70 Ecuaciones diferenciales. ln e/ D e.0 1/ D e ) C D e: D e: y. y ln. 11..x 2 8xy 4y 2 / dy D.x 2 C 2xy 4y 2 / dx.

Transcripción

1 70 Ecuaciones diferenciales Considerando la condición inicial.1/ D e: ( ) 1 C D e ln D e.ln 1 e ln e/ D e.0 1/ D e ) C D e: Por lo tanto, la solución del PVI es ln ( ) x D e: Ejercicios Ecuaciones diferenciales homogéneas. Soluciones en la página 459 Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales. 1. x dx C. 2x/ d D t C r/ dt C.7t 4r/ dr D x / dx C. 3x C 5/ d D x dx C.x 2 2 / d D x d dx 6. D x 2 C 2. d dx D 1 2 x C x. 7. x d D. 2 x C x 2 / dx. 8..x 2 C 2 / 0 C x D C 3x/ dx D.4x 2 C x/ d. 10. x 0 sen 2 D x C sen 2. x x 11..x 2 8x 4 2 / d D.x 2 C 2x 4 2 / dx. 12. x 2 d dx D 3 x 3 I con.1/ D x 0 arctan C x D arctan. x x 14. dx C x.ln x ln 1/ d D 0; con.1/ D e. dx 15. x C 2 x e D x 2. d 16. x 0.ln ln x/ C x D.ln ln x/. 17..x / d D.x C / dx; con. 1/ D x 0 C xe x D ; con.1/ D x C 3/ d D.x / dx; con.1/ D dx D x.ln x ln / d; con x.1/ D Ecuaciones diferenciales exactas Antes de abordar este tema, sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobre algunos conocimientos básicos necesarios del cálculo de varias variables. Ahí se define la diferencial exacta o total de una función de dos variables f.x; / de la siguiente manera: Comenzamos entonces con una definición básica. df D dx C d : Una expresión M.x; / dx C N.x; / d D 0 es una ecuación diferencial exacta si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: 1. M.x; / dx C N.x; / d es la diferencial exacta de una función f. 2. Existe una función f.x; / tal que df D dx C d D M.x; / dx C N.x; / d. 3. Existe una función f.x; / tal que D M.x; / & D N.x; /.

2 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 71 Si M.x; / dx C N.x; / d D 0 es una ecuación diferencial exacta, entonces se puede expresar como df.x; / D 0 para alguna función f.x; /, por lo que donde C es una constante arbitraria. df.x; / D 0, f.x; / D C ; Diremos entonces que f.x; / D C, con C 2 R, es la solución general del la ecuación diferencial exacta M.x; / dx C N.x; / d D 0. Ejemplo Mostrar que la ED.3x 2 / dx C.3 2 x/ d D 0 es exacta que tiene por solución general x 3 x C 3 D C. En efecto, Luego entonces: Por lo que: f.x; / D x 3 x C 3 ) D 3x2 & D x C 32 : df D dx C d D.3x2 / dx C.3 2 x/ d :.3x 2 / dx C.3 2 x/ d D 0 es una ecuación diferencial exacta. Su solución general es f.x; / D C. Esto es: x 3 x C 3 D C : Ejemplo Mostrar que la ED.sen C sen x/ dxc.x cos general x sen cos x D C. cos x/ d D 0 es exacta que tiene por solución En efecto, f.x; / D x sen cos x ) D sen C sen x & D x cos cos x : Luego entonces: df D dx C d D.sen C sen x/ dx C.x cos cos x/ d D 0 es una ED exacta : Su solución general es f.x; / D C. Esto es: x sen cos x D C : En los dos ejemplos anteriores, sí se conocen la ED la solución general f.x; / D C. La ED conocida es la ecuación diferencial exacta df.x; / D 0. Sin embargo, usualmente no sucede así. Generalmente, sólo tenemos la ED buscamos su solución. Por lo tanto: 1. Qué hacer cuando no se conoce la función f.x; /, solución de la ecuación diferencial? 2. Cómo identificar si una ecuación en su forma diferencial es exacta? 3. Y una vez identificada, cómo calcular o determinar la función f.x; /, solución de la ecuación diferencial?

