Definición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda función F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F (x) = f(x).

Transcripción

1 Tema 5 Integración 5.1 Integral Indefinida Definición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda función F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F (x) = f(x). Ejemplos: La función F (x) = x es una primitiva de la función f(x) = 3x 2, para todo x R. La función G(x) = x 1 x 2 es una primitiva de g(x) = 1 x 2 en el intervalo ( 1, 1). La función H(x) = 1 cos 2 x es una primitiva de h(x) = tan x en el intervalo ( π 2, π 2 ). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real). Dos propiedades importantes que verifican las primitivas de una función dada f(x) son las siguientes: 1) Si F (x) es una primitiva de f(x) en (a, b), entonces la función G(x) = F (x) + C, con C R constante, también lo es en (a, b). La demostración es evidente: G (x) = F (x) + 0 = f(x), x (a, b). 2) Si F (x) y G(x) son primitivas de f(x) en (a, b), entonces su diferencia es una constante: F (x) G(x) = C, x (a, b). La demostración de esta propiedad requiere el uso del Teorema del valor medio 1. 1 Sea h(x) = F (x) G(x), x (a, b). Obviamente: h (x) = f(x) f(x) = 0, x (a, b). Sea [x 1, x 2] (a, b) cualquier subintervalo cerrado de (a, b). Aplicamos en [x 1, x 2] el Teorema del Valor medio, por ser h(x) continua en [x 1, x 2 ] y derivable en (x 1, x 2 ), existe c (x 1, x 2 ) tal que: 0 = h (c) = y en consecuencia h(x) es una función constante en (a, b). h(x2) h(x1) x 2 x 1 h(x 1) = h(x 2) 67

2 68 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Definición. Llamaremos integral indefinida de una función f(x) en un intervalo (a, b) al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con la notación habitual: f(x). La función f(x) recibe el nombre de integrando. Las dos propiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f(x) en (a, b), F (x), para conocer la totalidad de ellas, y así tendremos: f(x) = F (x) + C para cualquier constante real C. (Nota: es habitual no especificar el intervalo en el que se definen las primitivas, se sobreentiende que siempre es en un abierto en el que F (x) sea derivable.) Propiedades. De la definición de integral indefinida se deducen de manera trivial las siguientes propiedades: (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) k R, se verifica: d ( ) f(x) = f(x) f (x) = f(x) + C. kf(x) = k f(x) Si recordamos la notación habitual de la diferencial de una función: df(x) = f (x), es habitual escribir esta propiedad en la forma: f (x) = d(f(x)) = f(x) + C Integrales Básicas o Inmediatas Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el integrando la derivada de una función conocida. Evidentemente no se trata de un concepto matemático riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las integrales básicas más habituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas o inmediatas a las siguientes: x p = xp+1 p + 1 = ln x + C. x + C, siendo p cualquier número real excepto 1: p 1.

3 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 69 Nota: En realidad la expresión anterior se basa en un pequeño abuso de notación. Para ser rigurosos tenemos que distinguir dos casos: Si x > 0 entonces: = ln x + C, mientras x que si x < 0 tendremos: x = ln( x) + C. Es habitual fusionar ambos resultados en la expresión inicial, si bien es necesario aclarar que en realidad las constantes C y C no tienen porqué ser iguales. e x = e x + C. a x = ax + C, siendo a tal que: a > 0, a 1 ln a sen x = cos x + C, cos x = sen x + C, cos 2 = tan x + C. x sen 2 = cotan x + C, x x 2 = arctan x + C, = arcsen x + C x 2 = arccos x + C, senh x = cosh x + C, cosh x = senh x + C. 1 x 2 x 2 1 = arccosh x + C, = arcsenh x + C. x = arctanh x + C, siempre que x ( 1, 1). Si x > 1, entonces: 1 x2 = arccoth x + C. 1 x Técnicas de Integración Existen varias métodos concretos para calcular integrales, de los cuales mostraremos a continuación algunos de los más habituales y relevantes. En un documento aparte se facilitará una lista-resumen de estos métodos. 1. Cambio de variable o sustitución La técnica más general de integración es la de cambio de variable, el fundamento de la misma es el siguiente: Sea Φ una función de clase C 1 y sea f una función continua. Sea x = Φ(t), entonces se verifica: f(x) = f(φ(t)) Φ (t) dt Es decir, es posible cambiar la variable de integración de esa manera. En algunos casos se plantea el cambio de variable de una forma equivalente pero alternativa. Si aparece en el integrando como factor la derivada de una función presente en el propio integrando, a menudo es aconsejable realizar el siguiente cambio: f (x)g(f(x)) = { f(x) = t f (x) = dt } = g(t) dt

