FACTORIZACIÓN BÁSICA Y RAÍCES

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1 FACTORIZACIÓN BÁSICA Y RAÍCES Genaro Luna Carreto 1 1 Profesor de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México.

2 0.1. Algoritmo de la división El símbolo K[X] representa al conjunto de polinomios en la indeterminada x y coeficientes en un conjunto K. En general, K representa a enteros (Z), racionales (Q), reales (R) ó complejos (C). Ejemplo (a) f(x) = 3 2 x3 x 2 x + 2 es un polinomio de Q[X], pues sus coeficientes, 3, 1, 1, 2 se encuentran en los racionales. 2 (b) x 4 + 3x 4 3 Z[X] (c) 2ix 8 C[X] Es claro que Z[X] Q[X] R[X] C[X]. Teorema (Algoritmo de la división). Si S, T K[X], donde T 0, entonces existen polinomios únicos Q, R tales que S = T Q + R, donde R = 0 ó grad(r) < grad(t ) (1) Es frecuente llamar a Q y R, cociente y residuo, respectivamente. Al momento de dividir, la ecuación (1) entre T, se puede deducir inmediatamente, otra forma de expresar la división S, muchas veces útil: T S T = Q + R T. Ejemplo Considere los polinomios S = 2x 4 3x y T = x 2 + 2x. Son de grado 4 y 2, respectivamente. En la educación media básica, se nos enseña a dividir los polinomios: 2x 2 4x + 5 x 2 + 2x ) 2x 4 3x x 4 4x 3 4x 3 3x 2 4x 3 + 8x 2 5x 2 5x 2 10x 10x Genaro Luna Carreto 1 Otoño 2016

3 donde se puede verificar lo mencionado en el algoritmo de la división. 2x 4 3x = (2x 2 4x + 5)(x 2 + 2x) 10x También, es posible visualizar la siguiente igualdad, que representa una forma de simplifación de la división original (2x 4 3x 2 + 1) (x 2 + 2x), pues se escribe como la suma de un polinomio (el cociente) con una fracción más simple, cuyo denominador es el residuo y el denominador es el divisior. 2x 4 3x x 2 + 2x = 2x 2 4x x x 2 + 2x Un caso muy especial de la división se da cuando, el residuo es cero. Ejemplo Realiza la división (x 3 1) (x 1) También x 2 + x + 1 x 1 ) x 3 1 x 3 + x 2 x 2 x 2 + x x 1 x + 1 x 3 1 = (x 2 + x + 1)(x 1) lo cual muestra que el polinomio original x 3 1, es el producto de dos polinomios. Lo anterior, justifica la siguiente definición: Definición Sean P, Q K[X]. Se dice que P divide a Q, y se escribe P Q, si existe polinomio S tal que Q = P S 0 Genaro Luna Carreto 2 Otoño 2016

4 0.2. Teorema del resto Teorema (Teorema del resto). Sea P K[X] y a K. El residuo de la división entre P y el polinomio lineal x a, es exactamente P (a). Demostración. Es una consecuencia inmediata del algoritmo de la división. Existen Q y R tales que P = Q(x a) + R. (2) Se sabe que R = 0 ó grad(r) < grad(x a) = 1. En cualquier caso es una constante. Si se realiza la evaluación de P en a: por lo tanto P (a) = R. P (a) = Q(a)(a a) + R(a) = R (3) Hay una consecuencia del teorema del resto, sobre las raíces de un polinomio, muy sencilla e importante. Recuerde que a es raíz de P (x), si P (a) = 0. Corolario Son equivalentes: (a) P es divisible por x a (c) P (a) = 0 El teorema fundamental del álgebra, nos dice que un polinomio de grado n, se puede descomponer en factores lineales, reales o complejos. Por su parte, el teorema del resto, nos proveé de una mecanismo operativo de identificar los factores lineales. Posteriormente, el criterio de Gauss, proveerá al teorema del resto, de valores específicos. Si tiene un polinomio P Q[X], entonces dp Z[X], para algún número d adecuado, por ejemplo algún múltiplo común de todos los denominadores de los coeficientes de P. Esto es obvio, considere P (x) = 4 5 x8 1 Q[X]. Si multiplica por 5, entonces 5P = 4x 5 Z[X]. Así, el siguiente teorema es válido para polinomios con coeficientes racionales, pues para el caso de raíces, si d 0 entonces a es raíz de P si y sólo si a es raíz de dp. Genaro Luna Carreto 3 Otoño 2016

