Definición 1.2. Sea (K, +, ) un dominio de integridad. Un polinomio de grado n sobre K es una expresión de la forma

Transcripción

1 Polinomios Definición 1.1. Un conjunto K junto con dos operaciones definidas en él que denotaremos por + : K K K : K K K para las cuales se cumplen las siguientes propiedades: Asociatividad Conmutatividad distributividad Elementos neutros los denotaremos por 0 1 pediremos 1 0) Inverso aditivo Es válida la le de simplificación para el producto, es decir, si c 0 ac = bc entonces b = c. es llamado un dominio de integridad note que no pedimos inverso multiplicativo). Observación 1.1. Todo cuerpo es un dominio de integridad, luego C, R Q son dominios de integridad. Z es un dominio de integridad pero N no lo es. Definición 1.. Sea K, +, ) un dominio de integridad. Un polinomio de grado n sobre K es una expresión de la forma p x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = a k x k donde a n 0, n 0 a k K para k = 0,..., n. Los números a k para k = 0,..., n son llamados coeficientes del polinomio, a n es llamado coeficiente principal a 0 es llamado coeficiente libre. Definición 1.3. El grado de un polinomio es el maor exponente de x que aparece en la expresión, es decir, si p x) = a 0 + a 1 x + + a n x n con a n 0 entonces gr p x)) = gr p) = n. Como primera propiedad podemos decir que gr p) 0. Denotaremos por K [x] el conjunto de los polinomios en x con coeficientes en K. Ejemplo 1.1. p x) = 1+ 3 x+x Z [x] en efecto, el coeficiente 3 Z. p x) = 1+ 3 x+x Q [x] porque todos los coeficientes del polinomio son números racionales. + 3 x+x Z [x] porque, 3 Z [x], + 3 x+x Q [x] porque Q, sin embargo + 3 x + x R [x] porque todos los coeficientes son números reales. El polinomio ix + x + 1 esta en C [x] pero no en R [x], Q [x], Z [x]. Ejemplo 1.. Si p x) = x + x entonces gr p x)) = gr p) =. Si q x) = 1 + πx + x + i) x 4 entonces q C [x] gr q) = 4. Definición 1.4. Sean p q en K [x] polinomios p x) = a 0 + a 1 x + + a n x n entonces p = q si q x) = b 0 + b 1 x + + b m x m 1

2 1. gr p) = gr q). Para i = 0, 1,..., n se cumple a i = b i. Vamos a introducir dos operaciones en K [x] la adición multiplicación de polinomios. Sean p q elementos de K [x] con gr p) = n gr q) = m, entonces existen constantes a i K, i = 0,..., n b i K, i = 0,..., m tales que p x) = a 0 + a 1 x + + a n x n q x) = b 0 + b 1 x + + b m x m se define, la suma el producto de polinomios de la siguiente forma p + q) x) = p x) + q x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ) + b 0 + b 1 x + + b m x m ) = a 0 + b 0 ) + a 1 + b 1 ) x + + a n + b n ) x n + b n+1 x n b m x m m = a i + b i ) x i + b i x i i=0 i=n+1 pq) x) = p x) q x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ) b 0 + b 1 x + + b m x m ) = a 0 b 0 + a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x + a 0 b + a 1 b 1 + a b 0 ) x + + a n b m x n+m n+m = a i b j x k i+j=k Obs: i+j=k a ib j denota la suma sobre los subindices que suman k por ejemplo, si k = 3 entonces a i b j = a 0 b 3 + a 1 b + a b 1 + a 3 b 0 i+j=3 de estas definiciones obtenemos las siguientes propiedades para los grados. Proposición 1.1. Sean p q elementos de K [x] entonces: 1. gr p + q) máx {gr p), gr q)}. gr pq) = gr p) + gr q) 3. gr p n ) = n gr p) Ejemplo 1.3. Si p x) = 1 + x + 3x q x) = + 4x 3x 3 entonces p x) + q x) = 1 + x + 3x ) + + 4x 3x 3) = 1 + 6x + 3x 3x 3 p x) q x) = 1 + x + 3x ) + 4x 3x 3) = + 4x 3x 3) + x + 4x 3x 3) +3x + 4x 3x 3) = + 4x 3x 3) + 4x + 8x 6x 4) + 6x + 1x 3 9x 5) = 9x 5 6x 4 + 9x 3 + x

