GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemática - Polinomios

Transcripción

1 GUÍA DE EJERCICIOS Área Matemática - Polinomios Resultados de aprendizaje. Realizar operaciones entre polinomios. Aplicar Regla de Ruffini, para determinar raíces de un polinomio. Aplicar los procedimientos que justifican, el algoritmo de la división de polinomios. Contenidos. 1. Operatoria de polinomios. 2. Regla de ruffini. Debo saber Es importante recordar que los ejercicios de la siguiente guía, deben tener conocimientos previos que se detallan a continuación Definición: Sea F = R o F = C (o quizá un dominio de integridad (DI) un anillo conmutativo con unidad, con 1 y tal que no contiene divisores de cero), un polinomio con indeterminada x es una expresión del tipo Donde * +. Llamaremos grado del polinomio al mayor * + tal que. En este caso se denota por ( ) o ( ) o ( ), etc. Y si se dice que el polinomio tiene grado cero. 1. Si, entonces ( ) 2. Si, entonces ( ) 3. Si no es un polinomio. Ejemplos Al conjunto de polinomios con coeficientes en F se le denota F[x] Observación. I) Note que esta es la escritura formal usada para representar sucesiones finitas. Así la sucesión se representa por II) Luego, dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes en posiciones equivalentes son iguales. Primera Edición

2 En efecto Sean los polinomios Luego si y solo si ( ) ( ) además III) Los coeficientes con se llaman coeficientes del polinomio, el coeficiente se llama coeficiente principal y diremos que el polinomio es mónico si el coeficiente principal es uno. Ejemplos: 1. Álgebra de polinomios Sean dos polinomios de grados n y m respectivamente (suponemos sin pérdida de generalidad que n<m). I) Se define la suma al polinomio. II) Se define el producto al polinomio Donde Ejemplos. 1. Sean, -. Calcule la suma y el producto de ambos polinomios. Solución: i) ) 2. Repita el ejercicio anterior,esta vez para, - Solución: Proposición: Si (F,+, ) es un anillo conmutativo con identidad (ó un dominio de integridad), entonces, - también es un anillo conmutativo con uno (o un dominio de integridad) con las operaciones definidas antes. Ahora bien si F es un dominio de integridad, entonces, - tiene un comportamiento similar al conjunto de los números enteros. Luego como en los enteros tenemos una división con resto, acá para los polinomios tenemos algo muy similar. Proposición: Sean, -. Si F es un dominio de integridad entonces. Primera Edición

3 i) ( ) { ( ) ( )} ii) ( ) ( ) Como mencionamos antes, Z tiene un algoritmo de división y ahora el siguiente resultado nos dá una manera de realizar división con resto entre dos polinomios. Este resultado lo pueden hallar probado en cualquier texto de un curso de álgebra. Teorema: Algoritmo de división. Sean p(x), q(x), -, con q(x). Entonces existen únicos b(x), r(x) F, - tales que. i) ii) ( ) ( ) Ejemplos. 1. Sean. Luego: 0 Así, se tiene que Primera Edición

4 2. Sean Luego: Así, se tiene que 3. Sean. Luego: Así, se tiene que 1 Ahora veremos como relacionamos estos dos conceptos a partir de sus definiciones, y daremos un par de teoremas importantes y concluiremos con una aplicación. En lo que sigue vamos a asumir que F es un cuerpo. Definición: i) Dado F, diremos que es un cero de o que es una raíz de la ecuación Si Primera Edición

5 ii) Dados dos polinomios, -, diremos que divide a si existe, - tal que Note que la última definición es equivalente a decir que el resto de la división entre p(x) y q(x) cero. es Ahora daremos un par de resultados esenciales y uno de ellos que caracteriza los ceros de un polinomio. Teorema: [Teorema del resto]. Sea, -,. Entonces el resto que resulta de dividir por es Teorema: [Teorema del factor] Sea, -,. Entonces es un cero de p(x) si y sólo si divide a, esto es, es factor de p(x). Además es cero de multiplicidad t de p(x) si y sólo si divide a y no divide a esto es es factor de p(x). Ejemplos. 1. Sean,, -. Entonces el resto que queda al dividir en es 2. Sea como en el ejemplo anterior, entonces el polinomio es factor de p(x). Raíces Racionales. Acá suponemos que F es el cuerpo de números reales o complejos y asumiremos el teorema fundamental del Álgebra. La motivación es determinar las raíces de una ecuación polinomial, el siguiente teorema es de gran ayuda. Teorema: Si es una raíz de la ecuación. Con mcd(c,d)=1. Entonces c divide a y d divide a Este teorema nos entrega las posibles raíces de la ecuación. Este resultado es un caso particular del célebre lema de Gauss en la factorización de polinomios. Notar que el contrarecíproco de este teorema nos dice cuando no hay raíces. Primera Edición

