Dr. Juan R. Mejías Ortiz 1

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Ramona Cortés del Río
hace 7 años
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1 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 1 Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A medida que avance el curso se notará que éste concepto aparece en la definición de los conceptos más importantes del cálculo. Para ir en búsqueda de una definición del límite, exploremos la siguiente situación. En la gráfica a la derecha se observa que los valores que toma una función f(x) en un intervalo abierto (c δ, c + δ) se va aproximando a un punto denominado c por ambos lados (izquierda y derecha). Así el límite de f(x) es L cuando x tiende a c. (c, L) Definición de Límite Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto que contiene a c, y L es un número real. Entonces: lim f(x) L xc Esto quiere decir que para todo ε > 0 existe un δ > 0, de manera que entonces Lo más importante para recordar en esta definición es que al emplear la notación se está afirmando que existe un límite de la función cuando x se acerca arbitrariamente a c y que ese límite es L. Tenemos a nuestra disposición tres métodos que nos permiten encontrar los límites de una función en un intervalo abierto. Esto son el método numérico, el método gráfico y el método algebraico. Te invito a explorar cada uno de estos tres métodos. En cada sección se discuten ejercicios que promueven una mejor comprensión del concepto límite.

2 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 2 1. MÉTODO NUMÉRICO Este método permite estimar el límite de una función al evaluar el comportamiento de la misma en varios puntos cercanos a x c, en dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque por su izquierda y otro que se acerque por su derecha para estimar el límite. Veamos los siguientes ejemplos. EJEMPLO 1: Evalúa la función resultados para estimar el límite. en varios puntos cercanos a x 2 y utilizar los Construye una tabla de valores cercanos a x c, en este caso x 2. Recuerda asignar valores que se acercan tanto a la izquierda y derecha de c. x f(x) ? En la tabla de valores se observa que tanto por la izquierda y por la derecha cuando x 2 es 5. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 5. En la notación, EJEMPLO 2: Evalúa la función en varios puntos cercanos a x 5 y utilizar los resultados para estimar el límite. Sustituye cada uno de los valores asignados a x en. x f(x) ? En la tabla de valores se observa que cuando x 5, se acerca a 3 tanto por la izquierda y por la derecha. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 5 es 3. En la notación,

3 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 3 EJEMPLO 3: Evalúa la función. Sustituye cada uno de los valores asignados a x en. x f(x) ? Al evaluar el límite por la izquierda y derecha de 0 nos da que EJEMPLO 4: Evalúa la función resultados para estimar el límite. en varios puntos cercanos a x 0 y utilizar los x f(x) ? En la tabla de valores se observa que en la medida que se asigna valores que se acercan a 0 tanto por la izquierda como por la derecha el valor obtenido crece sin límite alguno. Esto es si decimos que entonces. De otra manera entonces. Como la función no se acerca a ningún número real cuando x tiende a 0, no tiene límite. O sea no tiene límite. Para una mayor comprensión de este caso emplearemos el segundo método. 2. MÉTODO GRÁFICO Este método consiste en analizar la función por medio de su comportamiento gráfico. Los primero que se debe realizar es la construcción de la gráfica de la función. Puedes asignar valores a x para obtener y para dibujar los pares ordenados, utilizar una calculadora gráfica o una calculadora gráfica en línea. ( Volvamos al ejemplo anterior.

4 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 4 EJEMPLO 5: Evalúa la función en varios puntos cercanos a x 0. Empleemos una calculadora gráfica para evaluar el comportamiento gráfico de la función. En la gráfica se observa que cuando x tiende a 0 la función sigue creciendo al infinito. Por lo cual, la función no tiene límite. EJEMPLO 6: Evalúa la función cuando x tiende a 2. En la gráfica se observa que f(x) se acerca a 5 tanto por la izquierda como la derecha cuando x tiende a 2. Por lo cual, EJEMPLO 7: Evalúa la función. { Aunque cuando x 2, existe un punto en (2, 4), al evaluar f(x) tanto por la izquierda como por la derecha tiende a 7. Por lo cual, el límite es 7. O sea,

5 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 5 3. MÉTODO ALGEBRAICO Hemos explorado el método numérico y el método gráfico para estimar el límite de una función. En esta sección emplearemos los algoritmos algebraicos para calcular el límite de una función dada. Antes de discutir los ejemplos, estudie las siguientes propiedades de los límites. Propiedades de los Límites Sean b, c números reales, n un número entero positivo, f(x) y g(x) funciones con límites, de tal manera que y entonces: Múltiplo escalar Suma y Resta Producto Cociente Potencia EJEMPLO 8: Determina el límite de la función cuando x 2. Propiedad de la suma y resta Propiedad Múltiplo Escalar

6 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 6 Veamos los siguientes teoremas de los límites para funciones que sean polinomiales, racionales o que contengan radical. Teoremas de los Límites de funciones polinomiales, racionales y que contengan un radical Si p(x) es una función polinomial y c es un número real, entonces: lim p(x) p(c ) xc Si es una función racional y c es un número real de modo que q(x) 0, entonces: lim xc p(x) r(x) lim xc q(x) p(c) q(c) Sea n un entero positivo, valido cuando c > 0 (si n es par) o para todo c si n es impar. EJEMPLO 9: Encuentra. El límite de f(x) es EJEMPLO 10: Encuentra. El límite de f(x) es 0.

7 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 7 EJEMPLO 11: Encuentra. Si intentas evaluar la función en f(-5) el denominador daría 0, haciendo de la función una indeterminada. Veamos. Esto significa que se tiene que hacer uso de procesos algebraicos como la factorización para calcular el límite de la función. Cancelar términos semejantes. Así que el límite de f(x) es -10. EJEMPLO 12: Encuentra Como en el ejemplo anterior al evaluar f(3) nos queda cero en el denominador haciendo de la función una indeterminada. Por lo cual, es necesario emplear la factorización. Así que el límite de f(x) es -1/3.

8 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 8 EJEMPLO 13: Encuentra. Así que el límite de f(x) es 3. EJEMPLO 14: Encuentra Al sustituir x 0 nos queda una expresión indeterminada. Es necesario racionalizar el numerador. ( ) ( ) Así que el límite de f(x) es ½.

9 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 9 Teorema de los Límites de funciones trigonométricas Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica dada, entonces: EJEMPLO 15: Encuentra. Para encontrar el límite es necesario aplicar las identidades trigonométricas. El límite de f(x) es 3.

10 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 10 Límites Trigonométricos Especiales EJEMPLO 16: Encuentra. Se multiplica por uno (5/5). Se aplica el límite trigonométrico especial. El límite de f(x) es 5.

11 Dr. Juan R. Mejías Ortiz 11 EJEMPLO 17. Encuentra el límite de El límite de f(x) es 1.

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