TEMA 3 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

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1 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 1 TEMA ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) + = 0 c).( + 1) 9 = 0 d) = 0 e 1 0 f) g) h) 1 1 i) 9 = 0 j) 1 k) l) 10 8 = 0 ( )( 1) m) 1 n) ñ) o) p) 1 q) r) s) 1 t) ( + 1)( 7)( - ) = 0 u) (9 1)( + ) = 0 v) w) 1 0 ) 7 y) 0 z) 1 1) a) Multiplicamos los dos miembros por : Las soluciones son 1 y b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio z: z z 0 z Si z Si z Las soluciones de esta ecuación son 1 1, 1, y. 1 0 c) Sabemos que si a b, entonces, o bien a b o bien a b. 9 En este caso: Así: Las soluciones son 1 1 y 1. 10

2 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO d) = 0 equivale a z + z 8 = 0, siendo z = z Si z no hay solución real. Si z Las soluciones pedidas son 1 y. e Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: 1 1 z z 0 z 1 Si z Si z f) g). Elevamos al cuadrado y operamos: Por tanto, hay cuatro soluciones:,, 1, h) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) i) - 9 = 0 ( 0 0 9) = 0 Hay tres soluciones: 1 0,, j) 1 1 Elevamos al cuadrado y operamos: no válida 1 1 k)

3 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO l) Haciendo z, se obtiene: z z 8 0 z Si z Las soluciones son 1 y. Si z no hay solución real. m) Multiplicamos ambos miembros por : Las soluciones son 1 1 y n) Elevamos al cuadrado ambos miembros: Volvemos a elevar al cuadrado: 9 9 es la posible solución. Lo comprobamos: Luego 9 es la solución buscada. ñ) Multiplicamos ambos miembros por ( ): Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: es solución es solución Las soluciones son 1 y. o) Multiplicamos ambos miembros por : Comprobación de las posibles soluciones: 1 es solución ; 8 Las soluciones son 1 y es solución

4 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO p) 1 Elevamos ambos miembros al cuadrado: Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación: es solución no es solución 1 La única solución es q) Hacemos común denominador: Comprobamos las soluciones: es solución Las soluciones son 1 y. es solución. r) Multiplicamos ambos miembros por : Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial: es solución 7 s) 1 Elevamos ambos miembros al cuadrado: Volvemos a elevar al cuadrado: Comprobamos si es, o no, solución: ; Ambos miembros coinciden, luego 1 9 es la solución buscada.

5 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO t) Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así: Las soluciones son 0,,, y u) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que: Las soluciones son 1 0,, y. 0 v) 1 1 Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad: Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: es solución. 1 1 no es solución. w) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir: Las soluciones son 0, 1, y. ) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Comprobamos si son o no solución, sustituyendo en la ecuación inicial: es solución : 1 7 es solución. 1 y) Haciendo z, obtenemos z 9 1 z 0 z Así: z z 1 1 no hay solución. Las soluciones son: 1, 1 z) 1 1 Elevamos al cuadrado ambos miembros:

6 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: no es solución. 1 1 es solución. 1) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Comprobamos estas soluciones en la ecuación: es solución es solución. 1 Las soluciones son: 1, EJERCICIO : Escribe una ecuación cuyas soluciones sean 1, 1 y. 1 1 La ecuación 0 tiene como soluciones las pedidas. Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuación buscada: es la solución. 8 1 SISTEMAS DE INECUACIONES EJERCICIO : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 1 y 1 y 1 b) a) 7 y 1 1 y y c) y y y e) y i) m) y 1 f) y 1 y 8 y j) 10 y y 1 y y 1 n) y y y 8 g) y 1 1 y k) y y ñ) y 1 y d) y 1 1 y h) y l) o) y y y y y 1

7 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 7 a Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema: 1 y 1 y 0 y 1 1 y y 1 y Despejamos y de la 1ª ecuación y de la ª, e igualamos: y y y La solución es: 7, y b) 1 y y 1 1 y 0 7 y y y Aplicamos el método de reducción en multiplicando la segunda ecuación por : 1y 0 y y 8 y y 7 Luego: y 1 La solución es: 1, y c Despejamos de la ª ecuación y sustituimos en la primera: y 1 y 1 y 1 y y 1 y y y Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad: y 1 y y 1 1y 1y 1y 1y y y Así: y 8 8 Comprobamos si ambas soluciones son válidas sustituyendo en la 1ª ecuación: , y es solución del sistema , y no es solución del sistema. 8 8 y y 1 y d) Simplificamos cada una de las ecuaciones del sistema: y 1 y y 1 Aplicamos el método de reducción en y, multiplicando por la ª ecuación: y 18 y y La solución del sistema es:, y 1

