du = ln u + NOTA: En las integrales 11, 12, 17 y 18 α significa la raíz cuadrada positiva de α 2. Escribimos

Transcripción

1 CÁLCULO I CÁLCULO DE PRIMITIVAS: Integrales Inmediatas u m du = um+ + C, m m + du = ln u + C u u du = u + C 4 a u du = au + C, a > 0, a ln a sen u du = cos u + C 6 cos u du = sen u + C cos u du= + tg u du = tg u + C 8 cotg u du = ln sen u + C 0 α u du = arcsen u α + C Sh u du = Ch u + C 4 Ch u u ± α du = Th u + C 6 du = ln u + u ± α + C 8 sen u du = + cotg u du = cotg u + C tg u du = ln cos u + C α + u du = α arc tg u α + C Ch u du = Sh u + C Sh u du = Cothu + C α u du = α ln α + u α u + C NOTA: En las integrales,, 7 y 8 α significa la raíz cuadrada positiva de α. Escribimos α para indicar un número positivo.

2 Funciones hiperbólicas inversas a Argumento seno hiperbólico. y = argsh x = x = senh y = ey e y = x = e y e y. Multiplicando por e y : xe y = e y = e y xe y = 0 = e y = x ± x +. Para el signo + delante de la raíz, esta expresión toma un valor positivo x. En cambio, para el signo su valor es negativo sea cual sea el valor de x, por lo que ningún valor de y es solución de la ecuación. Entonces resulta y = ln x + x +, x, b Argumento coseno hiperbólico. y = argch x = x = cosh y = ey + e y = x = e y + e y. Multiplicando por e y, xe y = e y + = e y xe y + = 0, de donde e y = x ± x. La raiz existe sólo para x. En este intervalo, e y toma valor positivo para ambos signos de la raiz y de cada uno resulta un valor de y solución de la ecuación. Tomamos sólo el signo positivo por tratarse de una función cada x puede tener sólo una imagen. Resulta y = ln x + x, x [, Ejercicio: Obténgase la relación entre los valores de y correspondientes a los dos signos de la raiz. Relaciónese el resultado con las propiedades de la gráfica de la función inversa. c Argumento tangente hiperbólica. y = argth x = x = tanh y = ey e y e y + e y = ey e y +., es decir x y = + x + x ln = ln, x, x x Entonces x e y + = e y = e y = + x Ejercicio: Razónense los campos de existencia indicados. d Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas. argsh x = [ ln x + x + ] x + x + = x + = = x + argch x = [ ln x + x ] x + x = x + = = x argth x = [ ] + x ln = + x + x : x x x x +. x. = = x. Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

3 Introducción a los cambios de variable Cambios de variable explícitos. Sea la función f : I R continua en I = [a, b], cuya primitiva queremos obtener. Sea g : J R una función con derivada continua y estrictamente monótona en J = [c, d] con el fin de que admita inversa. Si la imagen por g del intervalo J está contenida en I, entonces podemos realizar el cambio de variable x = gt, resultando: fx dx = f gt g t dt = Ht dt t=g x Haremos el cambio si esta integral es más fácil de resolver que la inicial. Ejemplo. x dx. Con x = sen t, la integral se convierte en cos t dt. La función x = sen t es estrictamente monótona en. Cambios de variable implícitos. [ π, π ] o en [ π, 3π A veces resulta útil hacer el cambio hx = t o, lo que es lo mismo, x = h t, con lo que h x dx = dt. Escribimos entonces la integral como fx fx dx = h x h x dx, h x 0 Si fx h x puede ponerse como función de t, la integral se convierte en ]. Gt dt. La función h debe ser, como antes, de derivada continua y estrictamente monótona. También aquí haremos el cambio si esta integral resulta más sencilla que la inicial. Ejemplo: x cos x dx. Con t = hx = x, h x = x, la integral se convierte en x cos x cos t x dx = dt x En la práctica no hay necesidad de dividir y multiplicar por h x. La derivada de h se obtiene multiplicando y dividiendo el integrando por el factor adecuado: x cos x dx = cos x x dx = cos t dt 3. Combinación de ambos métodos. Es frecuente iniciar el cambio de variable como implícito, eligiendo hx, despejar x = h t y, a partir de ahí, obtener dx. x dx Ejemplo. 3 x. Hacemos 3 x = t = x = t 3, dx = 3 t dt. La integral 3 t 5 se convierte en dt. t Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

