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1 1 Valor de Shapley Definición 1 Un carrier para un juego v es una coalición T tal que para cualquier S, v(s) = v(s T ). Ejemplo 1 Sea v un juego de 3 jugadores, v({1, 2, 3}) = v({1, 2}) = 1, y v(s) = para las otras coaliciones. El carrier de v es T = {1, 2}. Definición 2 Dado un juego n personal y cualquier permutación π del conjunto de jugadores N. Denotamos por πv al juego n personal tal que para cualquier S = {i 1,..., i s } πv({π(i 1 ),..., π(i s )}) = v(s). Ejemplo 2 Considere nuevamente el juego anterior, y π(1) = 3, π(2) = 1 y π(3) = 2. Entonces πv({1, 2, 3}) = πv({3, 1}) = 1 y πv(s) = para las otras coaliciones. Axiomas (Shapley) Por el valor de un juego v al que denotamos por ϕ (v) = (ϕ 1 (v),..., ϕ n (v)) satisface S1. Sí S es un carrier, entonces ϕ i (v) = v (S). i S S2. Para cualquier permutación π, e i N S3. Si υ y v son dos juegos ϕ π({i}) (πv) = ϕ i (v). ϕ i (v + w) = ϕ i (v) + ϕ i (w). Teorema 1 (Shapley) Existe una única función ϕ : (N, v) R N que satisface los Axiomas S1, S2 y S3. Esta función cumple que para cada i N ϕ i (v) = S N\{i} s! (n s 1)! n! [v (S {i}) v (S)]. 1

2 Curso : Indices de Poder Valor de Shapley Indice de Banzhaf-Coleman J. Oviedo Universidad Nacional de San Luis

3

4 Demostración. Esta demostración se sigue de los resultados siguientes. Lema 1 Para cualquier coalición S, sea w S el juego definido por w S (T ) = { si S T 1 si S T. Entonces, si s es el número de jugadores de S, { 1/s si i S ϕ i (w S ) = si i / S. Corolario 1 Si c >, entonces ϕ i (cw S ) = { c/s si i S si i / S. Lema 2 Si v es cualquier juego, entonces existen 2 n 1 números reales c S para S N tal que v = c S w S S N donde w S esta definido como en Lema anterior. Demostración. C S = T S( 1) s t v(t ). Demostración.Del Teorema. El Lema anterior dice que para cualquier juego v es combinación de los juegos w S, además el valor de Shapley para estos juegos esta unívocamente definido. ϕ(u v) = ϕ(u) ϕ(v) ϕ i (v) = c S ϕ i (w S ) = 1 c S s = { } 1 ( 1) s t v(t ) = s S N S N S N T S T N i S S N T {i} S i S ( 1) s t 1 s 2 v(t )

5 γ i (T ) = S N ( 1) s t 1 s. T {i} S Sí i / T y T = T {i}, entonces γ i (T ) = γ i (T ) ϕ i (v) = T N γ i (T )v(t ) T N i T γ i (T ) = γ i (T )v(t ) = T N i T T N T {i}=t ( 1) s t 1 s = S N T {i} S n ( ) n t ( 1) s t s t s=t n s=t γ i (T )v(t ) + γ i (T )v(t ) = T N i/ T γ i (T )v(t ) = T N i T ) 1 ( 1) s t ( n t s t x s 1 dx = x t 1 (1 x) n t dx = n x t 1 s=t γ i (T )[v(t ) v(t \{i}) s = n s=t ( ) n t 1 ( 1) s t s t ( 1) s t ( n t s t (t 1)!(n t)!. n! ) x s t dx = Reemplazando obtenemos la fórmula del Valor de Shapley. Queda como ejercicio probar que la fórmula cumple los tres axiomas de Shapley. Ejemplo 3 Calculemos el valor de Shapley para el juego dado por v ({1, 2, 3}) = v ({1, 2}) = 3 y v ({i, j}) = v ({i}) = para todo i, j = 1, 2, 3. Calculemos v( 1) v ({ }) =, v ({1, 2}) v ({1}) = 3, así formamos la tabla siguiente, en la primer columna ponemos todas las permutaciones (de los jugadores) y en las otras columnas el valor marginal del jugador i a la coalición que encuentra al entrar a ella. Note que el jugador 1 al entrar en la primer permutación no encuentra a nadie,de allí que v ({1}) v ({ }) =, mientras que el jugador 2 encuentra al 1, es decir v ({1, 2}) v ({1}) = 3. Cuando el jugador 3 entra a la primera permutación encuentra al 1, 2 por lo tanto v ({1, 2, 3}) v ({1, 2}) = 3 3 =. x s 1 dx = 3