6 Ejemplos: 1. Las posibles raíces del polinomio son. Luego como. Entonces estos candidatos, a ceros del polinomio, no lo son. 2. Buscamos todas las raíces reales del polinomio, -. Luego c * + y d * + Así x { }. Ahora usted puede chequear que -2 y son ceros del polinomio. Usemos división sintética (regla de Ruffini) para obtener la factorización del polinomio. Primera Edición

7 Así, tenemos que. / Pero el cual no tiene ceros reales. Luego solo hay dos ceros del polinomio. Raíces complejas. Teorema: Sea, - con (). Si C es una raíz de la ecuación polinomial entonces (conjugado de ) también es raíz de la misma ecuación. Note que este resultado nos dice que la cantidad de raíces complejas de la ecuación par, menor o igual al grado del polinomio. es Ejemplos. 1. Sea, -. Si es una raíz de la ecuación, determine el resto de las raíces. Solución: Como es raíz de la ecuación, se sabe que por teorema anterior que también es raíz. Luego, por teorema del factor, ( ) ( ) son factores de p(x) y como, ( )( )=, tenemos que. Para algún polinomio, -. Ahora para hallar quien es, podemos usar el algoritmo de división. En efecto, tenemos. Así y como se tiene que las raíces de son. 2. Sea, - tal que bi es un cero de Encuentre los otros ceros del polinomio. Solución: Primero determinemos el valor de b. Como es un cero de. Entonces Primera Edición

8 , De donde. Ahora si, entonces tenemos la ecuación Luego y así Por lo tanto y son ceros de Por teorema del factor, tenemos que ( ) ( ) son factores de y por lo tanto ( )( ), para algún s(x), -. Ahora como ( )( ) podemos obtener dividiendo en. Usando el algoritmo de división tenemos. Luego ( )( ) y así -1 y 1 son los ceros restantes de p(x). Definición: Sea consecutivos tienen una variación de signo si, -. Diremos que dos coeficientes Denotaremos por al número de variaciones de signo del polinomio p(x). Teorema: [Regla de los signos de Descartes] Sea, - con la cantidad de variaciones de signo. Entonces i) El número de raíces positivas de la ecuación es igual a o este mismo número disminuido en un entero par. ii) El número de raíces negativas de la ecuación es igual a o este mismos número disminuido en un entero par, donde es el número de variaciones de signo de Este teorema nos dice la cantidad de raíces posibles de (o en su defecto los ceros de p(x)), pero no sabemos quiénes son. Para finalizar, el siguiente teorema relaciona coeficientes de un polinomio y raíces de la ecuación. Teorema: en la ecuación, con, se cumplen las siguiente relaciones entre los coeficientes, y las n raíces. Primera Edición

9 suma de la raíces de la ecuación. suma de los dobles productos de las raíces. suma de los triples productos de las raíces.... = producto de las raíces de la ecuación. Ejemplos. 1. Resolver la ecuación sabiendo que una de las raíces es el doble de otra de ellas. Solución: Sean las raíces de modo que. Entonces, se tiene que: Luego el sistema a resolver es. { Despejando de la primera ecuación, tenemos. Reemplazando en la segunda ecuación se tiene.. / 8 De donde 0. Así o Primera Edición

10 Ahora falta verificar estos valores en la tercera ecuación, se deja al lector chequear que y Luego las raíces son 2. Determine las raíces de la ecuación sabiendo que sus raíces están en progresión aritmética. Solución: Sean a d, a y a+ d tales que raíces en P.A. Entonces, se tiene el sistema. Despejando a de la primera ecuación, tenemos que segunda ecuación, tenemos.. Ahora reemplazando el valor de a en la Luego, De donde Luego, en cualquier caso de d posible, las raíces son Primera Edición