8. ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 8. ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES º ESO Def.: Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas donde aparecen números conocidos (datos) números desconocidos llamados incógnitas. Def.: Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, es decir, los valores que pueden tomar las incógnitas de modo que al sustituirlos en la ecuación verifican la igualdad. Def.: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Criterios de equivalencia Si sumamos o restamos los dos miembros de una ecuación por el mismo número o epresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente. Se multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por el mismo número o epresión algebraica distintos de cero (non nulos), se obtiene otra ecuación equivalente. Procedimiento de resolución: Eliminar los paréntesis (propiedad distributiva). SIMPLIFICAR. Eliminar denominadores (multiplicando los dos miembros por el mínimo común múltiplo). SIMPLIFICAR Ecuaciones lineales o polinómicas de primer grado Def.: Una ecuación es lineal si el máimo eponente al que está elevada la incógnita es. Resolución: se aplican los criterios de equivalencia hasta obtener una ecuación con las incógnitas a un lado los números al otro: a = b con a > 0 se despeja la incógnita. Ejemplo: ; mcm(,,)= 6 ; ; 9 ; ; ; La solución de una ecuación lineal es un punto sobre la recta real. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Def.: Una ecuación es de segundo grado si el máimo eponente al que está elevada la incógnita es. Resolución: se aplican los criterios de equivalencia para poner todo a un miembro al otro cero: i) a + c = 0 con a > 0 La incógnita está en un único lugar, entonces se despeja Ejemplo: 9 = 0 ; = 9 ; 9 ; = = ii) a + b = 0 con a > 0 No ha término independiente, entonces se saca factor común Ejemplo: 9 = 0 ; ( 9) = 0 ; = 0 = 9 iii) a + b + c = 0 con a > 0 b b a ac Ejemplo: + 6 = 0 ; = = La ecuación de segundo grado si tiene solución, tiene dos; es decir, dos puntos sobre la recta real.

2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES º ESO Def.: Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales en la que aparecen dos incógnitas. Def.: Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es encontrar la solución o soluciones, es decir, parejas de números que al sustituirlos en las ecuaciones por las incógnitas verifican las dos igualdades. Pueden tener una, ninguna o infinitas soluciones. Criterios de equivalencia: Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuación el mismo número o epresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente. Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por el mismo número o epresión algebraica distintos de cero (no nulo), se obtiene otra ecuación equivalente. Si a una ecuación del sistema le sumamos o restamos otra ecuación multiplicada por un número, se obtiene una ecuación equivalente. RESOLUCIÓN: Sacar paréntesis, simplificar; sacar denominadores, simplificar; se aplican los criterios de equivalencia en cada una de las ecuaciones hasta obtener una epresión de la forma: Método de resolución por sustitución: a b c a' b' c' En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar se sustitue en la otra ecuación resultando una ecuación con una incógnita. Se resuelve con la incógnita obtenida se calcula el valor de la despejada. ; 0 ; 9 ; = = Método de resolución por reducción: Mediante criterios de equivalencia se hace que los coeficientes de la misma incógnita en las dos ecuaciones, sea el mínimo común múltiplo de los coeficientes luego se suman o restan las dos ecuaciones miembro a miembro ; = 8 ; = 8 = 8; = = Método de resolución gráfico: Una ecuación con dos incógnitas es una recta en el plano. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos rectas en el plano que se cortan en un punto cuas coordenadas son la solución del sistema. Se representan las rectas se determinan las coordenadas del punto de corte. 9 + = 9 = = + 9 A(, ) 0 C(, 0) B(, ) D(, ) Las rectas se cortan en (, ) La solución es = =

3 ECUACIONES LINEALES º ESO a) 9 0 b) c) 9 0 d) 0 e) 6 f) g) h) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ) = 0 ) 0 ) 0 0 ) = 8 ) 6 0 6) + 9 = 0 ) 8) + = 0 9) ( + 6) = 0 0) ) 6 ) 0 ) 0 ) 0 ) 8 0 6) 0 0 ) 8 8) ) 0 0) 0 ) 0 ) ( ) ( ) = 6 ) ) ( ) ( ) = 0 ) (+) -(-) =0 6) (-)-(+)=0 ) (+)(-)=(+)+ 8) (+)-(6+)=(+)(-) 9) ( ) ( ) 6 6 0) ) 0 )

4 PROBLEMAS DE ECUACIONES º ESO. Luis preguntó a su primo Juan cuántos años tenía, Juan le contestó: Si al triple de los años que tendré dentro de años le restas el triple de los años que tenía hace tres años, tendrás los años que tengo ahora. Cuántos años tiene Juan? (Juan tiene 8 años). Ana tiene años, su hermano Pablo tiene años su padre. Cuántos años tienen que pasar para que la suma de las edades de Ana Pablo sea igual a la de su padre? (Al cabo de 6 años). Se han vertido litros de agua a ºC en una olla que contenía 6 litros de agua a 60 º. A qué temperatura está ahora el agua de la olla? (La temperatura es de ºC). Sonia ha comprado un libro un disco que tenían el mismo precio, pero le han rebajado un % un 0% respectivamente, cando fue a pagar. Si ha ahorrado 9, cuánto costaba cada producto? (Cada producto costaba 6 ). Elvira compra unos zapatos, una camisa una chaqueta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaqueta ésta la mitad de los zapatos, ha pagado 6, cuánto cuesta cada cosa? (Los zapatos cuestan, la chaqueta 6 la camisa 8 ) 6. Deseamos mezclar 0 kg de azúcar blanco de /kg con azúcar moreno de 8 /kg. Cuántos kg de azúcar moreno se necesitan para que la mezcla salga a /kg? (Se necesitan kg de azúcar moreno). Halla un número tal que la diferencia entre el su cuádruplo su cuarta parte sea. (El número es ) 8. Encuentra el valor de k en la ecuación k = de modo que su solución sea. (k = ) 9. La base de un rectángulo mide 8 cm más que la altura. Si su perímetro mide 6 cm, calcula las dimensiones del rectángulo. (El rectángulo mide 0 cm de largo de ancho) 0. Los lados de un rectángulo miden m m. Al aumentar los lados en una misma cantidad, el área aumenta 8 m. Cuánto se ha ampliado cada lado? (Se ha ampliado m a cada lado). El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruplo del menor, menos dos unidades. Encuentra dichos números. (Los números son, o bien ). Calcula un número que multiplicado por su mitad sea igual a su cuarta parte más 9. (El número es o bien 9/)

5 º ESO SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) 0 b) 0 8 c) 0 d) 9 60 e) f) g) h) PROBLEMAS. Un instituto tiene una matrícula de 9 alumnos entre los dos primeros cursos. Sucede que el % del curso de primero el % del curso de segundo son chicas, lo que supone un total de 8 alumnas entre los dos cursos. A cuánto asciende la matrícula de cada curso? (En primero ha 0 alumnos en segundo ). Tres carpetas dos cuadernos pesan 0 g.; dos carpetas tres cuadernos pesan 9 g. Un alumno va cada día a clase con carpetas 6 cuadernos. Qué peso lleva? (Lleva 990 gr). Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de euro por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero pierde 0 euros por cada pieza defectuosa que tiene que retirar. En una jornada que ha fabricado.00 bombillas que ha obtenido unos beneficios de 000 euros, cuántas bombillas defectuosas ha fabricado? (Ha fabricado 0 bombillas defectuosas). Un sastre ha confeccionado chaquetas chalecos colocando en total botones. Cada chaqueta lleva botones más que cada chaleco. Cuántos botones lleva cada chaleco? (Un chaleco lleva botones). Julio invierte 000 en acciones de dos empresas. En una gana el % de lo que invierte en la otra pierde un %. Si al venderlas obtiene 60, cuánto ha invertido en cada empresa? (En la ª ha invertido 6000 en la º, 8000 ) = = = 8 = = 8 = = 6 = 0 = 6 =

6 PROBLEMAS DE SISTEMAS DE EUACIONES LINEALES º ESO. Calcula dos números cua suma sea 9 su diferencia 6. (Los números son 9 6). Dos kilos de peras tres de manzanas cuestan,80. Cinco kilos de peras cuatro de manzanas cuestan,0. A cómo está el kilo de peras? Y el de manzanas? (El kg. de peras está a,0 el de manzanas a,80 ). Para pagar un artículo que costaba, he utilizado nueve monedas, unas de 0 céntimos otras de 0 céntimos. Cuántas monedas de cada clase he utilizado? (Se han utilizado monedas de 0 cts monedas de 0 cts). En un bar se venden bocadillos de jamón a, bocadillos de tortilla a. En una mañana vendieron bocadillos la recaudación final fue de 9. Cuántos se vendieron de cada clase? (Se vendieron 0 bocadillos de jamón de tortilla). En un test de 0 preguntas se obtienen 0, puntos por cada respuesta correcta se restan 0, puntos por cada error. Si mi nota ha sido 0,, cuántos aciertos cuántos errores he tenido? (Ha tenido 8 aciertos errores) 6. Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A B. Para fabricar una del modelo A, se necesitan kg de acero kg de aluminio, para una del modelo B, kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero 0 kg de aluminio, cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar? (Puede fabricar 0 bicicletas de tipo A 0 de tipo B). He pagado 90,0 por una camisa un jerse que costaban, entre los dos, 0. En la camisa me han rebajado un 0% en el jerse, un %. Cuál era el precio original de cada artículo? (La camisa costaba 60 el jerse 0 ) 8. María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un %. Marta ha comprado otro abrigo más caro, pero ha conseguido una rebaja del 0%, con lo que solo ha pagado 8 más que María. Cuál era el precio de cada abrigo? (El abrigo de María costaba 0 el de Marta 6 ) 9. Por un pantalón unos zapatos he pagado 6. Si el precio del pantalón aumentara en un %, entonces sería el % del precio de los zapatos. Cuánto pagué por cada uno? (El pantalón costaba 0 los zapatos 6 ) 0. La base maor de un trapecio es cm más larga que la menor; la altura del trapecio es 8 cm su área 8 cm. Cuánto miden las bases? (La bases miden cm cm). Calcula las dimensiones de un rectángulo cuo perímetro es 0 m la altura mide los / de la base. (Las dimensiones son 0 m 90 m). Un número está compuesto por dos cifras que suman 6 unidades. Si cambiamos las dos cifras de orden, el número aumenta en 8 unidades. De qué número se trata? (Es el número )