Funciones racionales. Tema 5: Integración. Integrales reducibles a racionales. Primera reducción. Primeros ejemplos. Definición

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1 Funciones racionales Funciones racionales Tema 5: Integración. Integrales racionales y reducibles a racionales Análisis Matemático Grado en Física Definición Una función f se dice que es racional si f p q donde p y q son polinomios. Departamento de Análisis Matemático Universidad de Sevilla En esta sección vamos a calcular primitivas de funciones de este tipo Curso 07/08 Funciones racionales Primera reducción s básicos Primeros ejemplos Proposición Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que gradop < gradoq. En efecto, si gradop gradoq, basta con realizar la división euclídea para conseguir p r c + q q donde c es el polinomio cociente, r es el polinomio resto y, además, se cumple que grador < gradoq. d ln a. a Si n, d a n n a + d a arctan. a a + d ln + a.. a n

2 s básicos s básicos Calcular Método + d. Vamos a aplicar el siguiente cambio de variables tan t d + tan tdt. Entonces cos t + y sen t + + d + tan t + tan tdt + tan t dt sec t dt cos t dt t + sent t + sen t cos t arctan + + s básicos s básicos Método + d + + d + d + d La primera integral es inmediata, pero la segunda la haremos por partes. + d }{{} + d u } {{ } }{{} u dv } {{ + } v + arctan } {{ + } v }{{} d du

3 s básicos s básicos Fórmulas de reducción Así pues, + d + d + d arctan + arctan arctan + + Caso general Aplicando el segundo método, se puede obtener lo siguiente: d I n a + n n 3 + a n a + n a n I n Fracciones simples Raíces reales simples Para realizar integrales de funciones racionales p q con gradop < gradoq, utilizamos el método de descomposición en fracciones simples. Atendiendo a las raíces del denominador q tendremos que introducir un tipo de fracción u otra. Si q sólo tiene raíces reales simples α, α,..., α n, entonces eisten A, A,... A N R tales que luego p q A α + A α + + p n q d i A i α i d, A n α n n A i ln α i i

4 Raíces reales múltiples Polinomios de o grado irreducibles simples Si q tiene raíces reales múltiples, por ejemplo, raíz β con multiplicidad n. En este caso se procede a la descomposición de p q en fracciones simples en la misma forma que en el caso anterior, pero con la particularidad que al factor β n le corresponderán los sumandos B β + B β + + B n β n, cuyas integrales son inmediatas. Si q tiene como factor un polinomio de segundo grado irreducible y simple, es decir, un factor de la forma a + b + c con b 4ac < 0, entonces le corresponderá una fracción simple de la forma M + N a + b + c. Cualquier polinomio de o grado mónico e irreducible puede escribirse como α + β. Los factores más habituales son de la forma a +. Polinomios de o grado irreducibles múltiples Raíces complejas múltiples Método Actuar como en el caso de raíces reales múltiples. Si el polinomio de segundo grado tiene multiplicidad n, se añaden a la descomposición las siguientes fracciones: M + N α + β + M + N α + β + + M n + N n α + β n. Método de Hermite Este método consiste en descomponer la función racional de la forma p A q, B donde B es un polinomio con las mismas raíces que q pero con una multiplicidad menos cada una. A es un polinomio de coeficientes indeterminados, cuyo grado es una unidad menos que B. C es la descomposición en fracciones simples correspondientes a las raíces de q consideradas todas como simples.

5 Cómo calcular los coeficientes indeterminados Calcular d A B M + N A + M 3 + A + B M + N + B + M N + B + N A A + B + M+N ++. A +++B +++M+N ++ Igualando coeficientes llegamos al siguiente sistema de ecuaciones { A + M B + M N A + B M + N 4 B + N A 5 cuya solución es A, B, M, N 3. Cómo calcular los coeficientes indeterminados Otro método muy utilizado sobre todo cuando hay muchas raíces reales, consiste en dar valores a la variable en ambos numeradores. Si, entonces 0 5B. Si 0, entonces 5 A + B + N. Si, entonces 35 0A + 0B + M + N. Si, entonces 8 A + B 4M + 4N. Este sistema suele ser más sencillo que el anterior. En cualquier caso, d d + d d. Las dos primeras integrales son inmediatas: d ln, d.

