Inducción Matemática. Departamento de Matemáticas. Inducción Matemática p. 1/31
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- Gabriel Hidalgo Padilla
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1 Inducción Matemática Departamento de Matemáticas Inducción Matemática p. 1/31
2 Inducción Matemática: Historia Inducción Matemática es un método de prueba relativamente reciente: Inducción Matemática p. 2/31
3 Inducción Matemática: Historia Inducción Matemática es un método de prueba relativamente reciente: el primer uso conocido lo hizo el sacerdote italiano Francesco Maurolico ( ) en su publicación Arithmeticorum libri duo (1575). Inducción Matemática p. 2/31
4 Inducción Matemática: Historia Inducción Matemática es un método de prueba relativamente reciente: el primer uso conocido lo hizo el sacerdote italiano Francesco Maurolico ( ) en su publicación Arithmeticorum libri duo (1575). En el siglo 17 tanto Piere de Fermat como Blaise Pascal utilizaron esta técnica. Inducción Matemática p. 2/31
5 Inducción Matemática: Historia Inducción Matemática es un método de prueba relativamente reciente: el primer uso conocido lo hizo el sacerdote italiano Francesco Maurolico ( ) en su publicación Arithmeticorum libri duo (1575). En el siglo 17 tanto Piere de Fermat como Blaise Pascal utilizaron esta técnica. En 1883 Augustus De Morgan fue el primero que describió el proceso cuidadosamente y le nombró inducción matemática. Inducción Matemática p. 2/31
6 Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Inducción Matemática p. 3/31
7 Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Suponga que las fichas están estrategicamente colocadas de tal forma que si cualquiera cayera hacia adelante tumbaría la siguiente ficha hacia adelante. (Paso Inductivo) Inducción Matemática p. 3/31
8 Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Suponga que las fichas están estrategicamente colocadas de tal forma que si cualquiera cayera hacia adelante tumbaría la siguiente ficha hacia adelante. (Paso Inductivo) Suponga también que la primera ficha cae hacia adelante.(base Inductiva) Inducción Matemática p. 3/31
9 Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Suponga que las fichas están estrategicamente colocadas de tal forma que si cualquiera cayera hacia adelante tumbaría la siguiente ficha hacia adelante. (Paso Inductivo) Suponga también que la primera ficha cae hacia adelante.(base Inductiva) Qué pasará con las fichas de dominó? Inducción Matemática p. 3/31
10 Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Suponga que las fichas están estrategicamente colocadas de tal forma que si cualquiera cayera hacia adelante tumbaría la siguiente ficha hacia adelante. (Paso Inductivo) Suponga también que la primera ficha cae hacia adelante.(base Inductiva) Qué pasará con las fichas de dominó? Caerán todas! Inducción Matemática p. 3/31
11 Inducción Matemática: Formulación Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición etc) P(n) que está definida para los enteros apartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, para n = a + 2,... ) Inducción Matemática p. 4/31
12 Inducción Matemática: Formulación Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición etc) P(n) que está definida para los enteros apartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, para n = a + 2,... ) Suponga que las dos siguientes afirmaciones son ciertas: Inducción Matemática p. 4/31
13 Inducción Matemática: Formulación Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición etc) P(n) que está definida para los enteros apartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, para n = a + 2,... ) Suponga que las dos siguientes afirmaciones son ciertas: P(a) es verdadero. Inducción Matemática p. 4/31
14 Inducción Matemática: Formulación Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición etc) P(n) que está definida para los enteros apartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, para n = a + 2,... ) Suponga que las dos siguientes afirmaciones son ciertas: P(a) es verdadero. Para cualquier entero k mayor o igual que a: Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto. Inducción Matemática p. 4/31
15 Inducción Matemática: Formulación Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición etc) P(n) que está definida para los enteros apartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, para n = a + 2,... ) Suponga que las dos siguientes afirmaciones son ciertas: P(a) es verdadero. Para cualquier entero k mayor o igual que a: Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto. Entonces la afirmación: es verdadera. Para todos los enteros n a, P(n) Inducción Matemática p. 4/31
