= 310 (1 + 5) : 2 2 = = = 12 ( 3) ( 5) = = 2 = ( 4) + ( 20) + 3 = = 21

Transcripción

1 Unidad I, NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS A continuación se enuncian las claves de cada pregunta hechas por mí (César Ortiz). Con esto, asumo cualquier responsabilidad, entiéndase por si alguna solución está errada. Si llegase a pasar esto pido por favor que me lo comuniquen a la brevedad al correo: cesarortiz@ug.uchile.cl. A continuación de las claves está cada pregunta detallada, si tiene alguna duda DÍGAMELO. 1. E 26. A 2. B 27. E 3. B 28. D 4. E 29. B 5. B 30. D 6. D 31. A 7. B 32. C 8. C 33. B 9. D 34. C 10. B 35. A 11. B 36. C 12. B 37. B 13. C 38. C 14. A 39. B 15. B 40. C 16. A 41. A 17. A 42. C 18. D 43. D 19. A 44. E 20. A 45. A 21. C 46. B 22. D 47. D 23. A 48. A 24. A 49. E 25. E 50. C 1

2 ( 307) = = (1 + 5) : 2 2 = = =5 recordar que en 8 : 2 2, se opera de izquierda a derecha, es decir, 8 : 2 2 = (8 : 2) 2 = 4 2 = ( 20 : 4) = 7 + ( 5) = ( 10) 2 ( 3) + ( 5) ( 1) ( 2) 2 =6 + ( 20) =14 24 = ( 3) ( 5) = = ( 2) + (5) = (2 ( 2)) + ((5) 4) + 3 = ( 4) + ( 20) + 3 = = Antes de ver cuales de las expresiones son siempre positivas debemos notar que m 2 es siempre positivo, por lo tanto, si m 2 n es negativo n necesariamente es negativo. Con esto en mente: I) m 2 n es negativo, lo dice la hipótesis. Por lo tanto, no es siempre positivo II) m 2 n es siempre positivo. m 2 es positivo y de la hipótesis n es negativo, por lo tanto, n es positivo y la suma de positivos (m 2 + ( n)) es positivo. III) m 2 + n no es siempre positivo. Tomemos m = 1 y n = 4 (recordad que n es siempre negativo). 8. Notemos que el sucesor de n es n + 1 y el sucesor de n + 1 es (n + 1) + 1 = n + 2, por lo tanto, el sucesor del sucesor de n es n

3 9. Si la diferencia de dos números es 2n entonces los números los podemos tomar como: 5n y 3n. Sea 3n el menor de estos dos números, si le sumamos n a este se tendrá: 3n + n = 4n. Luego a 5n se le tendrá que restar n para que sea igual a 4n. 10. Sean 2n, 2n + 2, 2n + 4 un trío cualquiera de pares consecutivos, con 2n el menor de ellos y 2n + 4 el mayor. Luego la diferencia entre el mayor y el menor de ellos será: (2n + 4) (2n) = 4. (fijémonos que no fue necesario usar que su suma es 72). 11. Sean 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 tres números impares consecutivos cualesquiera. Si su suma es 117 entonces: (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) =117 2n n n + 5 =117 como n = 18 entonces el menor de los tres impares es 6n + 9 =117 6n = n =108 n =108 : 6 n =18 2n + 1 = 2 (18) + 1 = = Ver que 18 = por lo tanto, los factores primos de 18 son 2 y Ver que de las alternativas sólo 0 y 2 cumplen con la relación (m m = m + m), pero el cero no es natural. 14. (Rcdo: un número entero es primo si es distinto de 1 y es divisible sólo por 1 y por si mismo) Notar que: I) = 17 un número primo. II) = 22 número divisible por 2, por lo tanto, no primo. III) = 187 número divisible por 11, por lo tanto, no primo. 15. Si b es múltiplo de a entonces b = an, para algún n entero. Luego el mínimo común múltiplo entre a y b equivale a encontrar el mcm(a, an) = an = b. 16. Por definición del algoritmo de la división (página 10). p es divisible por q si y sólo si q es divisor de p si y sólo si p = n q. 17. Si 64 es divisor de n, por el ejercicio anterior se tiene n = 64 p, para algún p entero. Luego n = 16 4 p = 16 (4 p) Y la última igualdad quiere decir que 16 es un divisor de n (Nuevamente por el ejercicio anterior). 18. Notar que los divisores de 3 son: {1, 3}. Liego la suma de los divisores de 3 es: x = = 4. Los divisores de doce son: {1, 2, 3, 4, 6, 12} y su suma es = 28. Ahora, dado que 28 = 7 4 = 7 x 3

