(t,x) dx g(x)dx = g(x)dx g(x)dx K j \K i K j \K i K j K i se obtiene fácilmente que la sucesión F j convergencia uniforme sobre T. cumple la condición de Cauchy para la 35

9 Lecciones de Análisis atemático II Proposición Sea R n un recinto de integración y f : (a, b) R una función continua, tal que para cada x la función parcial t f(t,x) es derivable, y su derivada D 1 f(t,x), define una función continua en (a, b). Se supone que para algún t (a, b) la función parcial x f(t,x) es absolutamente integrable Riemann sobre y que las funciones x D 1 f(t,x) están dominadas por una función absolutamente integrable Riemann g : R: D 1 f(t,x) g(x) para todo x, y todo t (a, b) Entonces, todas las funciones parciales x f(t, x) son absolutamente integrables, y la función definida por sus integrales F(t) = f(t,x)dx es derivable en (a, b), con derivada F (t) = D 1 f(t,x)dx Dem: Aplicando el teorema del incremento finito a la funión t f(t,x), se deduce que para cada t (a, b) se cumple f(t,x) f(t,x) = t t D 1 f(ξ,x) (b a)g(x) (donde ξ (a, b) es un punto intermedio del intervalo de extremos t, t ). Se obtiene así que para todo t (a, b) y todo x se cumple a desigualdad f(t,x) (b a)g(x) + f(t,x) con la que se obtiene fácilmente que todas las funciones x f(t, x) son absolutamente integrables Riemann sobre, luego para cada t está definida F(t) = f(t,x)dx Sea K j K una sucesión expansiva de compactos medibles Jordan en. Según el teorema 12.1 las funciones F j (t) = K j f(t,x)dx, están definidas y son derivables en (a, b), con derivada F j(t) = K j D 1 f(t,x)dx. Obsérvese que la condición de dominación que figura como hipótesis implica que para cada t (a, b) la función continua x D 1 f(t,x) es absolutamente integrable sobre y por lo tanto, para cada t (a, b), se cumple D 1 f(t,x)dx = lím D 1 f(t,x)dx = lím F j j K (t) j j Además, para j > i y cualquier t (a, b) se verifica la desigualdad F j (t) F i K (t) D 1 f(t,x) dx g(x)dx = g(x)dx g(x)dx j \K i K j \K i K j K i 36

10 Lecciones de Análisis atemático II y con la condición de Cauchy se obtiene que F j converge uniformemente en (a, b). Por otra parte, como la función x f(t,x) es absolutamente integrable, podemos asegurar que existe el límite lím F j (t ) = lím f(t,x)dx = f(t,x)dx j j K j y aplicando el teorema A.11 a las sucesión F j se deduce que F(t) = lím j F j (t), es derivable en (a, b), con derivada F (t) = lím F j j(t) = D 1 f(t,x)dx Ejercicios resueltos Ejercicio Compruebe que la integral impropia dx dy dz I p = (x 2 + y 2 + z 2 ) p, = {(x, y, z) : r2 x 2 + y 2 + z 2 } es finita si y sólo si 2p > 3, y obtenga su valor. solución Como la integral se plantea sobre un conjunto no acotado, debemos considerarla como integral impropia. Es claro que es un recinto de integración donde la sucesión de compactos medibles Jordan K j = {(x, y, z) : r 2 x 2 +y 2 +z 2 (r+j) 2 } es expansiva. La función f p (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) p es continua en y por lo tanto localmente integrable. Para calcular I p = f p comenzamos calculando las integrales α j = K j f p. Si 2p 3, con un cambio de variable a coordenadas esféricas se obtiene α j = 2π dθ π/2 π/2 dϕ Si 2p 3 >, la sucesión α j r+j r ρ 2 cos ϕ ρ 2p dρ = 4π 3 2p [(r + j)3 2p r 3 2p ] es convergente hacia el valor I p = 4π 3 2p r3 2p Con el mismo cálculo, para 2p 3 <, y con un cálculo similar para el caso 2p 3 =, se obtiene que f p = + cuando 2p 3. Ejercicio Para p > se considera la integral impropia dx dy dz I p = (x 2 + y 2 + z 2 ) p, = {(x, y, z) : < x2 + y 2 + z 2 r 2 } Compruebe que es convergente si y sólo si 2p < 3, y obtenga su valor. 37