4 70 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 No existen métodos generales que nos indiquen qué cambio de variable es el ideal para una integral cualquiera, sin embargo en muchos casos sí que es posible encontrar un cambio sencillo que nos convierta una integral dada en una de las que hemos considerado inmediatas. Ejemplos 1: Las siguientes integrales son convertibles en inmediatas mediante un cambio de variable muy sencillo: 2x + 3, (x 2) 4, e x 2 En la primera integral el cambio es: 2x+3 = t, es decir: x = 1 2 (t 3). Evidentemente: = 1 2 dt, y así: 2x + 3 = 1 dt = 1 2 t 2 ln t + C = 1 ln 2x C 2 Para la segunda tendremos: x 2 = t x = t + 2 = dt. (x 2) 4 = t 4 dt = 1 5 t5 + C = 1 5 (x 2)5 + C x Finalmente la tercera se convierte en inmediata con el cambio: 2 = t x = 2t = 2 dt. e x 2 = 2 e t dt = 2e t + C = 2e x 2 + C Ejemplos 2: A veces el cambio de variable no es tan trivial, pero tras un breve análisis resulta casi-evidente. Calculemos las siguientes integrales: x ln x I 1 = x 2 + 1, I 2 = cos x e sen x, I 3 = x Para el primer caso, el cambio de variable: x = t nos lleva a que x = 1 2dt y así: I 1 = 1 dt 2 t = 1 2 ln t + C = 1 2 ln(x2 + 1) + C En la segunda integral cambiamos: sen x = u cos x = du: I 2 = e u du = e u + C = e sen x + C Finalmente, I 3 se convierte en inmediata con el cambio: ln x = z x I 3 = z dz = 1 2 z2 + C = 1 2 ln2 x + C = dz: Comentario: En todos los casos se observa la pauta antes comentada, dentro del integrando se identifica una función concreta y su derivada aparece como factor multiplicando al resto: en la segunda integral aparece la función seno en el exponente y su derivada, la función coseno, multiplicando al resto del integrando; en la tercera tenemos el logaritmo neperiano y la función 1 x multiplicando. Finalmente en la primera tenemos la función x2 + 1 en el denominador y como factor multiplicativo la función x, que es esencialmente (salvo un factor constante de 2) la derivada de la anterior.

5 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Integración por partes El método de integración por partes está basado en la regla de derivación de un producto de dos funciones derivables. Recordemos, en forma diferencial: d(f(x)g(x)) = (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) De esta manera: f(x)g(x) + C = (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Tradicionalmente se escribe u y v para denotar las dos funciones, de manera que la fórmula de integración por partes aparece habitualmente escrita en la forma: u dv = uv v du donde se ha obviado la constante aditiva, además de despejarse una de las integrales en función de la otra, para poner de manifiesto la utilidad del método. Se trata de convertir una integral dada (que identificamos con udv) en una función conocida (el término uv) menos una nueva integral ( vdu), con la esperanza de que esta segunda resulte más fácil de resolver que la original. Evidentemente la aplicación exitosa del método requiere además que sepamos derivar la función que identificamos como u e integrar la que tomamos como derivada de v. Ejemplo: Calculemos la siguiente integral: I = x e x Realizamos las siguientes identificaciones: dv = e x, u = x. Tendremos así: du = y v = e x + C. En este punto es interesante comentar que podemos escoger una función primitiva cualquiera para especificar v, es decir la fórmula de integración por partes se verificará para cualquier valor de C, por simplicidad tomaremos entonces C = 0, y por tanto: v = e x : { } I = x e x dv = e x ; v = e x = = e x x e x = e x x e x + C = e x (x 1) + C u = x; du = 3. Integración de funciones racionales P (x) Son las integrales de la forma, donde P y Q son polinomios. Las integrales Q(x) racionales son muy importantes fundamentalmente por dos razones. En primer lugar se trata de integrales que aparecen con frecuencia en muy diversos contextos científicos. En segundo lugar muchos tipos de integrales pueden ser convertidas (mediante los cambios de variable adecuados) en integrales racionales. Antes de describir cómo se afronta

