Ejercicios de Integrales resueltos

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1 Ejercicios de Integrales resueltos. Resuelve la integral: Ln Ln Llamemos I Ln u du Aplicamos partes: dv v I Ln t t 4 t t t 4 t t 4 t 4 4 4t 4 t t t A t B t A( t) B( t) A ; B 4 t t Ln t Ln t t C Deshaciendo los cambios de variable: I Ln 4 Ln Ln C I Ln 4 Ln C Ln Ln 4 Ln C

2 . Resuelve la integral: sen cos sen cos sen cos Sea I. Hacemos el cambio de variable: tg sen cos t entonces t ; sen t ; cos t t t con lo que la integral dada se transforma en: t t t t -t I t t t t +t t t t +t ò tt ( + )( + t) = = tt t t t Podemos descomponer en fracciones simples cada integrando es decir: tt t A t B t Mt N t Poniendo denominador común, obtenemos que: =At t Bt t Mt Ntt Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado obtenemos el siguiente resultado: A ; B ; M ; N Por otra parte tendremos: t t t Dt E t C Poniendo denominador común, obtenemos que: C t Dt Et Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado obtenemos el siguiente resultado: C ; D = ; E La integral original se puede descomponer como: é t + ù é -t ù I = = êò t ò t+ ò + t ú êò ë û ë t+ ò + t úû Ln t - Ln t + - Ln + t -arc. tagt - Ln t + + Ln + t - arc. tagt + C = = Ln t - Ln t + - arc. tagt + C Deshacemos el cambio de variable realizado, tg t, obteniendo: I Ln tg tg C

3 3. Resuelve la integral: 4 4 ( )( ) Utilizaremos el método de descomposición en fracciones simples: ( )( ) A B A( ) B( ) ( )( ) Igualando los numeradores: A( ) B( ), y dando a los valores de las raíces reales del denominador, se obtienen valores para A y B: B 4, A 4 Luego, aplicando propiedades elementales de integración: / 4 4 / 4 4 Log 4 Log C

4 4. Obtener una primitiva de la función: y Descomponiendo en fracciones simples: A B C D A( )( ) B( )( ) C ( ) D ( ) Resolvemos la ecuación anterior: Si 0 B B. Si 3 D D 3. Si CC. Si 6A 6 A Por lo tanto: Las integrales resultantes son inmediatas por lo que: 3 Ln Ln 3 Ln C, es decir: ò + - = - Ln + Ln + C + ( -) 3

5 5. Resuelve la integral: arc.tg Sea I arc.tg u arc.tg du. Tomamos partes: dv v I arc.tg. t t t t t t t t t t t t arc.tgt. Deshaciendo el cambio: t arc.tg C. Por lo tanto: I arc.tg arc.tg C arc.tg ( )arc.tg C

6 6. Resuelve la integral: I arc.tg ( ) Aplicando partes: I = u arc.tg du dv v ( ) I arc.tg ( ) Aplicamos el método de Hermite para resolver: Identificando coeficientes: ( ) : a b ( ) A B ( ) a( ) (a b) A B ( ) a( ) (a b) (A B)( ) 3 : 0= A : 0= a- a+ B B= a : 0=- b+ A b= 0 : = a+ B a= B= ( ) arc.tg C Sustituyendo estos valores resulta que: arc.tg arc.tg ( ) 4 4 arc.tg C

7 7. Resuelve la integral: I 3 4 Dividimos numerador y denominador por y reducimos al mismo índice: I t t 6 Hacemos el cambio: 6t 5 I 6t 5 t 4t t t 4 3 t3 6 t arc. tg(t) C 6 Deshaciendo el cambio: arc.tg( 6 ) C

8 8. Resuelve la integral: I 4 ( 4) 3 ( ) 4 Descomponiendo en fracciones simples: ( 4) 3 ( ) 4 ( 4) 3 ( ) A 4 B C D ( 4) ( 4) 3 4 A( 4) ( ) B( 4)( ) C( ) D( 4) 3 Dando a los valores de las raíces reales del denominador de la función racional original: Si 6 8D D ; si 4 6 C C 3 Por otra parte: A 3 D 3 0 A D A Dando a un valor cualquiera, por ejemplo 0, obtenemos: B 3 Sustituyendo estos valores: 4 ( 4) 3 ( ) 4 3 ( 4) 3 ( 4) 3 Integrales inmediatas todas ellas, por lo tanto: I Ln Ln C ( 4) 4 ( 4) 3 ( ) Ln C ( 4)