3 Ejemplo 1.4. Si p x) = 1 x + x q x) = x x entonces p + q) x) = 3 3x luego gr p + q) = 1 máx {gr p), gr q)} = máx {, } = luego Álgebra de polinomios K [x], +, ) cumple las siguientes propiedades: Para la adición: 1. Si p q pertenecen K [x] entonces p + q K [x]. p, q, r K [x] se cumple p + q + r) = p + q) + r 3. p, q K [x] se cumple p + q = q + p 4. e K [x] tal que para cada p K [x] se cumple p + e = p e x) = 0 es el neutro aditivo) 5. p K [x], q K [x] tal que p + q = e el inverso aditivo esta dado por p, es decir, si entonces es su inverso aditivo) p x) = a k x k p x) = a k ) x k Para la multiplicación: 1. Si p q pertenecen K [x] entonces p q K [x]. p, q, r K [x] se cumple p q r) = p q) r 3. p, q K [x] se cumple p q = q p 4. 1 K [x] tal que para cada p K [x] se cumple p 1 = p 1 x) = 1 es el neutro multiplicativo) Además se cumple distributividad, es decir, p, q, r K [x] se cumple p q + r) = p q) + p r) Observación 1.. Note que no se enunció el inverso multiplicativo, al respecto note lo siguiente: Si p K [x] tiene un inverso multiplicativo entonces existe q K [x] tal que de donde obtenemos pero luego como gr p) 0 gr q) 0 se sigue que pq = 1 gr pq) = gr 1) = 0 gr pq) = gr p) + gr q) gr p) + gr q) = 0 gr p) = gr q) = 0 es decir p q son polinomios constantes, en conclusión, los únicos polinomios que pueden tener inverso multiplicativo polinomio) son los polinomios constantes. 3

4 1.. Raíces de polinomios Sea p K [x] x 0 K. Si entonces luego factorizando obtenemos p x) = p x 0 ) = p x) p x 0 ) = = a k x k = a 0 + a 1 x + + a n x n a k x k 0 = a 0 + a 1 x a n x n 0 a k x k k=1 a k x k 0 a k x k x k ) 0 = a 1 x x 0 ) + a x x 0) + + an x n x n 0 ) p x) p x 0 ) = x x 0 ) q x) donde q K [x] es un polinomio de grado igual a n 1, en efecto n = gr p x) p x 0 )) = gr x x 0 ) q x)) = gr x x 0 ) + gr q x)) = 1 + gr q x)) se sigue n 1 = gr q x)) Definición 1.5. Diremos que x 0 K es una raíz de p x) si se cumple p x 0 ) = 0. Observación 1.3. Note que del cálculo anterior sabemos que podemos escribir p x) p x 0 ) = x x 0 ) q x) si x 0 es raíz de p x) entonces p x 0 ) = 0 se sigue p x) = x x 0 ) q x) luego podemos decir que x 0 K es una raíz de p x) si solo si podemos escribir p x) = x x 0 ) q x) donde q es un polinomio con gr q) = gr p) 1. Observación 1.4. Con la observación anterior e inducción concluimos que un polinomio de grado n a lo más puede tener n raíces si tiene más de n raíces debe ser el polinomio nulo). En efecto, si el grado de p es uno, es claro que a lo más posee una raíz. suponga que los polinomios de grado k tienen a lo más k raíces mostremos que eso implica que los de grado k + 1 tienen a lo más k + 1 raíces. En efecto, si p es un polinomio de grado k + 1 no tiene raíces estamos listos tiene menos de k + 1 raíces) si p tiene por lo menos una raíz x 0 entonces podemos escribir p x) = x x 0 ) q x) donde gr q) = k se sigue por hipótesis que q tiene a lo más k raíces así p tiene a lo más k + 1 raíces. 4

