Sucesiones, inducción y sumatorias

Transcripción

1 Capítulo 3 Sucesiones, inducción y sumatorias 3.. Sucesiones Definición Una sucesión es una función definida de N R que se acostumbra a denotar por a n en lugar de fn), costumbre que también adoptaremos en este texto, así, a n R, n N a n : se llama término n ésimo o término de lugar n. a : es el primer término de la sucesión. a k : es el k ésimo término de la sucesión. Las sucesiones se encuentran presentes en casi todos los tópicos de las matemáticas, de ahí su importancia. Eventualmente, n N 0, N 0 N {0}. Ejemplo Vamos a dar algunas sucesiones definidas por su término n ésimo, o bien, en 74

2 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 75 forma recursiva.. a n n n +. a n n 3. a n ) n 4. a n cosnπ) 5. a n n 6. a n n 7. a, a,..., a n+ a n+ + a n 8. a, a +,...,a n+ + a n Dada la sucesión a, a,...,a n, su k ésimo término es a k, el siguiente término es a k+ también llamado sucesor, el anterior al k ésimo término es a k también llamado antecesor. Ejemplo Dada la sucesión a n n, determine el k ésimo término, su siguiente y 3n+ anterior término. De inmediato se tiene que: a k k 3k+ es el k ésimo término. a k k 3k )+ k 3k a k k+ 3k+)+ k 3k+4 es su anterior término. es su siguiente término. El gráfico de una sucesión, aunque no es relevante, es un conjunto discreto de puntos que siempre se encuentran en el primer o en el cuarto cuadrante de los ejes cartesianos, es decir:

3 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 76 DIBUJO Observación. Los conceptos de sucesiones crecientes, no crecientes, acotadas, convergentes, etc., no se abordarán en este texto. Para ellos consultar en el texto de Cálculo Integral y Diferencial en una Variable. 3.. Ejercicios resueltos. Dada la sucesión:,, 3,... a) Determine su término n ésimo. b) Pruebe que a k a k+ kk+). c) Calcule a a n+. a) De inmediato a n n b) a k a k+ k k+ k+ k kk+) kk+) c) a a n+ n+ n n+. Dada la sucesión, +, a) Determine el término de lugar n. b) Determine el siguiente término al n ésimo. c) Demuestre que a n+ > a n, n N. a) De inmediato se tiene que: a n n b) a n n + n+

4 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 77 c) a n+ a n ) 3 n n+ 3 n, n+ pero como n a n+ a n > 0 a n+ > a n. 3. Dada la sucesión:, 3, 5,... a) Determine el término n ésimo. b) Determine el anterior y siguiente término al n ésimo. c) Calcule a k a k+. a) a n n. b) a n n 3 y a n+ n+ c) a k a k+ k) k+) 6k 4. Desarrolle la siguiente sucesión definida recursivamente y de aquí deduzca el n ésimo término: a,..., a n+ a n +. a a a a 3 a + + ) a 4 a ) a n a n + n + n + n Más adelante, en el capítulo de progresiones, estaremos en condiciones para efectuar esta suma, cuyo resultado es a n 3 n. 5. Si a...a n+ a n + n+ demuestre que: a) a + a 3a 3 ) y que a + a + a b) a n n

5 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 78 a) a a a a 3 a a + a y 3a 3 ) 3 6 ) 5 luego, a + a 3a 3 ), finalmente, a + a + a b) a a a 3 a 3 a 4 a 3 4. a n a n n a n a n n Sumando miembro a miembro se tiene: a n a n a n n 3.3. Ejercicios propuestos. Escriba los cuatro primeros términos, el término k ésimo, el término anterior y siguiente del término k ésimo de las siguientes sucesiones cuyo término n ésimo es: a) n b) n n d) ) n n e) ) n+ 3 n c) 3n 5 n + f) ) + n n

6 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 79 Respuestas. a),, 3 y 4 ; k, k ) y k + ) b),, 5, ; k k, k k ) y k+ k + ) c),, 4, 7; 3k 5, 3k 8, 3k k+ k+ k+3 d),, 3, 4; ) k k, ) k k ), ) k+ k + ) e) 3, 3 4, 3 6, 3 8 ; ) k+ 3 k, ) k 3 k, ) k 3 k+ f ), ) 3, ) 4 3, ) ; ) + k, ) + k, + k+ k k k+).. Escriba el término n ésimo de las siguientes sucesiones: a), 3, 5, 7,... b) 3, 9, 7, 8,... c),,, d) 5, 3, 7 5, 3 7,... e) 3, 7 3 3, 5 4, 5 7 5,... f ) x, 5 + x 3, 9 x 4, 3 + x 5,... g) p ), 3 p ), 5 p 3),..., p constante. Respuestas. a) a n n b) a n ) n 3 n c) a n nn+) d) a n 6n )n ) e) a n )n 4n ) n )n+) f) a n 4n 3 + ) n x n+ g) a n n )p n); p n 3. Desarrollar las siguientes sucesiones definidas recursivamente y determine el término k ésimo: a) a 0 0, a n+ x)a n + nx, x R, x. b) µ 0 ; µ n nµ n

7 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 80 Respuestas. a) a 0 0, a 0, a x, a 3 x)x + x,... a k x) k x + x) k 3 x + x) k 4 3x x)k )x + k )x b) µ 0 µ µ 0 µ µ µ 3 3µ 3 µ 4 4µ µ k kµ k kk )k )...3 k! 4. Determine el término n ésimo de las siguientes sucesiones definidas recursivamente: a) µ,..., µ n µ n + b) µ 0, µ 3,...,µ n+ 3µ n µ n c) µ, µ,..., µ n+ µ n Respuestas. a) µ n n b), 3, 5, 9, 7,..., µ n n +, n 0 c) µ, µ 3, µ 3 7 3,...,µ n n n, es decir, µ n n 5. En cada una de las siguientes sucesiones, cuyo término general es a n, determine si son consecutivos o no los dos términos que se indican, en caso de no serlo indique cuales son: a) a n n; k y k b) a n n ; k y k + c) a n n + + n; k+ k y k + k