16 Inducción Matemática: El Método Para demostrar que es verdadera una afirmación: Pruebe que: Para todos los enteros n a, P(n) Inducción Matemática p. 5/31
17 Inducción Matemática: El Método Para demostrar que es verdadera una afirmación: Para todos los enteros n a, P(n) Pruebe que: Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero. Inducción Matemática p. 5/31
18 Inducción Matemática: El Método Para demostrar que es verdadera una afirmación: Pruebe que: Para todos los enteros n a, P(n) Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero. Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquier entero k a... Inducción Matemática p. 5/31
19 Inducción Matemática: El Método Para demostrar que es verdadera una afirmación: Pruebe que: Para todos los enteros n a, P(n) Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero. Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquier entero k a... suponiendo que P(k) es verdadera (Hipótesis inductiva) Inducción Matemática p. 5/31
20 Inducción Matemática: El Método Para demostrar que es verdadera una afirmación: Pruebe que: Para todos los enteros n a, P(n) Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero. Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquier entero k a... suponiendo que P(k) es verdadera (Hipótesis inductiva) entonces muestre que P(k + 1) también es verdadera. Inducción Matemática p. 5/31
21 Inducción Matemática: Ejemplo 1 Suponiendo como válidas las reglas de derivación y que d dx x = 1 d dx (f(x) g(x)) = g(x) d dx f(x) + f(x) d dx g(x) Inducción Matemática p. 6/31
22 Inducción Matemática: Ejemplo 1 Suponiendo como válidas las reglas de derivación y que d dx x = 1 d dx (f(x) g(x)) = g(x) d dx f(x) + f(x) d dx g(x) Demuestre que para todo entero n 1 d dx xn = n x n 1 Inducción Matemática p. 6/31
23 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Inducción Matemática p. 7/31
24 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. Inducción Matemática p. 7/31
25 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemos demostrar para n = 1 queda: d dx x1 = 1x 1 1 Inducción Matemática p. 7/31
26 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemos demostrar para n = 1 queda: d dx x1 = 1x 1 1 es decir, d dx x = 1 pero esto es uno de los datos que tenemos en el problema. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1. Inducción Matemática p. 7/31
27 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: d dx xk = k x k 1 Inducción Matemática p. 8/31
28 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: d dx xk = k x k 1 Mostremos que entonces se cumple: d dx xk+1 = (k + 1)x k+1 1 = (k + 1)x k (La igualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 8/31
29 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: d dx xk = k x k 1 Mostremos que entonces se cumple: d dx xk+1 = (k + 1)x k+1 1 = (k + 1)x k (La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar y hagamos un truco matemático: Inducción Matemática p. 8/31
30 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: d dx xk = k x k 1 Mostremos que entonces se cumple: d dx xk+1 = (k + 1)x k+1 1 = (k + 1)x k (La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar y hagamos un truco matemático: d dx xk+1 = d dx ( ) x k x Inducción Matemática p. 8/31
31 Si tomamos como f(x) = x k y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos : Inducción Matemática p. 9/31
32 Si tomamos como f(x) = x k y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos : d dx xk+1 = d dx ( ) x k x = x d dx xk + x k d dx x Inducción Matemática p. 9/31
33 Si tomamos como f(x) = x k y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos : d dx xk+1 = d dx ( ) x k x = x d dx xk + x k d dx x Por la hipótesis inductiva d dx xk = k x k 1, entonces tenemos que la igualdad anterior queda: Inducción Matemática p. 9/31
34 Si tomamos como f(x) = x k y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos : d dx xk+1 = d dx ( ) x k x = x d dx xk + x k d dx x Por la hipótesis inductiva d dx xk = k x k 1, entonces tenemos que la igualdad anterior queda: d dx xk+1 = x d dx xk + x k d dx x = x k xk 1 + x k 1 Inducción Matemática p. 9/31
