FACTORIZACION DE POLINOMIOS

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1 5to H FACTORIZACION DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio, de n cantidad de términos, es expresarlo como un producto de polinomios primos. Existen varias formas de factorizar un polinomio, según las características que presente. Factor común. Para factorizar un polinomio a través del factor común, se aplica el procedimiento inverso de la propiedad distributiva. Recordemos que a.(b c) = a.b a.c, entonces si en un polinomio se repite un término o todos los coeficientes tienen un divisor en común, entonces a.b a.c = a.(b c). El factor común puede ser la variable elevada a la menor potencia, y/o el dcm de todos los coeficientes. Ejemplos: = 2 es el dcm entre 2 y 4 ; ambos términos tiene x, que se elige con el menor grado. = 6.(-2 6 es el dcm entre los coeficientes y x se elige con el menor grado, que en este caso es 3. 1) Aplicaciones : extraer factor común. a) c) b) - f) Factor común en grupos Se aplica factor común en grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos. Es el procedimiento inverso al de una distributiva doble. Entonces recordamos que: Cuando tenemos polinomios en los cuales podemos hacer grupos de igual cantidad de términos que tengan factores en común, aplicaremos factor común en cada grupo y luego, entre los términos obtenidos.ejemplos: = Se forman grupos de igual cantidad de términos. -3 que tengan un factor en común En los términos debe aparecer el mismo factor para. poder extraerlo como fac Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda factorizada. + = ( 3 2)Aplicaciones : Extraer factor común en grupos a) d) b) e) c) f)

2 Trinomio cuadrado perfecto El desarrollo de un cuadrado de binomio es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, cuando se presenta un trinomio con las características del anterior, éste podemos factorizarlo expresándolo como el cuadrado de un binomio.ejemplos: ya que es el cuadrado de x ; 9 es el cuadrado de 3 y es ya que es el cuadrado de ;4 es el cuadrado de 2 y - es 2..(-2) no es trinomio cuadrado perfecto, ya que si bien los extremos son cuadrados perfectos, el término del medio no es el doble producto de las bases. 3-Aplicaciones. Comprobar si los siguientes son trinomios cuadrados perfectos, y en caso afirmativo, factorizarlos. a) d) b) c) f) Cuatrinomio cubo perfecto El desarrollo de un cubo de binomio es un cuatrinomio cubo perfecto. = +. Por lo tanto, cuando se presenta un cuatrinomio con estas características, podemos factorizarlo como un cubo de binomio. Ejemplos: = porque es el cubo de x y 8 es el cubo de 2.Además se cumple que. = 3..2 y 12x = 3x., por lo tanto, verifica todos los términos. no es cuatrinomio cubo perfecto, ya que si bien los extremos son cubos perfectos(de x y de 2), los otros dos términos no verifican ser de la forma 4-Aplicaciones: comprobar si los siguientes son cuatrinomios cubos perfectos, en caso afirmativo,factorizarlos a) d) b) e).c) f) - Diferencia de cuadrados El producto de binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de las bases. = - Por lo tanto, cuando se presenta una diferencia de cuadrados, puede expresarse como el producto de la suma y la diferencia de las bases. Ejemplos: -9 =. - = 5-Aplicaciones a) -25 b) - c) +100 d) -36 e)0,01-0,25 f)-4+

3 Suma o diferencia de potencias de igual grado Comprobemos cual es el resto que obtenemos al dividir un binomio de estas características por la suma o la diferencia de las bases. Ej. Podemos arribar a la siguiente conclusión : La suma de potencias de igual grado impar es divisible por la.de las bases. La diferencia de potencias de igual grado impar es divisible por..de las bases. La diferencia de potencias de igual grado par es divisible por..de las bases. La suma de potencias de igual grado par. Por lo tanto, al ser divisibles, podemos expresar dichos binomios como el.... Ej. = como es una diferencia de grado impar, entonces es divisible por la diferencia de las bases x-2. Resolvemos la división aplicando la regla de Ruffini Entonces, x-2 )= Y podemos expresar x-2 ).( resto Entonces, x-2 )= Y podemos expresar x-2 ).( 6) Factorizar: a) b) c) d) Algunos polinomios pueden expresarse como productos aplicando en forma sucesiva los casos de factoreo. Ejemplos: = factor común = trinomio cuadrado perfecto =.( factor común en grupos = diferencia de cuadrados 7) Factorizar a) d) g) b) e) - h) c) f) i)