5 Definición 1.6. Sea p K [x] x 0 K. Diremos que x 0 es una raíz de multiplicidad k si existe un polinomio h tal que p x) = x x 0 ) k h x) con h x 0 ) 0. Ejemplo 1.5. Si p x) = x 3 3x + entonces p x) = x 1) x + ) luego x = 1 es una raíz de multiplicidad x = es una raíz de multiplicidad 1. Decimos que p tiene 3 raíces contando multiplicidades su grado es tres. Ejemplo 1.6. Si p x) = x ) 3 x 1) 6 x ) entonces x = es raíz de multiplicidad 3, x = 1 es raíz de multiplicidad 6 x = es raíz de multiplicidad 1. Podemos decir que p tiene 10 raíces contando multiplicidades. Definición 1.7. Sea K un cuerpo, lo denotaremos por K. Diremos que K es algebraicamente cerrado si todo polinomio en K [x] tiene por lo menos una raíz en K. Esto es equivalente a pedir que todo polinomio de grado n tiene exáctamente n raíces contando sus multiplicidades. Observación 1.5. R Q no son algebraicamente cerrados pues el polinomio x + 1 = p x) no tiene ninguna raíz en esos cuerpos. Teorema Fundamental del Álgebra El cuerpo C es algebraicamente cerrado. Este teorema nos dice que todo polinomio en C [x] de grado n tiene exactamente n raíces contando multiplicidades, esto nos permitirá escribirlo en la forma p x) = a n x z 1 ) x z ) x z n ) donde z i son las raíces que pueden estar repetidas es decir, pueden ser raíces de multiplicidad maor que 1). Ejemplo 1.7. Sabemos que p x) = x n z 0 donde z 0 C tiene exactamente n raíces en C. Proposición 1.. Supongamos que p R [x] z 0 C es una raíz de p entonces z 0 también es raíz de p. En efecto, si con a k R z 0 C es una raíz de p entonces p x) = a k x k 0 = p z 0 ) = a k z0 k 5

6 tomemos conjugados 0 = 0 = a k z0 k = = a k z0 k = n a k z k 0 a k z 0 ) k = p z 0 ) luego z 0 también es raíz de p. Ejemplo 1.8. Sea p z) = z 4 + z z + 1, resolver la ecuación p z) = 0 sabiendo que una de las raíces cubicas de la unidad es raíz de p. Desarrollo: Las raíces cúbicas de la unidad son los z C tales que las soluciones de esta ecuación son z 3 = 1 1, 1 + 3i, 1 3i una de ellas debe ser raíz de p, notemos que p 1) = 3 0 por lo que debe ser 1 + 3i o 1 3i pero note que p R [z] entonces si 1+ 3i es raíz de p por último el teorema 1 3i = 1+ 3i también lo es. Si 1 3i es raíz de p entonces 1 3i = 1 3i también lo es. En cualquiera de los casos ambos números son raíces de p. luego podemos escribir z 4 + z 1 )) 3i 1 + )) 3i z + 1 = z z q z) note que luego por grados q tiene grado así z 1 )) 3i 1 + )) 3i z = z + z + 1 z 4 + z z + 1 = z + z + 1 ) q z) q z) = az + bz + c z 4 + z z + 1 = z + z + 1 ) az + bz + c ) como esta igualdad debe cumplirse para todos los z reemplazamos en algunos puntos para obtener los valores de las constantes z = 0 1 = c z = 1 3 = 3 a + b + 1) z = 1 5 = 1 a b + 1) 6

7 así que tiene solución a = b = a + b = 0 a b = 4 z 4 + z z + 1 = z + z + 1 ) z z + 1 ) z z + 1 = 0 es fácil de resolver. Nota: Si se sabe dividir polinomios no es necesario obtener los valores de las constantes de esta forma). Observación 1.6. Suponga que p R [x] tiene la forma p x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, podemos mirar a p como un elemento de C [x] de esta forma por el teorema fundamental del álgebra, existen z 1, z,..., z n n-raíces posiblemente complejas) de p. Por el último teorema, sabemos que las raíces complejas en un polinomio con coeficientes reales se presentan junto con su conjugado, de esta forma hagamos la siguiente selección, sean r 1, r,..., r j las raíces reales de p sean a 1 + ib 1, a 1 ib 1, a + ib, a ib,..., a k + ib k, a k ib k las raíces complejas de p, se sigue que p = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n x r 1 ) x r ) x r j ) x a 1 + ib 1 )) x a 1 ib 1 )) x a k + ib k )) x a k ib k )) = a n x r 1 ) x r j ) x a 1 ) ib 1 ) x a 1 ) + ib 1 ) x a k ) ib k ) x a k ) + ib k ) = a n x r 1 ) x r j ) x a 1 ) ib 1 ) ) x a k ) ib k ) ) ) ) = a n x r 1 ) x r j ) x a 1 ) + b 1 x a k ) + b k esto nos dice que todo polinomio de grado 1 en R [x] puede ser factorizado en productos de polinomios de grado 1 con coeficientes reales en polinomios de grado dos con coeficientes reales estos últimos con discriminantes negativos) Definición 1.8. Sea p R [x] es un polinomio. Si f : A R R es una función definida por f x) = p x) entonces decimos que f es una función polinomial. Note que en el gráfico de f los puntos donde la curva corta el eje x corresponden a las raices reales del polinomio. Una función racional es una función de la forma R x) = p x) q x) donde p, q R [x], el dominio natural de esta función es R {r R : q r) = 0}. Ejemplo 1.9. Las funciones A x r) k, Bx + C x ax + a + b )) n son ejemplos de funciones racionales donde A, B, C, a, b, r son números reales k, n son números naturales. Más adelante veremos que toda función racional puede ser descompuesta en sumas de fraccciones de este tipo descomposición en fracciones parciales). 7