6 v (S {i}) v (S) Permutación (1,2,3) 3 (1,3,2) 3 (2,1,3) 3 (2,3,1) 3 (3,1,2) 3 (3,2,1) 3 Valor de Shapley 9/6 9/6 /6 En este ejemplo tenemos que el carrier es S = {1, 2} Extensiones Multilineales Presentaremos otro método para calcular el Valor de Shapley. Como v es una función del conjunto partes de N (2 N ) en los reales podemos ver el conjunto partes de N como 2 N = {, 1} N es decir que lo vemos como el conjunto de vértices del cubo n dimensional. Es decir que podemos decir que v es una función real definida sobre los vértices del cubo n dimensional. La función v puede ser extendida a todo el cubo. Nosotros extenderemos esta función para que resulte lineal en cada variable. Definición 3 Sea v un juego n personal con carrier N = {1,..., n}. La extensión multilineal (M:LE) de v es la función f : [, 1] N R definida por f(x 1,..., x n ) = { } x i (1 x i ) v(s). S N i S Ejemplo Sea v el juego 3 personal de mayoría en la normalización (,1). Su extensión multilineal es f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 (1 x 3 ) + x 1 x 3 (1 x 2 ) + x 2 x 3 (1 x 1 ) + x 1 x 2 x 3, i/ S o f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 2x 1 x 2 x 3. Justificación de la definición: 4

7 La función es multilineal (lineal en cada variable acá lineal significa que cada variable está elevada a la potencia 1 o ) es fácil de verificar. f es una extensión de v. Sea S N, y α S la S esquina del cubo, es decir { 1 si i S α S = si i / S entonces f(α S ) = T N { i T α S i } (1 αi S ) v(t ) = v(s). i/ T Unicidad. f es la única función que tiene estas propiedades. Por ser f una función multilineal debe ser de la forma f(x 1,..., x n ) = C T x j T N j T pero para cada S N tenemos que: f(α S ) = T S C T = v(s) este es un sistema lineal de 2 N ecuaciones con igual número de incógnitas. La matriz asociada es triangular inferior con 1 en la diagonal principal, por lo tanto es no singular, es decir el sistema tiene solución única. También tenemos que la C definida en la demostración del Lema 2 es solución de este sistema. Teorema 2 Sean v, w juegos con conjuntos de jugadores M, N disjuntos y f, g sus extensiones multilineales. Entonces para cada α, β el juego αv + βw tiene como extensión multilineal αf + βg. Teorema 3 Sean v, w juegos con conjuntos de jugadores M, N disjuntos y v w (v w(s T ) = v(s) + w(t )) la suma de von Neuman Morgesntern. Si f, g son las extensiones multilineales de v, w respectivamente. Entonces la extensión multilineal de v w es f g definida por: f g(x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = f(x 1,..., x n ) + g(y 1,..., y m ). 5