5 0.3. Criterio de Gauss Teorema (Criterio de Gauss). Sean P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Z[X] y a = c d una raíz racional de P, donde mcd(c, d) = 1. Entonces c a 0 y d a n Demostración. Como c es raíz de P, entonces P ( c ) = 0, esto es d d Si multiplica por d n a n ( c d )n + a n 1 ( c d )n a 1 ( c d ) + a 0 = 0. a n c n + a n 1 c n 1 d a 1 cd n 1 + a 0 d n = 0. (4) El único término que no tiene como factor a d es el primero. Lo pasamos al segundo miembro y luego, en el primer miembro factorizamos d: d(a n 1 c n a 1 cd n 2 + a 0 d n 1 ) = a n c n por lo tanto, es claro que d a n c n. Ahora bien, d divide a un producto de números a n y c n. Observe que d (a n c n 1 )(c) 1, entonces d a n c n 1. Si seguimos este proceso, indefectiblemente, llegaremos a que d a n c, por lo tanto d a n. Por otro lado, en la ecuación (5), el único término que no tiene al número c es el último. Lo pasamos al segundo miembro, y en el primer miembro factorizamos c: c(a n c n 1 + a n 1 c n 2 d a 1 d n 1 ) = a 0 d n. (5) Análogamente, al caso anterior, c a 0 d n, por ende c a 0. Observación Suponga en especial se tiene un polinomio mónico, es decir, el coeficiente principal a n = 1. Si c es una raíz racional, entonces c a d 0 y d 1, lo cual indica que d = ±1. De esta manera, la raíz racional c = ±c, es d en realidad un entero. 1 Recuerde el teorema clásico sobre divisibilidad, si mcd(c, d) = 1 y d cb entonces d b Genaro Luna Carreto 4 Otoño 2016

6 Se han presentado tres resultados importantes en la factorización: algoritmo de la división, teorema del resto y criterio de gauss. Este último para raíces racionales. Si se conjugan dichos teoremas, con aquella teoría básica sobre polinomios cuadráticos, que incluía la fórmula general, es posible abarcar una cantidad razonable de casos de descomposición factorial y por ende de raíces Suponga que tiene el polinomio cuadrático p(x) = ax 2 + bx + c. En realidad, la fórmula general b± b 2 4ac asociada a la ecuación ax 2 + bx + c = 0, 2a genera una factorización inmediata de p(x), incluso que incluya complejos: ( ax 2 + bx + c = a x b + )( b 2 4ac x b + ) b 2 4ac 2a 2a (6) Es notable el caso, porque los coeficiente a, b, c pueden estar en el campo C. Sin embargo, algunas veces es poco práctica. Existen algunas técnicas explotadas durante la educación media básica, muy eficientes. Ejemplo Abordemos algunos casos especiales en la factorización de p(x) = x 2 + bx + c. Si queremos una factorización de la forma (x + m)(x + n) entonces x 2 + bx + c = (x + m)(x + n) = x 2 + (m + n)x + mn (7) por lo tanto, si se desea descomponer x 2 +bx+c, se deben buscar dos números m, n cuya suma sea b y multiplicación c. Se puede notar dicho tanteo, puede ser muy fácil o muy difícil. Intente descomponer x 2 + 4x 21. Es una búsqueda rápida, pues hay enteros muy accesibles cuyo producto es 21 y suma es 4: 7, 3. Entonces x 2 + 4x 21 = (x + 7)(x 3) Ejercicios 1. Descomponga en factores x 2 4x 12. El problema empieza cuando se tiene que factorizar x 2 35x Ya no 6 6 es tan rápido hallar lo valores 11, Ejemplo Ahora digamos que tiene el polinomio ax 2 + bx + c. Este problema se pude reducir al ejemplo anterior. Genaro Luna Carreto 5 Otoño 2016