3 72 Ecuaciones diferenciales Las respuestas a estas preguntas se ven a continuación: Teorema 2.1 Si M.x; /, N.x; son funciones continuas en una región rectangular { } R D.x; / 2 R 2 a < x < b & < < ˇ ; entonces: en cada punto.x; / 2 R. Lo anterior es equivalente a este otro teorema: M.x; / dx C N.x; / d D 0 es exacta si sólo ; Teorema 2.2 Si M.x; /, N.x; son funciones continuas en una región rectangular { } R D.x; / 2 R 2 a < x < b & c < < d ; entonces existe f.x; / tal que en cada punto.x; / 2 R. D M.x; / & D N.x; / si sólo Vamos a dar un esbozo de la demostración de este teorema. ) ) Si existe f.x; / tal que En efecto D M.x; / También D M.x; / & D N.x; /, D N.x; M.x; / D f x D f x N.x; / D f D f x : Pero f x D f x, por las condiciones de continuidad de la hipótesis del teorema. Por lo : Esta igualdad es la que nos permite identificar a una ED exacta. ( ) entonces existe f.x; / tal que D M.x; / & D N.x; /. Para demostrar la existencia de la función f.x; /, debemos construirla de tal manera que cumpla con las condiciones D M.x; / & D N.x; /. Partiendo de la primera condición D M.x; / e integrando con respecto a x: dx D M.x; / dx ) f.x; / D M.x; / dx D P.x; / C h./; (2.30)

4 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 73 P.x; / D M.x; / & h./ es la constante de integración, que en este caso debe ser una función únicamente de. Derivando respecto a esta función f.x; /: Al utilizar la segunda condición ŒP.x; / C h./ D P.x; / C h 0./: D N.x; /: D N.x; /, P.x; / C h 0./ D N.x; /, h 0./ D N.x; / P.x; /; de donde, integrando con respecto a : [ h./ D N.x; / P.x; / ] d: Finalmente sustituimos h./ en (2.30), con lo que obtenemos f.x; / D P.x; / C [ N.x; / P.x; / ] d: que es la función buscada. El desarrollo anterior es precisamente el procedimiento que debemos seguir para la obtención de la función f.x; /. Comentarios a la demostración: 1. Para la obtención de h./, integramos con respecto a la expresión de h 0./: h 0./ D N.x; / P.x; /: Al efectuar la integración supusimos que h 0./ sólo depende de. Comprobemos que esto, en efecto, es cierto. Vamos a verificar que no depende de x demostrando h 0./ D 0. h 0./ D N.x; / D N.x; / D N.x; / D N.x; / P.x; / x M.x; / M.x; / dx D M.x; / dx Estamos considerando / dx D.x; / dxi x.x; / dx D.x; /: Derivamos con respecto a h 0./ [ N.x; N.x; / Ya que, por : M.x; / dx] D M.x; / dx D N x.x; / M.x; / D 0:

