TEMA 2. Álgebra. Si la ecuación es del tipo, sacamos factor común x:

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1 TEMA. Álgebra Ecuaciones de segundo grado. Dada la ecuación de segundo grado incompleta incógnita despejamos de la siguiente forma:, para hallar el valor de la Si la ecuación es del tipo, sacamos factor común : Si tenemos ahora la ecuación es:, la fórmula para hallar sus soluciones Si nos fijamos en la solución, observamos que una parte está dentro de una raíz cuadrada se sabe que ésta puede tener una, dos o ninguna solución, en función del signo del radicando. Por tanto lo mismo ocurre con las soluciones de la ecuación de segundo grado: - Si la ecuación tiene dos soluciones reales que son: - Si, la ecuación tiene una sola raíz real (o dos raíces iguales) que es: - Si la ecuación no tiene solución en los números reales. A se le llama discriminante de la ecuación. º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

2 Ecuaciones bicuadradas. Las ecuaciones bicuadradas son las del tipo donde. Veamos un ejemplo: Hacemos la sustitución, la ecuación se transforma en z 0z 9 0. Se resuelve: Como hicimos, deshaciendo el cambio, con lo que las soluciones de la ecuación bicuadrada son: En la práctica resolvemos como en las ecuaciones de segundo grado, pero despejamos en lugar de luego se hacen las raíces cuadradas de las soluciones. Ecuaciones polinómicas. Estas ecuaciones se resuelven factorizando previamente. Veamos un ejemplo: 0 Mediante la regla de Ruffini: Se puede descomponer: 0, como tenemos un producto de tres factores igualado a cero tiene que ocurrir que alguno de ellos sea cero, con lo que se obtienen las soluciones de la ecuación: º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

3 Ecuaciones racionales. Son las llamadas ecuaciones con en el denominador. En ellas los denominadores algebraicos se suprimen haciendo su m.c.m. se llega a una ecuación de uno de los tipos anteriores. En el proceso de multiplicar por epresiones algebraicas pueden aparecer soluciones falsas, por tanto, siempre que lo hagamos se deben comprobar las soluciones obtenidas. Ecuaciones irracionales. Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita se encuentra bajo una raíz cuadrada. Para resolverla: - Se aísla la raíz en un miembro de la ecuación. - Se elevan al cuadrado ambos miembros. - Si todavía ha raíces se repite el proceso. - Se resuelve la ecuación obtenida. Al elevar al cuadrado pueden introducirse nuevas soluciones que ha que rechazar, por la que siempre ha que comprobar las soluciones. Veamos un ejemplo: - Aislamos una raíz: - Elevamos al cuadrado: - Desarrollamos los cuadrados: - Agrupamos: - Volvemos a elevar al cuadrado: - Agrupamos: - Resolvemos - Comprobamos las soluciones: sí es solución no es solución º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

4 Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Una inecuación de primer grado con una incógnita está formada por dos epresiones algebraicas unidas por uno de los signos <, >, o. Así como en las ecuaciones la solución (si la ha) es un número real, en las inecuaciones es un intervalo o una semirrecta. Se resuelven siguiendo los mismos pasos que las ecuaciones, por ejemplo, vamos resolver la inecuación - Hacemos m.c.m. - Quitamos denominadores (-) < (-) - Quitamos paréntesis - < - - Agrupo 9 < - Despejo < Con lo que la solución es el intervalo (, ) La diferencia con las ecuaciones es que si al llegar a la penúltima desigualdad el coeficiente de es negativo, tenemos que cambiar de signo toda la inecuación antes de despejar. Poe ejemplo, si tenemos - >, entonces cambiamos de signo queda < -, ahora a despejamos < -. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que lo forman. Ejemplo: La solución de la primera inecuación es < 7, la solución de la segunda es > -. Por tanto la solución del sistema está formada por todos los números maores que - menores que 7, es decir, está formada por todos los números del intervalo (-, 7). Si las dos soluciones son incompatibles el sistema no tiene solución. º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

