Polinomios (II) Polinomios reales irreducibles. Pares de raíces conjugadas. Sesión teórica 4 (págs ) 27 de septiembre de 2010

Transcripción

1 Polinomios (II) 1 Sesión teórica 4 (págs. 3-9) 7 de septiembre de 010 Pares de raíces conjugadas irreducibles Consideremos un polinomio f (x) =a0 + a1x + ax + + anx n R[x], es decir, con coeficientes reales (a i R i). Al ser también un polinomio complejo admitirá una descomposición como producto de polinomios (complejos) de grado 1: f (x) =M(x α1) m1 (x α) m (x αn) mn M,α i C i. Teorema 5 Si f (x) R[x] y α = a + bi es un cero complejo de f entonces su conjugado α = a bi es también un cero de f y tiene la misma multiplicidad que α. Teorema 6 Sea α C. El producto (x α)(x α) es un polinomio de grado real. Corolario Los polinomios irreducibles de R[x] son los polinomios de R[x] de grado 1 y los de grado que no tienen raíces reales.

2 Descomposición de un polinomio real en producto de polinomios irreducibles de R[x] Ejemplo: descomposición de un polinomio real en producto de polinomios irreducibles en C y en R Si f (x) es un polinomio real entonces: f (x) =M(x α1) m1 (x α) m (x α k) m k (x + b1x + c1) n1 (x + bsx + cs) ns donde: m1 + m + + m k + n1 + n + + ns = n. M R. α1,...,α k R. Todos los polinomios x + b ix + c i son irreducibles en R (es decir, sin ceros reales). Consideremos el siguiente polinomio en R[x]: f (x) =x 8 1. Descomposición en C: f (x) =(x ( 1)(x + 1)(x i)(x + i) x ( + )(x i) ( ) ( i) ) x ( + )(x i) ( i) Descomposición en R: f (x) =(x 1)(x +1)(x + 1)(x + x + 1)(x x + 1) Teorema del Resto Cálculo de las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Teorema El valor numérico de un polinomio f (x) K[x] en x = α (es decir, f (α)) coincide con el resto de la división de f (x) entre x α. CONSECUENCIA: Puede comprobarse fácilmente si x = α es raíz de un cierto polinomio aplicando la Regla de Ruffini. Ejercicio: Comprueba, sin evaluar, que i es raíz del polinomio 1 + x 5x + x 3 4x 4 + x 5. Teorema 7 Sea f (x) =anx n + an 1x n a1x + a0 un polinomio con coeficientes enteros. Siα = p q Q (con p y q primos entre sí) es una raíz de f (x) entonces p es divisor de a0 y q es divisor de an. Ejercicio: Sif (x) =3x 6 + 4x 5 5x 4 5x 3 4x + 5x +, calcula sus raíces racionales y factoriza f (x) en R[x] yenc[x].

3 1 Definición Llamaremos función racional real a toda expresión de la forma f (x) g(x), donde f (x), g(x) R[x] y g 0. Si #(f ) < #(g) diremos que la función racional es propia. Descomposición en fracciones simples Ejemplo Teorema 8 f Toda función racional g se puede descomponer como suma finita de términos de los tipos siguientes: 1 Un polinomio (dado por el cociente de la división entre f y g si la función racional no es propia, y0enotro caso). Para cada cero real α de g(x) (de multiplicidad m): con 1 j m y A j R j. A j (x α) j, 3 Para cada divisor irreducible (en R) x + bx + c de g(x) de grado (de multiplicidad p): B jx + C j (x + bx + c) j, con 1 j p y B j, C j R j f (x) g(x) = 1 + x 9 8 4x + x 15x 3 + 9x 4 3x 5 + 7x 6 5x 7 + x 8 = 1 + x 9 = Como no se trata de una función racional propia dividimos numerador entre denominador. Se obtiene: q(x) =Cociente = x + 5 r(x) =Resto = 39+1x 6x +73x 3 30x 4 +6x 5 3x 6 +18x 7

4 Consideramos la identidad Dividendo=(Divisor)(Cociente)+(resto) y dividimos entre el (Divisor): Dividendo = Cociente + Resto Divisor Divisor Sutituyendo: f (x) r(x) = q(x)+ g(x) g(x) = = x x 6x + 73x 3 30x 4 + 6x 5 3x x 7 } {{ } ( ) Planteamos la descomposición de (*) en suma de fracciones simples, con constantes indeterminadas: x 6x + 73x 3 30x 4 + 6x 5 3x x 7 = = A x 1 + B x + C (x ) + D (x ) 3 + Ex + F x + x Gx + H (x + x + 1) Pasamos las fracciones del o miembro a común denominador y sumamos: = A(x )3 (x + x + 1) + B(x 1)(x ) (x + x + 1) + C(x 1)(x )(x + x + 1) +D(x 1)(x + x + 1) +(Ex + F)(x 1)(x ) 3 (x + x + 1)+(Gx + H)(x 1)(x ) Desarrollando y agrupando después los coeficientes de las sucesivas potencias de x: = 8A 4B + C D + 8F 4H +( 4A + C D + 8E 1F 4G + 8H)x+ ( 6A B + C D 1E + 6F + 8G 5H)x +(9A + 7B 3C + D + 6E 9F 5G + H)x 3 +( B C + D 9E + 1F + G)x 4 +(3A + B C + D + 1E 6F )x 5 +( 4A 3B + C 6E + F)x 6 +(A + B + E)x 7 Igualamos numeradores: x 6x + 73x 3 30x 4 + 6x 5 3x x 7 = 8A 4B+C D+8F+8H+( 4A+C D+8E 1F+8G 0H)x +( 6A B + C D 1E + 6F 0G + 18H)x +(9A + 7B 3C + D + 6E 9F + 18G 7H)x 3 +( B C + D 9E + 1F 7G + H)x 4 +(3A+B C+D+1E 6F+G)x 5 +( 4A 3B+C 6E+F)x 6 +(A + B + E1)x 7

5 Igualamos coeficiente a coeficiente: x 6x + 73x 3 30x 4 + 6x 5 3x x 7 = 8A 4B + C D + 8F + 8H +( 4A + C D + 8E 1F + 8G 0H)x +( 6A B + C D 1E + 6F 0G + 18H)x +(9A + 7B 3C + D + 6E 9F + 18G 7H)x 3 +( B C + D 9E + 1F 7G + H)x 4 +(3A + B C + D + 1E 6F + G)x 5 +( 4A 3B + C 6E + F )x 6 +(A + B + E)x 7 8A 4B + C D + 8F + 8H = 39 4A + C D + 8E 1F + 8G 0H = 1 6A B + C D 1E + 6F 0G + 18H = 6 9A + 7B 3C + D + 6E 9F + 18G 7H = 73 + B C + D 9E + 1F 7G + H = 30 3A + B C + D + 1E 6F + G = 6 4A 3B + C 6E + F = 3 A + B + E = 18 Por último resolvemos el sistema de ecuaciones y calculamos los valores de las constantes: A = 9 B = F = C = G = D = H = E =