35 Si tomamos como f(x) = x k y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos : d dx xk+1 = d dx ( ) x k x = x d dx xk + x k d dx x Por la hipótesis inductiva d dx xk = k x k 1, entonces tenemos que la igualdad anterior queda: d dx xk+1 = x d dx xk + x k d dx x = x k xk 1 + x k 1 Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos: Inducción Matemática p. 9/31
36 Si tomamos como f(x) = x k y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos : d dx xk+1 = d dx ( ) x k x = x d dx xk + x k d dx x Por la hipótesis inductiva d dx xk = k x k 1, entonces tenemos que la igualdad anterior queda: d dx xk+1 = x d dx xk + x k d dx x = x k xk 1 + x k 1 Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos: d dx xk+1 = (k + 1)x k Inducción Matemática p. 9/31
37 Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tanto hemos probado que si d dx x k = k x k 1 es verdadera, entonces d dx xk+1 = (k + 1)x k es también verdadera. Inducción Matemática p. 10/31
38 Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tanto d hemos probado que si dx x k = k x k 1 es verdadera, entonces dx d xk+1 = (k + 1)x k es también verdadera. Es decir, hemos probado el paso inductivo. Inducción Matemática p. 10/31
39 Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tanto d hemos probado que si dx x k = k x k 1 es verdadera, entonces dx d xk+1 = (k + 1)x k es también verdadera. Es decir, hemos probado el paso inductivo. Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, el principio de inducción matemática dice que la afirmación es cierta: Inducción Matemática p. 10/31
40 Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tanto d hemos probado que si dx x k = k x k 1 es verdadera, entonces dx d xk+1 = (k + 1)x k es también verdadera. Es decir, hemos probado el paso inductivo. Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, el principio de inducción matemática dice que la afirmación es cierta: Para todo entero n 1, d dx xn = n x n 1. Inducción Matemática p. 10/31
41 Inducción Matemática: Ejemplo 2 Demuestre que para enteros n 3: 2n n Inducción Matemática p. 11/31
42 Inducción Matemática: Ejemplo 2 Demuestre que para enteros n 3: 2n n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Inducción Matemática p. 11/31
43 Inducción Matemática: Ejemplo 2 Demuestre que para enteros n 3: 2n n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 3. Inducción Matemática p. 11/31
44 Inducción Matemática: Ejemplo 2 Demuestre que para enteros n 3: 2n n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 3. La desigualdad que debemos demostrar para n = 3 queda: Inducción Matemática p. 11/31
45 Inducción Matemática: Ejemplo 2 Demuestre que para enteros n 3: 2n n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 3. La desigualdad que debemos demostrar para n = 3 queda: es decir, 7 8, pero esto es verdadero. Inducción Matemática p. 11/31
46 Inducción Matemática: Ejemplo 2 Demuestre que para enteros n 3: 2n n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 3. La desigualdad que debemos demostrar para n = 3 queda: es decir, 7 8, pero esto es verdadero. afirmación es cierta para n = 3. Por tanto, la Inducción Matemática p. 11/31
47 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 3 cualquiera se cumple: 2k k 2 (k + 1) k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 12/31
48 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 3 cualquiera se cumple: 2k k Mostremos que entonces se cumple: 2 (k + 1) k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 12/31
49 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 3 cualquiera se cumple: 2k k Mostremos que entonces se cumple: LHS = 2 (k + 1) k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad que queremos demostrar: Inducción Matemática p. 12/31
50 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 3 cualquiera se cumple: 2k k Mostremos que entonces se cumple: LHS = 2 (k + 1) k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad que queremos demostrar: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k Inducción Matemática p. 12/31
51 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k Inducción Matemática p. 13/31
52 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k + 2 Inducción Matemática p. 13/31
53 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k k + 2 k Inducción Matemática p. 13/31
54 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k k + 2 k Por tanto, hemos probado que 2 (k + 1) k + 2 k Inducción Matemática p. 13/31
55 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k k + 2 k Por tanto, hemos probado que 2 (k + 1) k + 2 k = 2 2 k Inducción Matemática p. 13/31
