Métodos de solución de ED de primer orden
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- Marta Navarrete Ríos
- hace 7 años
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1 CAPÍTULO Métodos de solución de E de primer orden. Ecuaciones diferenciales de variables separables El primer tipo de E que presentamos es el de variables separables, porque con frecuencia se intenta separar las variables de las ecuaciones de dos variables. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo.. Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica.x x/. C 3/ x. Por separar las variables de la ecuación se entiende que, por medio de operaciones algebraicas válidas, se coloquen todas las x de un lado de la igualdad todas las del otro lado. En este caso,.x x/. C 3/ x ) x x x C 3 : Como explicamos, se han colocado las x del lado izquierdo de la ecuación las del lado derecho. Ejemplo.. Separar las variables de la siguiente E x.x x/. C 3/. Para una E como ésta, separar variables significa que, por medio de operaciones algebraicas válidas, se escriba la E en la forma: g./ h.x/ : Entonces tenemos: Y ahora: g./ C 3 x.x x/. C 3/ ) C 3 x x x : & h.x/ x x x ; con 0 x x 0 : x es una E de varia-.x x/. C 3/ el resultado anterior, se conclue que la ecuación diferencial bles separables.. canek.azc.uam.mx: / 9/ 00
2 Ecuaciones diferenciales ordinarias Una ecuación diferencial forma: 0 f.x; / es de variables separables si podemos escribirla en la g./ h.x/ : El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta última igualdad, es decir: g./ h.x/ ) )./ C C ˇ.x/ C C )./ ˇ.x/ C C ) ).x; / C, que es la solución general de la E. En general, la solución queda definida de manera implícita. Ilustramos este método con los ejemplos siguientes: Ejemplo..3 Resolver la ecuación diferencial 0 sen x. Separando las variables tenemos: sen x ) sen x : Integrando directamente: sen x ) cos x C C; que es la solución general de la E. Ejemplo..4 Resolver la ecuación diferencial 0 sen. Separando las variables tenemos: sen ) sen : Integrando: sen ) csc x C C ) ln j csc cot j x C C : Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Ejemplo..5 Resolver la ecuación diferencial x.x /. C 3/. Separando las variables: x.x /. C 3/ ) C 3 x x :
3 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 3 Integrando: C 3 x x ) C 3 ln x C C ) ) C 3 ln j j ln x C C : Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Observaciones. En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral ln j j C C es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las páginas siguientes en el resto del libro, el lector podrá encontrar varias veces du ln u C C: u Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la E. Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de Cálculo, las convenciones usuales en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir sen f.x/ ) arcsenœf.x/ ; no hace falta insistir que, para que sea una función bien definida, se debe cumplir j f.x/ j. En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente restricciones tales como que los denominadores deben ser 0, que los argumentos del logaritmo deben ser positivos, etc., a menos que se considere necesario. También para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integración que se añade en las integrales indefinidas, como por ejemplo, cuando anotamos, respectivamente: F.x/ f.x/ C C F 0.x/ f.x/ cuando G 0./ g./; G./ g./ C C; donde C representa una constante arbitraria; sin embargo si tenemos, por ejemplo: queremos concluir que o sea, F.x/ G./ ; F.x/ G./ ; f.x/ C C g./ C C : No es necesario usar dos constantes arbitrarias a que se puede escribir donde C sustitue a C C. f.x/ g./ C C; e forma similar, en lo que sigue, el lector podrá ver expresiones como C C C C, C C C, 3C C, e C C, cos C C, etc. en las que esencialmente se hace la convención de que la suma, la resta, el producto, la exponencial o cualquier otro valor funcional de una constante es otra constante. Así por ejemplo, una fórmula como e C C no es necesariamente incorrecta al interpretarse como un ejemplo de estas convenciones.
4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo..6 Resolver la ecuación diferencial 0 x p. Separando las variables e integrando: x. / ). / x ). / ). / C C x C C ). / x C C: x ) Elevando al cuadrado 4. /.x C C/ ) C 4.x C C/ : Esta última expresión representa la solución general de la E en forma explícita. Ejemplo..7 Resolver el PVI 0 x C x ; con la condición.0/. Para separar las variables, comenzamos factorizando después integramos: x. C /. C /. C /.x / ) ).x / ) C C.x / ) ) ln. C / C C.x / C C ) ln. C /.x / C C: Para determinar C, consideramos la condición inicial.0/ ; entonces: ln 3. / C C ) C ln 3 ) ln. C /.x / C ln 3 : e donde C e.x / Cln 3 e.x / e ln 3 ) 3e.x / Esta última expresión representa la solución del PVI. Ejemplo..8 Resolver la E.x C / 0 tan x. : Separando las variables e integrando:.x C / tan x ) tan x x C ) sen cos x x C ) ) ln.cos / C C ln.x C / C C ) ln.cos / ln.x C / C C: Podemos encontrar la forma explícita de la solución usando propiedades del logaritmo ln.cos / ln.x C / C C ).cos / e ln.x C/ CC e ln.x C/ e C : Considerando e C C observando que e ln.x C/ cos C.x C /.x C /, tenemos: ) sec C x C ) arcsec.c x C /: Esta última expresión representa la solución general de la E en forma explícita.