6 72 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 la resolución de una integral racional, es adecuado observar que varias integrales que aparecen en la lista de inmediatas son racionales, como por ejemplo: x = ln x + C, x = arctan x + C Por otro lado, los polinomios son a su vez funciones racionales y de integración trivial: (a 0 + a 1 x a n x n ) = a 0 x + a 1 2 x a n n + 1 xn+1 + C Finalmente, otras integrales racionales también resultan triviales, como por ejemplo: (x a) n = (x a) n 1 = n + 1 (x a) n+1 + C, a R, n N {1} o la ya resuelta en un ejemplo anterior: x x = 1 2 ln(x2 + 1) + C Veremos a continuación cómo en realidad toda integral racional es reducible a las que acabamos de mostrar. Dada una integral racional general P (x) Q(x) si el grado de P es mayor o igual que el de Q, entonces es posible dividir ambos polinomios, y así: P (x) = Q(x) C(x) + R(x), siendo el grado del resto R(x) menor que el grado de Q(x). Entonces: P (x) Q(x) = R(x) C(x) + Q(x) Es posible así tomar de manera general en lo sucesivo que el grado de P (x) es menor que el de Q(x). Se distinguen entonces cuatro casos diferentes: 3.1 El denominador posee raíces reales simples: Q(x) = (x a 1 )(x a 2 )... (x a r ) En tal caso se descompone el cociente en fracciones simples: P (x) Q(x) = A A r x a 1 x a r

7 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 73 calculándose los coeficientes A i. La integral (gracias a la linealidad) queda reducida a una combinación lineal de integrales de la forma: A = A ln x a + C x a Ejemplo: Calculemos la integral: x + 1 x 2 + 3x 4 Es evidente que el denominador tiene dos raíces reales diferentes: x 2 + 3x 4 = (x 1)(x + 4) x + 1 x 2 + 3x 4 = A x 1 + B x + 4 y así: x + 1 = A(x + 4) + B(x 1). Se concluye fácilmente que: A = 2 5 y B = 3 5. Finalmente: x + 1 x 2 + 3x 4 = 2 5 ln x ln x C 3.2 El denominador tiene raíces reales múltiples: Supongamos que Q(x) tiene r raíces reales: a 1,..., a r, con multiplicidades α 1,..., α r, respectivamente. Es decir: Q(x) = (x a 1 ) α 1 (x a 2 ) α 2... (x a r ) α r Para cada una de las raíces a i, tendremos los siguientes sumandos en la expansión en fracciones simples de la función: A i1 (x a i ) 1 + A i2 (x a i ) A iα i (x a i ) α i De esta manera, la integral quedará reducida a una combinación lineal de las integrales comentadas en el apartado anterior más las de la forma: A (x a) n = A (n 1)(x a) n 1 + C con n El denominador posee raíces complejas simples: Dado que si c = a + bi es raíz de Q(x), entonces su conjugado: c = a bi, también lo es, podemos agrupar las raíces complejas dos a dos ((x c)(x c) = x 2 + px + q), y así será posible escribir Q(x) de la forma: Q(x) = (x 2 + p 1 x + q 1 )... (x 2 + p r x + q r )

