Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2016/17

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1 Tema 4: Polinomios Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2016/17 El anillo k[x]. Divisibilidad Ejercicio 1. Sea A un anillo. Prueba que, si A es dominio de integridad, A[x] = A y demuestra con un contraejemplo que, en general, esto no es cierto para cualquier anillo. Ejercicio 2. Demostrar que A es dominio de integridad si y sólo si A[x] lo es. Ejercicio 3. Sea A un anillo. Probar que A[x]/(x) A. Ejercicio 4. Sea k un cuerpo. Demuestra que todo ideal de k[x] es de la forma esto es, todo ideal es principal. (m(x)) = {f(x)m(x) f(x) k[x]}, Ejercicio 5. Demostrar que no en todo anillo de polinomios los ideales son siempre principales, probando que I = { polinomios con término independiente par } Z[x] es un ideal que no puede ser generado con un único polinomio. Ejercicio 6. Demostrar que el ideal anterior es maximal en Z[x], probando que Z[x]/I F 2. Ejercicio 7. Hallar el cociente y el resto, en Q[x], al dividir los polinomios: (1). x 3 7x 1 entre x 2. (2). x 4 2x 2 1 entre x 2 + 3x 1. (3). x 4 + x 3 1 entre 2x (4). x 3 3x + 2 entre x 3 3x 2 x + 3. Ejercicio 8. Hallar el resto, en Q[x], al dividir (1). x 3 7x 1 entre x 2. (2). x 14 2x 2 1 entre x 1. (3). x 40 + x 30 1 entre x + 1. Ejercicio 9. Calcular los valores de a Q para que x 3 ax 2 2x + a + 3 sea divisible por x a. Ejercicio 10. Sea f(x) Q[x] un polinomio que al dividirlo por (x 2 3)(x + 1), el resto es x 2 + 2x + 5. Cuál es el resto de dividir f(x) entre x 2 3? Máximo común divisor Ejercicio 11. Sean f(x), g(x) polinomios con coeficientes en Q. Calcular el máximo común divisor y la identidad de Bézout. (1). f(x) = x 2 3x + 2, g(x) = x 2 + x + 1. (2). f(x) = x 2 + x + 1, g(x) = x 2 x + 1. (3). f(x) = x 3 3x + 2, g(x) = x 3 3x 2 x + 3. (4). f(x) = x 3 3x + 2, g(x) = x 4 5x Ejercicio 12. Calcular, en F 5 [x], el máximo común divisor y la identidad de Bézout de 3x 3 + 4x y 3x 3 + 4x 2 + 3x + 4. Ejercicio 13. Calcular, en F 3 [x], el máximo común divisor y la identidad de Bézout de x 5 +2x 3 +x 2 +x+1 y x 4 + 2x 3 + x

2 Ejercicio 14. Calcular, en F 2 [x], el máximo común divisor y la identidad de Bézout de x 6 + x 5 + x 3 + x y x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x + 1. Ejercicio 15. Calcular, en F 2 [x], el máximo común divisor y la identidad de Bézout de x 6 + x 5 + x 3 + x y x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Ejercicio 16. Escribir todos los polinomios de F 2 [x] de grado menor o igual que tres. Decir cuáles de ellos son irreducibles. Ejercicio 17. Sea I k[x] un ideal y sean f(x), g(x) I, de tal forma que I es el menor ideal que contiene a ambos polinomios. Probar que I = (mcd(f(x), g(x))). Factorización. Ejercicio 18. Sea f(x) = x 4 3x 3 + x 2 + 3x 2 Q[x]. Calcular el máximo común divisor de f(x) y f (x). Tiene f(x) factores múltiples? Ejercicio 19. Sea I = (f(x)) k[x] un ideal. Probar que son equivalentes las siguientes condiciones: (a) I es maximal. (b) I es primo. (c) f(x) es irreducible. Ejercicio 20. Usar el ejercicio anterior para construir cuerpos de 4, 9 y 25 elementos. Ejercicio 21. Detallar un procedimiento efectivo para, dado f(x) hallar el polinomio h(x) que tiene exactamente los mismos factores irreducibles que f(x), pero sin factores múltiples. Congruencias. Teorema chino del resto. Ejercicio 22. Describir un procedimiento algorítmico que, dados dos conjuntos de n valores reales {α 1,..., α n } e {β 1,..., β n } construya un polinomio f(x) R[x] que verifique f (α i ) = β i, para i = 1,..., n. Estudia si es posible acotar superiormente el grado de la solución. Ejercicio 23. Sea m(x) = x 2 + x F 3 [x]. Calcular un representante módulo m(x) de f(x) de grado menor o igual que el grado de m(x) siendo (1). f(x) = x 3 + 2, (2) f(x) = x 4 + 2x 2 + 1, (3). f(x) = x n con n = 6, 7, 8,... Ejercicio 24. Sea m(x) = x 4 2 F 5 [x]. Calcular un representante módulo m(x) de f(x) de grado menor o igual que el grado de m(x) siendo: (1). f(x) = x 5, (2). f(x) = x 4 + 2x 2 + 1, (3). f(x) = x n con n = 4, 5, 6,... Ejercicio 25. En F 2 [x] módulo x 4 + x + 1 calcular el inverso de f(x), siendo: (1). f(x) = x 3 + x, (2). f(x) = x 2 + x + 1, (3). f(x) = x, (4). f(x) = x Ejercicio 26. Resolver en F 3 [x] f(x) x (mod x 2 + 2) f(x) 1 (mod x f(x) x + 1 (mod x 2 + 2x + 2) 2