8 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 8 e Despejamos de la ª ecuación y sustituimos en la primera: y y y y y y 1y y y 10y 0 y y y 1 ; y1 Así: Las soluciones del sistema son: y ; y f) Método de sustitución Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Se calcula el valor de y : y 1 y y Comprobamos con la calculadora: 18 a b/c 0 a b/c / 1 a b/c 18 a b/c 0 a b/c / y 8 y 0 y g) Comenzamos por simplificar el sistema: y 1 1 y y 7 y Utilizaremos el método de reducción en, multiplicando la primera ecuación por 1: y 7 7y 9 y 7 Calculamos el valor de : 7 y La solución que cumple el sistema es: 7, y Comprobamos dicha solución: h) Utilizaremos el método de reducción en y; para ello multiplicamos la ª ecuación por : y 1 y Calculamos y sustituyendo el valor de en la 1ª ecuación: y y y y 1 La solución buscada es:, y 1 1 Comprobamos la solución: 1 1 1

9 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 9 i) Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema: 1 y 8 1 1y 8 1y y y y y 1 y Despejamos de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y 1 y y 90y y 9y y y 9 7 Calculamos el valor de : 1 Comprobamos con la calculadora: 1 7 a b/c / 1 7 a b/c / j) Comenzamos por simplificar la segunda ecuación transformándola en otra equivalente: 10 y 1 10 y 10 y 8 y El sistema es: Resolvemos por el método de sustitución: y 10 y Luego: y y y La solución al sistema es:, y Comprobamos la solución: k) Transformamos la segunda ecuación en una equivalente sin denominadores: 10 8 y y y 1 y El sistema a resolver es: y 1 1 y Despejamos de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: 1 y y y 1 y 9y 1 y 1 y 9y 1 0 1y y 1 0 8y y Si y Si y y1 Las soluciones al sistema son: 11 1 y y

10 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 10 l) Multiplicamos la segunda ecuación por para aplicar el método de reducción: y 18y 1 1y 1 y 1 y 1 si y Como y si y Las soluciones son: 1 y y 1 1 y 1 1 y 1 m) Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: z 1z 0 z Si z Si y Si y z 9 z Si z Si y Si y y n) El sistema inicial es equivalente a y y Aplicamos el método de igualación: y Elevamos al cuadrado los dos miembros de la última igualdad: Si y Si 1 y y 1 Comprobamos las soluciones sobre el sistema: y Luego ambas soluciones son válidas: y 1 1 y ñ) Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y y y1 Las soluciones son: 1 y 1 y

11 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 11 o) Empezamos simplificando la primera ecuación multiplicándola por y:: y 1y Como y : y 1 y 1 Por tanto, el sistema a resolver es: y 1 y Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y ; Ecuación bicuadrada: Si y Si y Si y Si y Comprobemos si las dos primeras soluciones son, o no, válidas: Análogamente se cumpliría para las otras dos. Luego, las soluciones son: PROBLEMAS y 1 1 y y y EJERCICIO : Un grupo de amigos alquilan un piso por 00 al mes para vivir en él. Con el fin de ahorrar en los gastos del piso, deciden que dos personas más compartan con ellos el piso; de esta manera pagarían 80 menos. Calcula cuántas personas van a vivir inicialmente en el piso y la cantidad que pagaría cada una por el alquiler. nº de personas que alquilan el piso y precio que paga cada una por el alquiler 00 y Aplicamos el método de sustitción: El sistema a resolver será: y Luego el número de personas que alquilan el piso es, y cada una paga mensualmente NO SIRVE EJERCICIO : Hace cinco años, la edad de un padre era seis veces superior a la del hijo; sin embargo, en la actualidad solo es años más que el triple de la edad del hijo. Calcula las edades actuales de ambos. EDAD DEL HACE AÑOS HOY PADRE HIJO En la actualidad: edad del padre edad hijo 1 1 La edad actual del padre es de años, y la del hijo, 10 años.

12 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 1 EJERCICIO : Halla dos números que sumen 1 y tales que la diferencia de sus cuadrados sea 8. Llamamos e y a los dos números buscados y planteamos un sistema: y 1 1 y 1 y y y y y 8 y 8 y y 18 8y y 1 8 Los números buscados son 8 y. 8 EJERCICIO 7 : Antonio gastó la tercera parte del dinero de una herencia en un televisor nuevo, del resto en reformar la casa, el 10 de la cantidad inicial en ropa y el resto, 0, los ahorró. Cuánto dinero heredó? dinero heredado Televisor le quedan por gastar Casa de 1 Ropa de 10 Ahorro 0 La ecuación que resuelve el problema será: 0 10 Multiplicamos ambos miembros por 0: es la cantidad heredada. EJERCICIO 8 : El área de un rombo es de 0 cm. Calcula la longitud de las diagonales sabiendo que suman cm. Llamamos y a las longitudes de ambas diagonales. A ROMBO Diagonal mayor Diagonal menor Así: Si Si Luego, la longitud de las diagonales es de 1 cm y 0 cm. EJERCICIO 9 : La diagonal de un rectángulo mide cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 1 cm.