5 74 Ecuaciones diferenciales 2. Para la obtención de la función f.x; / pudimos haber partido de la segunda condición D N.x; /, para luego llevar a cabo un desarrollo análogo al realizado: a. Integrar N.x; / con respecto a para tener f.x; /. b. Derivar el resultado del paso anterior con respecto a x para tener. c. Utilizar la primera condición D M.x; /. d. Despejar h 0.x/ de la ecuación anterior. e. Integrar respecto a x para obtener h.x/. f. Sustituir h.x/ en f.x; / para así tener la función buscada. Ejemplo Resolver la ED.3x 2 / dx C.3 2 x/ d D 0. Primero verificamos que la ED sea exacta:.3x 2 / dx C.3 2 x/ d D 0 ) M D 3x 2 & N D 3 2 x ) ) M D 1 & N x D 1 ) ) M D N x ) la ecuación diferencial es exacta ) ) existe una función f.x; / tal que df D M dx C N d ) ) existe una función f.x; / tal que dx C d D M dx C N d ) ) existe una función f.x; / tal que D M & D N: Luego la resolvemos, es decir, debemos determinar la función f.x; /. Partimos de D M, e integramos con respecto a x: x dx D M dx ) f.x; / D M dx D.3x 2 x 3 / dx D 3 x C h./ ) 3 ) f.x; / D x 3 x C h./: (2.31) Nuestro objetivo ahora es encontrar h./, para determinar totalmente a f.x; /. Derivamos la expresión anterior con respecto a : Œx3 x C h./ D 0 x 1 C h 0./ D x C h 0./: Utilizamos la condición D N : x C h 0./ D 3 2 x: Despejamos h 0./: h 0./ D 3 2 : Integrando con respecto a : h./ D d D 3 C C 1 D 3 C C 1 : 3 Sustituimos h./ en (2.31) para obtener: f.x; / D x 3 x C 3 C C 1 : Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es f.x; / D C 2 ) x 3 x C 3 C C 1 D C 2 ) x 3 x C 3 D C:

6 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 75 Ejemplo Resolver la ED.sen C sen x/ dx C.x cos cos x/ d D 0. Primero verificamos que la ED sea exacta:.sen C sen x/ dxc.x cos cos x/ d D 0 ) M D sen C sen x & N D x cos cos x ) ) M D cos C sen x ) M N x D cos C sen x D N x ) la ED es exacta ) ) existe una función f.x; / tal que D M & D N: Luego encontramos f.x; /. Partimos de D N e integramos con respecto a : d D N d ) f.x; / D N d D.x cos cos x/ d D x sen.cos x/ C h.x/ ) Derivamos con respecto a x: ) f.x; / D x sen cos x C h.x/: (2.32) Œx sen cos x C h.x/ D sen. sen x/ C h 0.x/: Utilizamos la condición D M para despejar h 0.x/: Integrando: Sustituimos h.x/ en (2.32) para obtener: sen. sen x/ C h 0.x/ D sen C sen x ) h 0.x/ D 0: h.x/ D C 1 : f.x; / D x sen cos x C C 1 : Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es f.x; / D C 2 ) x sen cos x C C 1 D C 2 ) x sen cos x D C: Ejemplo Resolver la ED.2e 2x sen 3 C 3e 2 sen 3x/ dx C.3e 2x cos 3 2e 2 cos 3x/ d D 0. En este caso: M D 2e 2x sen 3 C 3e 2 sen 3x & N D 3e 2x cos 3 2e 2 cos 3x ) ) M D 2e 2x.3 cos 3/ C.3 sen 3x/2e 2 D 6e 2x cos 3 C 6e 2 sen 3x N x D.3 cos 3/2e 2x 2e 2. 3 sen 3x/ D 6e 2x cos 3 C 6e 2 sen 3x De lo anterior, la ED es exacta. Entonces existe una función f.x; / tal que D M & D N: ) M D N x : Partimos de D M e integramos con respecto a x: x dx D M dx ) f.x; / D M dx D.2e 2x sen 3 C 3e 2 sen 3x/ dx D D.sen 3/ e 2x 2 dx C e 2.sen 3x/ 3 dx D D.sen 3/e 2x C e 2. cos 3x/ C h./ ) ) f.x; / D e 2x sen 3 e 2 cos 3x C h./: (2.33)