11 Lecciones de Análisis atemático II solución Aunque es medible Jordan, la función f p (x, y, z) = (x 2 +y 2 +z 2 ) p no está acotada sobre, por lo que la integral se debe considerar como integral impropia. Obsérvese que es un recinto de integración y que f p es localmente integrable en, por ser continua. La sucesión de compactos medibles Jordan K j = {(x, y, z) : j 2 x 2 + y 2 + z 2 r 2 } es expansiva en, y para calcular I p comenzamos calculando α j = K j f p. Si 2p 3, con un cambio de variable a coordenadas esféricas se obtiene α j = 2π π/2 r ρ 2 cos ϕ dθ dϕ dρ = 4π π/2 1/j ρ 2p 3 2p [r3 2p j 2p 3 ] Si 2p 3 <, la sucesión α j es convergente hacia el valor I p = 4π 3 2p r3 2p Con el mismo cálculo, para 2p 3 >, y con un cálculo similar para el caso 2p 3 =, se obtiene que f p = + cuando 2p 3. Ejercicio Compruebe que la integral impropia dx dy dz I = x2 + y 2 + z 2, = {(x, y, z) : x2 + y 2 + (z R) 2 R 2, z > } es convergente y calcule su valor. solución Aunque es medible Jordan, la función f(x, y, z) = 1/ x 2 + y 2 + z 2 no es acotada en (pues f(,, z) = 1/z, cuando (,, z) ) luego la integral debe considerarse como integral impropia. Es obvio que es un recinto de integración y que f es localmente integrable por ser continua. Si ǫ j (, 1) es una sucesión decreciente que converge hacia, la sucesión de compactos medibles Jordan K j = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + (z R) 2 R 2, z ǫ j } es expansiva en, y para calcular I comenzamos calculando α j = K j f. Con un cambio de variable a coordenadas cilíndricas se obtiene α j = 2R ǫ j x = r cos θ, y = r sen θ, z = t 2π 2Rt t 2 dt dθ r dr 2R r2 + t = 2π ( 2Rt t)dt 2 38 ǫ j

12 Lecciones de Análisis atemático II Como la función t 2Rt t, es integrable en [, 2R] (por ser continua), y lím j ǫ j =, en virtud del teorema fundamental del cálculo existe el límite lím j α j = 2R ( 2Rt t)dt = 2 3 R2 lo que significa que la integral impropia converge y que su valor es I = 4 3 πr2. Ejercicio Compruebe que las siguientes integrales impropias son convergentes y calcule sus valores: dx dy a) I = x2 + y 2 R 2, = {(x, y) : x2 + y 2 R 2 }. b) J = e (x2 +y 2) dx dy, = R 2. solución Como las funciones son no negativas, basta ver que las integrales tienen un valor finito que se puede calcular usando la sucesión expansiva de discos cerrados que se indica en cada caso. a) Utilizamos la sucesión expansiva de discos K j = {(x, y) : x 2 + y 2 Rj 2 }, donde R j (, R) es una sucesión creciente convergente hacia R. Con un cambio de variable a coordenadas polares se obtiene que la integral sobre K j vale, α j = 2π(R j R 2 Rj 2) luego I = lím j α j = 2πR. b) Consideramos la sucesión expansiva de discos D j = {(x, y) : x 2 + y 2 Rj}, 2 donde R j > es una sucesión creciente convergente hacia +. Con un cambio de variable a coordenadas polares se obtiene que la integral sobre D j vale, luego J = lím j β j = π. Rj β j = 2π re r2 dr = π(1 e R2 j ) Ejercicio Se supone que g, h : (a, b) R son continuas, y que R 2 es un abierto que contiene al conjunto {(t, x) R 2 : a < t < b, x [g(t), f(t)]}, donde [g(t), h(t)] = {αg(t)+(1 α)h(t) : α 1}. Si f : R es continua, demuestre que la siguiente integral F(t) = define una función continua en (a, b). h(t) g(t) f(t, x)dx 39