8 Algoritmo de la división Sean p, q K [x] con gr p) gr q). Entonces existen polinomios h, r K [x] tales que p x) = h x) q x) + r x) donde gr r) < gr q) o r x) = 0. Ejemplo Considere los polinomios p x) = x 4 3x + x + 1 q x) = x + x + 1 entonces x 4 3x + x + 1 : x + x + 1 x x 3 x 4 + x 3 + x ) x 3 4x + x + 1 x 3 x x ) 3x + 3x + 1 3x 3x 3 ) 6x + 4 luego x 4 3x + x + 1 = x + x + 1 ) x x 3 ) + 6x + 4). Ejemplo Considere los polinomios p u) = u 8 q u) = u 3 + u + entonces u 8 : u 3 + u + = u 5 u 3 u + u + 4 u 8 + u 6 + u 5) u 6 u 5 u 6 u 4 u 3) u 5 + u 4 + u 3 u 5 u 3 4u ) u 4 + 4u 3 + 4u u 4 + u + u ) 4u 3 + 3u u 4u 3 + 4u + 8 ) 3u 6u 8 luego u 8 = u 3 + u + ) u 5 u 3 u + u + 4 ) + 3u 6u 8 ) Definición 1.9. Sean p, q K [x]. Diremos que q divide a p si el resto del algoritmo de la división es cero, equivalentemente, si existe un polinomio h tal que p x) = q x) h x) utilizaremos la notación q x) \p x) para denotar q divide a p. Proposición 1.3. Sean p, q, h K [x], se cumplen las siguientes propiedades: 1. p x) \p x). Si q x) \p x) p x) \h x) entonces q x) \h x). 8

9 3. Si q x) \p x) q x) \h x) entonces q x) \ a x) p x) + b x) q x)) cualquiera sean a x) b x). En el caso especial en el cual se esta dividiendo por un polinomio de grado 1 de la forma x c existe un método especial de división llamado división sintética o regla de Ruffini consiste en lo siguiente: Considere el polinomio a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 lo queremos dividir por x c entonces donde a n a n 1... a 1 a 0 cb n 1 cb 1 cb 0 c b n 1 b n... b 0 r b n 1 = a n b n = a n 1 + cb n 1. b 0 = a 1 + cb 1 r = a 0 + cb 0 el cuociente quedará h x) = b n 1 x n 1 + b n x n b 1 x + b 0 el resto es r. Ejemplo 1.1. Dividir 3x 3 4x + por x + 3. Desarrollo: Formamos la tabla se sigue que 3x 3 4x + = 3x 9x + 3 ) x + 3) ) 3 3) 9) 3) 3) Teorema del resto El resto de dividir un polinomio p x) por x a es p a). En efecto, por el algoritmo de la división p x) = h x) x a) + r x) donde gr r) < gr x a) = 1 se sigue que el resto es constante así p x) = h x) x a) + C evaluando ambos lados en x = a se sigue Teorema del factor p a) = h a) 0 + C = C Un polinomio p x) es divisible por x a) si solo si a es raíz de p. Ejemplo Para que valores de a b el polinomio 3x + ax a b es divisible por x pero el resto de dividir por x 1 es 1? 9