4 19. Sea A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5}. La suma de estos seis enteros consecutivos es 6 n + 15 = 87 resolviendo la ecuación para n obtenemos que n = 17 y ahora podemos tener los números consecutivos, estos serán A = { 17, 16, 15, 14, 13, 12} de los cuales 11 no pertenece al conjunto ( 11 / A). 20. Sean 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 tres impares consecutivos, su suma es: 6n + 9 = 3 (2n + 3), por lo tanto, por el ejercicio 16. 6n + 9 es divisible por 3, es decir, la suma de los tres impares consecutivos es siempre divisible por Sean 6n y (6n + 6) dos múltiplos consecutivos de 6, su suma es: 12n + 6 = 222 resolviendo esta ecuación para n se tiene n = 18 por lo tanto el múltiplo mayor es 6 (18) + 6 = 114 y luego el sucesor de 114 es = Recordar que un número RACIONAL es un cuadrado perfecto si puede expresarse como el cuadrado de un número RACIONAL. Es decir, si x es un cuadrado perfecto, entonces x = y 2, donde x e y son números racionales. Ejemplo de cuadrados perfectos: 4 = =5 2 0, 36 =(0, 6) 2 ( ) = 9 Notar que 5 no es un cuadrado perfecto pues no puede expresar como el cuadrado de ningún número RACIONAL. Luego en el problema se tiene que 0, 10 no es un cuadrado perfecto. 23. Dado que los tres primeros números naturales son: 1, 2 y 3, entonces su suma es = Sean 2 n + 1 y 2 p + 1, con n y p enteros, dos números impares. Su suma es 2 n + 2 p + 2 = 2 (n + p + 1) y por lo visto en el ejercicio 16 se tiene que la suma de dos impares siempre es divisible por Recordar que: par + par = par par + impar = impar impar + impar = par par par =par par impar =par impar impar =impar Con esto en mente, si a es par y b impar entonces: I) 2a + b + 1 = (par par) + impar + impar = par + impar + impar = par II) a + b + 1 = par + impar + impar = par III) a + 2b = par + (par impar) = par + par = par 4

5 26. Sean 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8 cinco pares consecutivos cualesquiera, si su suma es cero entonces: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 0 si resolvemos la ecuación para n se obtiene que n = 2. Luego el menor de ellos es 2n = 2 ( 2) = 4 y el cuadrado de este es El sucesor de 3 (n 5) es: 3 (n 5) + 1 = 3 n 3 ( 5) + 1 = 3n = 3n Notar que si n 1 es un número par, entonces su sucesor (n 1) + 1 = n es un número impar, con esto podemos ver que: I) n + 2 = impar + par = impar II) 3n + 1 = impar impar + impar = par III) 2n + 1 = par impar + impar = impar 29. Notar que los múltiplos de 3 son de la forma 3n y los múltiplos de 6 son de la forma 6m, donde n y m son números naturales cualquiera. Luego podemos ver que los múltiplos de 3 son pares e impares, sin embargo los múltiplos de 6 son siempre pares (si no lo ve PREGUNTEMELO) de esta forma: I) a + b = a + par, que no es siempre un número impar, pues a que es un múltiplo de 3 puede ser par. (Tomar a = 6 y b = 6 como contraejemplo). II) a b = a par esta expresión es siempre par, para cualquier a múltiplo de 3 par o impar. III) (b : a) no es siempre múltiplo de 2 (Tomar b = 6 y a = 6 como contraejemplo. Con esto b : a = 1 que no es! múltiplo de 2) 30. I) Notar que = 2 5 (2 10 1), luego como 2 10 = 1024 se tendrá = 1023 divisible por 3 II) un simple cálculo demuestra que 2 5 = 32 y 1023 = 31 32, por lo tanto, = III) Dado que 2 10 divide a 2 15, pero no a 2 5, entonces no dividirá a la suma ( ) de estos números. 31. Dado que mcm(2, 3, 4) = 12 y mcm(a 2, a 3, a 4 ) = a 4 entonces el mcm(2a 2, 4a 3, 3a 4 ) = 12a I) El mcm(m, n) no es necesariamente m n. Tomar n = 3 y m = 9. II) El MCD(m, n) no es necesariamente n. Tomar n = 3 y m = 2. III) Sólo será primo cuando m = Sólo recordar que para encontrar el mcm entre cantidades expresadas en sus factores primos primero vemos si hay factores comunes (entre ambos números), si los hay se toma el factor primo elevado a su mayor exponente y se realiza el producto de estos con los demás que no son comunes. Y el MCD es el producto de todos los factores primos comunes (que comparten ambos números) elevados a su menor exponente. 34. Por el recuerdo en el ejercicio anterior vemos que mcm(a, B, C) = y MCD(A, B, C) = 2 3. Luego mcm(a, B, C) MCD(A, B, C) = = Como PARTEN JUNTOS los ciclistas, debemos saber que en algún tiempo más adelante SIEMPRE podrán encontrarse nuevamente y este tiempo será el mínimo múltiplo que tengan en común los tiempos que da la vuelta cada uno, es decir, mcm(120, 140, 180) = Lo que se pide aquí es dividir cada uno de estos items en cantidades iguales, es decir, buscar un divisor común entre ellos. Pero además se pide repartir en la MAXIMA cantidad de nios. Es decir debemos encontrar el máximo común divisor entre los tres números. MCD(180, 240, 360) = 60 5