8 74 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 (es decir utilizando únicamente coeficientes reales). La descomposición en fracciones simples es: P (x) Q(x) = A 1x + B 1 x A rx + B r + p 1 x + q 1 x 2 + p r x + q r La integral queda reducida a integrales de la forma: Ax + B x 2 + px + q Completando cuadrados, es posible escribir: x 2 + px + q = (x a) 2 + b 2 y utilizando el cambio: x a = bt, se obtiene: Ax + B Mt + N x 2 + px + q = t dt = M 2 ln(t2 + 1) + N arctan t + C Deshaciendo el cambio de variables, se concluye. Comentario: Es evidente que el denominador de una función racional puede tener simultáneamente raíces reales (simples o múltiples) y raíces complejas, ver el siguiente ejemplo. Ejemplo: Calcular la integral: I = x (x + 2) 2 x(x 2 + 3x + 4) Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es mayor que el del denominador. Se tienen dos raíces (del denominador) reales: x = 2 (de multiplicidad dos), y x = 0 (de multiplicidad uno), y dos raíces complejas simples, x = 3 2 ± i 7. La descomposición en fracciones simples de la función racional será: x (x + 2) 2 x(x 2 + 3x + 4) = A x B (x + 2) 2 + C x + Dx + E x 2 + 3x + 4 Tras un breve (o semi-breve) cálculo se obtiene: A = 3 4 ; B = 7 4 ; C = 3 16 ; D = 9 16 ; E = y por tanto I = 3 4 x (x + 2) x + 1 9x x 2 + 3x + 4 = 3 4 ln x x x + 31 ln x x 2 + 3x + 4 Para realizar esta última integral comenzamos por completar cuadrados en el denominador: x 2 + 3x + 4 = x 2 + 2x ( = x + 3 )

9 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 75 De acuerdo con la técnica general que hemos estudiado, el cambio de variable adecuado será ahora: x = 2 t t = 2x ; = 7 2 dt y así: 1 16 y en definitiva: ( 7 ) 9x x 2 + 3x + 4 = 2 t dt = 9 4 (t2 + 1) t dt t x + 31 x 2 + 3x + 4 = 9 32 ln t arctan t + C Deshaciendo el cambio de variables: I = 3 4 ln x x ln x ln 4 7 (x2 + 3x + 4) dt t arctan 2x Teniendo en cuenta que ln(ab) = ln a + ln b se puede simplificar finalmente (redefiniendo la constante) a la expresión: 7 I = 4(x + 2) ln x 3 (x 2 + 3x + 4) 9 2 (x + 2) x + 3 arctan + C C 3.4 El denominador posee raíces complejas múltiples: Q(x) = (x 2 + p 1 x + q 1 ) α 1... (x 2 + p r x + q r ) αr Los sumandos correspondientes a cada uno de los términos: x 2 + p i x + q i, en la descomposición en fracciones simples son: A i1 x + B i1 x 2 + A i2x + B i2 + p i x + q i (x 2 + p i x + q i ) A iα i x + B iαi (x 2 + p i x + q i ) α i con lo cual la integral queda reducida a integrales de la forma: Ax + B (x 2 + px + q) n Efectuando, como en el apartado anterior, el cambio x a = bt, dicha integral se reduce a Mt + N (t 2 + 1) n dt = M t (t 2 + 1) n dt + N dt (t 2 + 1) n La primera integral del segundo miembro se integra fácilmente mediante el cambio de variable u = t En cuanto a la segunda, se puede utilizar una fórmula recurrente de cálculo (que se demuestra integrando por partes, ver ejemplo). Llamando: I n = dt (t 2 + 1) n

