Método de integración por fracciones parciales

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1 Método de integración por fracciones parciales Temas Fracciones parciales. Método de integración por fracciones parciales. Capacidades Descomponer una fracción en suma de fracciones parciales. Conocer y comprender el método de integración por fracciones parciales. Calcular integrales indefinidas que se pueden obtener por fracciones parciales. 5. Introducción En esta sesión se tratará un método para calcular integrales de ciertas funciones racionales a, llamado método de integración por fracciones parciales. La técnica que se usa es descomponer una fracción en fracciones más simples, llamadas fracciones parciales, esta técnica fue desarrollada por el matemático suizo John Bernoulli ( ). a Una función se llama racional si ella es el cuociente de polinomios con coeficientes reales. 39

2 Como se señaló anteriormente, en esta sesión se trabajará con integrales de funciones racionales. Estas integrales son de la forma: p(x) q(x) dx donde p(x) y q(x) son polinomios con coeficientes reales. Por ejemplo: 6x x 3 + x x dx 8x + 5 x 3 x + x dx x 3 dx x + 3 x x 8 dx Nota 5. Algunas integrales de funciones racionales no se pueden calcular con los métodos tratados anteriormente. Para calcular integrales de ciertas funciones racionales, se usa el método de las fracciones parciales, que consiste en descomponer previamente la fracción en suma de fracciones parciales, y luego calcular la integral de cada sumando aplicando métodos ya tratados. 5. Descomposición en suma de fracciones parciales 5.. Fracciones simples Se llaman fracciones simples, aquellas que presentan una de las siguientes formas: () A (ax + b), n N () Ax + B n (ax + bx + c) n En particular, son fracciones simples: (a) 7 x (b) x + x + x + 3 (c) (x ) 3 (d) n N b 4ac < 0 (x + ) Nota 5. Las integrales de las fracciones simples se pueden determinar usando las técnicas ya tratadas. A Por ejemplo: ax + b dx = A ln ax + b + C a 5.. Descomposición en fracciones parciales A continuación se describirá el proceso para descomponer una fracción p(x) q(x) de fracciones parciales. en suma Caso. Cuando grado(p(x)) < grado(q(x)), se procede como sigue: Instituto de Matemática y Física 40 Universidad de Talca

3 Factorizar el denominador q(x) sobre los reales. Los factores de q(x) pueden ser: Factores lineales repetidos n veces: o Factores cuadráticos repetidos m veces: (ax + b) n, n N (ax + bx + c) m, m N donde b 4ac < 0 Por cada factor de q(x), de la forma (ax + b) n, la descomposición en fracciones parciales debe incluir la suma de n fracciones simples del tipo (): A ax + b + A (ax + b) A n (ax + b) n Por cada factor de q(x), de la forma (ax + bx + c) m, la descomposición en fracciones parciales debe incluir la suma de m fracciones simples del tipo (): A x + B ax + bx + c + A x + B (ax + bx + c) A mx + B m (ax + bx + c) m Caso. Cuando grado(p(x)) grado(q(x)), se procede como sigue: Dividir el polinomio p(x) por el polinomio q(x), obteniendo un cuociente c(x) y un resto r(x): p(x) = q(x) c(x) + r(x) donde r(x) = 0 o grado(r(x)) < grado(q(x)). Luego: p(x) q(x) = c(x) + r(x) q(x) Si r(x) 0, entonces, se aplica el proceso descrito en el Caso, a la fracción r(x) q(x). Ejemplo 5. Factores lineales diferentes Descomponer la fracción x 3 + x x en suma de fracciones parciales. a) Factorizar el denominador: x 3 + x x = x(x )() Instituto de Matemática y Física 4 Universidad de Talca

4 b) Por cada factor lineal se incluye en la suma una fracción simple: x 3 + x x = A x + donde A, B y C deben calcularse. c) Determinación de A, B y C: x 3 + x x B x + C = A(x )() + Bx() + Cx(x ) x(x )() Luego: = A(x )() + Bx() + Cx(x ) Como la igualdad anterior es válida para todo x R, se sustituye x por valores particulares, con el propósito de determinar A, B y C: Para x = 0: 0 4 = A( )() + B(0) + C(0), de donde A = Para x = : 4 = A(0) + B(3) + C(0), de donde B = Para x = : 4 = A(0) + B(0) + C(6), de donde C = d) Luego: x 3 + x x = x x Ejemplo 5. Factores lineales repetidos Descomponer la fracción 6x 8x + 5 en suma de fracciones parciales. x 3 x + x a) Factorizar el denominador: x 3 x + x = x(x ) b) Descomponer la fracción dada en suma de fracciones simples: c) Determinación de A, B y C: 6x 8x + 5 x 3 x + x = A x + B x + 6x 8x + 5 x 3 x + x = A(x ) + Bx(x ) + Cx x(x ) Luego: C (x ) 6x 8x + 5 = A(x ) + Bx(x ) + Cx Para x = 0: 5 = A(0 ) + B(0) + C(0), de donde A = 5 Para x = : 3A(0) + B(0) + C, de donde C = 3 Para x = : 3 = A( ) + B ( ) + C sustituyendo A = 5, C = 3, se obtiene B = Instituto de Matemática y Física 4 Universidad de Talca