8 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 8 Respuestas. a) y c) son consecutivos. b) no son consecutivos, los posibles consecutivos son: k + y k + 3 ó k y k Inducción Axioma de Inducción. Sean m N 0, N 0 N {0} y A el conjunto de los naturales que son iguales o mayores que m, es decir: A {n / n m, m N 0 }. Si S es un subconjunto de A con las siguientes dos propiedades:. Contiene a m,. k A: si k S, entonces k+) S, luego el conjunto S es igual a A. En muchas aplicaciones de este axioma se tiene que m, por tanto N A. Cuando se use este axioma para demostrar propiedades del tipo que estamos considerando, el conjunto A y la forma proposicional pn), n N, nos lo dan en la proposición de la propiedad. Se toma S como el subconjunto de A que contiene aquellos naturales para los cuales pn) es verdad. Así podemos volver a formular el axioma como un proceso operacional que se acostumbra a llamar Principio de Inducción Matemática. Principio de Inducción. Sea A {n / n m, m N 0 } una proposición de la forma n A : pn), probaremos la verdad de esta proposición estableciendo lo siguiente:. pm) es verdad.

9 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 8. n A, la implicación pn) pn + ) es verdad. Notemos que usualmente m, luego A {n / n }} N. También suponer la verdad de pn), se acostumbra a llamar hipótesis inductiva H.I). Ejemplo 3 Demostrar n N, que nn + ) n n + Demostración. Se tiene que: m, A {n / n }, pn) : nn + ) n n +. p) es verdad, pues +. pn) es verdad, es decir, se cumple nn + ) n n + entonces pn + ), es decir, debemos establecer que: nn + ) + n + )n + ) n + n + H.I.) T.) En efecto: nn + ) + n + )n + ) n n + + n + )n + ) nn + ) + n + )n + ) n + ) n + )n + ) n + n +

10 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 83 Ejemplo 4 Demostrar n N, que a n n+ + n+ es divisible por 33. Demostración. Se tiene que: m, A {n / n } a n n+ + n+ 33p, p Z +. a , es verdad.. Sea entonces, a n n+ + n+ 33p, p Z + H.I.) a n+ n+3 + n+3 sea divisible por 33 T.) En efecto: a n+ n+ + n+ a n+ n+ + n+ ) + n+ n+ a n+ a n + n+ ) a n+ 33p + n+ 33 a n+ 3 p + n+ ) lo que prueba la tesis. Principio General de Inducción.

11 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Ejercicios Resueltos. Demuestre que si n es cualquier entero positivo, 3 n3 +n) es un entero. Demostración. Sea S {n N / 3 n3 + n) es un entero}. i) S, pues ) y es un entero. ii) Si n S se tiene que 3 n3 + n) es un entero. Por demostrar que n + ) S. H.I.) En efecto, 3 [n + )3 + n + )] 3 n3 + 3n + 3n + + n + ) 3 n3 + n) + n + n + ) es un entero, pues 3 n3 +n) lo es por H.I.) y n +n+ es un entero, pues n lo es, así n S n + ) S, por tanto, S N. Nota: en adelante vamos a dejar de formular al conjunto A o bien S, dejándolo sobreentendido, pero el lector, si es su deseo, bien puede hacerlo.. Si u i+ u i +, i N. Demostrar que u n + n u + ). Demostración. i) Para n u + u + ) u +. ii) Hipótesis Inductiva: para n k u k + k u + ). Por demostrar para n k +, o sea, u k+ + k u + ). En efecto, en la hipótesis del problema hagamos i k, luego u k+ u k + u k+ + u k + u k + ), usando la hipótesis inductiva: u k+ + k u + )) k u + ).

12 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Sabiendo que: 4 3 u u + 3 u u + 3 u 3... u n + 3 u n+. Demostrar: u n 3n+ 3 3 n+. Demostración. i) Para n u 3 4 ; u ii) Hipótesis inductiva: para n k u k 3k+ 3, por demostrar 3 k+ para n k +, o sea, u k+ 3k k+ En efecto, por hipótesis del problema tenemos: 4 u k + 3 u k+ u k+ 3 4 u k ; ahora, usando la hipótesis inductiva: u k k+ 3)/3 k+ ) 33 k+ ) 4 3 k+ 4 3 k+ + 3 u k+ 3 k+ 3 3 k+ 4 ) 3k+ 3 3 k+ 4. Si u 0 y u n+ + x)u n nx, n N, demostrar que: u n x [ + nx + x)n ], x 0. Demostración. i) Para n, u 0; u x [ + x + x)] x 0 0. ii) Hipótesis inductiva. Para n k u k x [ + kx + x)k ], por demostrar para n k +, o sea, u k+ x [ + k + )x + x)k+ ].

13 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 86 En efecto, hacemos n k en la hipótesis del problema u k+ + x)u k kx, ahora reemplazando la hipótesis inductiva: u k+ u k+ + x) x [ + kx + x)k ] kx x [ + x) + + x)kx + x) + x)k ] kx x [ + x + kx + kx + x) k+ kx ] u k+ x [ + x + kx + x)k+ ] x [ + + k)x + x)k+ ] 5. Demuestre n N, que: n+4 > n + 4). Demostración. i) Para n ; +4 > + 4) 5 > 5 3 > 5. ii) Hipótesis inductiva, para n k k+4 > k + 4). Por demostrar para n k +, o sea, k+5 > k + 5). En efecto, como k+4 > k + 4) k+4 > k + 4) k+5 > k + 6k + 3 k+5 > k + 0k k + 6k + 7 y como k + 0k k + 6k + 7 > k + 0k + 5 k+5 > k + 0k + 5 k+5 > k + 5). 6. Demuestre n Z; n ; h ; que: + h) n + nh Demostración. i) Para n ; + h) + h + h + h.