13 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 1 y 1 y 7 y Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y Si y 7 Calculamos el valor de y: Si 1 y no sirve una longitud no puede ser negativa Luego las dimensiones del rectángulo son cm y cm. EJERCICIO 10 : Un grupo de estudiantes organiza una ecursión para lo cuál alquilan un autocar cuyo precio es de 0. Al salir, aparecen estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la ecursión y que cantidad pagó cada uno. nº de estudiantes que van a la ecursión y precio que paga cada estudiante 0 y El sistema a resolver será: 0 y Aplicamos el método de sustitución: no sirve 0 El precio por alumno será: y 1 Luego, van estudiantes a la ecursión y cada uno paga 1. EJERCICIO 11 : Un bodeguero quiere mezclar vino de calidad superior cuyo precio es de /l con otro más corriente de /l. Dispone en total de 1 l. Calcula el número de litros de cada clase para que la mezcla cueste, /l. litros del vino que cuesta /l, y litros del vino que cuesta /l, y 1 y 1 y 0 El sistema a resolver será: y 1, y 18 y Luego, y Ha de mezclar 189 l de vino bueno con 1 l del más corriente. EJERCICIO 1 : Pablo tiene unos ingresos anuales de 000. Parte de ese dinero está en una cuenta en la que le dan el % anual; el resto lo gasta. Calcula la cantidad de dinero gastado y ahorrado, sabiendo que al final del año recibe 0 de intereses. Dinero gastado y Dinero ahorrado y y 1000 y 000 y 000 de y 0 0 y Gasta y ahorra

14 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 1 EJERCICIO 1 : Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que tiene 8 cm de área y que su diagonal mide 10 cm. y 8 Llamamos a la base e y a la altura del rectángulo. Por tanto, tenemos que: y 10 Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 8 y Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: z 100z 0 0 z 7 Si z 8 8 y Si z y 8 Observa que las soluciones negativas no son válidas, pues representa una longitud. El rectángulo es, por tanto, de 8 cm cm. EJERCICIO 1 : Un rectángulo tiene 0 cm de área. Su perímetro es de cm. Halla sus dimesiones. Llamamos a la base del rectángulo e y a su altura. y 0 Por tanto, tenemos que: y y 17 Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y y y 1 El rectángulo es, por tanto, de 1 cm cm. EJERCICIO 1 : El producto de dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es. De qué números se trata? y 8 Llamamos e y a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que: y Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 8 y Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: z z 78 0 z Si 7 y Si z Si 7 y z 9 z 1 Si z Si y 7 Si y 7

15 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 1 INECUACIONES EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes inecuaciones y escribe la solución en forma de intervalo: a) b) c) d) e) f) 0 g) 0 h) 1 i) 0 j) 8 k) 0 l) 0 1 m) 1 0 n) 0 ñ) ( + ) 0 a) 10 La solución en forma de intervalo será:, b) Multiplicamos por 8 la inecuación y agrupamos los términos como en las ecuaciones: La solución buscada es 0,. c) Multiplicamos la inecuación por, quitamos paréntesis y agrupamos los términos como en las ecuaciones: La solución en forma de intervalo es,. 1 d) Multiplicamos todo por para quitar el denominador: 9 La solución en forma de intervalo es,. e) + > - > - < La solución es el intervalo (-,) f) El factor 0 si, y el factor 0, si. La solución será el intervalo, g) Igualamos, por separado el numerador y el denominador a cero: El numerador: + 7 = 0 = -7 (Se coge porque es ) El denominador = 0 = (El denominador nunca se coge) Estudiamos los signos Solución, 7,. h) Reducimos a una ecuación de segundo grado y calculamos sus soluciones: Luego la solución a la inecuación es, U 7,.

16 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 1 i) Igualamos, por separado, numerador y denominador a cero: Numerador: + = 0 = - (Lo pintamos) Denominador: = 0 = 0 (No lo pintamos) Por tanto, la solución es,. j) Resolvemos la ecuación 1 0: 9 7 La solución será: (-,-7) (,+) k) Resolvemos la ecuación 0: La solución de la inecuación es, 1, l) Hallamos las raíces de resolviendo la ecuación: La solución de la inecuación es, 0,. m) Hallamos las raíces de la ecuación: La solución de la inecuación es 1,. n) Hallamos las raíces del numerador y del denominador: (No se coge) 0 (No se coge) La solución de la inecuación es (, 1) (, ).

17 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 17 ñ) Hallamos las raíces de resolviendo la ecuación: La solución de la inecuación es, 0. SISTEMAS INECUACIONES EJERCICIO 18 : Halla el conjunto de soluciones de los sistemas de inecuaciones: a) b) c) d) e) 0 a) Resolvemos cada inecuación por separado; la solución será el conjunto de puntos que cumplan ambas inecuaciones. 1 La solución al sistema es el intervalo,. b) Resolvemos independientemente cada inecuación y buscamos las soluciones comunes: El sistema no tiene solución, puesto que no hay valores que cumplan ambas inecuaciones a la vez. 0 c) Resolvemos cada inecuación y buscamos las soluciones comunes: La solución del sistema es,.

18 Tema Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemáticas B º ESO 18 d) Resolvemos cada inecuación por separado y buscamos la solución que sea común a ambas: La solución del sistema es, 7. e) Resolvemos cada inecuación por separado y buscamos el conjunto de puntos que cumplen ambas a la vez: 0 0 La solución común a ambas inecuaciones es,.