5 Inecuaciones de grado superior a uno con una incógnita e inecuaciones racionales. Veamos un ejemplo: - Factorizamos el polinomio - Hacemos una tabla (-)(-) Como en la inecuación aparece el signo <, la solución que queremos es, es decir, el intervalo (,). Ecuaciones con valor absoluto. Siempre tienen dos soluciones. Ejemplo: Como el valor absoluto es 7, la epresión de dentro del valor absoluto puede ser 7 o -7, por tanto: - - Inecuaciones con valor absoluto. Veamos dos ejemplos: Todos los números que tienen valor absoluto menor que 8 son aquellos cua distancia al 0 en la recta numérica es menor que 8, es decir, los que están entre -8 8, por tanto, en nuestro caso. De ahí nos salen dos inecuaciones: Uniendo las dos desigualdades la solución es: Todos los números que tienen valor absoluto maor que 8 son aquellos cua distancia al 0 en la recta numérica es maor que 8, es decir, los que están a la derecha de 8 los que están a la izquierda de -8, por tanto, en nuestro caso nos salen dos inecuaciones: º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

6 - - - Uniendo las dos desigualdades la solución es: Ecuaciones eponenciales Se basan en que si Ejemplo: En este caso Si las bases no son iguales tomamos logaritmos. Ejemplo: Como no es potencia de, cogemos logaritmos: Ecuaciones logarítmicas. Se basan en que si Para resolverlas ha que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos, es conveniente comprobar las soluciones, pues solo eisten logaritmos de números positivos. Veamos un ejemplo: Aplicando las propiedades de los logaritmos podemos escribir esta ecuación como Por tanto:, que tiene como solucuiones Comprobando las soluciones: Pero no eiste con lo que no es solución. º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

7 . Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) f) 7 0 b) 0 0 g) 0 0 c) 0 h) 0 d) 7 0 i) 0 e) j) a) b) c) d) =0, = - e) =0, =- f) g) =0, = h) =0, =8 i) j) =0, =0/. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 0 f) 0 b) 0 g) 7 c) 0 9 h) d) 0 7 e) i) j) a) =-,=- b) =, =- c) =, =-7 d) =, =- e) =0 f) =0, =7/ g) =0, =/ h) =-, =- i) No sol. J) =0, =/. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) e) 0 b) 0 0 f) 0 c) 7 0 g) 0 º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

8 º de Bachillerato. Tema. Álgebra. d) 0 h) a) b) c) d) e) f) g) h). Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 h) 0 00 b) 0 i) 0 c) 0 j) 0 9 d) 0 0 k) 0 e) 0 l) 0 f) m) 0 g) 0 n) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n). Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 g) 9 b) h) 0 c) i) c) 8 j) d) k)

9 e) l) 0 f) m) 9 b) c) No ha c) d) a) e) f) g) h) i) j) k) = l) m) 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 0 h) b) i) c) j) 0 d) 9 7 k) e) l) f) m) 9 g) n) 0 a) b) c) d) No ha e) =8 f) = g) = h) =, = - i) No ha j) =0, = - k) = l) = m) = n) = 0, = 8. Resuelve los siguientes sistemas: =, = =-, = =-/, =7/ º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

10 º de Bachillerato. Tema. Álgebra X=0, = - =-, =- =8, = - =0, = - =, = =, = 9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: X=, =; =-, =- =, =7; =-, =-7 =0, =0; =-, =/ X=7, =; =7, =- =0, =; =-, =-0 =, =; =; =- X=-7, =; =-7, =- X=, =-; =-, = =7, =8 =, =; =, = X=, =7; =-, =- =, =7; =, = =, =8; =-, =- 9 8 X=, =; =, =- X=, =; =, =- X=, =; =, =- X=-, =; =-, =- X=-, =; =-, =- X=-, =; =-, =-

11 0. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: X = 0, =, z = 9 =, =, z = 0 = -, =, z = 7 X =, = -, z = - =, = 0, z = =, = -, z = 0. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) d) ( ) ( ) ( 7) e) 7 f) ( ) ( ) g) a) b) c) d) e) f) g). Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita: a) b) c) d) e) f) º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

12 g) a) (7,9) b)[-,] c) (-,] d) e) (,] f) (,) g) No ha solución. Resuelve las siguientes inecuaciones: a)(+) (-) > 0 b) ( -) ( ) < 0 c) d) e) f) g) h) 0 i) j) k) l) m) n) ñ) a) b) (,) c) [-,] d) e) f) [,] g) h) (-,) i) j) k) l) m) n) ñ). Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales: a) b) =0 c) (+) -8 + =0 d) 0 - = e) (-) (--) =98 f) =90 g) + - = h) e - -e - +e =0 i) 8 j) = 7 a) = b) = c) = ; = - d) = e) = f) = 0 g) = 0; = h) = ln(), = 0 i) = ; = - j) =. Resuelve los siguientes sistemas: a) e) lg lg 0 º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

13 b) lg lg lg lg lg lg f) c) lg lg lg lg0 lg lg lg0 g) lg( 8) lg( ) / lg d) lg (9 ) / ( 9) lg h) ( ) a) =, = b) =0 /, =0 7/ ) c) = /, =(0/7) / d) =, = e) =0+0 /, =-0+0 / f) =0, = g) =/, =8/ h) =, =. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) ( -+9)lg+lg= b) lg( - ) + +lg0= f) lg -lg =lg(/) g) lg lg lg = lg lg lg( ) c) lg( ) h) lg lg lg lg 9 d) ( -+7)lg+lg= e) lg lg 0 ; i) lg = + lg (/0) j) lg lg lg a) =; = b) =, =- c) =, =. d) =, = e) = f) = g) = h) = i) =0 j) =/ º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

14 7. Resuelve las siguientes ecuaciones, inecuaciones sistemas: =0. (+) -8 + = (-) (--) = = = lg lg( ) 7. lg( ) 8. lg lg 0 ; 9. lg -lg =lg(/) 0. lg = + lg (/0). lg lg lg. º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

15 lg(9 ) /. lg( 9) lg lg. lg 7. ( ) º de Bachillerato. Tema. Álgebra.

16 Resuelve los siguientes problemas:. Halla un número de dos cifras sabiendo que las decenas son el cuádruple de las unidades que si invertimos sus cifras sumamos el número resultante con el anterior obtenemos.. Halla un número que se diferencia de su cuadrado en 0 unidades.. Sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo se puede construir un cuadrado de cm de superficie. Uno de los catetos de dicho triángulo mide cm más que el otro. Halla su área.. Tres amigos invierten 0000, , respectivamente, en un negocio. Al repartir beneficios el segundo de ellos obtiene 00 más que el primero. Cuáles han sido los beneficios del negocio?. En el mercado la Señora Lola se gastó,0 por la compra de patatas, manzanas naranjas que costaban /kg,,0 /kg, /kg, respectivamente. Cuántos kilos ha comprado de cada alimento si entre todos han pesado 9 kg además se llevó kg más de naranjas que de manzanas?. Una familia tiene unos ingresos de 0 e al mes por los sueldos del padre, la madre el hijo. Si la madre gana el doble que el hijo, el padre / de lo que recibe la madre, cuánto gana cada uno de ellos? 7. Halla tres números sabiendo que el tercero es igual a dos veces el primero más el segundo; que el segundo es la cuarta parte del doble del primero más el tercero, que si se resta al tercero la suma del primero más el segundo, el resultado es. 8. Calcula las dimensiones de un rectángulo cua diagonal mide 7 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuos lados miden m 8 m respectivamente. 9. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano terror. Se sabe que: a) El 0% de las películas infantiles más el 0% de las del oeste representan el 0% del total de las películas. b) El 0% de las infantiles más el 0 % de las del oeste más del 0% de las de terror representan la mitad del total de las películas. c) Ha 00 películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo. º de Bachillerato. Tema. Álgebra.