8 Teorema 4 Sea v un juego a suma constante y f su extensión multilineal. Entonces para cualquier x Sea f i (x) = f(x)/ x i = T N i T f(1 x 1,..., 1 x n ) = v(n) f(x 1,..., x n ). x j j T j i j / T(1 x j )v(t ) S N i/ S x j (1 x j )v(s) haciendo T = S {i} la parcial se reduce a: f i (x) = x j (1 x j )[v(s {i}) v(s)] (1) S N j S i/ S en particular para x = (t,..., t) j / S j i j S j / S j i f i (t,..., t) = S N i/ S t s (1 t) n s 1 [v(s {i}) v(s)] integrando f i (t,..., t)dt = { S N i/ S } t s (1 t) n s 1 dt [v(s {i}) v(s)] o f i (t,..., t)dt = ϕ i (v). Ejemplo Sea v el juego 3 personal de mayoría en la normalización (,1). Su extensión multilineal es y la derivada parciales son: f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 2x 1 x 2 x 3 f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 + x 3 2x 2 x 3 6

9 f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 3 2x 1 x 3 f 3 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 2x 1 x 2 y f 1 (t, t, t) = 2t 2t 2. El valor de Shapley es ϕ (v) = (ϕ 1 (v), ϕ 2 (v), ϕ 3 (v)) donde ϕ 1 (v) = f 1 (t, t, t)dt = {2t 2t 2 }dt = [t t3 ] 1 = 1 3 similarmente ϕ 2 (v) = ϕ 3 (v) = 1/3. Algunas ventajas de la aproximación multilineal es que: Sean w j, j = 1,..., n juegos normalizados (,1) con carrier disjuntos M 1,..., M n y v el juego nonegativo con carrier N = {1,..., n}. Sea u(s) = v({j : w j (S M j ) = 1}) para S j M j esto define el juego composición u = v[w 1,..., w n ]. Considere u(s) = w j (S) T N j T j / T [1 w j (S)]v(T ) = f(w 1 (S 1 ),..., w n (S n )) (2) donde S j = S M j y f es la extensión multilineal de v. Como w j son juegos simples tenemos que donde T N y está dado por (w 1 (S 1 ),..., w n (S n )) = α T, T = {j : w j (S j ) = 1} u(s) = f(α T ) = v(t ) Sea g j, j = 1,..., n la extensión multilineal de los juegos normalizados (,1) w j. Sea g = g 1... g n : [, 1] M 1... [, 1] Mn [, 1] jm j =M 7

10 g(x) = (g 1 (x 1 ),..., g n (x n )) donde x j es la restricción del vector x a los índices i M j. Sea f la extensión multilineal de v, el dominio es [, 1] N. Consideremos la composición definido sobre el cubo [, 1] M h(x) = f(g 1 (x 1 ),..., g n (x n )) h es una función multilineal de la variables x i, i M. Sea i M j como los M k son disjuntos tenemos que: h i (x) = h(x) = f(g 1(x 1 ),..., g n (x n )) x i y j g j (x) x i = f j (g(x))(g j ) i (x j ) h i (x) no depende de x i. Por lo tanto h es lineal en x i. Es decir h es multilineal. Teorema 5 Sea v un juego n personal nonegativo, w i, i = 1,..., n juegos que cumplen que: w j (S) para todo S M j w j (M j ) = 1 para todo j y sea u = v[w 1,..., w n ]. Sean f, g 1,..., g n las respectivas extensiones multilineales de v y w i, sea h = f g. Entonces h es la extensión multilineal de u. Este teorema dice que la composición de juegos se corresponde con la composición de la extensión multilineal. Uno espera que poder componer el valor de Shapley, es decir espera tener una fórmula ϕ i (u) = ϕ i (w j )ϕ j (v) En general esta igualdad no es verdadera. ϕ i (u) = donde y k (t) = g k (t,..., t) ϕ i (w j ) = f j (y(t))g ji (t,..., t)dt (3) 8 g ji (t,..., t)dt

11 ϕ i (v) = f j (t,..., t)dt. La fórmula (3) permite calcular el valor para los juegos compuestos i M j ϕ i (u) = i M j ϕ i (u) = f j (y(t)) i M j g ji (t,..., t)dt f j (y(t)) dy j(t) dt. dt Ejemplo 4 Consideremos el Concejo de Seguridad de las Naciones Unidas. Puede ser representado como un juego u = v[w 1, w 2 ] donde w 1 es un juego de 5 personas en la cual la única coalición ganadora es la total v({1,..., 5}) = 1, v(s) = para cualquier subconjunto de {1,..., 5}. w 2 es un juego de 1 jugadores donde cualquier coalición de más de cuatro jugadores es una coalición ganadora. v es un juego de dos personas simple en la cual la coalición de dos jugadores es ganadora. Las extensiones multilineales de w 1, w 2, v : g 2i (t) = S M 2 {i} g 1 (x) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 (t) = y 5 1 g 2 (x) = x i (1 x i ) s=4 i S t s (1 t) 9 s = ( 9 3 i/ S f(y 1, y 2 ) = y 1 y 2 ) t 3 (1 t) 6 = 84t 3 (1 t) 6 El valor de Shapley para i M 2 (miembros no permanentes) ϕ i (u) = ϕ i (u) = f 2 (y(t))g 2i (t,..., t)dt = 84t 5 t 3 (1 t) 6 dt = 84 8!6! 15! = { 421/2145 =, 1963 si i es un miembro permanente 4/2145 =, 186 si i no es un miembro permanente 9

12 1..2 Indice de Poder de Banzhaf Coleman Sea v un juego simple normalizado (,1), un swing o impulso para jugador i es un conjunto S N tal que S es ganadora y S\{i} es perdedora. Sea θ i el número de impulsos para jugador i entonces β i (v) = θ i / n j=1 Este es el índice normalizado de Banzhaf Coleman. Ejemplo 5 Considere un juego de tres personas donde las únicas coaliciones ganadoras son {1,2}, {1,3}, {1,2,3}. θ 1 = 3, θ 2 = θ 3 = 1 θ j β = ( 3 5, 1 5, 1 5 ) y ϕ = (2 3, 1 6, 1 6 ) En general podemos definir θ i como: ψ i (v) = θ i (v) = S N i S ( ) n 1 1 θ i (v) = 2 S N i S [v(s) v(s {i})] ( ) n 1 1 [v(s) v(s {i})] 2 ψ i (v) = f i ( 1 2,..., 1 2 ) Teorema 6 Sí u, v son juegos n personales y α, β escalares, entonces ψ(αv + βw) = αψ(v) + βψ(w) Teorema 7 Sí u, v son juegos con conjunto disjuntos de jugadores M y N, entonces ψ i (v w) = ψ i (v) i M ψ j (v w) = ψ j (w) j M. 1

13 Teorema 8 Si i es un dummy (i no pertenece al carrier del juego), entonces ψ i (v) =. Teorema 9 Sean w 1,..., w n juegos con conjuntos de jugadores disjuntos M j j = 1,..., n, que cumplen que w j, w j (M j ) = 1, para cada j; sea v un juego no negativo con conjunto de jugadores N = {1,..., n} y u = v[w 1,..., w n ]. Entonces para cada j N, existe λ j tal que si i M j tal que ψ i (u) = λ j ψ i (w j ) Se prueba usando la extensión multilineal f, g 1,..., g n de los juegos v, w 1,..., w n que: ( λ j = f j y( 1 ) 2 ). Corolario 2 Sean u, v, w j como en el Teorema anterior, supongamos además que los juegos w j son a suma constantes. Entonces si i M j ψ i (u) = ψ j (v)ψ i (w j ) Ejemplo 6 Calculemos el índice de poder de Banzhaf Coleman del Concejo de Seguridad. f 1 (y) = y 2, f 2 (y) = y 1 ( ) ( ) y 1 = = Sí i M 1 g 1 1i( 2,..., 1 2 ) = ( ) 1 y 2 = Sí i M 2 g 1 2i( 2,..., 1 2 ) = ψ i (u) = { 53 1 = = si i es un miembro permanente 124 si i no es un miembro permanente

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