10 Desarrollo: Como 3x + ax a b es divisible por x por el teorema del factor se sigue que es raíz de p así 1 + a a b = 0 por el teorema del resto, el resto de dividir 3x + ax a b por x 1 es p 1) luego 3 + a a b = p 1) = 1 tenemos el sistema 1 + a a b = a a b = 1 que tiene solución a = 10 b = 108. Definición Sea p K [x]. Diremos que p es reducible o reductible en K [x] si existen polinomios q, h K [x] de grados maores o iguales a 1 tales que p x) = q x) h x). En caso contrario diremos que el polinomio es irreducible o primo en K [x]. Ejemplo p x) = x + 1 es reducible en C [x] en efecto x + 1 = x i) x + i) donde x i x + i son polinomios en C [x]. Sin embargo p x) = x + 1 es irreducible en R [x] Q [x] no se puede factorizar porque si pudiera tendría que ser en factores de grado uno, luego debería tener raíces en R o Q lo que no se cumple) Por el teorema fundamental del álgebra todo polinomio en C [x] de grado maor que 1 es reducible a factores irreducibles de grado 1. De manera similar en R [x] todo polinomio se puede factorizar en polinomios irreducibles de grado 1 o. Ejemplo Es x un polinomio irreducible en R [x]? La respuesta es no porque x = x + ) x + 1 x ) x + 1 en R los irreducibles tienen grado 1 o ) Teorema 1.1. Si p R [x] es de grado impar entonces posee una raíz. En efecto las raíces complejas en un polinomio con coeficientes reales se presentan de dos: la raíz su conjugada). Teorema 1.. Si p Q [x] tiene una raíz en la forma a + b con a, b Q b no es el cuadrado de un racional, entonces a b también es raíz. Ejemplo Resolver x 3 5x + 5x 1 = 0 sabiendo que x = + 3 es una raíz. Desarrollo: Por el teorema anterior, como x 3 5x + 5x 1 Q [x] se sigue que 3 también debe ser raíz. Se sigue que x 3 5x + 5x 1 es divisible por x + )) 3 x )) 3 = x 4x + 1 ) luego x 3 5x + 5x 1 : x 4x + 1 = x 1 se sigue que las raíces son x 1 = + 3, x = 3 x 3 = 1. 10

11 Teorema 1.3. Si p x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Z [x] tiene una raíz racional x = c d con mcd c, d) = 1 máximo común divisor) entonces c\a 0 d\a n. Demostración: Si x = c d es raíz entonces a n c d ) n + an 1 c d ) n a1 c d) + a 0 = 0 entonces multiplicando por d n se tiene: despejando a n c n + a n 1 c n 1 d + a n c n d + + a 1 cd n 1 + a 0 d n = 0 a n c n = a n 1 c n 1 d + a n c n d + + a 1 cd n 1 + a 0 d n) note que el número de la derecha es divisible por d luego d divide a n c n pero d no tiene divisores en común con c se sigue que d\a n. Similarmente a n c n + a n 1 c n 1 d + a n c n d + + a 1 cd n 1) = a 0 d n note que c divide a n c n + a n 1 c n 1 d + a n c n d + + a 1 cd n 1) luego c divide a 0 d n pero como c no tiene divisores en comun con d se sigue c\a 0. Este teorema nos permite buscar las posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros, formamos loas racionales de la forma ± divisor de a 0 divisor de a n comprobamos si es raíz. es posible que ninguno de estos número sea raíz en cuo caso el polinomio no tiene raíces racionales pero puede tener raíces reales de tipo irracional. Ejemplo Encontrar las raíces del polinomio 4x 6 16x x 4 + 4x 3 0x + 4 sabiendo que es raíz del polinomio Como 4x 6 16x x 4 + 4x 3 0x + 4 Q [x] es raíz se sigue que 1 3 también es raíz, luego el polinomio es divisible por x 1 + )) 3 x 1 )) 3 = x x efectuando la división tenemos 4x 6 16x x 4 + 4x 3 0x + 4 = 4x 4 8x 3 + 7x + x ) x x ) ahora busquemos raíces racionales de 4x 4 8x 3 + 7x + x los divisores de son ±1, ± los divisores de 4 son ±1, ±, ±4 se sigue que las posibles raíces racionales son ±1, ± 1, ±1 4, ± 1, ±, ± 4 es decir ±1, ± 1, ±1 4, ± reemplazando obtenemos que ± 1 son las únicas raíces racionales, se sigue que 4x4 8x 3 + 7x + x es divisible por x 1) x + 1) = 4x 1 efectuando la división obtenemos 4x 4 8x 3 + 7x + x = x x + ) 4x 1 ) así 4x 6 16x x 4 + 4x 3 0x + 4 = x x + ) 4x 1 ) x x ) = x x + ) x 1) x + 1) x 1 + )) 3 x 1 )) 3 11

