TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 FUNCIONES POLINÓMICAS

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1 TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 FUNCIONES POLINÓMICAS En este eje intentaremos continuar desarrollando en los estudiantes la competencia básica de Resolución de Problemas y además las siguientes competencias específicas 1. Analizar una función o un fenómeno físico o químico sencillo a partir de su representación gráfica y/o a partir de sus ecuaciones matemáticas.. Resolver problemas sencillos de Matemática, Física y Química aplicando modelos matemáticos. Contenidos Habilidades y destrezas Indicadores de Logro conceptuales Inherentes a la Resolución de Problemas vistos en el TP 1 Comparación entre polinomios Identifica datos e incógnitas. y epresiones algebraicas Completa la información necesaria recurriendo a Análisis y aplicación de las otras fuentes: observación, eperimentación, tetos, operaciones con funciones Internet y otras. polinómicas. Funciones Aplicación del teorema del Plantea y usa ecuaciones adecuadas. polinómicas. resto a la clasificación de los Usa la notación adecuada. Factorización. casos de divisibilidad. Opera con números reales en forma correcta. Funciones Aplicación de la divisibilidad Usa y realiza las conversiones de unidades racionales. de polinomios a factorización necesarias. y obtención del mcm y MCD. Analiza las soluciones aritméticas halladas, Análisis (determinación del vinculándolas con el problema planteado. dominio y ceros.) y aplicación Comunica el/los resultado/s en forma adecuada. de las operaciones con funciones racionales. Una epresión algebraica 1 es una combinación cualquiera de varias variables y constantes, relacionadas un número finito de veces por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Si las variables están sometidas a las cuatro operaciones racionales: adición, sustracción, multiplicación y división, entonces la epresión algebraica se llama racional. Si las operaciones a que están sometidas las variables son solamente adición, sustracción y multiplicación (incluyendo potencias de eponente natural), la epresión algebraica se llama entera. En particular si la epresión algebraica racional entera tiene una sola variable, se llama polinomio. La epresión general de una función polinómica (o polinomio) de grado n en la variable, es: P() = a n n + a n 1 n a + a 1 + a 0 con a n 0 Donde a 0 se llama., los a i (con i = 1,,.., n) se llaman.., y son números (reales o complejos). Su dominio natural es. Ejemplos: P() = es un polinomio de grado 4, en función de, siendo a 4 =3, a 3 =5, a =0, a 1 = 1 y a 0 = 4 Q(t) = 5 t 3 + ½ t t + 1 es un polinomio de grado 3 en función de t. 1 Definición dada en Rey Pastor, Pi Calleja, Trejo. Análisis Matemático. Ed. Kapeluz 18

2 1) Indica grado y variable en los siguientes polinomios: a) Q() = su grado es... y la variable independiente... b) R(s) = a + 4 s 3 ½ s 5 su grado es... y la variable independiente... c) T() = 3 a b su grado es... y la variable independiente... ) Indica si las siguientes epresiones son funciones polinómicas o no: a) ln (+3) SI NO b) SI NO c) 3 sen 45º SI NO 4 d) 7 + (+1) 3 + sen π SI NO e) (+4) 1 3 SI NO 3) Dos polinomios son iguales cuando... Completa la tabla con los valores de las constantes, de manera que las funciones sean iguales: a) P() = (c a) 3 + b + c + b + d y Q() = b) R() = (a + b) 3 + (c + d) 5 +5 y T() = (c d) + a b a) b) a b c d 4) Dados los polinomios: P() = 5 3 ; Q() = ; S() = +; y T() = ; realiza las operaciones indicadas y completa el grado: a) L() = P + Q grado de l() =... b) M() = Q. S grado de m() =... c) N() = T : P grado de n() =... d) P() = s grado de p() =... 5) Encuentra el valor de las funciones Q() y S() para cada indicado a) Q() = para = b) S(t) = t 3 5 t + 8 t 4 para = 1 6) Si 1 = 1 es un cero de P() = a a, entonces a =... REPASA En una división de polinomios: D() : d() se obtiene un cociente C() y un resto R(), tal D() que D() = d(). C() + R() =. d() Un polinomio es divisible por otro cuando... Cuando el divisor es de la forma a podemos averiguar la divisibilidad más fácilmente por el teorema del Resto, que en símbolos, dice: R() =... Además se puede efectuar la división aplicando la regla de Ruffini. Repásala 19