5 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 5 Ejemplo..9 Resolver la E Al separar las variables se obtiene:. /.x /. C 3/.x /. /.x C 3/.. /. C 3/ x.x /.x C 3/ ) Aplicando fracciones parciales, obtenemos: 4 Multiplicando por 4, e integrando: C 5 4 C 3 4. /. C 3/ x C 5 4 ln. / C 5 ln. C 3/ C C ln.x / C 5 ln.x C 3/ C C ) x C 3 : x.x /.x C 3/ : ) ln. C 3/ 5 ln. / ln.x C 3/ 5 ln.x / C ln C ) ) ln. C 3/5 ln C.x C 3/5 x ) ). C 3/ 5.x / C.x C 3/ 5. /:. C 3/5 C.x C 3/5 x ) Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Ejemplo..0 Resolver el PVI sen x C e sen x ( ) 3e C e cos x ; con la condición 0. Comenzamos factorizando para separar las variables e integrar para obtener.sen x/. C e / e.3 C cos x/ ) e sen x C e 3 C cos x ) e C e sen x 3 C cos x : Pero cos x. C cos x/, entonces: e C.e / sen x 3 C Œ cos x sen x C cos x sen x C.cos x/ : Ahora, integrando por sustitución: arctan e C C arctan.cos x/ C C ) arctan e arctan.cos x/ C C: ( ) Considerando la condición inicial 0: arctan e 0 ( arctan cos ) C C ) arctan arctan 0 C C ) C 4 : Por lo tanto, la solución buscada es arctan e arctan.cos x/ C 4 ) 4 arctan e C arctan.cos x/ : Cualquiera de las dos últimas expresiones representa la solución del PVI de forma implícita. Ejemplo.. Resolver la ecuación diferencial x 3 e x C3 3 e x 0.
6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Primero separamos las variables planteamos las integrales: x 3 e x e 3 3 e x e ) x 3 e x e x 3 e e 3 ) ) x e 3x x e 5 : Integrando por partes ambas integrales usando las siguientes consideraciones Se tiene: 6 x e 3x 3 u t ) du t dt; dv e at t dt ) v a eat : e 3x x 0 e 5 C 5 e 5 ) ) 6 x e 3x 8 e3x 0 e 5 50 e 5 C C: Multiplicando por 450 (mínimo común múltiplo de 6, 8, 0 50):.75x 5/e 3x C.45 C 9/e 5 C: Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Ejemplo.. Resolver la E p C p. x C x Separamos variables factorizando primero posteriormente integramos: C C p p p p p ) C p p ) x C x x. C / C x p C C Resolvemos la primera integral mediante el cambio de variable p t para así obtener t C t ( C t t t dt t C t C dt t C C t ) dt t C ( t C C t ) dt t arctan t C ln.t C / C C t : C ado que t p, resulta: x : p C ln. C / arctan p C C p x C C ). p p x/ C ln. C / arctan p C: Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Ejemplo..3 Resolver la ecuación diferencial Separando variables: x 3 C x 3 x C x. x 3 C x 3.x 3/ C.x 3/. C /.x 3/ x C x.x C /.x C /. /.x C / ) C x 3 x C : Efectuando las divisiones e integrando: ( ) ( ) 5 C x C ) ln. C / x ln.x C / 5 C C: ) ln. C / C C x 5 ln.x C / C C ) Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita.
7 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 7 Ejercicios.. Variables separables. Soluciones en la página 9 Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales:
8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias tan x C secx. tan. x. x. ds dt.t C /.s /.t C t/ ds dt.s3 s/.4t 3 6t/.t 4 3t /.3s /. du dt.u C /.t C /.u C /.t /. dt tu C u C 3t C 3 du tu C u t. 9. x 0 x C x. 0. x 0 x... 4tx dt x C... ln x/ ( ) x. C d dt.cos t/.cos cos /. dt e tc3. C xexc. 6. e x.e C e x / tx C t C.t 4 C /x 0 0; con x.0/ r t dr C r r t dt 0; con r./ 4.. / C p x C 4 0. dt 0. k.t T /, con T.0/ T 0, donde k, T 0, dt T son constantes.
9 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 9 Ejercicios.. Variables separables. Página 7. ln.cos x/ C ln.sec x C tan x/ C C.. arcsen Ce x. 3. Ce x. 4. x 3 3 C. 5. s ˆC.t C t/ C. 6. s 3 s C.t 4 3t /. 7. u C ln.u C / t C ln.t / C C. 8. t C ln.t C / u C 4 ln.u / C C.! x C Cx 9. tan. x 0. Cxe x... C x / Ct.. C C ln x arccot.sen t C C/. 4. e 3 3e t C C. ln x 5. ln e xc.x / x C C. 6. e. / e x C e x C C. 7. arctan x C arctan t r 6.t /. 9. «C C. 3. / 3 C x p x C 4 C ln.x C p x C 4/ C T.t/ T C.T 0 T /e kt.
2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
38 Ecuaciones diferenciales. Considerado a t como la variable independiente: s 0 ds dt s 3ts s 4 9ts.s/.s 3t/.s/.s3 9t/ s 3t s 3 9t ; excepto los puntos que están en la curva s 3 9t 0 en el eje t.s 0/.
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