3 Ejercicio 27. Resolver en F 2 [x] { f(x) x (mod x 2 + x) f(x) 1 (mod x 2 + x + 1) Ejercicio 28. Demostrar que ( k[x]/(f(x))) = {g(x) + (m(x)) mcd(f(x), g(x)) = 1}. Factorización en C[x] y en R[x]. Ejercicio 29. Calcular las raíces en C de: (1). Φ 3 (x) = x 3 1. (2). Φ 8 (x) = x 8 1. (3). Φ 12 (x) = x Ejercicio 30. Sabiendo que f(x) = x 4 4x 3 + 3x x + 26 tiene a 3 + 2i como raíz, factorizar el polinomio f(x) en factores irreducibles en R[x]. Ejercicio 31. Demostrar las siguientes cuestiones: (1). z 1, z 2 C se verifica que z 1 z 2 + z 1 z 2 R. (2). Si f(x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 C[x], y consideramos el polinomio entonces g(x) = f(x)f(x) R[x]. f(x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, (3). Si α es una raíz de g(x), entonces α o α es raíz de f(x). Ejercicio 32. Probar que todo polinomio f(x) C[x] de grado positivo, digamos n, tiene n raíces en C, esto es, se puede escribir como n f(x) = α (x α i ), donde α, α i C. Factorización en Q[x] Ejercicio 33. Calcular las raíces racionales de: (1). x 3 x 2 3x + 6. (2). 6x 3 + x 2 5x 2. (3). 3x 3 + 7x 2 7x 3. i=1 Ejercicio 34. Sea f(x) Z[x] un polinomio mónico. (1). Probar que todas las posibles raíces racionales son enteras. (2). Probar que si b Z es una raíz de f(x), entonces n b divide a f(n) para todo n Z. (3). Usar lo anterior para calcular las raíces racionales de f(x) = x 4 + 5x 3 9x 2 14x Ejercicio 35. Si f(x) y g(x) son polinomios mónicos en Z[x], estudiar si es cierto que su máximo común divisor en Q[x] debe tener necesariamente coeficientes enteros. Ejercicio 36. Dado n 2, sea f(x) = a n x n a 1 x + a 0 Z[x], y sea f(x) F p [x] el polinomio obtenido al reducir todos los coeficientes módulo p. Probar que, si se dan las dos condiciones siguientes: 3

4 f(x) = αx n, para un cierto α F p. f(p) no es divisible por p 2. Entonces f(x) es irreducible en Q[x]. Ejercicio 37. Sea f(x) = x x x x Sabiendo que f( 7) = 1, calcular las raíces racionales de f(x). Ejercicio 38. Estudiar si un polinomio irreducible f(x) Q[x] puede factorizar: Como producto de dos factores irreducibles de grado 2 módulo 3. Como producto de un factor irreducible de grado 3 y uno de grado 1 módulo 2. Ejercicio 39. Estudiar si un polinomio reducible f(x) Q[x] puede factorizar: Como producto de dos factores irreducibles de grado 2 módulo 3. Como producto de un factor irreducible de grado 3 y uno de grado 1 módulo 2. Ejercicio 40. Estudiar la irreducibilidad y la descomposición en irreducibles de los siguientes polinomios de Q[X]: (1). x 5 + x 4 2x 3 2x 2 2x + 4. (2). x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x 24. (3). x 5 6x x 3 16x 2 16x (4). x 4 + 8x x x + 9. Ejercicio 41. Encontrar un polinomio f(x) Q[x] de grado menor o igual que 2 tal que: (1). f(1) = 1, f(3) = 2, f(7) = 1. (2). f( 1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 2. Ejercicio 42. Sea f(x) = x 4 7x Then f( 1) = f(1) = 5, f(0) = 1. Demostrar que el polinomio interpolador de Lagrange a s (x) divide a f(x) para s = (5, 1, 1) y s = ( 1, 1, 5). Ejercicio 43. Sea f(x) = x 6 + 2x 5 x 4 + 2x 2 x + 1. Se tiene que: f( 2) = 5, f( 1) = 2, f(0) = 1, f(1) = 4. Encontrar el polinomio interpolador de Lagrange a s (x) para s = ( 5, 1, 1, 1) y comprobar que a s (x)b(x) = f(x) para un cierto b(x). Hallar a qué s corresponde b(x). Factorización en F p [x] Ejercicio 44. Estudiar la irreducibilidad y la descomposición en irreducibles del polinomio x 4 + 2x 1 en F 2 [x], F 3 [x] y Q[x]. Ejercicio 45. Estudiar la irreducibilidad y la descomposición en irreducibles del polinomio x 4 + 3x 1 en F 2 [x], F 3 [x], F 5 [x] y Q[x]. Ejercicio 46. Si p es un primo, probar que hay exactamente (1/3)(p 3 p) polinomios mónicos cúbicos e irreducibles en F p [x]. Ejercicio 47. Probar que hay exactamente 6 polinomios irreducibles de grado 5 en F 2 [x]. 4

5 Ejercicio 48. Factorizar x 5 + x + 1 F 2 [x] usando el algoritmo de Berlekamp. Ejercicio 49. Factorizar x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 F 2 [x] usando el algoritmo de Berlekamp. Ejercicio 50. Probar que x 7 + x F 2 [x] es irreducible. 5