56 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k k + 2 k Por tanto, hemos probado que 2 (k + 1) k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Inducción Matemática p. 13/31
57 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k k + 2 k Por tanto, hemos probado que 2 (k + 1) k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Inducción Matemática p. 13/31
58 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k k + 2 k Por tanto, hemos probado que 2 (k + 1) k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Inducción Matemática p. 13/31
59 Por la hipótesis inductiva 2k k y como para k 3, 2 2 k, lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2k k k + 2 k Por tanto, hemos probado que 2 (k + 1) k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: Para cualquier entero n 3, 2n n Inducción Matemática p. 13/31
60 Note que en la demostración anterior hemos hecho uso de lo siguiente: Si A B, entonces A + C B + C. Si A B y B C, entonces A C. Inducción Matemática p. 14/31
61 Inducción Matemática: Ejemplo 3 Demuestre que para enteros n 4: n 2 2 n Inducción Matemática p. 15/31
62 Inducción Matemática: Ejemplo 3 Demuestre que para enteros n 4: n 2 2 n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Inducción Matemática p. 15/31
63 Inducción Matemática: Ejemplo 3 Demuestre que para enteros n 4: n 2 2 n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 4. Inducción Matemática p. 15/31
64 Inducción Matemática: Ejemplo 3 Demuestre que para enteros n 4: n 2 2 n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 4. La desigualdad que debemos demostrar para n = 4 queda: Inducción Matemática p. 15/31
65 Inducción Matemática: Ejemplo 3 Demuestre que para enteros n 4: n 2 2 n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 4. La desigualdad que debemos demostrar para n = 4 queda: es decir, 16 16, pero esto es verdadero. Inducción Matemática p. 15/31
66 Inducción Matemática: Ejemplo 3 Demuestre que para enteros n 4: n 2 2 n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 4. La desigualdad que debemos demostrar para n = 4 queda: es decir, 16 16, pero esto es verdadero. afirmación es cierta para n = 4. Por tanto, la Inducción Matemática p. 15/31
67 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 4 cualquiera se cumple: k 2 2 k (k + 1) 2 2 k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 16/31
68 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 4 cualquiera se cumple: k 2 2 k Mostremos que entonces se cumple: (k + 1) 2 2 k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 16/31
69 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 4 cualquiera se cumple: k 2 2 k Mostremos que entonces se cumple: LHS = (k + 1) 2 2 k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad que queremos demostrar: Inducción Matemática p. 16/31
70 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 4 cualquiera se cumple: k 2 2 k Mostremos que entonces se cumple: LHS = (k + 1) 2 2 k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad que queremos demostrar: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 Inducción Matemática p. 16/31
71 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 Inducción Matemática p. 17/31
72 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k + 1 Inducción Matemática p. 17/31
73 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k k + 2 k Inducción Matemática p. 17/31
74 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k k + 2 k Por tanto, hemos probado que (k + 1) 2 2 k + 2 k Inducción Matemática p. 17/31
75 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k k + 2 k Por tanto, hemos probado que (k + 1) 2 2 k + 2 k = 2 2 k Inducción Matemática p. 17/31
76 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k k + 2 k Por tanto, hemos probado que (k + 1) 2 2 k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Inducción Matemática p. 17/31
77 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k k + 2 k Por tanto, hemos probado que (k + 1) 2 2 k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Inducción Matemática p. 17/31
78 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k k + 2 k Por tanto, hemos probado que (k + 1) 2 2 k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Inducción Matemática p. 17/31
79 Por la hipótesis inductiva k 2 2 k y como para k 4 3, 2k k, lo anterior queda: LHS = (k + 1) 2 = k 2 + 2k k + 2k k + 2 k Por tanto, hemos probado que (k + 1) 2 2 k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: Para cualquier entero n 4, n 2 2 n Inducción Matemática p. 17/31