7 76 Ecuaciones diferenciales Derivamos con respecto a : D e2x.cos 3/3 Utilizamos la condición D N para despejar h 0./: Integrando:.cos 3x/2e 2 C h 0./: 3e 2x cos 3 2e 2 cos 3x C h 0./ D 3e 2x cos 3 2e 2 cos 3x ) h 0./ D 0: Sustituimos h./ en (2.33) para obtener: h./ D C 1 : f.x; / D e 2x sen 3 e 2 cos 3x C C 1 : Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es f.x; / D C 2 ) e 2x sen 3 e 2 cos 3x C C 1 D C 2 ) e 2x sen 3 e 2 cos 3x D C: Ejemplo Resolver la ED.e x C 2x 1/ dx C.xe x 2 C 1/ d D 0. Verificamos que la ED sea exacta: M D e x C 2x 1 ) M D.e x x/ C e x.1/ D e x.x C 1/ N D xe x 2 C 1 ) N x D x.e x / C e x.1/ D e x.x C 1/ ) M D N x ) la ED es exacta. Entonces existe una función f.x; / tal que D M & D N: Partimos de D N e integramos con respecto a : d D N d ) f.x; / D N d D.xe x Derivamos con respecto a x: 2 C 1/ d D.e x x 2 C 1/ d ) ) f.x; / D e x 2 C C h.x/: (2.34) Œex Utilizamos la condición D M para despejar h 0.x/: Integrando: Sustituimos h.x/ en (2.34) para obtener: 2 C C h.x/ D e x C h 0.x/: e x C h 0.x/ D e x C 2x 1 ) h 0.x/ D 2x 1: h.x/ D.2x 1/ dx D x 2 x C C 1 : f.x; / D e x 2 C C x 2 x C C 1 : Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es f.x; / D C 2 ) e x 2 C C x 2 x C C 1 D C 2 ) e x 2 C C x 2 x D C:

8 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 77 Ejemplo Determinar el valor de la constante k de modo que resulte exacta la siguiente ecuación diferencial:.kx 2 C e / dx C.x 3 C xe / d D 0: Para esta ED se tiene que M D kx 2 C e ) M D kx 2 C e : N D x 3 C xe ) N x D 3x 2 C e : La ecuación diferencial es exacta si se cumple M D N x ) kx 2 C e D 3x 2 C e ) kx 2 D 3x 2 ) k D 3: Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta cuando k D 3. Ejemplo Obtener alguna función M.x; / de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta: M.x; / dx C.x 3 C xe / d D 0: Partimos del conocimiento de la función N.x; /: La ecuación diferencial es exacta si cumple: N D x 3 C xe ) N x D 3x 2 C e : M D N x D 3x2 C e : Entonces, integrando esta última expresión con respecto a d D.3x 2 C e / d ) M.x; / D.3x 2 C e / d D 3x 2 C e C h.x/: Donde h.x/ es cualquier función de x, esto es, que no dependa de. M.x; / podría ser, entre otras funciones: M.x; / D 3x 2 C e C arctan xi donde h.x/ D arctan x: M.x; / D 3x 2 C e C x ln xi donde h.x/ D x ln x: M.x; / D 3x 2 C e C CI donde h.x/ D C: Ejemplo Determinar alguna función N.x; / de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta:. 2 cos x 3x 2 2x/ dx C N.x; / d D 0: Partimos del conocimiento de la función M.x; /: La ecuación diferencial es exacta si cumple: Entonces, integrando con respecto a x: M D 2 cos x 3x 2 2x ) M D 2 cos x 3x 2 : M D N x D 2 cos x 3x2 dx D.2 cos x 3x 2 / dx ) N.x; / D.2 cos x 3x 2 / dx D 2 sen x x 3 C h./:

9 78 Ecuaciones diferenciales Donde h./ es cualquier función de, esto es, no depende de x. N.x; / podría ser, entre otras funciones, cualquiera de las siguientes: N.x; / D 2 sen x x 3 C ln I donde h./ D ln : N.x; / D 2 sen x x 3 e I donde h./ D e : N.x; / D 2 sen x x 3 C CI donde h./ D C: Ejemplo Resolver el siguiente PVI: 3 2 C 2 sen 2x D cos 2x 6x 4 0 ; con.0/ D 1: 1 C 2 Primero obtenemos la solución general de la ecuación diferencial luego aplicamos la condición inicial: C 2 sen 2x D cos 2x 6x 1 C 2 0 ) ) d C 2 sen 2x D cos 2x 6x 1 C 2 dx ) ) C 2 sen 2x/ dx cos 2x 6x 1 C 2 d D 0 ) ).3 2 C 2 sen 2x/ dx C 6x cos 2x C 4 1 C 2 d D 0: Tenemos entonces: M D 3 2 C 2 sen 2x ) M D 6 C 2 sen 2x N D 6x cos 2x C 4 1 C 2 ) N x D 6 C 2 sen 2x ) M D N x ) la ED es exacta ) ) existe una función f.x; / tal que D M & D N: Partimos de D M e integramos con respecto a x: x dx D M dx ) f.x; / D M dx D.3 2 C 2 sen 2x/ dx D 3 2 x C. cos 2x/ C h./ ) Derivamos con respecto a : ) f.x; / D 3 2 x C. cos 2x/ C h./: (2.35) Œ32 x C. cos 2x/ C h./ D 6x cos 2x C h 0./: Utilizamos la condición D N para despejar h 0./: 6x cos 2x C h 0./ D 6x cos 2x C 4 1 C 2 ) h 0./ D 4 1 C 2 : Integrando: h./ D 4 1 C 2 d D 4 arctan C C 1:

10 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 79 Sustituimos h./ en (2.35) para obtener: f.x; / D 3x 2 cos 2x C 4 arctan C C 1 : Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es f.x; / D C 2 ) 3x 2 cos 2x C 4 arctan C C 1 D C 2 ) ) 3x 2 cos 2x C 4 arctan D C: Finalmente se aplica la condición inicial.0/ D 1 ) D 1 & x D 0: 3.0/1 2 1 cos 0 C 4 arctan 1 D C ) 0 1 C 4 D C ) C D 4 1: Por lo tanto la solución del PVI es 3x 2 cos 2x C 4 arctan D 1: Ejemplo Resolver la ED cos x C 2xe C 1 C.sen x C x 2 e C 2 3/ 0 D 0. Se tiene que. cos x C 2xe C 1/ dx C.sen x C x 2 e C 2 3/ d D 0: (2.36) Entonces: M D cos x C 2xe C 1 ) M D cos x C 2xe N D sen x C x 2 e C 2 3 ) N x D cos x C 2xe ) M D N x ; entonces (2.36) es una ED exacta. Por lo tanto, existe f.x; / tal que f x D M & f D N. Partiendo de Integrando con respecto a x: f x dx D M dx ) f x D M D cos x C 2xe C 1: ) f.x; / D M dx D. cos x C 2xe C 1/ dx D cos x dx C 2e x dx C dx ) ) f.x; / D sen x C x 2 e C x C h./: (2.37) Derivando parcialmente con respecto a : f D sen x C x 2 e C h 0./: Utilizando la condición f D N para despejar h 0./: f D N D sen x C x 2 e C 2 3; hallamos que sen x C x 2 e C h 0./ D sen x C x 2 e C 2 3 ) h 0./ D 2 3: Integrando: h./ D 2 3 C C 1 : Sustituendo h./ en (2.37), obtenemos: f.x; / D sen x C x 2 e C x C 2 3 C C 1 :