9 9. Resuelve la integral: I 3 3 t (t ) 3 Hacemos el cambio: 3 (t ) t I (t ) 3 t 3(t ) t t 3 4 (t 6 4t 4 4t ) 3t t 4 3 Deshaciendo el cambio: C 3 ( ) ( ) 4 3 C

10 0. Resuelve la integral: I 5 ( ) 3 ( )( 3) Descomponiendo 5 ( ) 3 ( )( 3) en fracciones simples: 5 ( ) 3 ( )( 3) A B C ( ) 3 ( ) ( ) D ( ) E ( 3) 5 A( )( 3) B( )( )( 3) C( ) ( )( 3) D( ) 3 ( 3) E( ) 3 ( ) Si 4 A A ; si 3 D D 3 Si 3 8E E 4 0 B C B 5 Si: 4 B C 3 C 4 Sustituyendo estos valores: I 5 ( ) 3 ( ) 4 5 ( ) 3 ( )( 3) 3 ( ) 5 ( ) ( ) 4 ( 3) Ln 3 C

11 . Resuelve la integral: I sen Ln( sen ) cos u Ln( sen ) du Tomando partes: sen dv sen v cos cos I cos Ln( sen ) sen cos Ahora bien: sen sen sen sen 3 sen cos sen 3 sen cos sen 3 Calculamos sen tg t sen. Hacemos el cambio: t 3 entonces: sen 3 t t 3 3 t t t = 3ò = 3 3 ò = ( t + ) + æ 3ö ( 4 t + ç ) +ç ç çè ø 4 = 3 3 ò = é ù ( ) + t + ê 3 ë úû ( t + ) 3 = 4 arc.tg + C = 3 t 3 arc.tg C 3 Deshaciendo los cambios y sustituyendo en I obtenemos: 3 sen t t t t I cos Ln( sen ) cos 3 arc.tg tg 3 C

12 . Resuelve la integral: I ( ) 3 Descomponemos en fracciones simples ( ) 3 : A B ( ) 3 C D E F ( ) ( ) (A B)( ) (C D)( ) E F Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 5 4 : = A : - = B 3 : 4 = 4A+ C : - 4= 4B+ D : 8 = 4A+ C+ E : - 4 = 4B + D+ F Su solución es: A, B, C 0, D 0, E 4, F 0 La integral quedará: I 4 ( ) 3 I Ln arc.tg ( ) C 4 ( ) 3

13 3. Resuelve la integral: I sen 5 cos sen3 Como las razones trigonométricas que aparecen en el integrando están referidas a ángulos distintos debemos pasar esta epresión a otra igual donde las razones trigonométricas estén referidas al mismo ángulo. Utilizamos para ello las fórmulas que relacionan productos con sumas de funciones trigonométricas: sen A cos B sen A B sen A B sen 5 cos sen 5 sen 5 sen3 sen sen sen cos sen3 sen sen cos cos sen sen cos sen 3 sen cos 3sen cos sen 3 3sen sen sen 3 sen 3 4sen Sustituyendo estos valores en la integral dada obtenemos: I sen 3 sen sen3 sen sen3 I sen sen cos sen 3 sen 3 4sen cos 3 4sen sen t cos 3 4t 3 t 3 t 3 u 3 du du 3 u Descomponemos en fracciones simples u : A u u B u A u B u A, B Por lo tanto: du 3 u 3 Ln u 3 Ln u C 3 Ln u u C Deshaciendo cambios: I 3 t Ln 3 3 t C 3 sen Ln 3 3 sen C

14 por lo que: I 4 3 Ln 3 sen 3 sen C

15 4. Resuelve la integral: I Puesto que el denominador presenta raíces complejas múltiples, aplicamos el método de Hermite para resolver la integral: a b d a a b A a b A a A M N M N M N Por lo tanto: a a b A M N Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 4 : 0 = A M 3 : 0 amn : a b 4A N M : 0 a b N M : a 4A N Su solución es: a, b 6, A 9, M 9, N 5 36 Llevamos estos valores a la integral y resulta: I Finalmente resolvemos las integrales inmediatas y obtenemos: I 9 Ln 9 Ln 5 7 arc.tg C

16 5. Resuelve la integral: I senu Hacemos el cambio 4 con lo que: 3 cosudu 3 I 4 6 6sen u 3 cosudu 35 cos 3 ucosu 4 6 sen 6 4 du sen 6 u u 3 Dividiendo por cos 6 u nos queda: I 35 4 tg u t cos u du tg 6 u du cos u 4 t t 5 C 35 Para deshacer los cambios hemos de tener en cuenta: senu 3 4 cosu ; tgu C