13 Lecciones de Análisis atemático II solución Por hipótesis, para cada t (a, b) el punto (g(t), h(t), t) pertenece al conjunto A = {(u, v, t) R 3 : {t} [u, v] } donde [u, v] = {αu + (1 α)v : α 1} R es el segmento de extremos u, v ( atención: no se supone u v!). La función F se puede expresar como la composición F(t) = ϕ(g(t), h(t), t), donde ϕ(u, v, t) = v f(t, x)dx, está definida u en A, luego basta demostrar que ϕ es continua en A. Para ello comenzamos viendo que A es un subconjunto abierto de R 3, y esto lo haremos comprobando, con la técnica de las sucesiones, que su complemento R 3 \ A, es cerrado: Si (u n, v n, t n ) es una sucesión en R 3 \ A, que converge hacia (u, v, t), según la definición de A, para cada n N existe α n [, 1] tal que (t n, α n u n + (1 α n )v n ). La sucesión α n posee una subsucesión α nk convergente hacia un punto α [, 1]. Como (t, αu + (1 α)v) es el límite de la sucesión (t nk, α nk u nk + (1 α nk )v nk ), que está contenida en el cerrado R 2 \, resulta (t, αu + (1 α)v) R 2 \, es decir (u, v, t) R 3 \ A. Como A es abierto, dado (u, v, t ) A existe r > tal que W r = [u r, u + r] [v r, v + r] [t r, t + r] A Para cada (u, v, t) W r, los tres puntos (u, v, t), (u, v, t), (u, v, t), pertenecen a W r A, y podemos escribir ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t ) = (ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t)) + (ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t)) + (ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t )) Los dos primeros sumandos se puede acotar en la forma ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t) f(t, x) dx C 1 u u donde ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t) [u,u] [v,v] f(t, x) dx C 2 v v C 1 = máx{ f(t, x) : t t r, x u r} C 2 = máx{ f(t, x) : t t r, x v r} y, según 12.9, el tercer sumando, ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t), tiende hacia, cuando t t, Se sigue que para cada ǫ existe δ (, r) tal que máx{ u u, v v, t t } < δ ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t ) < ǫ Queda demostrado así que ϕ es continua en A, y con ello la continuidad de F. 31

14 Lecciones de Análisis atemático II Ejercicio En las condiciones de si las funciones g, h : (a, b) R son derivables y la derivada parcial f(t, x) existe y es continua en todos los puntos de t, demuestre que F es derivable en (a, b), y vale la regla de derivación de Leibniz: solución F (t) = f(h(t), t)h (t) f(g(t), t)g (t) + h(t) g(t) (t, x)dx t Basta aplicar la regla de la cadena del cálculo diferencial a la función compuesta F(t) = ϕ(g(t), h(t), t), donde ϕ(u, v, t) = v f(t, x)dx está definida en el abierto u A = {(u, v, t) R 3 : {t} [u, v] }, (véase 12.17) y tiene derivadas parciales continuas: Efectivamente, en virtud del teorema fundamental del cálculo y de 12.1 ϕ ϕ (u, v, t) = f(u, t), u ϕ (u, v, t) = f(v, t), v (u, v, t) = t v u (t, x)dx t Se sigue que ϕ es diferenciable, y usando la regla de la cadena del cálculo diferencial F (t) = D 1 ϕ(g(t), h(t), t)g (t) + D 2 ϕ(g(t), h(t), t)h (t) + D 3 ϕ(g(t), h(t), t) = = f(g(t), t)g (t) + f(h(t), t)h (t) + h(t) g(t) (t, x)dx t Ejercicio Sean K R k, R n compactos medibles Jordan. Dada una función continua f : K R, justifique que la integral sobre K de la función continua F(t) = f(t,x)dx, viene dada por F(t)dt = ( f(t,x)dt) dx. K K solución K es compacto en R k R n, y medible Jordan en virtud del ejercicio La función continua f es integrable Riemann sobre el conjunto medible Jordan K, y aplicando el teorema de Fubini se obtiene que ( ) ( ) f(t,x)dxdt = f(t,x)dx dt = f(t,x)dt dx K K K es decir K F(t)dt = ( K ) f(t,x)dt dx 311