4 Nota: Es suficiente que la condición de monotonía estricta, impuesta para poder calcular la función inversa, se cumpla a trozos; es decir, que el intervalo J se pueda descomponer en subintervalos, en cada uno de los cuales se cumple la condición. Por ejemplo, la función x = sen t utilizada en el apartado. no es estrictamente monótona en su dominio, pero sí en intervalos de longitud π como los indicados. 4. Aplicación. Se propone resolver los siguientes casos aplicando el cambio que se sugiere. En el caso c, el ejercicio consiste en modificar el integrando para poder aplicar el cambio: a Cambio explícito. x. + α dx x = α senh t. Sol: x x + α + α x ln + x + α + C. x. x α dx x = α cosh t. Sol: x x α + α x ln + x α + C. 3. x α x dx x = α sen t. Sol: α x α + C. x b Cambio implícito.. + x dx + x = t. Sol: + x ln + x + C. e x. e x + 3 e x dx e x = t. Sol: arc tg e x + C. e x e 3. e x + dx x + = t. Sol: 3 e x + 3 e x + + C. c Convertir la integral en inmediata, por medio del cambio sugerido... sen x + cos x sen x dx sen x cos x = t. Sol: arc sen sen x cos x + C. x + x + 3x x 4 dx x x = t. Sol: arc sen x + C. x Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

5 Fórmulas de reducción Sea una integral, a la que llamaremos In, cuyo integrando depende de un parámetro n R. Si aplicando algún método habitualmente el de integración por partes podemos expresarla en función de In, In, etc, hemos hallado una fórmula de reducción, válida en principio n R. Lo más frecuente será que In resulte en función de In o In o ambas. Ejemplo: In = ln n x dx = x ln n x nin.. Si el parámetro toma sólo valores naturales, n N, aplicando sucesivamente la fórmula iríamos reduciendo el grado, llegando a I3, I..., que normalmente pueden calcularse en función de I0 o I e I0. Éstas se integran directamente, pues suelen ser muy sencillas. A veces se observa que son casos particulares de la fórmula general. 3. En ocasiones, reiterando el método, podemos llegar a una fórmula explícita que nos da directamente el valor de In, aunque suele ser complicado. Ejemplo: ln n x dx = x ln n x n ln n x + nn ln n x + + n n!. 4. Supongamos que el parámetro n es entero negativo y calculemos, por medio de la fórmula de reducción, In en función de In. Esto da lugar a un proceso indefinido, en el que n toma valores negativos decrecientes. En estos casos interesa despejar al revés, In en función de In o, lo que es lo mismo, In en función de In +. Así, en cada paso aumenta el valor del parámetro hasta llegar a I, I0, que se calculan directamente. 5. Al ser la fórmula de reducción válida n R, a veces podemos obtener la fórmula de una integral a partir de la de otra, cambiando de signo el parámetro. Ejemplo: Sean In = sen n dx x dx; Jn = sen n x. Se cumple Jn = I n por lo que, si conocemos la fórmula de reducción para In, podemos obtener la de Jn sin necesidad de integrar. Basta cambiar de signo el parámetro en la fórmula de reducción de In y operar. Si, por ejemplo, tenemos In en función de In, entonces Jn que es I n se puede escribir en función de I n, que es igual a Jn +. Para terminar, hemos de despejar Jn + en función de Jn. Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

6 Integrales de funciones racionales Son aquellas cuyo integrando está formado por un cociente de polinomios, es decir Pk x I = Q l x dx, k < l Para la aplicación del método, numerador y denominador no deben tener factores comunes y el grado del numerador debe ser inferior al del denominador. Si k l, se dividen los polinomios y el problema se reduce a integrar el cociente entre el resto de la división y el polinomio Q l x. Según el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio de coeficientes reales y grado l tiene l raíces, que serán simples o múltiples, reales o complejas, sabiendo que para cada raíz compleja es también raíz su conjugada. Al descomponer el polinomio en factores, las raíces reales dan lugar a factores del tipo x a, mientras que cada par de raíces complejas conjugadas da lugar a un factor cuadrático sin raíces reales, como por ejemplo x + x +, cuyas raíces serían ± i. Sea un polinomio Q l x con una raíz real simple, una real múltiple, dos complejas conjugadas simples y otras dos conjugadas múltiples. Si el coeficiente del término de mayor grado es, la descomposición en factores resultante será Q l x = x ax b m x + cx + dx + ex + f n donde el grado l es igual a la suma de grados de los factores, l = + m + + n = n + m + 3. Descomponemos el cociente en fracciones simples, obteniendo P k x Q l x = A x a + B x b + + B m x b m + Cx + D x + cx + d + E x + F x + ex + f + + E nx + F n x + ex + f n observamos que el número de coeficientes indeterminados es igual a l. A continuación hacemos denominador común en el segundo miembro e igualamos los numeradores, obteniendo un sistema de l ecuaciones con l incógnitas que, una vez resuelto, nos da los coeficientes indeterminados. Para terminar debemos integrar las distintas fracciones resultantes: a b dx x a = ln x a + C. dx x b m = = m m + C. x b Cx + D c Las fracciones de la forma x dan lugar a un logaritmo neperiano más un arco + cx + d tangente, como en el ejemplo siguiente: x + 3 x + x + 3 dx = x + 6 x + x + 3 dx = x + x + x + 3 dx + dx x + + = ln x + x + 3 x + + arctan + C. E n x + F n d Las fracciones del tipo x n pueden integrarse por un proceso bastante laborioso, + ex + f del que resulta una expresión recurrente que permite reducir el grado del denominador ver Precursos. Por ello, cuando el denominador contiene factores de la forma x +ex+f n, n >, es mucho más práctico el método de Hermite. Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

7 Método de Hermite para cocientes de polinomios en que el denominador tiene factores cuadráticos sin raíces reales, elevados a un exponente mayor que. Suponemos, como antes, que Q l x tiene una raíz real simple y otra múltiple, dos complejas conjugadas simples y otras dos múltiples, y que el coeficiente del término de mayor grado es. Al factorizarlo resulta: Q l x = x ax b m x + cx + dx + ex + f n El método consiste en descomponer el integrando de la siguiente forma: P k x Q l x = A x a + B x b + Cx + D x + cx + d + Ex + F x + ex + f + d R s x dx x b m x + ex + f n Es decir, en los cuatro primeros sumandos del segundo miembro, aparecen los factores de Q l x con exponente. En el denominador del cociente que se deriva, el exponente de los factores está reducido en, por lo que no aparecen los de exponente. Por último, el grado del polinomio R s x de coeficientes indeterminados es inferior al del denominador, es decir de grado n+m 4 como máximo. Entonces se deriva el cociente, se reduce a común denominador y se igualan los numeradores, lo que produce un sistema de n + m + 3 ecuaciones, con otras tantas incógnitas. Tras identificar los coeficientes indeterminados, se integra: las dos primeras fracciones dan lugar a logaritmos neperianos; las dos siguientes, a logaritmo más arcotangente. En cuanto a la última, resulta la más sencilla de integrar: Ejemplo: d dx R s x x b m x + ex + f n x x + dx. dx = R s x x b m x + ex + f n a Descomponemos en fracciones, derivamos y hacemos denominador común: x x + = Ax + B x + + d Cx + D dx x = Ax + B + x + + Cx + Cx + Dx x + = Ax + Bx + + Cx + C Cx Dx x + = Ax3 + B Cx + A Dx + B + C x + b Planteamos el sistema, igualando los coeficientes de los términos del mismo grado: A = 0, B C =, A D = 0, B + C = 0 c Resolvemos el sistema: A = D = 0, B = C = /. d Integramos, obteniendo: / I = + x dx + d x/ dx + x dx = x arc tg x + x + C Nota: Con este ejemplo se pretende únicamente mostrar la aplicación del método en un caso sencillo. El ejercicio se resolvería más fácilmente por partes haciendo u = x. x Ejercicio: resolver por Hermite x x + dx. Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

8 Cambios de variable en integrales trigonométricas Si R sen x, cos x = Rsen x, cos x integrando impar en seno, se hace cos x = t con lo que sen x = t ; sen x dx = dt = dx = dt t Ejemplo: sen 3 x cos x dx = sen }{{ x} t cos x } sen{{ x dx} = dt t t dt. Si Rsen x, cos x = Rsen x, cos x integrando impar en coseno, se hace sen x = t con lo que cos x = dt t ; cos x dx = dt = dx = t Ejemplo: cos 3 x + cos x sen x dx = cos } {{ x + } sen x cos }{{ x dx} = t t dt. t dt 3 Si R sen x, cos x = Rsen x, cos x, se hace tan x = t, con lo que Ejemplo: cos x = + t ; sen x = cos x dt sen 4 x dx = t 4. t + t ; + tan x dx = dt = dx = dt + t 4 En los restantes casos, se hace tan x = t, con lo que Ejemplo: cos x = + t ; sen x = + sen x + cos x dx = + tan x t + t = sen x = t x d = dt = dx = dt + t + t + t 3 + t + t dt. 5 Cambio de productos en sumas. A partir de se obtiene cosx + y = cos x cos y sen x sen y cosx y = cos x cos y + sen x sen y senx + y = sen x cos y + cos x sen y senx y = sen x cos y cos x sen y sen x sen y = cos x cos y = sen x cos y = cosx y cosx + y cosx y + cosx + y senx y + senx + y + t ; cos x = t + t Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

9 Integrales de funciones irracionales [ ax + b Integrando del tipo R x, cx + d siendo m = m.c.m.q, s.... Ej. I = x + x + p r q ax + b s,,... ]. Hacemos el cambio ax + b cx + d cx + d = tm x + dx. Cambio x + = t x = t t dt, dx = t t I = t t dt, que se resuelve por descomposición en fracciones simples. Raíz de una suma o diferencia de cuadrados. a R [ x, c a x ] : ax = c sen t c a x = c cos t, dx = c cos t dt. a b R [ x, a x c ] : ax = c cos t a x c = c tan t, dx = c sen t a cos t dt. c R [ x, a x + c ] : ax = c tan t a x + c = c cos t, dx = c a 3 Raíz de un trinomio. Puede reducirse al caso anterior. ax a a > 0 = ax b + bx + c = + a + c b 4a b a < 0 = ax + bx + c = ax bx c =... 4 Método Alemán. Se aplica si el integrando del tipo. P x ax + bx + c. cos t dt. P x ax + bx + c = d [ Qx ] λ ax dx + bx + c + ax + bx + c siendo el grado de Qx una unidad inferior al de P x. Entonces: [ I = Qx ] λ ax + bx + c + ax + bx + c dx, que se resuelve a partir de los apartados y 3. 5 Integrando del tipo x α p ax + bx + c, cambio x α = t. Entonces: x = t + α, dx = dt t I = t p Qt dt, siendo Qt un polinomio de segundo grado si α = 0, Qt = a + bt + ct. En el caso p =, aplicamos 3. Si p >, aplicamos el Método Alemán. Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

10 Cambios de variable para integrales exponenciales Llamamos integrales exponenciales a aquellas cuyo integrando contiene logaritmos, exponenciales o funciones hiperbólicas. Si predominan logaritmos neperianos, un posible cambio es ln x = t, con lo que x = e t y dx = e t dt Si predominan exponenciales, se recomienda hacer e x = t, con lo que dx = dt/t 3 Si R senh x, cosh x = Rsenh x, cosh x integrando impar en seno, se hace cosh x = t con lo que senh x = dt t ; senh x dx = dt = dx = t 4 Si Rsenh x, cosh x = Rsenh x, cosh x integrando impar en coseno, se hace senh x = t con lo que cosh x = dt t + ; cosh x dx = dt = dx = t + 5 Si R senh x, cosh x = Rsenh x, cosh x, se hace tanh x = t, con lo que cosh x = t ; senh x = t t ; tanh x dx = dt = dx = dt t 6 En los restantes casos, se hace tanh x = t, con lo que cosh x = t ; senh x = tanh x t t 7 Cambio de productos en sumas. A partir de se obtiene = senh x = t x d = dt = dx = dt t coshx + y = cosh x cosh y + senh x senh y coshx y = cosh x cosh y senh x senh y senhx + y = senh x cosh y + cosh x senh y senhx y = senh x cosh y cosh x senh y senh x senh y = cosh x cosh y = senh x cosh y = coshx + y coshx y coshx + y + coshx y senhx + y + senhx y t ; cosh x = + t t Cálculo Infinitesimal. ETSI Caminos. A Coruña

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