17 6. Resuelve la integral: I th th - e -e üï sh = - e e Teniendo en cuenta: ï - th - = - e + e e + e ch = ï ïï - e -e th e e e e + e - ò = = = th ò e -e ò e ò ò e + - e + e ò th e - = + + C + th 4

18 7. Resuelve la integral: I ì ü 3 + = t I = ï ï ò = í = ( ) =- ïî t ï -3t - -3t 3 = t t t ò =- 4 ò æö æ 3tö æ 3tö 9t - 6t+ 4-t ç èø t çè ø èç ø t 4-3t I =- ò 45t - 4t+ -3t Sea I = ò integral irracional, por lo tanto: 45t - 4t+ ( a 45t ) 4t -3t m = t t t t t a 90t-4 m = t 8t 5 45t 4t 45t 4t 8-3t= a( 45t- 7 ) + m a=-, m=. Por lo tanto, sustituyendo estos valores, nos queda: I =- 45t - 4t ò 45t - 4t+ Sea I = ò 45t - 4t+ æ ö -4 b b ac Teniendo en cuenta: a + b + c = ç a + - çè a ø 4a ì 45t -7 ü u 45 = I = ï ï ò = ò = í æ 7 ö 4 æ45t 7ö - 45t = du ç ç ïî 45 è ø è ø ï

19 I ì ü du u du = senv I = ï ï ò = ò = í u - 45 u - -cos v du = dv ïî sen v ï -cosvsenv dv = ò dv=- 45 ò = sen v - 45 senv ( ) ì cos v z senv z ü = = - Hacemos el cambio ï í ï dz, con lo que I dv =- se transforma ïî - z ï dz en : I = ò. Descomponiendo ésta en fracciones simples: 45 - z I = ò 45 dz + 45 dz =- 45 Ln - z z z + 45 Ln + z + - ò + C + z = Ln + C 45 - z Para hallar I es necesario deshacer todos los cambios de variable efectuados durante el desarrollo del problema. + cosv + -sen v I = Ln + C = Ln + C = 45 -cosv sen v + - u u+ u - = Ln + C = Ln + C = u u- u - ( ) = = Ln u u C Ln u u C t- æ t ö 45 4 ç I =- t - t+ + Ln + ç - + C çè ø I =- I = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( + ) Ln + C

20 8. Resuelve la integral: I Integral irracional, por lo tanto: a ' m a m a m a, m por lo que la integral dada se transforma en: ì + = tgt ü + tg t I = ï ï ò = í = = = ( ) = ( + tg t) ò ò + + ï ï cost î cost sent u cost u du u u Descomponiendo esta última integral en fracciones simples obtenemos: u u u Ln u u C Deshaciendo los cambios de variable realizados en el proceso: I Ln sent sent C Ln Ln C C Ln C I = Ln C

21 9. Resuelve la integral: I 34 4 Puesto que el denominador presenta raíces complejas múltiples, aplicamos el método de Hermite para resolver la integral a b A M N a d a b A M N = a + a-a - b + A + A + A+ M + M N 3 N Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 4 : 3 = A M 3 : 0 an : 4 b A M : a N : A Su solución es: a, b 0, A, M, N En consecuencia: I I Ln Ln arc.tg C

22 0. Resuelve la integral: I arc.cos ì u= arc.cos du= Aplicamos partes: ï í 3 dv = v = ïî ü ï ï Para calcular 3 I 3 3 arc.cos 3 3 aplicamos un cambio de variable: ì t t ü - = = - ï í ï t - = ïî -t ï 3 ( -t ) ò ò ò ( ) 3 3 t t =- =- - t = - t + C - t -t 3 Deshaciendo el cambio de variable: 3 3 C 3 3 C Luego: arc.cos 3 3 C 3 arc.cos 9 C

23 . Resuelve la integral: I Ln(a ) ì ü u Ln( a ) du Aplicamos partes: = + = a í ï + ï dv = v = ïî ï I Ln(a ) a Luego: a a a a a a arc.tg a C Ln(a ) Ln(a ) a arc.tg C a Luego: a I Ln(a ) a a a a a a arc.tg a C Ln(a ) Ln(a ) a arc.tg C a

24 . Resuelve la integral: I 3 ( ) Puesto que el denominador presenta raíces complejas múltiples, aplicamos el método de Hermite para resolver la integral: 3 ( ) d m 3 n p q A M N 3m n p m 3 n p q 4 A M N 3m n p m 3 n p q A M N 3 Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 6 : 0 A M 5 : 0 N m 4 : 0 = A M n 3 : 0 N m 3p : A 4q : 0 p : q Su solución es: A 5, M 5, N 0, m 0, n 5, p 0, q La integral quedará: 3 ( ) 3 ( ) Ln 5 Ln C