14 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 87 ii) Hipótesis inductiva, para n k + h) k + kh. Por demostrar para n k +, o sea, + h) k+ + k + )h,. En efecto, como + h) 0, tenemos: + h) k + h) + kh) + h) + h) k+ + h + kh + kh + h + kh pues kh 0 + h) k+ + k + )h 7. Demostrar que los números de la forma u n n+ 9n + 3n son divisibles por 54. Demostración. i) Para n ; u y 0 es divisible por 54. ii) Hipótesis inductiva, para n k u k k+ 9k + 3k es divisible por 54. Por demostrar para n k +, o sea que u k+ k+3 9k + ) + 3k + ) sea divisible por 54. En efecto: u k+ u k k+ ) 8k 6 3 k+ 6k ), sumando y restando 7k, tenemos: u k+ u k 3[ k+ 9k + 3k ] + 7k 7k u k+ u k 3u k + 7k)k ) ahora como el producto de dos números consecutivos es par, podemos poner kk ) S, S N), luego: u k+ u k 3u k + 54S u k+ 4u k + 54S como por hipótesis inductiva 4u k 54p, p N) u k+ 54S + p) con lo que u k+ es divisible por 54.

15 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Demostrar que u n 3 4n+ + 5 n+ es múltiplo de 4. Demostración. i) Para n, u , es múltiplo de 4. ii) Hipótesis inductiva, para n k u k 3 4k+ + 5 k+ es múltiplo de 4. Por demostrar que para n k + u k+ 3 4k k+3 es múltiplo de 4. En efecto, sea: u k+ u k k+ + 5 k k+ + 5 k+ ) k+ u k+ u k 4u k k+ u k+ 5u k + 4S, S 4 3 4k+ Como u k es múltiplo de 4, ambos sumandos son múltiplos de 4, luego u k+ es múltiplo de Demostrar que n N; fn) 0 n n+ + 5 es divisible por 9. Demostración. i) Para n ; f) ii) Por hipótesis inductiva, para n k fk) 0 k k+ + 5 es divisible por 9. Por demostrar que para n k + fk + ) 0 k k sea divisible por 9. En efecto, sea: fk + ) fk) 0 k 0 ) k+ 4 ) 9 0 k k+ fk + ) 90 k + 4 k+ ) + fk) como fk) es divisible por 9 y también 90 k + 4 k+ ), tenemos que fk + ) es divisible por 9.

16 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Demostrar: α kπ, k Z). Demostración. cosα cos α cos 4α... cos n α sen n α n sen α i) Para n, cosα sen α sen α sen αcos α sen α ii) Hipótesis inductiva, para n k: cosα Por demostrar, para cosα cos α cos 4α... cos α k α sen k α k sen α n k + cosα cos α cos 4α... cos k α sen k+ α k+ sen α en efecto, multiplicando la hipótesis inductiva por cos k α, tenemos cosα cos α... cos k α cos k α sen k α k sen α cos k α cos α cos α... cos k α sen k α cos k α k sen α sen k α) k+ sen α sen k+ α k+ sen α. Demostrar que cosnπ) ) n. Demostración. i) Para n, cosπ ) ) ) ii) Hipótesis inductiva, para n k; coskπ) ) k.

17 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 90 Por demostrar, para n k + cos[k + )π] ) k+. En efecto, como: coskπ) ) k coskπ) ) ) k ) cosπ + kπ) ) k+ cos[k + )π] ) k+. Demostrar n Z; n 4, que 3... n n! > n. Demostración. i) Para n 4: 3 4 > 4 4 > 6. ii) Hipótesis inductiva, para n k, k 4: k! > k Por demostrar, para n k + k + )! > k+, en efecto, como 3... k > k 3... k k + ) > k k + ) Dado que, k 4 k + )! > k k + ) *) k + > 4 k k + ) > 4 k k k + ) > 4 k > k k k + ) > k+ **) luego, por *) y **) concluimos k + )! > k+. 3. Se definen los números a, a, a 3,... mediante a y a n+ a n. Demostrar que a n < para todo n. Demostración. a) Para n, a <. b) Hipótesis inductiva, para n k : a k <, por demostrar para n k +, o sea: a k+ <. En efecto, como a k < a k < 4 ak < 4 por definición a k a k+ luego a k+ <.

18 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 9 4. Demostrar n N, que n 3 n + n n Demostración. i) Para n + verdadero. ii) Sea válido para n, o sea se verifica que n n n + n H.I.) Por demostrar para n +, o sea que: n 3 + n + n n + 3 T) n+ n+ En efecto: n 3 + n + n + + n + n n+ n n+ n + ) n + ) n+ n + 3 n+ 5. Si a, a 3,..., a n+ a n+ + a n ), probar que: i) a < a 3 < a 5 <... y a > a 4 > a 6 >... ii) a n 7 ) n iii) a n+ a n ) n y an+ a n+ Prueba. i) Vamos a demostrar que a n < a n+. ) Para n, a < a 3 < que es verdad. ) n

19 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 9 ) Sea válido para n, o sea, se cumple a n < a n+ H.I.) En efecto, a n < a n+ a n + a n ) < a n+ + a n ) a n+ < a n+ a n+ < a n+ + a n+ a n+ < a n+ + a n+ ) a n+ < a n+3, análogamente se establece: a n+ a > a 4 > a 6 >... ii) ) Para n a 7 4 que es verdad. 3 3 ) Sea válido para n, o sea, que se verifica a n ) n H.I.) 3 Por demostrar para n +, o sea, a n n ) T) En efecto, como a n+ a n + a n ) y tomando en cuenta el principio general de inducción, a n+ 7 3 a n+ 7 3 ) n ) ) n 3 ) n ) ) 4 ) n ) n 3 iii) Como en ii) está establecida la validez de la fórmula para todo n se tiene: a n+ a n [ n+ 7 3 ) 3 4 ) ] n ) n ) ) ) n Análogamente para a n+ a n+ ) n.

20 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Demuestre que x n y n es divisible por x + y, n N. Demostración. Sea S {n N / x n y n es divisible por x + y}. i) S pues x y x + y)x y) es divisible por x + y). ii) Si n S se tiene que x n y n es divisible por x + y H.I.) Por demostrar que n+) S, o sea, x n+) y n+) sea divisible por x + y) T) En efecto: x n+) y n+) x n+ y n+ x x n y n ) + x y n y n+ x x n y n ) + y n x y)x + y) es divisible por x + y) pues x n y n lo es por hipótesis y el término que se suma contiene a x + y), por tanto, n + ) S, luego S N Ejercicios Propuestos. Si a y a k+ a k +, probar que a n n.. Si u 0 y u k+ x)u k + kx, k N, pruebe que u n x [nx + x)n ], x Probar que si u 0, u 3,...,u k+ 3u k u k, entonces n 0, u n n Siendo u c y u k+ u k +, k, probar que u n + n c+). 5. Se definen los números de Fibonacci inductivamente por: pruebe que: u 0 0, u,..., u k+ u k + u k,

21 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 94 a) u n+ + ) n 5 b) u n+ u n u n )n c) u n+ u 0 + u u n + d) u n+p u n u p + u n u p 6. Se define u y u k+ u k + k+. Pruebe que u + u u n n + )u n n. 7. Pruebe que: a) 9 divide a 3n + )7 n b) 5 divide a 4n c) 304 divide a 7 n 48n d) 8 divide a 3 n e) 5 divide a 7 6 n + 3 f ) 64 divide a 7 n + 6n g) 48 divide a 7 n h) 64 divide a 9 n 8n 8. Pruebe que: a) x n y n es divisible por x y b) x n + y n es divisible por x + y 9. Demuestre que n N, que: a) n + n b) n)! < n n!), n > c) 3 n + n < n < n, n > d) n+ + n n+ 5 6 e) n! > n, n 4 0. Probar que 4 divide a nn ) si n es impar.. Demuestre: nn + )n + )...n + p ) es divisible por p.

22 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 95. Pruebe que: n + ) 3 n + ) n + 4n + ), n 0 3. Probar que el producto n+) números reales negativos es un número negativo. 4. Probar que para n >, la suma de los ángulos interiores de un polígono regular de n lados es n )π. 5. Determine la falla del método de inducción en la demostración de: n N la fórmula pn) n n +4 proporciona solo números primos. 6. Demostrar: a) n ) 3 n4n ) b) n + 3 n ) n+ + 3 n 3) c) n n n+ d) n + ) n + ) e) n términos) n+)3 n f ) n términos) )n ) 4) n g) ) n 4 n 5 7. Demostrar que: a) ) ) ) ) n+ n+ n+3 b) x) + x) + x ) + x )... + x n ) x n+ c) ) ) ) ) n+ n+) n+) 8. Demuestre que: ) n n ) n nn + ) 9. Sean µ 0, µ 47...µ n 3µ n 60µ n, n 3. Pruebe que: µ n 0 n + 3 n+

23 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Dado que a 0, a,..., a n+ a n+ + 6a n, n 0. Demuestre que a n 7 3 n + 5 ) n.. Sean a 0, a,..., a n+ na n + a n ), n. Demostrar que: a n n!! ) 3! )n n!. a a, a b, a 3 a 3 + a ), a 4 a 3 + a 3 ),... a, b R, a b. Demostrar que: a n a 3c [ c ) ] n, c b a. c Sumatorias Una sumatoria es un símbolo que se ocupa para denotar en forma comprimida la suma sucesiva de los terminos de una sucesión. Definición Se define el símbolo que se lee sumatoria) inductivamente, por. a i a i. n+ a i i a i + a n+, donde a n es una sucesión cualquiera. i De esta definición se desprende fácilmente que, n+ a i i a i + a + a a n + a n+ a + a + a a n+ i

24 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 97 Note que a i representa a una suma desde el primer término de la sucesión i a para i hasta el último término que en este caso es a n para i n. Es decir, en i se inicia la suma de los sucesivos términos de a i e i n indica donde se finaliza la suma. Nota. En este texto se estudiarán las sumatorias finitas simples y dobles, que deberían llamarse series finitas. En un curso posterior es estudiarán las sumatorias infinitas de los términos de una sucesión, a éstas se suelen llamar series. Número de Términos. Dada a i con 0 p n, p N {0} el número de términos siempre es ip igual a n p + para el caso particular de p, dicho número es n. Propiedades a i a j i j a k El valor de la sumatoria no depende del símbolo que se use como índice. c cn p+), 0 p n, c es una constante real que no depende ip del índice i. Para el caso particular de i i n. i ca i c a i, c es una constante. a i + b i ) a i + i i i b i

25 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Propiedad Telescópica: a i+ a i ) a n+ a p ; 0 p n, ip también a i a i+ ) a p a n+, 0 p n. ip 6. a) b) a i ip a i ip n r ip r n+r ip+r a i+r ; p r 0, 0 p n a i r ; 0 p n 7. Sea p n, entonces a i ip p a i i i a i Observación. Todas estas propiedades se prueban en forma sencilla, en base a la definición o bien por inducción. Sumatorias Notables.. 3. k nn + ) k nn + )n + ) 6 k 3 [ ] nn + )

26 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias kp r k r p rn p+, r, 0 p n r Observación. Todas estas sumas se prueban por inducción, algunas de ellas se encuentran en los ejemplos o bien en los ejercicios resueltos. Ejemplo 5 Desarrollar las siguientes sumatorias: a) 8 kk ) b) k4 n ) k+k + k + k0 De la definición se tiene: a) b) 8 kk ) , k4 note que son términos como debería ser. n k0 ) k+k + k ) nn + n +. Note que en este caso se tiene n 0 + n términos. Ejemplo 6 Escribir usando, las siguientes sumas: hasta n + términos) hasta p términos)

27 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 00 De inmediato se tiene:. k + ), note que n 0 + n + términos. k0. Notemos que a k 3k )k + 5), k,,... la sumatoria debe terminar en 3k 4 k de donde en ambos casos 4 k 4, por tanto 3k )k + 5). 3. De inmediato se tiene p ) k 4k + ) k + )k + 3). Ejemplo 7 Sea a 3,...,a n 6n 3 calcular 6 a k a k+. k3 Note que la sumatoria consta de cuatro términos, así, 6 a k a k+ a a 4 + a 3 a 5 + a 4 a 6 + a 5 a 7 k Ejemplo 8 Vamos a calcular las siguientes sumatorias, aprovechando para ello la propiedad telescópica. a) b) 0 i ip i + ) i + n+ i ) i +

28 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 0 Por tanto, se tiene para: a) 0 i i + ) i b) Note que en este caso los términos son consecutivos aunque aparentemente parecen no serlo, lo importante es que: así pues, ip a i i y a i+ i +, n+ i ) i + p n Sumatorias dobles Sea a ij una sucesión tal que i, j N N, así se definen. m m ) m ) a ij a ij a ij ; n, m N. i j Note que en i j j i m a ij ), la sumatoria entre paréntesis suma sobre j i j manteniendo i constante, análogamente para i y j la considera constante. m ) a ij suma sobre j i. Si es el caso que a ij b i c j, entonces m m ) m ) a ij b i c j b i c j i j i j i j

29 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 0 3. Ahora si se trata de i a ij entonces, i j i i ) a ij a ij i j i j y en este caso la sumatoria indicada entre paréntesis es la que se debe efectuar necesariamente en primera instancia. Nota. Para el cálculo o desarrollo de una sumatoria doble se aprovechan las propiedades y las sumas notables de las sumatorias simples. Ejemplo 9 Desarrollaremos y calcularemos a) b) 3 j i ) j + k i ji j Así, para a) se tiene: 3 j ) j + k 3 3 ) j + k 3 j j + ) + k k ) 33.

30 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 03 Para b), el desarrollo se puede efectuar como sigue: i ji i j j + 4j j j el cálculo también se puede hacer en la forma: ) i i ji i j i ii + ) i i + ) i j i j i i Ejercicios Resueltos. Calcular las siguientes sumatorias: a) k b) k c) n k k3 kn+ a) b) c) k nn + ) nn + ) k k3 n kn+ k k + ) nn + ) 3 n k k n )n + ) nn + ) nn ) nn + ). Si a k kk + )k + ) demuestre que a 3 k a k kk + ) y de aquí calcule el valor de ii + ). i

31 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 04 a k a k kk + )k + ) k )kk + ) 3 3 kk + )k + k + ) kk + ). 3 Luego, 3. Dada Calcule i ii + ) i a i a i ) a n a 0 i 3 nn + )n + ) 00 + )0 + ) 3 nn + )n + ) 3 ii + ) nn + )n + ) 3 ii ) y i n+ kn kk + ). Por la propiedad 6), se tiene: n ii ) i + )i + ) i n+ kn kk + ) i0 n ii + ) i n )nn + ) 3 n+ n kk + ) kk + ) 3 n + )n + )n + 3) n )nn + ) 3 n + )[n + ) n + 3) n )n] 3 3 n + )7n + 7n + 6)

32 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Calcular: a) j + ) 3 b) j n k + ) a) b) n+ n+ j + ) 3 j 3 j 3 4 n + ) n + ) j j j kn k + ) n + ) k n + ) nn + ) nn + )n + ) 6 nn + )n + ) 6 5. Calcule la sumatoria y luego verifique su cálculo por inducción. n+ + k ) k n+ n+ n+ + k ) + k n + ) + n+ n + n+ Ahora, por inducción vamos a demostrar que: n+ + k ) n + n+

33 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 06 i) Para n 0 cumple. + k ) por tanto se ii) Sea válido para n, o sea, se verifica que: n+ + k ) n + n+ H.I.) Por demostrar para n +, o sea que: n+ + k ) n + + n+ T) En efecto: n+ n+ + k ) + k ) + + n+ ) n + n+ + + n+ n + + n+ n + + n+ 6. Demostrar que: kk + ) n n + Demostración. i) Para n : ii) Hipótesis inductiva, para n p: kk + ) + ) + p kk + ) p p +

34 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 07 Por demostrar para n p + : En efecto, como: p kk + ) p+ kk + ) p + p +. p p + p kk + ) + p + )p + ) p p + + p + )p + ) p+ pp + ) + kk + ) p + )p + ) p + ) p + )p + ) p + p + 7. Demostrar: p ) i 4i + ) i + )i + 3) 3 + )n n + 3 i0 Demostración. i) Para n : i ) i 4i + ) i + )i + 3) 3 + ) + 3 ) 4 + ) + ) + 3) 4) ii) Hipótesis inductiva, para n k: k i ) i 4i + ) i + )i + 3) 3 + )k k + 3 Por demostrar, para n k + : k+ ) i 4i + ) i + )i + 3) 3 + )k k + 5. i H.I.) T.)

35 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 08 En efecto, como: k ) i 4i + ) i + )i + 3) 3 + )k k + 3 i k i ) i 4i + ) i + )i + 3) + )k 4k + ) k + 3)k + 5) 3 + )k k )k 4k + ) k + 3)k + 5) k+ ) i 4i + ) i + )i + 3) 3 + )k k + 5) + ) k 4k + ) k + 3)k + 5) i 3 + )k k 5 + 4k + 8) k + 3)k + 5) 3 + )k k Demuestre y calcule: Demostración. a) Desarrollando: ) k k 4k ). ) k k n ) + n) k) k ) [k) k ) ] [k) k) + k) ] 4k )

36 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 09 b) ) k k 4k ) 4 k 4 nn+) n n + n 9. Calcular: S k )k + ) Por fracciones parciales k )k + ) A k + B k + k A ; k B, así: S [ k ] k + Ak + ) + Bk ) [ ] n + n n + 0. Calcular: S k 4 + k + k 4 + k así: S k 4 + k + k 4 + k S n + k 4 + k + k 4 + k [ + + k k + k 4 + k ] kk + ) ] [ n + + k k + k 4 + k + nn + ) n + división de polinomios) + kk + ), kk + ) n + [ k ] k +

37 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 0. Calcular: S k + k k + ) S S. Calcular: k + k + k k k + ) [ ] k k + ) S [ ] k + ) k k + ) k k k + ) n + ) k + log k ) k ) k k + S log, desarrollando tenemos: k S log ) n + ) + log + log log 3 n ) S log 3 43 n + )n n + )n... log 33 n n n! 3. Calcular: S S S ) log + k + k ) n k + ) log kk + ) [ logk + ) logk)k + )] logk + ) log k) [logk + ) logk + )] S logn + ) log logn + ) log ) log n + ) n + )

38 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 4. Calcular: S k + k + k 4 Haciendo + k + k 4 + k + k 4 k + k ) k se tiene: Por otra parte: S k + k k) + k + k) ). k + k k) + k + k) Ak + B + k k) + Ck + D + k + k k Ak + B) + k + k) + Ck + D) + k k) k A + C)k 3 + A + B C + D)k + A + B + C D)k + B + D A + C 0 A + B C + D 0 A + B + C D B + D 0 A C 0 B D, de donde S ) + k k + k + k + k k + n + n ) + k + ) k + ) ) 5. Calcular: S k 5k + 3 5k 5k + 5k 6 ) 3k 4 6 k 4 k+

39 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias S S k ) 5k + 3 5k 5k + 3)5k ) 5k + 3)5k ) k S 8 S 8 5k ) 5n ) 5k + 3) 4 ) 3 ) n 9 3 k 4 + k ) n + 4 5n n ) + k ) n 3 k 4 k 3 k k k k+ 6. Calcular: n+ S j ) 4 j k 4 Haciendo j k en la primera sumatoria y para j k ; j n + k n +, luego n+ S k 4 k 4 k 4 + n + ) 4 k 4 n + ) Calcular: S Nótese que S? 3k + )5k + ), tal que: 3k k + 6 } k 5,

40 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 3 con lo que S S 5 5 S 5 3k + )5k + ) 5k + k + ) Calcular: S k + 78 k S S ?, tal que k + )k + 3) } k 77, así: S 77 k + )k + 3). con ayuda de fracciones parciales: k + )k + 3) A k + + B Ak + 3) + Bk + ) k + 3

41 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 4 Si k 3 B ; si k A, luego: S S 77 [ k + ] k + 3 [ 77 k + ) 77 + k + k + ) ] k + 3 [ ] 0, Calcular: S n S n k + 3 k + 3 kk + )3k, de donde kk + ) A k + A 3 y B, así: S n S n 0. Probar por inducción que: Prueba. B k + [ 3 k ] [ ] k + 3 k k3 k k + )3 k 3 0 n + )3 n n + )3 n kn+ k j ) j+ ; n j i) Para n k k j ) j+ j

42 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 5 ii) Sea válido para n, o sea, se cumple n. Por probar para n +, o sea, n+ n+ k ) j+, j en efecto: kn+ j n+ kn+ k kn+ j j n+ j k n + + n + + n + ) j+ j ) j+ j ) j+ j + n + n + + )n+)+ n + + )n+)+ n + Nótese que n + ) + es par y que n + ) + es impar.. Sabiendo que a+) 5 a 5 +5a 4 +0a 3 +0a +5a+, demostrar que S k 4 cumple con la ecuación: [ ] nn + ) n+) 5 +5S+0 +0 encuentre el valor de S cuando n 5. nn + )n + ) +5 6 nn + ) +n Haciendo a, a, a 3,..., a n en el desarrollo dado, tenemos: + ) ) )

43 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 6 n + ) 5 n + ) 5 n 5 + 5n n n + 5n + sumando miembro a miembro y simplificando, obtenemos: n + ) n 4 ) n 3 ) n ) n) + n [ ] nn + ) n + ) 5 nn + )n + ) + 5S nn + ) +5 + n, despejando S y para n 5 se tiene S [ )] Si fk) k a) fk) fk + ) k+ k k+) b) Aproveche a) y calcule la suma de n términos De inmediato, fk) fk + ) k k + ) k + ) k k k + ) k+ k + k)k + + k) k k + ) k + k k + ) Observe que nos va generando los términos de la suma, luego: k k+) [ ] k + fk) fk + ) k k + ) f) fn + ) n + )

44 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 7 3. Demuestre por inducción kn k + ) nn + )n + ) 6 Demostración. i) Para n, k k) ) + ) + ). 6 ii) Sea válido para n j, se verifica que: j kj k + ) jj + )j + ) 6 Por demostrar para n j +, o sea, En efecto: j+ kj + k + ) j + )j + )j + 3) 6 j+ kj + k + ) j+ [kj k + ) + k] j+ j+ kj k + ) + k j kj k + ) + j + )j j + ) + ) + j + )j + ) 6 jj + )j + ) + j + )j + ) j + )j + )j + 3) 6

45 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 8 4. Si u i n + 3n, calcule el valor de i in+ u i y u n. así, u i u i in+ i i in+ u i 3nn + ), ahora como u i n) + 3n) n + 3n), n u i u i u n n + 3n [n ) + 3n )] u n i i simplificando se llega a u n 4n Demostrar que: n+ ) k k n + )n + ) Demostración. i) Para n : 3 ) k k + ) + ) )3) 6 6 ii) Hipótesis inductiva, para n j: j+ ) k k j + )j + ). Por demostrar para n j +, o sea, j+3 ) k k j + )j + 3).