7 ax 2 + bx + c = 1 a (a2 x 2 + bax + ca) (8) = 1 a ((ax)2 + b(ax) + ca) (9) Si w = ax entonces Ejemplo Factorice 3x 2 7x + 2. = 1 a (w2 + bw + ca) (10) 3x 2 7x + 2 = 1 3 (32 x 2 7(3x) + 6) (11) = 1 3 ((3x)2 7(3x) + 6) (12) Si w = 3x entonces = 1 3 (w2 7w + 6) (13) Dos números que multiplicados den 6 y sumados 7, son: 6, 1 Ejercicios 2. Factoriza 5x 2 + 7x 6. = 1 (w 6)(w 1) (14) 3 = 1 (3x 6)(3x 1) 3 (15) = (x 2)(3x 1) (16) Ahora consideremos algunos casos de polinomios de grado 3. Ejemplo Factoriza el polinomio p(x) = x 3 3x + 2. Es un polinomio cuyo coeficiente principales uno, es decir, es mónico. Si este polinomio tiene raíces racionales, deben ser enteras (vea observación (0.3.1) ) y deben ser los divisores del término independiente, en este caso 2: ±1, ±2. Genaro Luna Carreto 6 Otoño 2016

8 Es de suma importancia, ser observador. Si considera primero evaluar el polinomio en las posibles raíces más sencillas por ejemplo el valor 1: p(1) = 1 3 3(1) + 2 = 0 nos llevamos la grata sorpresa que el resultado es cero, es decir, 1 es raíz del polinomio. Según el teorema del resto, el residuo de dividir x 3 3x + 2 por x 1, debe ser cero: x 2 + x 2 x 1 ) x 3 3x + 2 x 3 + x 2 x 2 3x x 2 + x 2x + 2 2x 2 en consecuencia x 3 3x + 2 = (x 2 + x 2)(x 1). Según los ejemplos anteriores, para factorizar el cuadrático, es necesario encontrar dos números que multiplicados den 2 y sumados 1: son 2, 1. Así x 3 3x + 2 = (x + 2)(x 1)(x 1) Finalmente, x 3 3x + 2 = (x + 2)(x 1) 2 Ejercicios 3. Encuentra las raíces de x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0 Sugerencia: como el coeficiente principal es 1, las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente, es decir, 4. Siempre debes intentar hacer evaluaciones con los divisores más sencillos. Ejemplo Encuentre las raíces de 2x 3 + x 2 5x + 2 = 0. Antes de las raíces viene la factorización. El polinomio no es mónico, pues su coeficiente principal es 2. De manera que las raíces racionales a, si las hay, b deben cumplir cuestiones de divisibilidad, según el Criterio de Gauss. a debe dividir al coeficiente independiente, que es dos. Además b debe dividir al coeficiente principal, que también es 2. Así, a 2 y b 2. Es claro que a = ±1, ±2 y b = ±1, ±2. Las raíces racionales a posibles, son: 1, 1, 2, 2, 1, 1. Son b 2 2 muchos casos. Así que se debe ser prudente en las operaciones. Siempre se Genaro Luna Carreto 7 Otoño