25 3. Resuelve la integral: I Puesto que el denominador presenta raíces complejas múltiples, aplicamos el método de Hermite para resolver la integral: d a 3 b c d A B Derivando y quitando denominadores, llegamos a: A 5 B a 4 A b b 4d A c B 3 3a 3c B Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 5 : A 4 : 0 = B a 3 : 4 A b : 0 3a 3c B : 7 b 4d A : 4 c B Su solución es: A, B 3, a 3, b, c 5, d La integral quedará: Finalmente: I I Ln 3 arc.tg C

26 4. Resuelve la integral: I 3 5 Descomponiendo en fracciones simples el integrando: 3 A 5 B C D E A 4 B 3 C D E Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 4 : 0 = A 3 : 4A B : 6A 3B C : 4A3BCD : A B C D E Su solución es: A 0, B, C 4, D 6, E 4 La integral quedará: Luego: C

27 5. Resuelve la integral: I sen cos Multiplicamos y dividimos por cos con lo que la integral dada resulta: cos I cos sen cos. Aplicando partes en esta integral: I cos cos sen u du cos cos cos v sen cos v sen cos sen cos cos cos sen cos tg C

28 6. Resuelve la integral: I sen cos 4 La integral dada la podemos poner como: I sen cos 4 sen cos.cos Utilizando las razones trigonométricas: üï sen = sen cos ï ïï -cos sen = ï La integral dada se transforma en: ïïïï + cos cos = ï ï I 4 cos sen 8 sen sen cos 3 é-cos4 ù é sen4 sen ( sen ) cos ù = C 8ò + = êë úû 6ê 4 3 ú ë û

29 7. Resuelve la integral: I Puesto que el denominador presenta raíces complejas múltiples, aplicamos el método de Hermite para resolver la integral: d a b A M N Derivando y quitando denominadores, llegamos a: ( ) A M M N N = a 3 a a 3 b Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 4 : = A+ M 3 : - = N-a : 3 = A- b+ M : - = N+ a : = A Su solución es: A, M 0, N, a 0, b La integral quedará: I Ln arc.tg C

30 8. Resuelve la integral: I cos 3 sen 3 sen sen Hacemos el cambio de variable: sen t cos Hemos de tener en cuenta que: cos 3 cos cos sen cos t t La integral dada se transforma en: I t 3 t t t tt t Descomponiendo la última integral en fracciones simples: t tt t A t bt c t t t At t bt ct Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: t : - = A+ b t : 0 = A+ c : = A Su solución es: A, b, c La integral quedará: -t - I = ò + Ln t Ln t t C t ò = t + t+ Deshaciendo el cambio de variable que hemos realizado: cos 3 sen 3 sen sen sen Ln sen sen C

31 9. Resuelve la integral: I cos sen 4 Para resolver la integral vamos a utilizar diferentes razones trigonométricas: cos cos I cos sen 4 sen 4 sen 4 cos sen cos y sen y sen y sen 4 cos sen 6 sen. Sustituyendo en la integral: Por lo tanto: I sen 4 sen sen I cos4 4 4 sen6 6 4 sen C

32 30. Resuelve la integral: I sen sen 3 sen 4 Para resolver la integral vamos a utilizar diferentes razones trigonométricas: sen a senb cosa b cos a b sen sen 3 Por lo tanto: I cos 3 cos cos 5 sen a cosb sena b cos 3 cos cos 5 sen 4 cos sen 4 sen a b cos5 sen 4 sen 4 cos sen5 sen3 sen 4 cos5 sen9 sen cos sen 4 cos5 sen 4 sen5 sen 9 sen sen3 5 cos5 3 cos3 C 9 cos 9 cos C En consecuencia: I cos5 0 cos3 6 cos9 8 cos C

33 3. Resuelve la integral: I senln cos Ln u senln du Aplicamos partes: dv v 3 3 I cosln 3 cosln 3 3 I 3 senln 3 I senln 3 I 3 senln 3 3 cosln senln u cosln du dv v 3 3 senln 9 3 cosln 9 I 9 3 cosln C 33 sen Ln 0 3 cos Ln C

34 3. Resuelve la integral: I cos sen Teniendo en cuenta que: cos sen cos, la integral dada se transforma en: I. cos Hacemos el cambio: sen t cos t cos I t t t Descomponiendo el integrando de esta integral en fracciones simples: A t t B t A, B Luego: I = ò + =- Ln - t + Ln + t + C - t ò + t Deshaciendo el cambio de variable que hemos realizado: I Ln sen sen C