6 La tercera integral se calcula de la siguiente forma: d d + ++ d d. En resumen, ln arctan + ln + ln arctan +. Teorema Sea Rsen, cos una función racional en senos y cosenos. Podemos reducir su integral a una racional mediante el cambio de variables t tan/ En efecto, t tan/ d dt Rsen, cos d +t sen t cos t +t +t t R + t, t + t + t dt. Casos particulares Aunque el cambio anterior siempre es posible, en determinados casos es más sencillo realizar otros. a Si R es impar en seno, es decir, R sen, cos Rsen, cos, hacemos el cambio cos t. b Si R es impar en coseno, es decir, Rsen, cos Rsen, cos, hacemos el cambio sen t. c Si R es par en seno y coseno a la vez, es decir, R sen, cos Rsen, cos, hacemos el cambio tan t. Calcular la integral indefinida + cos + sen d. Como esta integral no posee simetría alguna, realizamos el cambio de variable general tan/ t, arc tg t, d dt, +t cos t, +t sen t, +t

7 Integrales con radicales de polinomios de grado Integrales con radicales de polinomios de grado con lo cual la integral se transforma en + cos + sen d + t + t +t + t dt ln + t +t ln + tan/. + t dt Son integrales del tipo m/n a + b R,, c + d p/q a + b,..., c + d r/s a + b c + d d donde R es una función racional en cada una de sus variables, a, b, c, d R tales que c, d 0, 0 y m, n, p, q,..., r, s Z \ {0}. Integrales con radicales de polinomios de grado Integrales con radicales de polinomios de grado Integrales con radicales de polinomios de grado Integrales con radicales de polinomios de grado Teorema Sea N m.c.m.n, q,..., s, es decir, el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces implicadas. El cambio de variables a + b c + d tn transforma la integral anterior en una del tipo racional. En efecto, basta tener en cuenta que el cambio de variables implica dtn b : f t, es decir, una función racional en t. a ctn Por lo tanto R, a+b c+d m/n, a+b c+d p/q,..., a+b r/s c+d d R f t, t Np/q, t Nr/s,..., t Nr/s f tdt. donde f t es, de nuevo, una función racional.

8 Integrales con radicales de polinomios de grado Integrales con radicales de polinomios de grado Calcular /3 + d. + Efectuamos el siguiente cambio de variables + t3 t3 +t 3 d 6t t 3 + dt Entonces /3 + d t + t 3 +t 3 6t t 3 + dt t 3 dt 3 8 t4 4/3. + Integrales abelianas Se trata de integrales del tipo R, a + b + c d. Estas integrales las podemos resolver de dos formas diferentes. Se trata de realizar un cambio de variables que la transforme en una integral de tipo racional. I Si a > 0, se hace el cambio a + b + c a + t. II Si c > 0, se hace el cambio a + b + c c + t. III Si a < 0 y c 0, se hace el cambio a + b + c t α, donde α es una raíz real de a + b + c

9 Cambios trigonométricos Cambios trigonométricos R, a b d. En este caso, vamos a realizar un cambio de variables trigonométrico que nos reduzca a una integral racional trigonométrica, que se resolverá mediante otro cambio de variables adecuado. Veamos los siguientes casos particulares. Realizamos el cambio b a sen t o b a cos t. R, b a d. Realizamos el cambio b a sec t. R, a + b d. Realizamos el cambio b a tan t. En el caso general, tenemos que completar cuadrados, es decir, escribir la función cuadrática de la forma a + b + c a A + B y en función de los signos de a y B, realizar el cambio trigonométrico adecuado. Calcular 4 d Realizaremos el cambio sen t, luego d cos t dt. d 4 4 sen t cos t dt 4 4 sen t 4 sen t dt sec t 4 dt tan t 4 tan t /4 4 / 4 4.