Tema 10: Integral indenida

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1 Tema 0: Integral indenida May 9, 07 Primitiva de una función Como hemos estudiado, la derivación nos permite encontrar la derivada de una función dada. Por ejemplo, si tenemos la función F () =, su derivada es la función f () = F () =. La integración es el camino contrario, es decir, dada la derivada f () = F () se trata de encontrar la función de la que procede la derivada dada, a esta función F () se le llama primitiva de f. Denición. Se llama función primitiva de f () a una función F () que cumple que F () = f (). Sabemos que la derivada de una constante es cero, por esta razón si F () es una función primitiva de f (), cualquier otra función F () también es primitiva de f (). La primitiva no es única, de hecho hay innitas que se diferencian en una constante. Integral indenida. Propiedades. Una función tiene innitas primitivas, al conjunto de todas ellas se le llama integral indenida de la función f. La integral indenida de una función f se representa por: f () d = F () C es un número cualquiera y se llama constante de integración. Integral de un número por una función. Es igual al número por la integral de la función: af () d = a f () d Integral de la suma de funciones. Es igual a la suma (diferencia) de las integrales de las funciones: [f () ± g ()] d = f () d ± g () d Métodos de integración El cálculo de la integral denida de una función depende del tipo de función que integramos. Eisten varios métodos y vamos a ver primero las de funciones elementales, y después los métodos de cambio de variable, por partes y de funciones racionales.. Integrales inmediatas Esta forma de integrar consiste en transformar la función que nos dan, mediante las propiedades anteriores, en una función cuya primitiva pueda calcularse, de forma inmediata, con la tabla siguiente. Esto no es siempre fácil, si es una función compuesta hay que asegurarse de que tenemos la derivada de todas las funciones. Recordad que para comprobar si lo hemos hecho bien, basta con derivar la primitiva que hayamos obtenido.

2 Tipo de función primitiva Potencial (n ) Eponencial Logarítmica Seno Coseno Tangente Cotangente rco seno rco tangente Primitiva n d = n+ n + e d = e a d = a ln a d = ln cos d = sin sin d = cos ( + tan ) d = cos d = tan ( + cot ) d = sin d = cot d = arcsin d = arctan + Ejemplo. e 7 d = 7 7e 7 d = 7 e7 Ejemplo. 7 + d = d = 7 6 ln +. Integración por partes Este método se basa en la derivada de un producto: si f () y g () son dos funciones: (f g) = f g + f g, integrando: (f g) d = f g d + f g d f g = f g d + f g d y despejando obtenemos la fórmula de integración por partes: f g d = f g f g d que nos permite transformar una integral en otra que nos sea más sencilla de resolver. En ocasiones hay que usar el método varias veces antes de poder integrar. Ejemplo. ln d hay que escoger f y g de forma que sea fácil integrar g. Si cogemos: f = ln f = g = g = d =, sustituyendo en la fórmula de integración por partes: f g d = f g f g d ln d = ln d = ln Se podrían quitar los paréntesis y hacer dos inte- ( Ejemplo. (Reserva -) Calcular: + ) ln d. grales, pero voy a intentar hacerlo directamente. Tomamos: f () = ln f () = g () = + g () = ( + ) d = + plicando la fórmula de integración por partes: ( + ) ln d = ln ( + ) ( ) ( ) + d = ln + ( ) + d ( + ) ln d = ( + ) ln 9

3 Ejemplo. En las integrales del tipo función trigonométrica por eponencial, haciéndolo por partes a veces vuelve a aparecer la integral inicial, lo que podemos utilizar para hallarla. Calcular I = cos e d Integramos por partes: u = e du = e d dv = cos v = sin I = cos e d = e sin e sin d Integrando nuevamente por partes: u = e du = e d dv = sin v = cos [ I = e sin e cos ] ( cos ) e d Operando tenemos: I = e sin + e cos I 5I = e sin + e cos, despejando tenemos la integral buscada: I = cos e d = e (sin + cos ) 5. Cambio de variable La integración por cambio de variable o método de sustitución consiste en denir una variable t como parte de la función en que queremos integrar. También tendremos que cambiar d por dt. Si = g (t) d = g (t) dt. Si sustituimos, la integral se transforma en otra, de variable t, más fácil de integrar. Lo difícil en este caso es encontrar el cambio de variable adecuado. Veamos cómo se integra. Ejemplo. ln d Primero. Hacemos el cambio de variable t = ln dt = d d = dt. Segundo. Sustituimos t y dt en la integral: ln d = t dt = t dt. Tercero. Resolvemos la integral: dt = ln t t Cuarto. Deshacemos el cambio: d = ln t = ln (ln ) ln Ejemplo. + d Primero. Hacemos el cambio de variable t = + tdt = 6d d = tdt 6. Segundo. Sustituimos t y dt en la integral: d = + Tercero. Resolvemos la integral: dt = t Cuarto. Deshacemos el cambio: tdt t = dt d = t + + = cos Ejemplo. (Reserva.) + sin d (Se puede ver como inmediata) Primero. Hacemos el cambio de variable t = sin dt = cos d d = dt cos. Segundo. Sustituimos t y dt cos en la integral: + sin d = cos dt + t cos = + t dt Tercero. Resolvemos la integral: dt = arctan t + t cos Cuarto. Deshacemos el cambio: + sin d = arctan t = arctan (sin )

4 Ejemplo. sin cos 5 d (Recordad fórmulas trigonométricas) Primero. Hacemos el cambio de variable t = cos dt = sin d d = dt sin. Segundo. Sustituimos t y dt en la integral: sin cos 5 d = sin t 5 dt sin = sin t 5 dt sin cos 5 d = ( cos ) t 5 dt = ( t ) t 5 dt Tercero. Resolvemos la integral: ( t ) t 5 dt = ( t 5 + t 7) dt = t6 6 + t8 8 Cuarto. Deshacemos el cambio: cos + sin d = t6 6 + t8 8 = cos6 + cos8 6 8 Ejemplo 5. d (½Recordad fórmulas trigonométricas!) Primero. Hacemos el cambio de variable = sin t d = cos tdt. Segundo. Sustituimos t y dt en la integral: d = sin cos tdt = cos cos tdt = cos t dt Tercero. Resolvemos la integral recordando cos + cos t t = : + cos t cos t dt = dt = t sin t + Cuarto. Deshacemos el cambio: cos t dt = t. Funciones racionales + sin t = arcsin + sin ( arcsin ) P () Para integrar funciones racionales d, se descompone la fracción en una suma de fracciones algebraicas Q () más sencillas de resolver. Depende si el grado del numerador es mayor o menor que el del denominador, y si el denominador tiene raíces simples, múltiples o complejas (este último caso no lo estudiamos).. Grado P () <Grado Q () En este caso no se puede dividir. El denominador sólo tiene raíces reales simples Descomponemos el denominador y obtenemos raíces reales diferentes, factorizando tenemos: Q () = ( a) ( b) ( c)... así la fracción se puede descomponer en suma de fracciones: P () Q () = a + B b + C c +... donde, B, C,... son números que tenemos que calcular. Y así la integral la descomponemos en suma de integrales sencillas (van a ser logaritmos) P () Q () d = Ejemplo. Calcular la integral + d a d + El denominador factorizado es: + = ( + ). Por lo tanto intentamos la siguiente descomposición: B b d + C d +... c

5 Operando en el segundo miembro: + = + B + ( + ) + B ( + B) + = = + ( + ) ( + ) Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores tienen que ser iguales, igualando coeciente a coeciente de los términos de igual grado: = ( + B) + { = + B = = ; B = Sustituyendo e integrando: + d = d + d = ln + ln + + Ejemplo. Calcular la integral + d = ( ) + d = ln +. (Veis que si el numerador es la derivada del denominador, no hay que integrarla como una racional. Os pongo esto aquí para que no se os olvide) Ejemplo. Calcular la integral d Descomponemos el denominador en factores: = ( + ) ( ) Descomponemos la fracción: = + + B ( ) + B ( + ) = ( + ) ( ) Calculamos, B, en lugar de hacerlo como un sistema, jáos en esta forma que es más rápida: si = = 0 + B B = = ( ) + B ( + ) si = = ( ) = 5 Sustituimos e integramos: d = 5/ + d + / d = 5 ln + + ln El denominador tiene alguna raíz real múltiple Descomponemos el denominador y obtenemos raíces reales que se repiten, por ejemplo que tenga sólo una que se repita n veces, factorizando tenemos: Q () = ( a) n así la fracción se puede descomponer en suma de fracciones: P () Q () = a + B ( a) N ( a) n donde, B,... son los números que tenemos que calcular. Y así la integral se descompone en suma de integrales sencillas. Ejemplo. 5 + Veamos primero un caso muy sencillo, calcular d quí, como el denominador es un monomio, podemos directamente dividir: 5 + d = ( 5 + ) d = ln 5 + = ln

6 Ejemplo. + Calcular d (el denominador ya está factorizado: tiene la raíz = doble) ( ) Intentamos la descomposición: + ( ) = + B ( ) Operando en el segundo miembro: { + ( ) + B = ( ) ( ) + = + B = = 6 + B B = Sustituyendo e integrando: + d ( ) d = + d = ln + ( ) Ejemplo. Se puede dar el caso por ejemplo de tener una simple y una doble: d Factorizamos el denominador = ( ) Descomponemos: C Para = 0 = B Para = = C = + B = ( ) + B ( ) ( ) Para, por ejemplo, = = B = + = = ( )+B ( )+ Sustituyendo e integrando: d = d + d +.. Grado P () Grado Q () d = ln + ln + K = ln + K l efectuar la división daría lugar a la suma de un polinomio con una fracción cuyo numerador es de grado inferior al denominador, y estaríamos en el caso anterior. P () R () = C () + Q () Q () donde C () y R () son respectivamente el cociente y el resto de la división. Ejemplo. Calcular + d Hacemos la división (en este caso se puede por Runi), se obtiene C () = + y R () =. ( + d = + ) d = + + ln + + K Ejemplo. + d = ( ) d = ln + + K 6