12 por último las raíces de x x + son se sigue que ± = 1 ± 1 = 1 ± i x x + ) = x 1 + i)) x 1 i)) así 4x 6 16x x 4 + 4x 3 0x + 4 = x 1 + i)) x 1 i)) x 1) x + 1) donde tenemos las 6 raíces del polinomio. x 1 + )) 3 x 1 )) 3 Aprovechando el ejercicio podemos obtener la descomposición de 4x 6 16x x 4 + 4x 3 0x + 4 en C [x], R [x] Q [x]: En C [x] la descomposición es x 1 + i)) x 1 i)) x 1) x + 1) x 1 + )) 3 x 1 )) 3 en R [x] la descomposición es x x + ) x 1) x + 1) x 1 + )) 3 x 1 )) 3 en Q [x] la descomposición es x x + ) x 1) x + 1) x x ) 1.3. Ejercicios Resueltos 1. Demuestre que x b) x c) x c) x a) x a) x b) + + a b) a c) b c) b a) c a) c b) = 1 Desarrollo: Definamos p x) = x b) x c) x c) x a) x a) x b) + + a b) a c) b c) b a) c a) c b) 1 entonces p x) es un polinomio de grado luego puede tener a lo más raíces, si tiene más sería el polinomio nulo. evaluando en x = a, b, c se cumple p a) = p b) = p c) = 0 luego el polinomio debe ser nulo es decir para todos los valores de x. x b) x c) x c) x a) x a) x b) + + a b) a c) b c) b a) c a) c b) 1 0 así x b) x c) x c) x a) x a) x b) + + a b) a c) b c) b a) c a) c b) = 1. Hallar las condiciones para que x 3 + px + qx + r sea divisible por x + ax + b Desarrollo: Supongamos que x 3 + px + qx + r es divisible por x + ax + b entonces existe un x k tal que x 3 + px + qx + r = x + ax + b ) x k) por grados debe ser un polinomio de grado 1). Desarrollando el producto tenemos ax kx bk + bx + x 3 akx = x 3 + px + qx + r x 3 + a k) x + b ak) x bk = x 3 + px + qx + r 1

13 igualando coeficientes a k) = p b ak) = q bk = r de la última ecuación tenemos k = r b así a + r ) = p b b + ar ) = q b es decir el polinomio debe tener la forma x 3 + a + r ) x + b + ar ) x + r b b 3. Resolver la ecuación 4x 3 4x + 3x + 18 = 0 sabiendo que las raíces están en progresión aritmética. Desarrollo: Sean r 1, r, r 3 las raíces del polinomio entonces podemos escribir expandimos de donde obtenemos 4 x r 1 ) x r ) x r 3 ) = 4x 3 4x + 3x x 3 4 r + r 3 + r 1 ) x + 4 r 1 r + r 1 r 3 + r r 3 ) x 4r 1 r r 3 = 4x 3 4x + 3x r + r 3 + r 1 ) = 4 4 r 1 r + r 1 r 3 + r r 3 ) = 3 4r 1 r r 3 = 18 sabemos que las raíces del polinomio están en progresión aritmética entonces tienen la forma a, a + d a + d reemplazando en el sistema anterior 4 a + a + d) + a + d)) = 4 4 a a + d) + a a + d) + a + d) a + d)) = 3 4a a + d) a + d) = 18 tratamos de resolver este sistema, en la primera ecuación se tiene 1 a + d) = 4 es decir la segunda raíz es a + d = reemplazando en la última tenemos el sistema que tiene soluciones a = 9, d = 5 a = 1, d = 5 4a ) + d) = 18 a + d = a + d) = 9 4 que dan las raíces 9 1,, 1,, 9 13

14 4. Demostrar que la ecuación A 1 + A + + A n = k x a 1 x a x a n no tiene raíces complejas todos los números que aparecen en la ecuación son reales) Desarrollo: Suponga que x = x 1 + i 1 es una raíz compleja, entonces por teorema x = x 1 i 1 también sería raíz entonces A 1 A A n = k x 1 + i 1 ) a 1 x 1 + i 1 ) a x 1 + i 1 ) a n se sigue que restando ambas tenemos A 1 x 1 i 1 ) a 1 + A 1 x 1 a 1 i 1 ) x 1 a 1 ) + 1 A 1 x 1 a 1 + i 1 ) x 1 a 1 ) + 1 A x 1 i 1 ) a A x 1 a i 1 ) x 1 a ) A x 1 a + i 1 ) x 1 a ) + 1 A n x 1 i 1 ) a n = k + + A n x 1 a n i 1 ) x 1 a n ) A n x 1 a n + i 1 ) x 1 a n ) + 1 = k = k A 1i 1 x 1 a 1 ) + 1 A + i 1 x 1 a ) + 1 A + + ni 1 x 1 a n ) + 1 = 0 se sigue que 1 = 0 de donde la raíz debe ser real. 14