9 deben, tomar en primer lugar los valores fáciles. En este caso, tomaremos 2, 1, 1. La evaluación en 2: 2x 3 + x 2 5x + 2 = 2(2) 3 + (2) 2 5(2) + 2 = = 12 (17) 2 no es raíz. Ahora evaluación en 1: 2x 3 + x 2 5x + 2 = 2( 1) 3 + ( 1) 2 5( 1) + 2 = = 6 (18) 1 no es raíz. Probemos 1: 2x 3 + x 2 5x + 2 = 2(1) 3 + (1) 2 5(1) + 2 = = 0 (19) 1 sí es raíz! De hecho, tendría que ser la primera elección, por sencillo, pero intencionalmente realice pruebas con otros números. Ahora viene la división, entre x 1: 2x 2 + 3x 2 x 1 ) 2x 3 + x 2 5x + 2 2x 3 + 2x 2 3x 2 5x 3x 2 + 3x 2x + 2 2x 2 Entonces 2x 3 +x 2 5x+2 = (x 1)(2x 2 +3x 2). Dejo la descomposición del cuadrático en la forma indicada en este texto. La descomposición final: 2x 3 + x 2 5x + 2 = (x 1)(x + 2)(2x 1) Las raíces del polinomio son: x = 1, x = 2, x = 1 2 Ejemplo Encontrar las raíces de x 4 1 = 0. 0 Genaro Luna Carreto 8 Otoño 2016

10 Este es uno de los casos, donde no es necesario usar técnicas especiales. Las raíces son x = ±i, x = ±1. x 4 1 = 0 (20) (x 2 + 1)(x 2 1) = 0 (21) (x i)(x + i)(x 1)(x + 1) = 0 (22) Ejemplo Calcule las raíces de x = 0. Es un polinomio mónico. De manera que, si tiene raíces racionales, residen en los divisores de 1, que son ±1. Sin embargo, ambas evaluaciones en el polinomio dan como resultado 2. En consecuencia, no tiene raíces racionales. Es un caso muy especial y su solución se logra de la siguiente manera: x = 0 (23) x 4 + 2x x 2 = 0 (sea agregó 2x 2 2x 2 = 0) (x 2 + 1) 2 2x 2 = 0 (24) (x 2 + 1) 2 ( 2x) 2 = 0 (25) (x x)(x x) = 0 (26) Se ha alcanzado una descomposición en términos cuadráticos que incluyen coeficientes irracionales. Se tiene que recurrir a la fórmula general para su solución. En el caso del primer factor cuadrático se tienen dos soluciones: Para el otro factor: 2 ± = 2 ± 2i 2 En total 4 raíces de x ( 2) ± = 2 ± 2i Es notable el trabajo en cuanto a operaciones. Primero se hace la prueba: si no es raíz, pues otra prueba; si es raíz, se hace la división. Existe una regla, llamada regla de Ruffini, donde se organizan las operaciones y al momento Genaro Luna Carreto 9 Otoño

11 de hacer la prueba, se genera la división al mismo tiempo. Veamos nuevamente el caso del polinomio 2x 3 +x 2 5x+2, cuya descomposición ya se estudió en el ejemplo Estudiemos, como ejmplo, como se efectua la regla de Ruffini para la división 2x 3 +x 2 5x+2 entre el polinomio lineal x 2, que equivale a la evaluación en 2. Para aplicar la regla de Ruffini, se empieza con un diagrama como el que sigue donde en el primer renglón se aprecian los coeficientes del polinomio 2x 3 + x 2 5x + 2, que corresponde al dividendo, y la lado izquierdo se coloca la posible raíz, en este caso 2. En la siguiente figura, se observan varias flechas. El primer movimiento corresponde a la flecha recta sólida de una punta (azul), que indica que se baja el número de esa columna. El paso dos, lo señala la flecha de dos puntas (roja): se realiza la multiplicación de dichos números. El paso 3 (flecha punteada), indica la posición donde se pone la multiplicación anterior. En el siguiente paso se realiza la suma señalada por la flecha curva (verde). A continuación, se repite el proceso, se hace la multiplicación de la posible raíz, por 5 y asi sucesivamente. El orden de números final se debe observar así: Genaro Luna Carreto 10 Otoño 2016