11 80 Ecuaciones diferenciales Entonces la solución general de la ED dada es f.x; / D C 2 ) sen x C x 2 e C x C 2 3 C C 1 D C 2 ) ) sen x C x 2 e C x C 2 3 D C: Ejemplo Resolver el PVI.2x C 2 2 e 2x sen x/ dx C.x 2 C 2e 2x C ln / d D 0; con.0/ D 1. Se tiene: M D 2x C 2 2 e 2x sen x ) M D 2x C 4e 2x N D x 2 C 2e 2x C ln ) N x D 2x C 4e 2x ) M D N x I entonces la ED es exacta. Por lo tanto existe f.x; /, tal que f x D M & f D N. Partiendo de f D N D x 2 C 2e 2x C ln : Integrando con respecto a : f d D N d ) ) f.x; / D N d D.x 2 C 2e 2x C ln / d D x 2 d C 2e 2x d C ln d ) ) f.x; / D x 2 C 2 e 2x C ln C h.x/: (2.38) Derivando parcialmente con respecto a x: f x D 2x C 2 2 e 2x C h 0.x/: Utilizando la condición f x D M, para despejar h 0.x/: 2x C 2 2 e 2x C h 0.x/ D 2x C 2 2 e 2x sen x ) ) h 0.x/ D sen x ) h.x/ D cos x C C 1 : Sustituendo h.x/ en (2.38), se obtiene: f.x; / D x 2 C 2 e 2x C ln C cos x C C 1 ; entonces la solución general de la ED es f.x; / D C 2 ) x 2 C 2 e 2x C ln C cos x C C 1 D C 2 ) ) x 2 C 2 e 2x C ln C cos x D C: Considerando la condición inicial.0/ D 1 ) x D 0 & D 1, se obtiene: C 1 2 e 0 C 1 ln.1/ 1 C cos.0/ D C ) 0 C 1 C 0 1 C 1 D C ) C D 1: Por lo tanto, la solución del PVI es x 2 C 2 e 2x C ln C cos x D 1:

12 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 81 Ejemplo Resolver la ED d dx D ax C b bx C c ; con a; b & c constantes. d dx D ax C b bx C c ).bx C c/ d D.ax C b/ dx ) ).ax C b/ dx C.bx C c/ d D 0: Se tiene que M D ax C b ) N D bx C c ) M D b ) M N x D b D N x ) la ED es exacta. Entonces existe f.x; / tal que f x D M & f D N. De f x D M se obtiene al integrar: Derivando parcialmente con respecto a : f.x:/ D M dx D.ax C b/ dx D a x2 C bx C h./: (2.39) 2 Utilizando la condición f D N, para despejar h 0./: Sustituendo h./ en (2.39): f D bx C h 0./: bx C h 0./ D bx C c ) h 0./ D c ) h./ D c 2 2 C K 1: f.x; / D 1 2 ax2 C bx C 1 2 c2 C K 1 : Entonces la solución general de la ecuación diferencial es 1 2 ax2 C bx C 1 2 c2 C K 1 D K 2 ) ax 2 C 2bx C c 2 C 2K 1 D 2K 2 ) ) ax 2 C 2bx C c 2 D K: Ejemplo Resolver la ED.e x sen 2 sen x/ dx C.e x cos C 2 cos x/ d D 0. Se tiene: M D e x sen 2 sen x ) M D e x cos 2 sen x N D e x cos C 2 cos x ) N x D e x cos 2 sen x ) M D N x ) la ED es exacta. Entonces existe f.x; / tal que f x D M & f D N. De f D N, se obtiene al integrar con respecto a : f.x; / D N d D.e x cos C 2 cos x/ d D e x sen C 2 cos x C h.x/ ) ) f.x; / D e x sen C 2 cos x C h.x/: (2.40) Derivando parcialmente con respecto a x: f x D e x sen 2 sen x C h 0.x/: Utilizando f x D M para despejar h 0.x/: e x sen 2 sen x C h 0.x/ D e x sen 2 sen x ) h 0.x/ D 0 ) h.x/ D C 1 :