6 37. Dado que el máximo alcanzado es 9 y el mínimo es 3 (cifras bajo cero se denotan con un signo negativo). La variacion fue V = 9 ( 3) = = Recordar que cualquier múltiplo de un entero k está representado como kn, luego un múltiplo consecutivo está dado por k(n + 1), etc. Por lo tanto, enteros consecutivos de k serán: 39. Si m = 7 kn, k(n + 1), k(n + 2), k(n + 3), etc. m m + m = ( 7) = = Si m < n entonces m n < 0 luego m n = (m n) = m + n = n m, por la definición del valor absoluto (página 12 libro). 41. a = 5 = 5, b = ( 3) 2 = 9, c = 5 = 5 y d = 3 2 = 9, entonces a + b c + d = ( 5) + ( 9) = = = Notar que si x < 0 entonces x > 0, luego I) Falso, x = x II) Verdadero x > 0, cierto por hipótesis. III) Falso, x = x, x ES POSITIVO. IV) Falso. Tomar x = 2 para ver que no se cumple. 43. Notar que si a < b entonces a b < 0 y 0 < b a, luego 2 a b 3 b a = 2( (a b)) 3(b a) 2 a b 3 b a = 2(b a) 3(b a) 2 a b 3 b a = 1(b a) 2 a b 3 b a = a b 44. Notar que x = x, para todo x. Luego a b b a = a b (a b) a b b a = a b a b a b b a = Dado que a y b son dos enteros consecutivos con a < b se tiene que b = a + 1. Luego: I) es verdadero : b a = (a + 1) a = 1 II) no es cierto. Tomar a = 1 y b = 2. III) no es cierto. Tomar a = 2 y b = Dado que d > c esto es equivalente a c < d, luego se tiene a < b < 0 < c < d y este orden puede verse en la figura. 47. Ver que a < 0 y a > b, es decir, b < a < 0, de lo último se puede concluir que b < 0 por lo tanto 0 < b. Ahora: I) Verdadero. Como a < 0 y b > 0 entonces a < b y luego a > b. II) Falso. 0 < b. III) Verdadero. a > b es equivalente a: a < b 6

7 48. I) Falso. 2 3 = 2 3 < 3 4 = 3 4 II) Verdadero. III) Verdadero. 49. Queremos ver si b es un divisor de 2a, es decir, si 2a = bp, para algún p. (1) si b es un múltiplo de a no tenemos necesariamente la proposición. Tome como contraejemplo b = 9 y a = 3. (2) Si 2a + 2 es un múltiplo de b no se tiene la proposición. Tome como contraejemplo b = 4 y a = 3. (1) y (2) Esto es a, b enteros positivos, b múltiplo de a y 2a + 2 múltiplo de b. Tampoco podemos afirmar que b divide (o es un divisor) a 2a. Tomar a = 2 y b = 6. (1) ó (2) Esta opción sólo es válida cuando (1) y (2) satisfacen por si solas la afirmación. 50. (1) m y n son naturales consecutivos. Esta información es escasa, pues no sabemos nada de m. (2) m es impar. Nuevamente tenemos esta información incompleta, no se relaciona con n. (1) y (2) Acá si podemos afirmar que n es par, pues si m es impar y n y m son consecutivos, n es el sucesor o antecesor de m, es decir, es necesariamente par. 7