12 donde, el número final de último renglón corresponde al residuo de la división 2x 3 + x 2 5x + 2 x 2, o sea 12, como ya se sabía. Ahora veamos que ocurre con el número x = 1, que ya sabemos que es raíz: Naturalmente que se puede leer que el residuo es cero, pero la parte muy interesante es que el renglón final contiene los coeficientes que corresponden al cociente de la división o sea: 2x 2 + 3x 2. Esto es, no sólo se probó que 1 es raíz, sino que también, con este arreglo de números conocidos como regla de Ruffini, es posible obtener al cociente de la división. Ejemplo factoriza la función f(x) = x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 4x + 4. Para factorizarlo es necesario encontrar sus raíces. Es un polinomio mónico. Las soluciones racionales, si las hay, son enteras y se encuentran entre los divisores de 4:±1, ±2, ±4. Si observa con cuidado, la función esta formada por sumas, así que se pueden descartar los positivos 1, 2, 4, pues las sumas nunca darán cero. Probemos la regla de Ruffini con 1, 2, 4: , no es raíz, el residuo es 2. Ahora probemos con 2: Genaro Luna Carreto 11 Otoño 2016

13 2 sí es raíz. El primer renglón corresponde a los coeficientes del polinomio original, empezando del grado cuatro. El último renglón corresponde a los coeficientes del cociente de la división, pero en un grado menor a cuatro, en este caso 3. Claro, recuerde que, el último número no es parte del cociente, es el residuo de la división. En pocas palabras, el cociente es: x 3 +2x 2 +x+2. Entonces f(x) = (x + 2)(x 3 + 2x 2 + x + 2) En el polinomio de grado tres, podemos probar las raíces ±1, ±2. Como es una suma entonces, probemos sólo con 1, 2: Es claro que 2 es raíz. Entonces Finalmente, x 3 + 2x 2 + x + 2 = (x + 2)(x 2 + 1). f(x) = (x + 2)(x 3 + 2x 2 + x + 2) = (x + 2)(x + 2)(x 2 + 1) (27) = (x + 2) 2 (x 2 + 1) (28) = (x + 2) 2 (x + i)(x i) (29) Ejercicios 4. Encuentre las raíces de x 4 3x 3 + x = 0. Sugerencia: no olvide agregar el coeficiente de x, que en este caso es cero. Ejemplo Sea x 3 + x + 1 = 0. Es claro que las únicas ráices racionales posibles son: ±1. Sin embargo, una evaluación directa, muestra que ninguna de ellas es raíz. Así que no tiene raíces racionales. Genaro Luna Carreto 12 Otoño 2016

14 Resulta que la forma general del polinomio en este ejemplo, x 3 +px+q = 0 fue tratada y resuelta por el matemático italiano Scipio de Ferro en el siglo XVI. Se generó una fórmula en términos de radicales, conocida como fórmula de Cardano 2, para calcular la única raíz real de estas ecuaciones ( porqué?) ( ) ( ) 1 α = 3 q + q p q q p3 (30) 27 En este caso, p, q = 1. No es complicado mostrar que α = Ya con esta raíz y realizando la división, resulta que x 3 + x + 1 = (x )(x x ) Cuyas soluciones se hallan con la fórmula general y son complejas: i, i La fórmula (30) en términos de radicales, es la razón por la cual a los ceros de las funciones, también se les llama raíces, pues se pensaba que las 2 Gerolamo Cardano, fue también matemático italiano del siglo XVI. En realidad hubo una controversia, por estos hechos, entre varios matemáticos italianos, incluyendo a Tartaglia. Genaro Luna Carreto 13 Otoño 2016

15 soluciones de las ecuaciones se podían obtener en términos de radicales. Sin embargo, el noruego Niels Henrik Abel en el siglo XVII, mostró la imposibilidad de resolver la ecuación de grado cinco, por radicales. Para finalizar este pequeño trabajo y a próposito de las ecuaciones, recomiendo las excelentes notas de un excompañero de la FCFM de la BUAP, ahora catedrático de la UNAM,, el doctor Roberto Pichardo, que puedes descargar aquí: Genaro Luna Carreto 14 Otoño 2016