15 Lecciones de Análisis atemático II Ejercicios propuestos Calcule la integral impropia dx dy (x 2 + y 2 ) 2 E donde E = {(x, y) : (x 1) 2 + y 2 < 1} Calcule la integral impropia dx dy dz, donde z 2 = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 1 x 2 y 2 } Considerando la integral de e (x2 +y 2 ) sobre los conjuntos Q R = {(x, y) : x < R, y < R} y D R = {(x, y) : x 2 + y 2 < R 2 }. calcule el valor de la integral impropia + e t2 dt Criterio de Abel para la convergencia uniforme de integrales impropias. Sea T un conjunto arbitrario y f : [a, + ) T R una función tal que todas las funciones parciales x f(x, t) son continuas. Se dice que la integral + f(x, t) dx es uniformemente convergente sobre T a cuando para cada sucesión u n a con lím n u n = + la sucesión de funciones F n (t) = u n f(x, t) dx converge uniformemente sobre T. Demuestre que esto ocurre a cuando f es de la forma f(x, t) = α(x, t)β(x, t) donde todas las funciones parciales x α(x, t), x β(x, t) son continuas y verifican: a) Las funciones x α(x, t) son decrecientes y tienden hacia, cuando x tiende hacia +, uniformemente en T. b) Las integrales S u (t) = u a β(x, t) dx están uniformemente acotadas, e.d. sup{ S u (t) : t T, u a} < + Aplicación: Justifique que la integral + te (a2 +x 2 )t 2 cosx dx converge uniformemente, respecto al parámetro real t, en todo R Si f : [a, + ) [c, d] R es continua y la integral impropia F(t) = + f(x, t) dx converge uniformemente sobre [c, d] (véase la definición en ) a demuestre que d + ( d ) F(t) dt = f(x, t) dt dx c Justifique las siguientes afirmaciones: a) F(t, r) = + e txsen rx x a c dx converge para todo t y todo r R. 312

16 Lecciones de Análisis atemático II b) Para cada r R la función t F(t, r) es continua en [, + ). c) Para cada t > la función r F(t, r) es derivable y F t (t, r) = r sen x Utilice a) y b) para calcular dx = π x Para a > calcule la integral + y utilíce el resultado para obtener a) b) + + e axcosux cosvx x cosux cosvx x Establezca la igualdad e ax sen tx dx = dx = 1 2 log a2 + v 2 a 2 + u 2; dx = log v u. + sen ax x2 e x t t 2 + a 2 + dx = π 2 a e t2 /4 dt. t 2 + r 2. log(1 + a 2 x 2 ) Justifique que la integral F(a) = dx define en R 1 + x 2 una función continua que es derivable en cada a. Calcule F (a) y obtenga que el valor de la integral es F(a) = π log(1 + a ) Considerando la derivada de la función g(x) = + π el valor de la integral e t2 dt = 2. 1 e x2 (1+t 2 ) 1 + t 2 dt obtenga Derivando respecto al parámetro a R, calcule el valor de las integrales: + e x2 cosax dx; Justifique la igualdad + ( + ) 2te (a2 +x 2 )t 2 cos rx dx dt = + e (x2 +a 2 /x 2) dx. + ( + y utilizando los resultados del problema deduzca que + cosrx a 2 + x 2 dx = π 2a e a r ) 2te (a2 +x 2 )t 2 cosrx dt dx Utilice la igualdad obtenida en el problema para calcular las integrales + sen rx + x(a 2 + x 2 ) dx; x sen rx a 2 + x dx

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