10 76 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 se tiene: I n = Como I 1 = arctan t, se concluye. t 2n 3 2(n 1)(t ) n 1 2n 2 I n 1 Ejemplo: Comprobemos la fórmula recurrente anterior para el caso I 2 : dt I 1 = t = arctan t + C ; I dt 2 = (t 2 + 1) 2 Apliquemos el método de integración por partes a la integral I 1 : { } dt u = 1 2t dt I 1 = t = t 2 +1 du = (t 2 +1) 2 = dv = dt v = t t = t dt t Tenemos por tanto: I 1 = t t I 1 2I 2 I 2 = t t dt (t 2 + 1) 2 = t t I 1 2I 2 t 2(t 2 + 1) I 1 2t 2 dt (t 2 + 1) 2 que coincide exactamente con lo indicado por la fórmula anterior. No es difícil generalizar este cálculo al caso general con I n e I n1. De esta forma, utilizando el Principio e Inducción, queda demostrada la fórmula de recurrencia. 4. Integración de irracionales cuadráticas I Son las integrales de la forma R(x, y), donde R es una función racional e y = ax 2 + bx + c (evidentemente se supone que el polinomio cuadrático no es un cuadrado perfecto). Existen esencialmente dos métodos para resolver estas integrales. Estudiaremos en primer lugar los cambios de variable de Euler, que permiten convertir toda integral irracional cuadrática en una integral racional. La idea de los cambios de Euler es de tipo geométrico: la expresión y 2 = ax 2 + bx + c puede interpretarse como la ecuación de una cónica en el plano x y. Si (x 0, y 0 ) es un punto de dicha cónica, entonces el cambio de variables: y y 0 = t(x x 0 ), convierte la integral en una de tipo racional y, en consecuencia, se resuelve según el apartado 3. Según sean los signos de las constantes, puede elegirse el punto (x 0, y 0 ) de formas especialmente sencillas. Tenemos así varios casos: i) De manera general, si c > 0, la cónica corta al eje y en los puntos: (x 0, y 0 ) = (0, ± c). Tenemos entonces el cambio posible: y c = tx ax 2 + bx + c c = tx. Alternativamente podemos tomar: ax 2 + bx + c + c = tx.

11 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 77 ii) Siempre que a sea positivo (la cónica será una hipérbola), es posible realizar un cambio diferente: ax 2 + bx + c + x a = t, que también convierte a la integral en racional. Alternativamente también es válido el cambio: ax 2 + bx + c x a = t. iii) Si a < 0, entonces el polinomio cuadrático debe tener necesariamente dos raíces reales (en caso contrario la integral no tendría sentido, pues el radicando sería siempre negativo). En este caso: ax 2 +bx+c = a(x r 1 )(x r 2 ). Podemos entonces tomar como punto de la cónica el (r 1, 0) o bien el (r 2, 0). Se tiene así: ax 2 + bx + c = t(x r 1 ) o bien ax 2 + bx + c = t(x r 2 ). Nota 1: Es necesario precisar que los casos anteriormente expuestos no son excluyentes, de esta forma muchas integrales podrán resolverse alternativamente de varias formas, sin que exista a priori un criterio claro que nos permita establecer cuál de ellos va a resultar más sencillo. Nota 2: Aunque los cambios de Euler pueden aplicarse directamente a cualquier integral irracional cuadrática, en algunos casos es interesante aplicar antes el siguiente resultado: Proposición: Toda integral irracional puede escribirse de la forma R1 (x) R(y, x) = + R 2 (x) y siendo R 1 y R 2 dos funciones racionales de x. Demostración: Escribamos R(y, x) explícitamente como cociente de polinomios: R(y, x) = P (y, x) Q(y, x) Multipliquemos numerador y denominador por: y Q( y, x): R(y, x) = y P (y, x) Q( y, x) y Q(y, x) Q( y, x) Ahora bien, Q(y, x) Q( y, x) es un polinomio par en y, así pues es un polinomio simplemente en y 2, y en definitiva es un polinomio en x. Por su parte, w P (y, x) Q( y, x) es un polinomio en y, necesariamente lineal (puesto que y 2 es un polinomio), de tal forma que podemos escribir: y P (y, x) Q( y, x) = a(x)y + b(x). Reorganizando estos resultados, queda demostrada la proposición: R(y, x) = R 1(x) + R 2 (x) y Q.E.D. Ejemplo: Calculemos la siguiente integral: I = x + x2 2x x 2 2x + 4 Utilicemos el primero de los cambios, dado que c = 4 > 0: x2 2x = tx x 2 2x + 4 = (tx + 2) 2 x (t 2 1) = 4t 2 x = 2 2t + 1 t 2 1