80 Inducción Matemática: Ejemplo 4 Demuestre que para enteros n 1: n = k i=1 i = n(n + 1) 2 Inducción Matemática p. 18/31
81 Inducción Matemática: Ejemplo 4 Demuestre que para enteros n 1: n = k i=1 i = n(n + 1) 2 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Inducción Matemática p. 18/31
82 Inducción Matemática: Ejemplo 4 Demuestre que para enteros n 1: n = k i=1 i = n(n + 1) 2 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. Inducción Matemática p. 18/31
83 Inducción Matemática: Ejemplo 4 Demuestre que para enteros n 1: n = k i=1 i = n(n + 1) 2 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La igualdad que debemos demostrar para n = 1 queda: 1 i=1 i = 1 = 1 (1 + 1) 2 = 1 Inducción Matemática p. 18/31
84 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: k k(k + 1) i = 2 i=1 k+1 i=1 i = (k + 1)(k ) 2 = (k + 1)(k + 2) 2 (La igualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 19/31
85 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: k k(k + 1) i = 2 i=1 Mostremos que entonces se cumple: k+1 i=1 i = (k + 1)(k ) 2 = (k + 1)(k + 2) 2 (La igualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 19/31
86 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: k k(k + 1) i = 2 i=1 Mostremos que entonces se cumple: LHS = k+1 i=1 i = (k + 1)(k ) 2 = (k + 1)(k + 2) 2 (La igualdad anterior se debe probar) LHS = k+1 i=1 i = ( k ) i + k + 1 i=1 Inducción Matemática p. 19/31
87 Por la hipótesis inductiva k i=1 i = k(k+1) 2 lo anterior queda: ( k+1 k ) LHS = i = i + k + 1 i=1 i=1 Inducción Matemática p. 20/31
88 Por la hipótesis inductiva k i=1 i = k(k+1) 2 lo anterior queda: ( k+1 k ) k(k + 1) LHS = i = i + k + 1 = + k i=1 i=1 Inducción Matemática p. 20/31
89 Por la hipótesis inductiva k i=1 i = k(k+1) 2 lo anterior queda: ( k+1 k ) k(k + 1) LHS = i = i + k + 1 = + k i=1 i=1 Haciendo álgebra tenemos: k(k + 1) 2 + k + 1 Inducción Matemática p. 20/31
90 Por la hipótesis inductiva k i=1 i = k(k+1) 2 lo anterior queda: ( k+1 k ) k(k + 1) LHS = i = i + k + 1 = + k i=1 i=1 Haciendo álgebra tenemos: k(k + 1) 2 + k + 1 = k(k + 1) + 2(k + 1) 2 Inducción Matemática p. 20/31
91 Por la hipótesis inductiva k i=1 i = k(k+1) 2 lo anterior queda: ( k+1 k ) k(k + 1) LHS = i = i + k + 1 = + k i=1 i=1 Haciendo álgebra tenemos: k(k + 1) 2 + k + 1 = k(k + 1) + 2(k + 1) 2 = (k + 1)(k + 2) 2 Inducción Matemática p. 20/31
92 Por tanto, hemos probado que k+1 i=1 i = (k + 1)(k + 2) 2 Inducción Matemática p. 21/31
93 Por tanto, hemos probado que k+1 i=1 i = (k + 1)(k + 2) 2 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Inducción Matemática p. 21/31
94 Por tanto, hemos probado que k+1 i=1 i = (k + 1)(k + 2) 2 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Inducción Matemática p. 21/31
95 Por tanto, hemos probado que k+1 i=1 i = (k + 1)(k + 2) 2 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: Para cualquier entero n 1, n i=1 i = n(n + 1) 2 Inducción Matemática p. 21/31
96 Inducción Matemática: Ejemplo 5 Suponga una sucesión de números a 1, a 2, a 3,... que cumplen la siguientes reglas: Regla 1: a 1 = 1, y Regla 2: a n+1 = 2a n + 1 para n 1. Inducción Matemática p. 22/31
97 Inducción Matemática: Ejemplo 5 Suponga una sucesión de números a 1, a 2, a 3,... que cumplen la siguientes reglas: Regla 1: a 1 = 1, y Regla 2: a n+1 = 2a n + 1 para n 1. Pruebe que la fórmula para los números a n para n 1 es: a n = 2 n 1 Inducción Matemática p. 22/31
98 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Inducción Matemática p. 23/31
99 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. Inducción Matemática p. 23/31
100 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La igualdad que debemos demostrar para n = 1 queda: a 1 = = 1 Inducción Matemática p. 23/31
101 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La igualdad que debemos demostrar para n = 1 queda: a 1 = = 1 pero esto es verdadero por la regla 1. Inducción Matemática p. 23/31
102 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La igualdad que debemos demostrar para n = 1 queda: a 1 = = 1 pero esto es verdadero por la regla 1. afirmación es cierta para n = 1. Por tanto, la Inducción Matemática p. 23/31
103 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: a k = 2 k 1 Inducción Matemática p. 24/31
