2 Métodos de solución de ED de primer orden
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- José María Cabrera Duarte
- hace 7 años
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1 CAPÍTULO Métodos de solución de E de primer orden.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas Al tratar con polinomios de más de una variable, se define el grado de cada término como la suma de los grados de sus variables.. Consideremos la función de dos variables, : F.; / C 4. Observamos que: a. Todos los términos tienen el mismo grado. b. Si multiplicamos ambas variables por el mismo factor t es posible factorizar t, es decir: F.t; t/.t/.t/.t/.t/ C 4.t/ t t C 4t t. C 4 / t F.; / : c. Es posible factorizar : ] F.; / C 4 [ C 4 F ; : d. Es posible factorizar : F.; / C 4 [ ] C 4 F ; :. Sea ahora la función de dos variables, : G.; / C 4 C 4. Observamos que: a. Los términos del polinomio dentro de la raíz cúbica tienen el mismo grado.. canek.azc.uam.m: / 9/ 00
2 Ecuaciones diferenciales ordinarias b. Si multiplicamos ambas variables por el mismo factor t es posible factorizar t, es decir: G.t; t/.t/.t/.t/.t/ C 4.t/ t t C 4t c. Es posible factorizar : G.; / G ; : d. Es posible factorizar : t. C 4 / p t C 4 tg.; / : ] C 4 [ C 4 [ G.; / C 4 G ; : La siguiente definición generaliza las propiedades antes referidas: ] C 4 C 4 C 4 Una funcion F.; / es una función homogénea de grado n si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:. F.t; t/ t n F.; /.. F.; / n F ;.. F.; / n F ;. e acuerdo a esta definición tenemos que: La función F.; / C 4 es homogénea de grado. La función G.; / C 4 es homogénea de grado. Para demostrar que una función de dos variables es homogénea de grado n sólo es necesario demostrar una de las condiciones anteriores. Se acostumbra demostrar la primera condición. Ejemplo.5. Comprobar que la función.; / 5 C sea homogénea..t; t/ 5.t/ C.t/.t/ 5 t C t 5 t. C / 5p t 5 C t 5 5 C t 5.; / : Vemos que.; / es una función homogénea de dos variables de grado n 5. Ejemplo.5. Verificar que la función K.; / cos C sen sea homogénea de grado 0.
3 .5 Ecuaciones diferenciales homogéneas [.t/ K.t; t/ cos.t/ cos ] C sen C sen [ ].t/ t t cos C sen.t/ t t K.; / t 0 K.; / : Ejemplo.5. Comprobar que.; / C no es una función homogénea. Vamos a suponer que.; / es homogénea, es decir, que cumple con: Estamos suponiendo entonces que.t; t/ t n.; /; para todo t; & R; para algún n : Evaluando de manera arbitraria en, : Evaluando para t 0: t C t t n. C /: t t n : 0 : El resultado anterior proporciona una contradicción. Por lo que tiene que ser falso lo que hemos supuesto. Se conclue entonces que.; / no es homogénea. La ecuación diferencial M.; / d C N.; / d 0 : es homogénea si ambas funciones M.; / N.; / son homogéneas del mismo grado n. Ejemplo.5.4 Verificar que la ecuación diferencial. / d C. C / d 0 sea homogénea de grado. M.; / es una función homogénea de grado. N.; / C es una función homogénea de grado. Ambas funciones son homogéneas del mismo grado. Por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea. Ejemplo.5.5 Comprobar que la ecuación diferencial. / d C. C C 7/ d 0 no es homogénea. M.; / es una función homogénea de grado. N.; / C C 7 no es una función homogénea. Sólo una de las funciones M.; / & N.; / es homogénea. Por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea.
4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo.5.6 eterminar si la siguiente ecuación diferencial. / d C. / d 0 es homogénea. En este caso: M.; / es una función homogénea de grado. N.; / es una función homogénea de grado. Ambas funciones son homogéneas pero de grado diferente. Por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea..5. Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas Presentamos dos procedimientos para resolver las ecuaciones diferenciales homogéneas M.; / d C N.; / d 0 : Ambos procedimientos consisten en un conjunto de pasos para obtener una ecuación diferencial de variables separables. Primer procedimiento. Considerando que la variable independiente es, se despeja d d : M.; / d C N.; / d 0 N.; / d M.; / d d d M.; / I donde N.; / 0 : N.; / Puesto que ambas funciones M.; /, N.; / son homogéneas del mismo grado n, podemos factorizar n la variable independiente es en el numerador en el denominador: d d n M ; M ; n N ; N ; :. acemos el cambio de variable u, despejamos : erivamos con respecto a : Sustituimos en.: u u : d d d d.u/ u d du./ C d d u C du d : u C du M.; u/ d N.; u/ du M.; u/ u : d N.; u/ Por depender sólo de la nueva variable u, el miembro derecho de la ecuación diferencial, se puede M.; u/ considerar como u k.u/ obtenemos: N.; u/ du d k.u/ : Ésta es a una ecuación diferencial de variables separables. du k.u/ d : Para obtener la solución de esta ecuación diferencial se integran ambos miembros de la epresión. Posteriormente se sustitue u se obtiene la solución general de la ecuación diferencial homogénea original M.; / d C N.; / d 0, considerando a como variable independiente.