4 Teorema de Gauss Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y termino independiente no nulo, admite una raíz racional p/q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del coeficiente principal. Para hallar las raíces racionales de P(x)= axⁿ +bxⁿ +cxⁿ ²+.+d los de se buscan todos los divisores de d=p, y todos a=q, entonces las posibles raíces son de la forma p/q. Todo polinomio de P(x)=, de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como P(x)=a.(x-x₁).(x-x₂).(x-x₃).(x-x ), donde x₁,x₂,x₃,.x son las raíces. Por ejemplo: Factorizar el polinomio P(x)= 2xᶟ-3x² -8x-3 Calculamos los divisores de 3 : ±3 ;±1 Calculamos los divisores de 2 : ±2 ;±1

5 Posibles raíces : ±3/2 ; ±1/2; ±1 ; ±3 Se calcula el valor del polinomio P(x) para las posibles raíces (se aplica el teorema del resto para comprobar si son divisores): P(1)= -12 no es raíz P(-1)= 0 es raíz P(3)=0 es raíz P(-1/2)= 0 es raíz Por lo tanto, P(x)= 2.(x+1).(x+1/2).(x-3) A partir de la primera raíz encontrada, se puede dividir, (aplicando la regla de Ruffini) P(x) por (x+1) y reducir el polinomio, para calcular otras raíces a partir del cociente obtenido. Por ej. P(x)= 2xᶟ-3x² -8x-3 Si comprobamos que P(-1)=0, entonces sabemos que (x+1) divide a P(x), entonces P(x)=(x+1).Q(x) P(x)= (x+1). (2x² -5x-3)* Aplicando Ruffini Si calculamos las posibles raíces de Q(x) Q( 3)= Q(x)= (2x² -5x-3) * Dividimos Q(x) por (x-3) Entonces Q(x)= (x-3).(2x -1) 2x+1 Reemplazando en* P(x)= (x+1).(x-3).(2x+1) P(x) = 2.(x+1).(x-3).(x+1/2) Un polinomio P(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores iguales; el orden de multiplicidad está dado por el exponente del factor. Ej. P(x) = (x+1)² tiene una raíz doble x₁=x₂=-1 Ecuaciones polinomicas Para hallar los valores de x para los cuales se verifica una ecuación, por ejemplo xᶟ-x²-16x=-16, hay que igualarla a 0 xᶟ-x²-16x+16 =0 y luego factorizarla (x-4).(x+4).(x-1)=0 Teniendo en cuenta que un producto es 0 si al menos uno de sus factores es 0, planteamos x-4=0 ᴠ x+4=0 ᴠ x-1=0 Entonces las raíces, o ceros, o soluciones de la ecuación son : x₁=4 x₂=-4 x₃=1 S={-4;4;1} Aplicaciones: 1-Hallar las raíces de los polinomios y factorizarlos. a) P(x)= -xᶟ+4x²-x-6

6 b)b(x)= -4xᶟ+7x-3 c)a(x)=-4x⁴+12xᶟ-7x²-3x+2 d)n(x)=x⁴+6xᶟ+8x²-6x-9 e)m(x)= xᶟ-3x+2 2- Factorizar a) P(x)=x⁴+xᶟ-x²-x b) Q(x)=-4xᶟ-4x²+x+1 c) R(x)=3x⁴-4x²+1 d) S(x)=x⁵-4xᶟ-8x²+32 e) T(x)=6x⁴-3xᶟ-24x²+12x 3-Expresar los siguientes polinomios en función de sus raíces a)p(x)=xᶟ+2x²-4x-8,que tiene por raíz x=2 b) Q(x)= -3x⁴-6xᶟ+6x+3, que tiene por raíz a x=1 c)m(x)= -xᶟ-9x²-15x+25, que tiene por raíz doble a x=-5 4-Resuelvan las siguientes ecuaciones a) x⁴+2xᶟ-13x²-14x-14=-38 b) xᶟ-5x²+7x+7=10 c) x⁵+4xᶟ+16x²=8x²-32 d) xᶟ-x-1=-1 e) 2x⁴-xᶟ-22x²=8x²+3xᶟ

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