12 78 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 De donde deducimos: = 4 t2 + t + 1 (t 2 1) 2 dt, x2 2x + 4 = 2 t2 + t + 1 t 2 1 y sustituyendo todo ello y simplificando llegamos a la siguiente integral: 8(t + 2) ( t 2 + t + 1 ) (t 1) 2 (t + 1) (t 2 + 2t + 3) dt que es una integral racional. El denominador presenta una raíz real simple (-1), una doble (1) y dos complejas. Separando en fracciones simples: Resolviendo se obtiene: 8(t + 2) ( t 2 + t + 1 ) (t 1) 2 (t + 1) (t 2 + 2t + 3) = At + B t 2 + 2t De manera que finalmente se tiene: C t 1 + A = 2, B = 2, C = 1, D = 6, E = 1 D (t 1) 2 + E t + 1 I = ln t 2 + 2t ln t ln t C t 1 Tras sustituir y simplificar se llega al resultado buscado: I = x + x 2 2x + 4 ln 1 + x 2 2x C 4b. Integración de irracionales cuadráticas II La segunda opción que tenemos a la hora de tratar las integrales irracionales cuadráticas es la de convertirlas en integrales trigonométricas (integrales tales que el integrando es una función racional solamente de funciones trigonométricas), que a su vez aprenderemos a tratar con detalle en el siguiente apartado. La idea en este caso es usar la identidad pitagórica (tanto la correspondiente a funciones trigonométricas circulares como la relativa a las hiperbólicas) para eliminar la raíz cuadrada. Como primer paso debemos completar cuadrados en el radicando y realizar el cambio de variable ya descrito en el apartado 3, de manera que la raíz terminará reduciéndose necesariamente a uno de los siguientes casos: 1 x 2, 1 + x 2, x 2 1 Tenemos entonces los siguientes cambios que eliminan las raíces: i) Para integrales de la forma: R(x, 1 x 2 ), se hace: x = sen t, ó x = cos t. ii) Para integrales de la forma: R(x, 1 + x 2 ), se tiene: x = tan t, ó x = senh t.

13 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 79 iii) Para integrales de la forma: R(x, x 2 1), se tiene: x = sec t, ó x = cosh t. Ejemplo: Calculemos la integral: I = x2 + 2x 3 Completando cuadrados podemos escribir: x 2 + 2x 3 = x 2 + 2x = (x 1) 2 4. Realizamos por tanto el cambio: x 1 = 2u = 2 du ; x2 + 2x 3 = 4u = 2 u 2 1 Usaremos el cambio del coseno hiperbólico, recordemos que: cosh 2 t senh 2 t = 1: u2 u = cosh t I = 2 1 du = du = senh t dt u2 1 = senh t = 2 senh 2 t dt Esta integral es fácil por partes, obteniéndose: I = t senh t cosh t + C = 1 2 ( arccosh u + u ) u C Finalmente: I = 1 2 ( ( ) x 1 arccosh 2 + (x 1) x 2 + 2x 3 4 ) 5. Integración de funciones trigonométricas Son las integrales de la forma R(sen x, cos x), siendo R una función racional. Existe un cambio general que convierte a cualquier integral de este tipo en una integral racional: t = tan ( x 2 ). Usando las identidades trigonométricas es fácil comprobar que este cambio se traduce en las siguientes sustituciones: = 2 dt 2t 1 t2, sen x =, cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t 2 No obstante, en algunos casos especiales, hay otros cambios de variable que también reducen la integral a una integral racional, con frecuencia más sencilla que la que se obtiene con el cambio anterior. Son los siguientes: i) Si R es una función impar en sen x, es decir: R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x), se resuelve con el cambio: cos x = t. ii) Si R es una función impar en cos x, es decir: R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x), se resuelve con el cambio: sen x = t. iii) Si R es una función par en sen x y en cos x, es decir: R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x), se resuelve con el cambio: tan x = t. Este cambio implica las siguientes sustituciones: cos x = t 2, sen x = t 1 + t 2, = t 2 dt