5 d) Luego: 6x 8x + 5 x 3 x + x = 5 x + x + 3 (x ) Ejemplo 5.3 Factores cuadráticos Descomponer la fracción x 3 en suma de fracciones parciales. a) Factorizar el denominador: x 3 = (x )(x + x + ) Notar que x + x + no tiene raices reales. b) Descomponer la fracción dada en suma de fracciones simples: x 3 = donde A, B y C deben calcularse. c) Determinación de A, B y C: A x + Bx + C x + x + x 3 = A(x + x + ) + (Bx + C)(x ) (x )(x + x + ) Luego: = A(x + x + ) + (Bx + C)(x ) Para x = : = A(3) + (B + C)(0), de donde A = 3 Para x = 0: = A() + (C)( ), de donde C = 3 Para x = : = A(7) + (B + C)() = (7) + ( B 3 3) (), obteniendo B = 3 d) Luego: x 3 = 3(x ) 3(x + x + ) 5.3 Ejemplos de integrales de funciones racionales Ejemplo 5.4 Calcular Descomponer x 3 + x x x 3 + x x dx. en suma de fracciones parciales. Del ejemplo 5. se tiene: x 3 + x x = x x Instituto de Matemática y Física 43 Universidad de Talca

6 Luego: x 3 + x x dx = x dx x dx Ejemplo 5.5 Calcular Descomponer 6x 8x + 5 x 3 x + x Luego : = ln x ln x ln + C = ln x x + x + C = ln Kx x + x 6x 8x + 5 x 3 x + x dx. en suma de fracciones parciales. Del ejemplo 5. se tiene: 6x 8x + 5 x 3 x + x = 5 x + x + 3 (x ) 6x 8x x 3 x + x dx = x dx + Ejemplo 5.6 Calcular Del ejemplo 5.3 se tiene: x 3 dx = x dx + = 5 ln x + ln x 3 x + C x 3 dx. 3 (x ) dx x 3 = 3(x ) 3(x + x + ). Luego: 3(x ) dx = 3 ln x 3 3(x + x + ) dx x + x + x + dx 3 = 3 ln x 6 ln x + x + = ln x /3 3 x + x + x + arctan + C / x + x + dx (x + ) dx Ejemplo 5.7 Calcular x + 3 x x 8 dx. Instituto de Matemática y Física 44 Universidad de Talca

7 Como grado(numerador) grado(denominador), se debe dividir primero: x + 3 = (x x 8) + (5x + 4) cuociente resto de donde: x + 3 x x 8 = + 5x + 4 x x 8 x + 3 Luego : x x 8 dx = dx + Como x x 8 = ()(), la fracción Luego: x + 3 x x 8 dx = 5x + 4 x x 8 dx 5x + 4 x x 8 5x + 4 x x 8 = 4 + ( dx + 4 dx + = x + 4 ln + ln + C Ejemplo 5.8 Aplicación del método a integrales de otras funciones. sin x Calcular cos x dx. sin x sin x cos x sin x cos x cos x dx = dx = cos x sin x dx se descompone: ) dx Sustituyendo u = sin x, se obtiene udu = cos x dx. Luego: sin x cos x dx = u u du = u 4 ( u )( + u ) du descomponiendo [ en suma fracciones parciales: u ( u )( + u ) = u + / u + / ] u + / / = u + du u du + u + du = arctan u + ln u + u + C sin x Luego: cos x dx = arctan sin x + ln sin x + + C sin x Instituto de Matemática y Física 45 Universidad de Talca

8 Ejercicio 5. Verificar cada integración, usando el método de las fracciones parciales: ) x 4 x dx = ln (x ) 3 x (x + ) + x + C 4x + 6 ) x 3 + 3x dx = ln K(x (x + 3)) 9x 3) dx = ln x 3 3 x 3 x + C 3x 4) x 3 + 3x x dx = ln x (x ) ln + C x 5 x 5) dx = (x + 4) 8 x ln(x + 4) + C x + x 6) (x 4 + 5x + 4) dx = 6 ln x + x + 4 arctan x + arctan x + C 7) x / x dx = 4 ln /4 x/4 + x + 4x /4 + C 5.4 Autoevaluación Calcular: x + a) dx b) x 3 + x 6x 6 t d) dt e) t 4 + t3 Respuestas: ln x + 3 a) + 5 c) ln(x +)+ x + +C ln(x + x + ) ln( x ) 0 ln(x ) 3 x + 4 dx c) x 4x + 4 x 3 dx f) x 3 x 3 (x + ) dx e x 3e dx x ln x + C b) 4 ln x 8 6 x + x + C d) ln t + t + t 3 3 +C e) x+ t 3 + C f) e x 3 + ln(ex 3) x C 5.5 Desafío Calcular: x 5 3x 3 6x 3 (x 3 + x + x) dx x + arctan 3 Instituto de Matemática y Física 46 Universidad de Talca