46 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 9 En efecto, como: j+ ) k k j+ j + )j + ) ) k k + ) j+) j + ) + ) j+3) j + 3) j + )j + ) + ) j+ j + ) + ) j+) j + 3) como j + es impar y j + ) es siempre par, entonces: j+3 ) k k j + )j + ) j + ) + j + 3) j + 3j + 4j + 8j + 4) + 4j + j + 9) j + 3j + + 4j + 5 j + 7j + 6 j + )j + 3) 6. Se define 0!,!,...,n + )! n!n + ). Por tanto, n + )! 3...n n + ). Calcular: a) kk! b) k + )k! a) kk! k + )k! [k + )k! k!] [k + )! k!] n + )!!

47 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 0 b) k + )k! [k + ) k]k! k + ) k! kk! k + )k + )! [n + )!!] n+ kk! n + )! + k n+ kk!! n + )! + n + )!!! n + )! + n + )! n + )! n + )!n 7. Calcular: a) n kn+ k k + )! b) n k0 k + k k + )! a) n kn+ k k + )! n kn+ k + k + )! n+)! n)! n kn+ ) k! k + )! b) Con el fin de evitar artificios algebraicos como el efectuado en a), a continuación damos un método similar al de fracciones parciales para separar en fracciones términos que contienen factoriales. k + k A k + )! k + )! + B k! + C ) k )! Tres constantes pues el grado del numerador es dos, dos constantes si el grado es uno como en a) y los denominadores decrecientes a partir de k + )! uno por cada constante.

48 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Así, de ) se tiene que k + k A + Bk + ) + Ckk + ). Si k A. Si k 0 A + B B. Si k A + B + C C. Se obtienen los mismos resultados por igualdad de coeficientes, por tanto queda k + k k + )! k + )! + k! k )!, con lo que n k0 k + k k + )! n k + k + k + )! n + k + )! + ) k! k )! n ) + k! n + k + )! +! n! + n )! 0! n! + n )! k! k )! ) 8. Calcular: 3! + 4! ! +... n términos) Notemos que a k k k+)! k, k,,..., n siguiendo el método del problema anterior se tiene: de donde k A + Bk + ). k k + )! A k + )! + B k + )!,

49 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Si k A y si k 0 B, luego k + k + )! k k + )! k + )! ) k ) k k + )! k+ k + )! finalmente para la propiedad telescópica se tiene que: ) k +! k + )! k! n+ n+ n + )! n + )! 9. Calcular: S n kk + )k + )...k + p), p 0. Nótese que: A kk + )...k + p ) + B k + )k + )...k + p) kk + )...k + p) Ak + p) + Bk Si k 0 A p y si k p B p, luego: S n S n p Nótese que: [ [ p kk + )...k + p )...p n + )n + )...n + p) k + )k + )...k + p) ]. ] u k kk + )...k + p ) y u k+ k + )k + )...k + p)

50 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Calcular: ai + bj), a, b constantes. i j i ai + bj) j ai i i + b j ) j j [ nn + ) ain ) + b )] an )nn + ) + bn[nn + ) )] 3. Calcule: 7 i j 0). j i 7 ) i j 0) j i j j 7 i 0 i ) 7 i7 [ ] 77 + )4 + ) j j 80 j 40 j j 40nn + ) 40n 40n 3. Calcule: i i j j 3 i.

51 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 4 i i j j 3 i 33. Calcular la suma de n términos de: i ) ) j i 3 i 3 j i i j i j [ 3 ) i i i 3 i i ) n ) 3 3 ) n ) n ) n ) ] i 3 a) + + 3) ) +... b) ) ) [ ] n + n + c) nn + ) + nn + ) + n + + n + )n + ) [ ) n nn + ) + n + 3 n + )n + ) + n n + )n + 3) a) S n j [ 3 j k jj + ) k j + j ) k j j 6 kk + )k + ) + kk + ) k 3 + 3k + k) ] nn + )n + )n + 3)

52 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 5 b) S n j k k + jj + ) k + ) ) k + ) k + k j j ) j + k nn + ) c) S n k n + k n + j )n + j) k n + k) j n + k) j n + j n n + k ) n + j ) k n n + ) 34. Calcule: ) + + ) ) n n n ). Note que la suma se puede expresar por: k k k j j k kk + ) ) k n + ) n n + k + ) k 35. Calcular: a) n+ i i i+j b) j m i k + i c) k j i) k + ) j i

53 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 6 a) b) c) n+ i i i+j j j i n+ i n+ i j i n+ j i i i n+ n+ i i ) i i i 4n n 3 n+5 5 ) n m k + m i k + ) i )i + ) i i ) m k + i ) i + i [ ] [ m nn + ) + n i ) m + i i i [ 4 nn + 3) ) + m )] m + k j k i) k + ) jj + ) k + ) k + ) k j j k + j + ) j ) k nn + ) i i i ) ] i + ) k + ) 36. Calcule la suma de todos los números del siguiente cuadro n

54 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 7 Primera forma: Sumando por filas. + + ) ) n) es decir, expresándolo como doble sumatoria, queda: i i k ii + ) i ) i + i i i 6 nn + )n + ) + ) nn + ) nn + )n + ) 6 Segunda forma: Sumando por columnas. n n n n + n ) + 3 n 3) n in i + ) n + ) i i i i i n + ) nn + ) nn + )n + ) 6 nn + )n + ) 6 naturalmente da el mismo resultado. 37. Calcular: S n i i jx i con x j Expandiendo la doble suma se tiene:

55 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 8 S n + 3x + 6x + 0x 3 + 5x 4 nn + ) xs n x + 3x + 6x 3 + 0x 4 + 5x Restando miembro a miembro, resulta: x n n )n x n + nn + ) x n. x)s n + x + 3x + 4x 3 + 5x nx n nn + ) x n x x)s n x + x + 3x 3 + 4x n )x n + nx n nn + ) x n+. Restando miembro a miembro nuevamente: x) S n + x + x + x x n nx n nn + ) + x n+ x) S n xn nn + 3) S n x x) [ x n x 38. Calcular la suma del siguiente cuadro: n + ) filas. x n + nn + ) x n nn + ) x n+ nn + 3) x n ] nn + ) x n+ La suma se puede expresar como sigue: ) ) +... o bien, 4 9 k ) + k ) + k ) +... k k5

56 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 9 Luego, la suma pedida es: i+) i0 ki + k ) i+) k ) i0 i [i + ) 4 i 4 ] n + ) 4 i0 k ) 3.0. Ejercicios Propuestos. Desarrollar las siguientes sumatorias: a) 6 k3 3 k k + b) ) k n + )k! c) n+ kn+ k n k) Respuesta. a) b) n + )! + n + )! n + )3! ) n n + )n! c) n+ + n+ + n n+ n+). Escribir usando el símbolo las siguientes sumas: a) hasta n términos. b) n. c) Respuesta. a) i )i i

57 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 30 b) c) n+ 57 j 3 k 4j 5) j 3. Calcular: a) k )k + ) b) k Respuesta. k 3 k ) c) 0 n+ n k) kn a) nn )n + 5) 6 b) nn + ) n 3 9 c) nn + ) 3n + 7n + ) 4. Calcular: a) i + ) i + i0 n 3 b) k 3 ) k + k n ) a i a i+ c), a 0. d) i0 60 k4 a i+ k k + )! Respuesta. a) b) 3 n+ n) c) a n+ d) 4! 6!

58 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 3 5. Determine el término que falta en las siguientes igualdades: ) a) 6k? 6 6n + 6 b)? 3 ) 3 k + 5 n c) d) i0 n+4 i+? i? n+ kk + )? k Respuesta. a) 6k+6 b) 3 k+7 c) i 4 y i 7 d) k )k ) 6. Calcular: a) b) c) Respuesta. a) b) 583 c) Calcular: n+ a) ) k k

59 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 3 b) n+ ) k k k0 Respuesta. a) n + ) b) n + )n + ) 8. Calcule la suma de n términos de: a) n, para n impar. b) n + n ) + 3n ) +... Respuesta. a) n + )n b) nn + ) n + ) 9. Sumar n términos de: a) b) Respuesta. a) 4 nn + )n + 5) 3 b) 4 3 n6n + 4n + ) 0. Sumar n + términos de: Respuesta. 4n 3 + 9n + 6n +

60 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 33. Calcular la suma de n términos de: 3 a) b) c) d) e) Respuesta. a) b) 4 c) d) 3 4n+5)3 n n+)n+) 5 4 nn+3) n+)n+) 3 n+ 6n 5 3 n n )4 n+ +n+4 n+ e) n+35 n+5)n+6) 5 n+5. Determine el número natural n para el cual se cumpla: n n 3 k 4) + 6 k 4) kn Respuesta. n 4 3. Calcular: i a) b) i m j4 j i 4j i 3 i+j

61 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 34 c) d) e) f ) g) m n in+ j 4j + 4j, m > n ik i) i k j j j j j n + k n + j )n + j) k k+j ) k + j j Respuesta. a) nn + 3) b) m 3 )3 n ) c) m n) ) n n d) n n + ) n) e) n + ) f ) n 3 )n n ) ) + 4 n ) g) 6 nn + )n + ) + n Demostrar por inducción: a) b) c) kn i kk + ) n n + i )n + i) n log + ) logn + ) k

62 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 35 d) e) f ) k ) j j j cosk )x 5. Calcular: a) b) n+ k n + j j sen nx sen x kk+)k+)...k+p) nn+)...n+p+), p N. p + k k k 3 + k + k + k Respuesta. a) 4 4n + 3) b) n n + + n+ n+) n+) 6. Calcule la suma de n términos de: ) a) + + 3) ) +... b) ) + ) + 4 0) + ) ) +... c) + + ) ) +... Respuesta. a) nn + )n + )n + 3) b) nn + )n + )n 3) 6 c) nn + ) n + )

63 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Determine la suma de n términos los que se encuentran entre paréntesis). +4+6) ) )+... Respuesta. 3 nn + ) [ 3nn + ) + ] 8. Demostrar: j k j in i + ) i 9. Si S k i ) i k ; k,,..., n. Demuestre que: k + jn+ S j 3 n k + ). 0. Hallar el número de esferas en un apilamiento sobre una base rectangular cuyos lados contienen 5 y 0 esferas, si el tope es una línea. Respuesta Demuestre que la suma de todos los naturales impares que son menores que 6n y que no son múltiplos de 3, es 6n.. Probar que la suma de los productos en parejas distintas) de los n primeros números naturales impares es: 6 nn )3n n ). 3. Demuestre que la suma de los productos de todas las parejas de números distintos que se pueden sumar con los n primeros números naturales es: 4 nn )3n + ).

64 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Esferas iguales son apiladas en forma de una pirámide de base cuadrada. Hallar el número de esferas en una pirámide incompleta que tiene n capas si cada lado de la base contiene n esferas. Respuesta. nn + )7n + ) Sea la sucesión definida por: a, a,...,a n a n, n. a) Examinando algunos valores, conjeture una fórmula para a n, luego verifíquela por inducción. b) Calcular n+ k4 ka k para n. Respuesta. b) n n Calcular: k + k a) k + )! b) c) k k + )! k + 5k + 5 k + 4)! Respuesta. a) n+ n+)! b) n n+)! c) 8 n+4)n+)!

65 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Si a i i i ) i ), simplifique a i+ a i y aplíquela para calcular: k Si S i i j demuestre que: j j S i S n i+ nn + )n + )n + 3)n + 4) 0 9. Ocupe la identidad cos n + ) x cos n ) x sennx) sen x, para demostrar que: senkx) cos x cos ) n + x cos x. sen x