5 .5 Ecuaciones diferenciales homogéneas 5 Ejemplo.5.7 Resolver la ecuación diferencial. / d C. C / d 0. Primero se despeja d considerando que la variable independiente es : d. / d C. C / d 0. C / d. / d d. / d C C : Se factoriza, la variable independiente, tanto del numerador como del denominador: d d C C :. C Se efectúa el cambio de variable u, posteriormente se despeja : u u : erivando con respecto a : Sustituendo en.: d d d du.u/ u C d d : e esta manera se obtiene: Separando variables: Integrando: u C u C du u C du d u u C du d u u C d u u u u C u.u / u.u C / u C u u C.u C / u C u C u C : du d u C u C : u C u C du d : udu u C C du u C d ln.u C / C arctan u C C ln C C ln.u C / C arctan u ln C CI utilizando u, se obtiene: ln C C arctan ln C C ; que es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada que puede ser epresada como ln. C / C arctan C:
6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Segundo procedimiento. Considerando que la variable independiente es, se despeja d d : M.; / d C N.; / d 0 M.; / d N.; / d d d N.; / M.; / : Puesto que ambas funciones M.; /, N.; / son homogéneas del mismo grado n, se puede factorizar n la variable independiente es en el numerador en el denominador: d d nn ; N ; :. n M ; M ; Se hace el cambio de variable u ; luego se despeja : erivando con respecto a : Sustituimos en.: u u : d d d d.u/ u d du./ C d d u C du d : u C du d N.u; / M.u; / du N.u; / d M.u; / Por depender sólo de la nueva variable u el miembro derecho del la ecuación diferencial, se puede N.u; / considerar como u h.u/ se obtiene: M.u; / du d h.u/ : Esta última epresión es a una ecuación diferencial de variables separables. du h.u/ d : Para obtener la solución de esta ecuación diferencial se integran ambos miembros de la epresión. Posteriormente se utiliza u se obtiene de esta manera la solución general de la ecuación diferencial homogénea original M.; / d C N.; / d 0, considerando a como la variable indepen- diente. Ejemplo.5.8 Resolver la ecuación diferencial. / d C. C / d 0. Esta ecuación diferencial se resolvió anteriormente por medio del primer procedimiento. Considerando que la variable independiente es, se despeja d d :. / d C. C / d 0. / d. C / d d d u: C C. / C :
7 .5 Ecuaciones diferenciales homogéneas 7 Se factoriza la variable independiente tanto del numerador como del denominador: Se hace el cambio de variable se despeja : d d C C C :.4 u u : erivando con respecto a : Se sustitue en.4: d d d du.u/ u C d d ; u C du d C u u du d C u u u. C u/ u. u/ u C u u C u u C u u : e esta forma se obtiene una E de variables separables: du d C u u : Separando variables e integrando: u C u du d u C u du d du C u udu d C u : Calculando las integrales se obtiene: arctan u ln. C u / C C ln C C arctan u ln. C u / ln C CI ahora utilizamos u : arctan ln C ln C C; que es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada que puede epresarse como arctan ln. C / C: Ejemplo.5.9 Obtener la solución general de la siguiente E 0 C ; con > 0. Considerando a como la variable independiente, se despeja d d : d d C :
8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias Factorizando la variable independiente tanto del numerador como del denominador: Se efectúa el cambio de variable: d d j j d d de donde, derivando con respecto a : Sustituendo en.5: dw d C w p Separando variables e integrando dw p d w dw p C p C C C C :.5 w w; d d d dw.w/ d d C w: w C w dw d p w : d w arcsen w C C ln C C arcsen w ln C C arcsen w ln C ln C arcsen w ln.c/: emos usado C ln C. e donde w senœln.c/ : Pero w, entonces senœln.c/ senœln.c/ es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada. Ejemplo.5.0 Obtener la solución general de la E. C C / d. C / d 0. Considerando a como la variable independiente, se despeja d d :. C / d. C C / d d d C C : C Factorizando variable independiente tanto del numerador como del denominador: d C C d C C C :.6 C Efectuando el cambio de variable derivando con respecto a : w w d d dw d C w:
9 .5 Ecuaciones diferenciales homogéneas 9 Sustituendo en.6: dw d C w C w C w C w dw d C w C w C w dw d w C w C : w C w C w w w C w Separamos variables e integramos: w C d dw w C w w C dw C dw d w C ln.w C / C arctan w C C ln C C ln.w C / C arctan w ln C C: Pero w. Entonces: ln C C arctan ln C C ln C ln C arctan C ln. C / ln ln C arctan C ln. C / ln C arctan C ln. C / ln C arctan C ln C C arctan C: Esta última epresión es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada. Ejemplo.5. Obtener la solución general de la E 4 C. / 0 0. En esta E se puede despejar fácilmente d, es decir, considerar a como la variable independiente: d. / d d 4 d d 4 : Factorizando variable independiente tanto del numerador como del denominador: d d 4 4 Efectuando el cambio de variable derivando con respecto a : Sustituendo en.7: e donde: du d 4u u u u d d du d C u: u du d C u 4u u : 4u u C u u :.7 du d u C u : u Esta última epresión es una E de variables separables. Separando variables se obtiene: u u C u du d :
10 0 Ecuaciones diferenciales ordinarias Integrando mediante fracciones parciales el miembro izquierdo de la ecuación: u C d.u C /.u / du 5 du 4 u C C du d 4 u Multiplicando por 4 usando C 4C & C ln C : 5 4 ln.u C / C 4 ln.u / C C ln C C 5 4 ln.u C / C ln.u / ln C C: 4 5 ln.u C / C ln.u / 4 ln C C ln.u / ln.u C / 5 ln 4 C ln C [ ] u ln ln.c 4 / u.u C / 5.u C / 5 C4 Pero u, entonces: C 4 C 5 u C 4.u C / 5 : C 5 C 4 5. C /5 C C. C / 5 I 5 que es la solución general de la ecuación diferencial dada. Ejemplo.5. Obtener la solución general del PVI Separando en dos fracciones: Realizando el cambio de variable derivando con respecto a : Sustituendo en.8 simplificando, se obtiene: d C cos d, con./ 4. d d C cos :.8 w w d d dw d C w: dw d C w w C cos w dw d cos w; que es una E de variables separables. Separando variables e integrando: dw cos w d d sec w dw tan w ln C C: Pero w, entonces: tan ln C C: Considerando la condición inicial./ 4, tenemos: tan ln C C C ; 4 a que tan ; 4
11 .5 Ecuaciones diferenciales homogéneas por lo tanto: tan ln C ln C ln e ln.e/ arctanœln.e/ arctanœln.e/ ; que es la solución de la E con la condición./ 4. Ejemplo.5. Obtener la solución general del PVI d C.ln ln / d 0I con./ e. Vamos a resolver este PVI por dos procedimientos:. Considerando a como la variable independiente, se despeja d d :.ln ln /d d d d.ln ln / : Factorizando tanto del numerador como del numerador: d d ln C ln ln C ln e ln d d ln e ln e :.9 aciendo el cambio de variable derivando con respecto a : Sustituendo en.9: u u d d du d C u: du d C u u ln eu u C ln u du d du d u C ln u u ln u C ln u : u u u u ln u C ln u Esta última epresión es una E de variable separables. Separando variables e integrando: C ln u u ln u du d du du d u ln u C u ln.ln u/ C ln u ln C C ln.ln u/ C ln u C ln C ln.u ln u/ C: Pero u, entonces: [ ln ] [ ln C ln ln ] C: Considerando la condición inicial./ e: [ ln e ln e ] C C : Por lo que [ ln ln ] ln e; es la solución de la E con./ e.
12 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Otro procedimiento es considerar a como la variable independiente despejar entonces d d : d.ln ln / d d d.ln ln / d d [ ] ln :.0 Considerando que w, despejando derivando con respecto a : w w d d dw d C w: Sustituendo en la E.0: dw d C w w.ln w / dw d separamos variables e integramos: dw w ln w d Pero w, entonces: dw w ln w d ln. ln w/ C ln w C: w ln w C w w dw d w ln w; ln.ln w/ ln C C ln.ln w/ C ln C ln C: Considerando la condición inicial./ e: C e ln e.ln e ln e/ e.0 / e C e: Por lo tanto, la solución del PVI es ln e: Ejercicios.5. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Soluciones en la página 4 Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales.. d C. / d 0... t C r/ dt C.7t 4r/ dr 0... / d C. C 5/ d d C. / d d d 6. C. d d C. 7. d. C / d. 8.. C / 0 C C / d.4 C / d sen C sen / d. C 4 / d.. d d ; con./.. 0 arctan C arctan.
13 .5 Ecuaciones diferenciales homogéneas 4. d C.ln ln / d 0; con./ e. d 5. C e. d 6. 0.ln ln / C.ln ln /. 7.. / d. C / d; con. / C e ; con./ C / d. / d; con./ d.ln ln / d; con./.
14 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejercicios.5. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Página... ln j j C C.» t t p ln 8 C 4 C r r 4 ln t t 4r p 6 arctan C. 5. C p C C. 6. C.» 5 p 6 ln 5 p! r 4r C p ln r C C. r C 6 ln C C. 5. arctan e. 4. ln ln p C C C. 7.. /e C C C e C. 0. sen. C C. C 4 /.. ln C 8. 4 ln C C. 5.. /e C ln C. 6. ln ln C C e ln C. 9. arctan ln. p C /. 0. ee.
2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas
.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas 59.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas Al tratar con polinomios de más de una variable, se define el grado de cada término como la suma de los grados de sus variables..
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