13 82 Ecuaciones diferenciales Sustituendo h.x/ en (2.40), se obtiene: f.x; / D e x sen C 2 cos x C C 1 : Por lo tanto la solución general es f.x; / D C 2 ) e x sen C 2 cos x C C 1 D C 2 ) ) e x sen C 2 cos x D C: Ejemplo Resolver la ED.e x cos 2x 2e x sen 2x C 2x/ dx C.xe x cos 2x 3/ d D 0. Se tiene: M D e x cos 2x 2e x sen 2x C 2x ) M D.xe x C e x / cos 2x 2xe x sen 2x N D xe x cos 2x 3 ) N x D.xe x C e x / cos 2x 2xe x sen 2x ) ) M D N x ) la ED es exacta. Entonces existe f.x; / tal que f x D M & f D N. Integrando con respecto a la última igualdad: f.x; / D N d D.xe x cos 2x 3/ d D cos 2x e x x d 3 d ) ) f.x; / D e x cos 2x 3 C h.x/: (2.41) Derivando con respecto a x e igualando a M : f x D 2e x sen 2x C e x cos 2x C h 0.x/ D e x cos 2x 2e x sen 2x C 2x: Entonces, despejando h 0.x/ e integrando: Sustituendo h.x/ en (2.41): Por lo tanto, la solución general de la ED es h 0.x/ D 2x ) h.x/ D x 2 C C 1 : f.x; / D e x cos 2x 3 C x 2 C C 1 : f.x; / D C 2 ) e x cos 2x 3 C x 2 D C: Ejercicios Ecuaciones diferenciales exactas. Soluciones en la página 459 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas: 1..3x 2 C 2x 2 2x/ dx C.3 2 C 2x 2 2/ d D x e 2 / dx C.x 2 C xe 2 / d D sen x C sen C 1 dx C x cos cos x C 1 d D 0. x 4..4x 3 C 3 2x/ dx C.x 4 C 3x / d D cos x C 2xe x/ dx C. C sen x C x 2 e / d D e x sen C 2 sen x 2x/ dx C.e x cos 2 cos x C 2/ d D x 3 C 4x 1/ dx D.1 2x 2 2/ d.

14 2.7 Factor integrante ln x C / dx C.x ln x e / d D Œ sec 2.x/ C sen x dx C Œx sec 2.x/ C sen d D 0. [ 1 x 10. sen ] [ 1 x cos C 1 dx C 2 x x cos x 11. e x C x 2 C 2 0 D xe x. x 2 C sen 2x 2 C 2 2 e x2 / dx 13..2x e 3 / dx C.x 2 kxe / d D 0. Resolver los siguientes PVI: x 2 sen x ( 2x sen 2 x 4xe x2) d D 0. C 1 ] d D cos x 3x 2 2x dx C 2 sen x x 3 C ln d D 0; con.0/ D e: 15.. C xe x C 2/ dx C.x C e / d D 0; con.1/ D e sen x C tan / dx e cos x x sec 2 d D 0; con.0/ D 0. x C 17. dx C. C arctan x/ d D 0; con.0/ D 1. 1 C x Determinar los valores de las constantes A B que hacen exacta a la ecuación diferencial 3 2 sen x 2x dx C Ax 2 C B cos x 3 2 d D 0: 19. Obtener una función M.x; / de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial M.x; / dx C.e x cos C 2 cos / d D 0: 20. Obtener una función N.x; / de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial 2.7 Factor integrante x 2 2 N.x; / d C x 2 2x dx D 0: Como puede observarse en todas las ED resueltas hasta ahora, es frecuente que hagamos manipulaciones algebraicas para simplificar su forma resolverlas con cierta comodidad. Esto es válido, pues las ED antes después de las operaciones tendrán la misma solución. Sin embargo, algunas de las ED pueden perder la propiedad de exactitud al modificarse algebraicamente. Ejemplo Vamos a calcular la diferencial total de la función f.x; / D x 3 Cx 2 2 manipular la ED asociada para obtener una ED no exacta. Dado que se tiene que D 3x2 C 2x 2 & D x3 C 2x 2 ; df D dx C d D.3x2 C 2x 2 / dx C.x 3 C 2x 2 / d: