Funciones analíticas CAPÍTULO INTRODUCCIÓN

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1 CAPÍTULO 2 Funciones analíticas 2.1 INTRODUCCIÓN Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo se necesitan las operaciones de suma y multiplicación y el concepto de límite. Esto nos dice que las series de potencias en C son otro concepto que podemos definir exactamente igual que en R y gozará delas mismas propiedades y con idénticas demostraciones que en R ( si no dependen de la ordenación de R!). Por tanto, este capítulo (al menos, los dos primeros apartados) va a ser un simple repaso de lo que conocemos en R, pero puesto en el contexto de C. Los detalles pueden consultarse en Apostol, T.M.: Análisis Matemático (segunda edición). Reverté, Barcelona (1991). 2.2 SERIES EN C: GENERALIDADES. 1. Dada una sucesión (z n ) C, laserie infinita z n se dice convergente si lim N N z n C. Al valor de dicho límite se le denota también por de la serie. 2. Criterio de convergencia de Cauchy. z n converge ε>0, n 0 N si n > m > n 0, 3. Decimos que la serie números reales z n yselellama suma n z k <ε. k=m z n converge absolutamente si converge la serie de z n (recordemos que podemos poner más abreviadamente z n < + ). 28

2 Funciones analíticas 29 Toda serie absolutamente convergente es convergente, pero el recíproco no es cierto. 4. La serie z n converge si y solo si convergen las dos series de números reales Re z n y Im z n. Además z n = 5. Producto de Cauchy de series. Re z n + i Im z n. Consideremos dos series de números complejos, k N {0},definimos La serie c k = n+m=k a n b m = a n, b n.para cada k a n b n k = a 0 b k + a 1 b k a k b 0. c k se llama producto de Cauchy de las series k=0 a n y b n. En principio, ésta es una definición formal, que no atiende a la convergencia de las series que intervienen. Si efectuáramos la multiplicación de las sumas infinitas de a n y b m, colocando todos los sumandos del producto a n b m en una tabla (infinita) de doble entrada, asociándolos según las diagonales secundarias, el resultado es la serie producto de Cauchy de las iniciales; cada sumando producto a n b m interviene una y una sola vez, sin ausencias ni repeticiones. Cabe esperar, por tanto, que cuando sea lícito reagrupar términos (si disponemos de las propiedades conmutativa y asociativa), partiendo de series convergentes lleguemos a una serie convergente con suma el producto de las sumas. Un resultado bastante satisfactorio, que será todo lo que necesitemos, es el siguiente. Teorema (Mertens). Si las series a n y b n son absolutamente convergentes, entonces la serie c k es absolutamente convergente y además, k=0 ( )( ) a n b n = c k. k=0

3 30 Funciones analíticas 6. Convergencia uniforme. Criterio M de Weierstrass. Recordemos la siguiente: Definición. Sean f n, f : A C C.Diremos que f n f uniformemente en A si ε >0, n 0 N si n n 0, f n (z) f (z) <ε, z A, Equivalentemente sup f n (z) f (z) 0. z A Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual en cada punto de A. Definición. Dado abierto de C, y f n, f : C, diremos que f n f casi uniformemente en si f n f uniformemente sobre cada subconjunto compacto de. Como el límite uniforme de funciones continuas es una función continua y la continuidad es una propiedad local, tenemos: Proposición. Sea abierto de C, y f n, f : C. Siparacada n N, las funciones f n son continuas en y f n f casi uniformemente en, entonces f es continua en. Para series de funciones, se tienen las definiciones análogas (como limite de las funciones sumas parciales). El siguiente resultado será deuso frecuente. Criterio M de Weierstrass. Dadas f n : A C C. Sipodemos encontrar una sucesión (M n ) de números positivos tal que f n (z) M n, z A M n < + entonces, f n (z) converge uniformemente y absolutamente en A.

4 Funciones analíticas SERIES DE POTENCIAS Definición. Dado a C, llamaremos serie de potencias centrada en a atoda serie de la forma a n (z a) n = a 0 + a 1 (z a) + a 2 (z a) , donde los coeficientes (a n ) C. El primer problema es saber para qué puntos de C converge. Es claro que, sean cuales sean los coeficientes, una serie de potencias siempre converge en a. El siguiente resultado (con demostración totalmente análoga a la de R) deja claro este problema de convergencia de una serie de potencias. En el enunciado utilizamos la notación D(a;+ ) = C. Teorema 1 (Abel). Sea a n(z a) n una serie de potencias centrada en a. Entonces, existe un número R [0, + ] tal que 1. a n(z a) n converge absolutamente y casi uniformemente en D(a; R). 2. a n(z a) n no converge en C \ D(a; R). 3. Fórmula de Cauchy-Hadamard: R = ( lim sup a n 1/n) 1. Observaciones. i) R se llama radio de convergencia de la serie de potencias y D(a; R) disco de convergencia. SiR = 0, la serie sólo converge en z = a, ysir =+, la serie converge en todo punto de C. En los casos intermedios 0 < R < +, el teorema asegura que la serie converge en el disco abierto, y no converge en el exterior del disco. No se afirma nada en relación a lo que ocurre en la frontera {z : z a =R}. Este problema del comportamiento en la frontera de una serie de potencias, debe ser analizado en cada caso particular. ii) Nótese que R no depende de a.aefectos de convergencia, lo que le ocurre a la serie viene determinado por los coeficientes (a n ). Por ello, es suficiente que estudiemos series centradas en 0, a n z n, pues los resultados se trasladarán de forma obvia a la serie a n (z a) n.

5 32 Funciones analíticas iii) Toda serie de potencias con radio R > 0, define una función f (z) = a n (z a) n, z D(a; R), que, al ser límite casi uniforme de funciones continuas, es una función continua en D(a; R). iv) En muchos casos, la fórmula de Cauchy-Hadamard se simplifica, si recordamos el siguiente resultado sobre límites. Dada una sucesión (a n ), con a n 0, n,si lim n a n+1 a n [0, + ], el valor de dicho límite coincide con lim sup a n 1/n. Por tanto, en los casos en que esto ocurra (en la práctica será frecuente), tendremos la siguiente fórmula para el radio de convergencia, R = lim n a n a n+1. v) Aún en casos en que no sepamos calcular el radio por la fórmula de Cauchy- Hadamard, las dos primeras partes del teorema de Abel dan muy buena información. Por ejemplo, si sabemos que la serie converge en un punto concreto z 0 C, forzosamente debe ocurrir que R a z 0. Del mismo modo, si la serie no converge en un punto z 1 C, forzosamente R a z 1. Para estudiar el comportamiento de una serie de potencias en los puntos de la frontera de su círculo de convergencia es suficiente en los casos más sencillos el siguiente criterio. Criterio de Dirichlet. Sea (a n ) una sucesión de números reales, no creciente y convergente a 0.Sea b n una serie de números complejos cuyas sumas parciales forman una sucesión acotada. Entonces la serie a n b n es convergente. En lo que sigue, por abreviar notación y teniendo en cuenta la observación ii), bastará que consideremos series de potencias centradas en 0. El número R colocado sin más al lado de la serie, será suradio de convergencia. El primer resultado que vemos a continuación nos indica que las series de potencias, definen funciones muy buenas desde un punto de vista analítico (son indefinidamente derivables) y desde un punto de vista algebraico (se puede derivar término a término).

6 Funciones analíticas 33 Teorema 2. Sea a nz n, R (0, + ]. Sea f (z) = a nz n, z < R. Entonces, i) f es derivable en D(0; R),yademás f (z) = na n z n 1, z < R. n=1 ii) f es indefinidamente derivable en D(0; R),yparacada k N, f (k) (z) = n(n 1)...(n k + 1)a n z n k, z < R. n=k iii) Para cada k N {0}, a k = f (k) (0). k! iv) Laserie antiderivada o primitiva término a término a n n + 1 zn+1 converge en D(0; R) a una función cuya derivada es f. Observación. Nótese que las distintas series que aparecen en el enunciado tienen el mismo radio de convergencia que la de partida, pues es muy sencillo probar que: Si a nz n tiene radio R y P es cualquier polinomio y k N, las series a n+k z n, P(n)a n z n tienen radio R. El apartado iii) del teorema nos dice que los coeficientes vienen determinados por el valor de las derivadas sucesivas de f en 0. Como para conocer éstas, sólo hace falta conocer f en un entorno de 0, es inmediato el siguiente

7 34 Funciones analíticas Corolario. Si dos series de potencias a nz n y b nz n con radios R 1, R 2 > 0 son tales que coinciden en un entorno de 0,entonces a n = b n, n N {0}. Hemos ignorado en lo anterior el comportamiento en la frontera del círculo de convergencia. Si la serie converge en un punto z tal que z =R hay alguna relación entre la suma de la serie en tal punto y la suma en los puntos interiores? He aquí una respuesta parcial. Teorema del límite de Abel. Sea f (z) = a nz n, z < R, R (0, + ). Supongamos que la serie converge también para z = R. Entonces existe el límite radial (a través del segmento (0, R))delafunción f yvale lim x R 0<x<R f (x) = a n R n. Operaciones con series de potencias. Sean f (z) = a nz n, R 1 ; g(z) = b nz n, R Suma. f (z) + g(z) = (a n + b n )z n, R min{r 1, R 2 }. 2. Producto. f (z) g(z) = c n z n, c n = n a k b n k, R min{r 1, R 2 }. k=0 3. División. Si f (0) 0 entonces δ >0 tal que 1 f (z) = γ n z n, z <δ. Este resultado afirma que la función 1/f es una serie de potencias en un entorno del origen. Pero no es fácil dar una expresión explícita de los coeficientes γ n en términos de los a n.

8 Funciones analíticas Composición. Si para un z D(0; R 2 ), b n z n < R 1, entonces tiene sentido la función composición f g,yademás f g(z) = δ k z k en un entorno del origen. La demostración de estos dos últimos resultados es bastante farragosa. Teóricamente nos dicen que la división y composición de series de potencias son series de potencias, pero en la práctica son de difícil aplicación. 4. Cambio de centro. Sea f (z) = a nz n, R > 0ysea b D(0; R). Entonces, δ >0 tal que f (z) = b n (z b) n, z b <δ. Es decir, dada una serie de potencias, en cualquier punto de su disco de convergencia, se puede poner como otra serie de potencias centrada en ese punto. Principio de identidad de series de potencias. Teorema 3. Sea f (z) = a nz n, R > 0. SeaE ={z D(0; R) : f (z) = 0}. Son equivalentes: i) E = D(0; R) (es decir, f es idénticamente nula). ii) a n = 0, n iii) E D(0; R) (i.e., E tiene puntos de acumulación en D(0; R)). Demostración. i) ii) es consecuencia inmediata del corolario del teorema 2ylaimplicación i) iii) es obvia. Veamos que iii) i). Llamemos A = E D(0; R). A es cerrado en la topología relativa de D(0; R) porque E siempre es un cerrado de C. Sivemos que también A es abierto en D(0; R) (o, lo que es lo mismo, en C, pues D(0; R) es abierto), por conexión tendremos que A = D(0; R) ydeaquí es muy fácil ver que E = D(0; R),lo que concluiría la demostración. Sea pues a A (notemos que, por continuidad, f (a) = 0) y veamos que a es un punto interior, es decir, existe un disco D(a; δ) A.

9 36 Funciones analíticas Por el cambio de centro, f será una serie de potencias en un entorno de a, f (z) = b n (z a) n, en D(a; δ) D(0; R) n=1 (la serie empieza en 1, pues f (a) = 0). Si b n = 0, n tendremos claramente que D(a; δ) A. En otro caso, sea b k el primer coeficiente que no se anula. Entonces, f (z) = (z a) k b n (z a) n k = (z a) k g(z) n=k donde g es una función continua (pues es una serie de potencias) con g(a) 0, lo que implica que g(z) 0enunentorno U de a. Por tanto, f (z) 0enU \{a}, lo que contradice que a E. Luego, forzosamente, tiene que ocurrir b n = 0, n, y esto demuestra el resultado. El teorema anterior afirma que si una serie de potencias se anula en un subconjunto del disco abierto de convergencia que tenga algún punto de acumulación en dicho abierto, entonces la serie es idénticamente nula. 2.4 FUNCIONES ANALÍTICAS Definición. Sea un abierto de C. Una función f : C se dice analítica en a,siexiste una serie de potencias centrada en a con radio R > 0 tal que f (z) = a n (z a) n, z a <δ. Es decir, f coincide con una serie de potencias en un entorno de a. f se dice analítica en si lo es en cada punto a. Ejemplos. 1. Todo polinomio es una función analítica en C. En efecto, siempre podemos cambiar de base y expresar, para cualquier a C, P(z) = a 0 + a 1 z a n z n = b 0 + b 1 (z a) b n (z a) n.

10 Funciones analíticas Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias f (z) = a n z n con radio R > 0esanalítica en D(0; R). Análogamente, f (z) = a n (z a) n es analítica en D(a; R). 3. La función racional f (z) = 1 es analítica en C \{1}.Enefecto, es claro 1 z que es analítica en 0, pues 1 1 z = z n, z < 1. Pero, utilizando esta misma suma, si a C \{1}, 1 1 z = 1 1 a (z a) = a ( ) z a n = 1 a 1 a 1 1 ( z a 1 a ) (z a) n (1 a) n+1 siempre que z a 1 a < 1. Es decir, en el entorno de a, z a < 1 a. De forma parecida, descomponiendo en fracciones simples, no es difícil probar que toda función racional es analítica en su dominio de definición, esto es, en todo C menos los ceros del denominador. Proposición. Si f es analítica en entonces f es holomorfa. Esmás, f es indefinidamente derivable en. Demostración. Es claro, pues la derivabilidad es una propiedad local y ya sabemos que una serie de potencias es indefinidamente derivable. Operaciones con funciones analíticas. 1. La suma y el producto de funciones analíticas son analíticas. 2. Si f es analítica en a y f (a) 0 entonces 1/ f es analítica en a. 3. Sean f : C, g : 1 C con f ( ) 1.Si f es analítica en a y g es analítica en f (a), entonces g f es analítica en a. Observación. Estos resultados son consecuencia de las correspondientes operaciones para serie de potencias. No merece la pena insistir en la demostración porque, más adelante, veremos que, en C, una función es analítica si y solo si es holomorfa, y para funciones holomorfas ya conocemos las propiedades 1,2y3.

11 38 Funciones analíticas 2.5 PRINCIPIO DE PROLONGACIÓN ANALÍTICA El siguiente resultado va a ser consecuencia del principio de identidad de series de potencias. Teorema (P.P.A.). Sea una región de C. Sea f : C analítica en. Son equivalentes: i) f 0 en. ii) a con f (n) (a) = 0, n N {0}. iii) f = 0 en un subconjunto de con punto de acumulación en. Demostración. i) ii) Inmediato. ii) iii) En un entorno de a, D(a; δ), f (z) = a n (z a) n y a n = f (n) (a). n! Así, f = 0entodo D(a; δ) al menos, y obviamente D(a; δ) tiene punto de acumulación en. iii) i) Por hipótesis, un subconjunto de E = f 1 (0) tiene puntos de acumulación en, luego también los tiene el propio E,demodo que E. Usemos el clásico argumento de conexión. E es cerrado en. E es abierto en. Enefecto, sea a E. Enunentorno de a, D(a; δ), f (z) = a n (z a) n. Esta serie se anula en un conjunto con punto de acumulación en D(a; δ) (precisamente el punto a E D(a; δ)). Por tanto, por el principio de identidad para series de potencias la serie es nula. Así, f = 0enD(a; δ),esdecir, D(a; δ) E, de donde se deduce fácilmente que D(a; δ) E. Entonces, como es conexo, E =. Luego todo z estáene yde aquí, como f es continua, f (z) = 0.

12 Funciones analíticas 39 Corolario. Sea una región de C. Sean f y g funciones analíticas en. Son equivalentes: i) f g en. ii) a con f (n) (a) = g (n) (a), n N {0}. iii) f = g en un subconjunto de con punto de acumulación en. Demostración. Basta tomar la función f g. Si denotamos, para abierto tenemos esta otra consecuencia: A( ) ={f : C : f es analitica en }, Corolario. Sea región. Sean f, g A( ) tales que la función fg 0 en. Entonces, ó f 0 en,ó g 0 en.dichode otra manera, A( ) es un dominio de integridad. Demostración.Sipara un z 0, f (z 0 ) 0, entonces, por continuidad, f 0en un entorno de z 0. Luego debe ser g = 0endicho entorno, y como éste tiene puntos de acumulación en, por el teorema, g 0en. Observación. Según la definición, si f A( ),enunpunto a, coincide en un entorno de a con una serie de potencias centrada en a con R > 0. A su vez, esta serie también es analítica y, por tanto, por el P.P.A., tendremos que la igualdad f (z) = a n (z a) n es válida en la componente conexa de D(a; R) que contiene al punto a. Ω a. (Cuidado: aunque y D(a; R) son conexos, su intersección D(a; R) no tiene por qué serlo, como se ve en la figura, de manera que hay que evitar la tentación natural de escribir la igualdad para todo z de la intersección; puede haber desigualdad en los puntos de las componentes conexas de la intersección que no contengan al punto a.)