3 7) Cuál es el polinomio que dividido por tiene cociente C() = y resto R() = 3? 8) Aplicando el teorema del resto contesta: 0 a) Por cuál binomio es divisible S(t) del ejercicio 5? Verifica. b) Es Q() divisible por (+)? Por qué? c) Cuánto debería valer el término independiente de Q() para que sea divisible por? 9) Indica con una cruz si los polinomios que siguen son divisibles por (+3) o no p i () = Realiza acá tus cálculos SI NO a) p 1 () = 3 b) p () = c) p 3 () = + 3 d) p 4 () = e) p 5 () = + 1 f) p 6 () = ) Encuentra el cociente y resto aplicando regla de Ruffini: a) ( ) : (-1) b) ( ) : ( + ) REPASA: Potencias de un binomio (a + b) =(a + b) (a + b) = a + ab + b (a b) = (a b) (a b) = a ab + b que no es lo mismo que (a b) (a+b) = a b (a + b) 3 = a a b + 3 a b + b 3 Casos de factoreo. Factorizar una epresión significa epresarla como un producto de dos o más factores. El siguiente es un resumen de los casos comunes. El tercero y cuarto casos son las operaciones recíprocas de desarrollar la potencia correspondiente de un binomio. 1) Factor común. ) Factor común en grupo Ej.: a a = (3 + 5a) + 5 (3 + 5a) = (3 + 5a).( + 5) 3) Trinomio cuadrado perfecto: a + ab + b = (a + b) 4) Cuatrinomio cubo perfecto: (a + b) 3 = a a b + 3 a b + b 3 5) Diferencia de cuadrados: a b = (a b) (a+b) 6) Suma o diferencia de potencias de igual grado: m ± a m. Depende del eponente (par, impar) y de si es suma o diferencia. Distinguimos 4 casos: a) La suma dividida por la suma + + b) La suma dividida por la diferencia + c) La diferencia dividida por la suma + d) La diferencia dividida por la diferencia

4 Te demuestro el primero y te dejo los otros como ejercitación. a) Si m es impar P() = m + a m es divisible por (+a) porque aplicando teorema del resto se obtiene R() = P( a) = ( a) m + a m = a m + a m = 0. Pero no es divisible por ( a), por qué? Dividiendo se obtiene C() = m 1 m.a + m 3.a...+.a m b m 1 Y factorizando: m + a m = ( + a) ( m 1 m.a + m 3.a...+.a m b m 1 ). b) Tanto si m es par o impar, no puede factorizarse dividiendo por la diferencia de las bases c) Si m es par: m a m = (+a).( m 1 m.a + m 3.a...+.a m a m 1 ) d) Tanto si m es par o impar: m a m = ( a).( m 1 + m.a + m 3.a a m + a m 1 ) 7) Epresión factorizada de una ecuación de º grado: a + b + c = a ( 1 ) ( ). Verás en Álgebra que todo polinomio de grado n tiene eactamente n ceros (reales o complejos, iguales o distintos) y se puede factorizar así: P() = a n ( 1 ) ( ). ( n ) 11) Son iguales o distintos? a) (m + n) con ( m n) b) (m n) con (n m) 1) Completa T() para que sea trinomio cuadrado perfecto: a) T() = = ( ) b) T() = = ( ) c) T() = = (... 5) 13) Desarrolla: P() = ( + 5) 3 = 14) Completa C() para que sea cuatrinomio cubo perfecto: C() = = ( 4...) 3 15) Factoriza hasta la mínima epresión: 1) 4an - 6bn - 10ny + an = ) = 3) = 4) /16 = 5) a = 6) = 7) = 8) = 3 7 9) = 10) 6 79 = 1

5 16) Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de las siguientes epresiones: a) ; y b) 3 15 ; 5 y FUNCIONES RACIONALES Una función racional es un cociente de polinomios: f () = P() Q() El dominio de f() es el conjunto de los números reales, menos el conjunto de valores de que hacen cero al denominador. En símbolos: D f = O Q, siendo O Q el conjunto de ceros de Q(), es decir: O Q = { / Q() = 0} O f = { / P() = 0 Q() 0} En primer año de la Facultad, necesitarás factorizar las funciones racionales y reducirlas a una epresión más sencilla, para calcular límites, discontinuidades y asíntotas, intervalos donde son positivas o negativas, intervalos donde son crecientes o decrecientes, máimos y mínimos, etc., con el objeto de poder graficarlas. Por ahora solamente determinaremos el dominio y las reduciremos a epresiones más simples. 17) Determina el dominio de las siguientes funciones racionales y encuentra la epresión más reducida posible. Recuerda que: al simplificar se cambia la función, por lo tanto no se puede mantener el nombre se debe aclarar que el factor por el cual se divide, es distinto de cero a) f() = b) g() = + 10 c) h() = d) j() = D f =. D g =. D h =. D j =.

6 AUTOEVALUACIÓN 1) Aplicando el teorema del Resto, indica si son divisibles o no los polinomios dividendos por los divisores indicados en cada caso: a) P() = 4 + 1, por (+1) b) P() = 5 + 1, por (+1) c) P() = 4 + 1, por (-1) d) P() = 5 + 1, por (-1) e) P() = 4-1, por (+1) f) P() = 5-1, por (+1) g) P() = 4-1, por (-1) h) P() = 5-1, por (-1) ) Resuelve de dos maneras: aplicando propiedad distributiva y por quinto caso de factoreo. a) ( + 3). ( 3) = b) [( ) a]. [( ) +a] 3) Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de: 4 8 ; 3 8 y 4 3 4) Resuelve y simplifica las siguientes epresiones algebraicas a) b) : (6 + 1) + : ) V o F? a) (43 5 y 5 ) es divisible por (3 y) ( ) b) (3a 3b ) = 3(a b)... ( ) 6) Completa a) Si ( ) : d() = , con resto cero, entonces d() =... b) Si 1 = es un cero de P() = a a, entonces a =... c) Si ½ (a+b) = + a + c, entonces a =..., b =..., c =... d) Para que la división de P() = a + 1 por ( ) tenga resto 3, a =... 3