35 33. Resuelve la integral: I = ò - ( + + ) ( -) El denominador presenta raíces complejas múltiples, por lo tanto aplicamos el método de Hermite para resolver la integral: é ù - d a+ b A M+ N = ê ú ë û ( ) ( ) ê( + + ) ( ) ( ) ( + + ) -( + )( + ) ( ) - a a b A M+ N = Si ponemos el denominador común obtenemos: a b a ba b A M N Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, llegamos al sistema lineal: 4 : 0 = A+ M 3 : 0 = A+ N : 0 =- a+ 3A : =- b+ A-M : - = a- b+ A-N Su solución es: A=-, M =, N =, a=-, b= La integral quedará: I = ò - 9ò + + Ln C = = ò ò ò ò Ln C

36 arc.tg C Sustituyendo estos valores de las diferentes integrales, llegamos a: æ + ö I = - Ln - + Ln arc.tg C çè 3 ø

37 34. Resuelve la integral: I 5 Integral del tipo irracional por lo tanto: 5 d a 5 m 5 5 a 5 m 5 a a m a, m Con lo cual: I 5 5 Teniendo en cuenta que: si a 0 a b b c a b 4ac a 4a 5 4 arc.sen C En consecuencia: æ- ö I = arc.sen ç + C çè ø

38 35. Resuelve la integral: I sen cos 4cos t cos sen t Realizamos el cambio de variable: t I t t 4t 4 t 4 t 4 4t 4t 4 4t 4t C t 4 t arc.tg t 8 C I 4 cos 8 arc.tg cos C

39 36. Resuelve la integral: I arc.sen u arc.sen Aplicando partes: du dv v I arc.sen I t t t t t t t t Por lo tanto: I t t I arc.sen t t arc.tgt C arc.tg C

40 37. Resuelve la integral: I sen 5cos t tg t sen t, cos t Haciendo el cambio: t t t I = + t ò = 5 + t ò - ( + t )( t -4) + t Descomponiendo en fracciones simples esta ultima integral: t t t 4 t At t A Bt t B t Mt N t t Mt N t t si t 4 A 4 5 A 5 si t=- 4= B ( -4) 5 B=- 5 si t 0 0 A B 4N N 5 si t= = 6A-B- 3( M + N) M = 0 Sustituyendo estos valores, obtenemos: I 5 t 5 t 5 t 5 Ln t t 5 arc.tgt C Deshaciendo el cambio: tg- I = Ln + + C 5 tg + 5

41 38. Resuelve la integral: I sen cos cos t sen t Hacemos el cambio de variable: t I t t t t t t t t A t t t t B t C t D t At t Bt t Ct t t Dt t si t A A si t B B si t 0 D D si t A 4B 6C 3D C 0 Con estos valores: I t t t I Ln t Lnt t C Deshaciendo el cambio: I Lncos Lncos cos C

42 39. Resuelve la integral: 3 I t 6 t6 Haciendo el cambio: 3t 5 t 6 t 4 I 3t 5 3 t t 9 t 5 t 3 Como el polinomio numerador es t 3 de grado mayor al polinomio denominador dividimos y obtenemos: I 3 t 8 t 6 t 5 t 3 t 3 t t 3 Ahora bien: t 3 t t t. Descomponiendo en fracciones simples la última integral: t t 3 A t Mt N t t At t Mt N t 3 t Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, obtenemos el siguiente sistema lineal: t : A M t : 0AMN : A N Su solución es: A 3, M 3, N 3 Por lo tanto, tenemos: t t 3 3 t 3 t t t t - = Ln t ò + = t - t+ ò t - t+ = ò t - t+ Ln t Ln t t Teniendo en cuenta que: a b c a b a b 4ac 4a si a 0

43 t t t arc.tg t C t I t9 6 3t7 7 t t4 t 3 3t Lnt Ln t t Deshaciendo el cambio: I Ln t 3arc.tg C 3 Ln arc.tg 3 6 C

44 40. Resuelve la integral: I tg tg 3 cos tg t Hacemos el cambio: cos I t t 3 Descomponiendo en fracciones simples: t t 3 t Mt N t t t At t Mt N A t Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado, obtenemos el siguiente sistema lineal: t : A M t : 0AMN : A N Su solución es: A, M 0, N Por lo tanto, tenemos: I t Lnt t t t t Teniendo en cuenta que: a b c a b a b 4ac 4a si a 0 t t t t arc.tg t C I Lnt t arc.tg C 3 3 Deshaciendo el cambio: I Ln tg tg arc.tg C 3 3

45 4. Resuelve la integral: I e sen u e du e Aplicamos partes: dv sen v cos I e cos e cos u e du e dv cos v sen I e cos e sen 4I I e cos e sen 5 C