104 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: a k = 2 k 1 Mostremos que entonces se cumple: a k+1 = 2 k+1 1 (La igualdad anterior se debe probar) Inducción Matemática p. 24/31
105 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: a k = 2 k 1 Mostremos que entonces se cumple: a k+1 = 2 k+1 1 (La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar: por la regla 2: a k+1 = 2a k + 1 Inducción Matemática p. 24/31
106 Por la hipótesis inductiva a k = 2 k 1 lo anterior queda: a k+1 = 2a k + 1 Inducción Matemática p. 25/31
107 Por la hipótesis inductiva a k = 2 k 1 lo anterior queda: a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 Inducción Matemática p. 25/31
108 Por la hipótesis inductiva a k = 2 k 1 lo anterior queda: a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1 Inducción Matemática p. 25/31
109 Por la hipótesis inductiva a k = 2 k 1 lo anterior queda: a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1 Por tanto, hemos probado que a k+1 = 2 k+1 1 Inducción Matemática p. 25/31
110 Por la hipótesis inductiva a k = 2 k 1 lo anterior queda: a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1 Por tanto, hemos probado que a k+1 = 2 k+1 1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Inducción Matemática p. 25/31
111 Por la hipótesis inductiva a k = 2 k 1 lo anterior queda: a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1 Por tanto, hemos probado que a k+1 = 2 k+1 1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Inducción Matemática p. 25/31
112 Por la hipótesis inductiva a k = 2 k 1 lo anterior queda: a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1 Por tanto, hemos probado que a k+1 = 2 k+1 1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: Para cualquier entero n 1, a n = 2 n 1 Inducción Matemática p. 25/31
113 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) Inducción Matemática p. 26/31
114 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) variable A array of float variable n integer variable x float Inducción Matemática p. 26/31
115 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) variable A array of float variable n integer variable x float if (n = 1) then [a] return(a[1]) Inducción Matemática p. 26/31
116 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) variable A array of float variable n integer variable x float if (n = 1) then [a] return(a[1]) else [b] return(a[n] + x*sd(a,n-1,x)) Inducción Matemática p. 26/31
117 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) variable A array of float variable n integer variable x float if (n = 1) then [a] return(a[1]) else [b] return(a[n] + x*sd(a,n-1,x)) end if end proc Inducción Matemática p. 26/31
118 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) variable A array of float variable n integer variable x float if (n = 1) then [a] return(a[1]) else [b] return(a[n] + x*sd(a,n-1,x)) end if end proc Afirmación para n 1: SD(A, n, x) = n i=1 A[i]xn i = A[n] + A[n 1] x A[1] x n Inducción Matemática p. 26/31
119 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) variable A array of float variable n integer variable x float if (n = 1) then [a] return(a[1]) else [b] return(a[n] + x*sd(a,n-1,x)) end if end proc Afirmación para n 1: SD(A, n, x) = n i=1 A[i]xn i = A[n] + A[n 1] x A[1] x n y su ejecución se realiza con 2(n 1) FLOPs. Inducción Matemática p. 26/31
120 Demostración Base inductiva: Inducción Matemática p. 27/31
121 Demostración Base inductiva: Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa : 1 i=1 A[i]x 1 i = A[1]x 1 1 = A[1]. Inducción Matemática p. 27/31
122 Demostración Base inductiva: Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa : 1 i=1 A[i]x 1 i = A[1]x 1 1 = A[1]. Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 sale por la línea [a] entregando esto. Inducción Matemática p. 27/31
123 Demostración Base inductiva: Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa : 1 i=1 A[i]x 1 i = A[1]x 1 1 = A[1]. Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 sale por la línea [a] entregando esto. Además, como no realiza ninguna operación de punto flotante se coincide con la fórmula para el número de FLOPs invertidos: 2 (1 1) = 0. Inducción Matemática p. 27/31
124 Demostración Base inductiva: Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa : 1 i=1 A[i]x 1 i = A[1]x 1 1 = A[1]. Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 sale por la línea [a] entregando esto. Además, como no realiza ninguna operación de punto flotante se coincide con la fórmula para el número de FLOPs invertidos: 2 (1 1) = 0. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1. Inducción Matemática p. 27/31
125 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: k SD(A,k,x) = A[i]x k i i=1 Y que lo hace con 2(k 1) FLOPs. Inducción Matemática p. 28/31
126 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: k SD(A,k,x) = A[i]x k i i=1 Y que lo hace con 2(k 1) FLOPs. Mostremos que entonces se cumple: SD(A,k + 1,x) = k+1 i=1 A[i]x k+1 i Inducción Matemática p. 28/31
127 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k 1 cualquiera se cumple: k SD(A,k,x) = A[i]x k i i=1 Y que lo hace con 2(k 1) FLOPs. Mostremos que entonces se cumple: SD(A,k + 1,x) = k+1 i=1 A[i]x k+1 i y que lo hace en 2(k + 1 1) = 2k FLOPs. Inducción Matemática p. 28/31
128 Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1: Inducción Matemática p. 29/31
129 Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1: Como k 1 entonces k Inducción Matemática p. 29/31
130 Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1: Como k 1 entonces k Por lo tanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando: Inducción Matemática p. 29/31
131 Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1: Como k 1 entonces k Por lo tanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando: SD(A,k + 1,x) = A[n] + x SD(A,k,x) Inducción Matemática p. 29/31
132 Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1: Como k 1 entonces k Por lo tanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando: SD(A,k + 1,x) = A[n] + x SD(A,k,x) Por la hipótesis inductiva: SD(A,k + 1,x) = A[n] + x k i=1 A[i]x k i Inducción Matemática p. 29/31
133 Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1: Como k 1 entonces k Por lo tanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando: SD(A,k + 1,x) = A[n] + x SD(A,k,x) Por la hipótesis inductiva: SD(A,k + 1,x) = A[n] + x k i=1 A[i]x k i Por propiedades matemáticas lo anterior queda: SD(A,k + 1,x) = A[n] + k A[i]x k+1 i = k+1 A[i]x k+1 i i=1 i=1 Inducción Matemática p. 29/31
134 Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas Inducción Matemática p. 30/31
135 Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas la llamada recursiva requerirá 2(k 1) FLOPs, y Inducción Matemática p. 30/31
136 Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas la llamada recursiva requerirá 2(k 1) FLOPs, y la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma y una multiplicación. Inducción Matemática p. 30/31
137 Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas la llamada recursiva requerirá 2(k 1) FLOPs, y la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma y una multiplicación. Es decir, que el número de operaciones involucradas serán 2(k 1) + 2 = 2k Inducción Matemática p. 30/31
138 Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas la llamada recursiva requerirá 2(k 1) FLOPs, y la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma y una multiplicación. Es decir, que el número de operaciones involucradas serán 2(k 1) + 2 = 2k Esto es exactamente lo que se quería demostrar. Inducción Matemática p. 30/31
139 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, Inducción Matemática p. 31/31
140 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, validez de lo afirmado para n = k, Inducción Matemática p. 31/31
141 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutado para n = k + 1 entrega SD(A,k + 1,x) = k+1 i=1 A[i]x k+1 i Inducción Matemática p. 31/31
142 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutado para n = k + 1 entrega SD(A,k + 1,x) = k+1 i=1 A[i]x k+1 i y lo hace en 2(k + 1 1) FLOPs. Inducción Matemática p. 31/31
143 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutado para n = k + 1 entrega SD(A,k + 1,x) = k+1 i=1 A[i]x k+1 i y lo hace en 2(k + 1 1) FLOPs. Lo que es exactamente la afirmación para n = k + 1. Inducción Matemática p. 31/31
144 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutado para n = k + 1 entrega SD(A,k + 1,x) = k+1 i=1 A[i]x k+1 i y lo hace en 2(k + 1 1) FLOPs. Lo que es exactamente la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Inducción Matemática p. 31/31
145 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutado para n = k + 1 entrega SD(A,k + 1,x) = k+1 i=1 A[i]x k+1 i y lo hace en 2(k + 1 1) FLOPs. Lo que es exactamente la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera para enteros n 1. Inducción Matemática p. 31/31
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