Identidad literal es una igualdad que se verifica para cualquier valor que le demos a las letras:

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1 TEMA 6. ECUACIONES 1. IDENTIDADES Y ECUACIONES. En el conjunto de igualdades distinguimos tres tipos: Identidad numérica es una igualdad cierta entre números: + +1 = 8 Identidad literal es una igualdad que se verifica para cualquier valor que le demos a las letras: ( + ) = + + Ecuación es una igualdad algebraica que se verifica o es cierta para algunos valores de las letras que llamamos incógnitas 1 = 0, es una ecuación ya que solo se cumple la igualdad para =1 y = -1. La solución de la ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.. DE PRIMER GRADO. RESOLUCIÓN. Las ecuaciones de primer grado son aquellas en las que la incógnita está elevada a 1 Son de primer grado: + 5 = 8 ; -,5 = ; +7 = - No son de primer grado: ( + 5) = 8 ; - = 8 ; + 1 = 5 la ecuaciones de primer grado tienen una única solución, que se obtiene despejando la incógnita. Pasos para resolver ecuaciones de 1 er grado. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente su m.c.m. Quitar paréntesis, si los hay. IES ANTONIO CALVÍN 1

2 Pasar los términos en a un miembro y los números al otro miembro. Simplificar cada miembro Despejar la. Se obtiene, así, la solución. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) - =1 ) + = ) 10 = 7 + ) 8 = 5 5) = 7 6) 5= 15 7) = 6 8) - = 8 9) 7 + = 1 10) 5 + = ) 5 = ) 1 ( 1) = 16 IES ANTONIO CALVÍN

3 1) ( + 1) = ( ) 1) = 15) - = 1 16) + = 6 17) + = 6 18) = ) + 6 = + 0) = + 5 1) + = ) = 5 1 ) 5 = 1 ) 5 = 5 1 IES ANTONIO CALVÍN

4 5) 5 = + 9 6) 1 + = 6 1 7) = 5 8) 1 + = 6 1 9) + = ) = 9 1) ( +) + 5 5(+1) + = ) 5 = 5 ) 1 = ) + = ) = ( ) 6) = 7) 11 + = 5 6 IES ANTONIO CALVÍN

5 . RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES. Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada, por lo que es útil dar los siguientes pasos: Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita. desconocido. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo Resolver la ecuación. Interpretar la solución ajustándola al enunciado. Por ejemplo: 1. Las tres cuartas partes de la edad de la madre de Ana eceden en 15 años a la edad de esta. Hace cuatro años la edad de la madre era doble de la de la hija. Hallar las edades de ambas. HOY HACE AÑOS EDAD MADRE - EDAD ANA ( 15- )= - 19 = - 76 = 8 = 68 La madre tendrá 68 años y Ana: 68 15= 6 años. IES ANTONIO CALVÍN 5

6 8. La suma de dos números consecutivos impares es 156. Cuáles son? 9. En un rectángulo de base X y altura 5 cm sabemos que su perímetro es 16 cm. Calcula la longitud de la base. 0. En un zoo hay el doble número de chimpancés que de gorilas. Sin en total hay 171 animales. Cuántos hay de cada especie? 1.Israel le dice a su hijo Juan Francisco: Hace 7 años mi edad era 5 veces la tuya, pero ahora es sólo el triple Cuál es la edad de cada uno?. Averigua el número que al sumarlo con su quinta parte nos dé 1.. Ana le dice Mª José: Averigua mi edad si sólo tengo el triple de la edad que tenía hace 8 años. Pilar le dice a María: Tengo 5 cuadernos menos que tú, si te doy de mis cuadernos, tendrás el doble que yo. Cuántos cuadernos tenemos? 5.Zuqueca le dice a Luís Carlos la mitad, el tercio y la cuarta parte de mis años suman la edad que tengo más tres. Averigua cual es la edad de Zuqueca. 6. Luis Carlos, María y Juan Francisco han ganado a la lotería 00 que deben repartir del siguiente modo: Luis Carlos obtiene 00 menos que María y Juan Francisco 00 menos que Luis Carlos. Calcular lo que han ganado cada uno de ellos. 7. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 1, y su padre,. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre 8. La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es 8. Halla esos números 9. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 1,0. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el helado. Cuál era el precio de cada artículo? 50. Con 1 que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían,5. La entrada de la piscina cuesta 1,5 menos que la del cine. Cuánto cuesta la entrada del cine?. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Una ecuación de segundo grado es de la forma: a + b + c = 0 con a 0 Para despejar la se utiliza la siguiente fórmula: = b ± b ac a IES ANTONIO CALVÍN 6

7 . 1. Número de soluciones: La epresión = b ac se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo de : Si >0, la ecuación tiene dos soluciones: 1 = b a Δ = b a Δ Si =0, solo hay una solución: = b a se llama solución doble Si < 0, La ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no eiste. Cuando la ecuación de segundo grado es incompleta: Si falta el término en, se despeja la : a + c = 0 = - c a = ± c a Por ejemplo: - 9 =0 = ± 9 = - y = Si falta el término independiente se saca factor común: a + b = 0 (a + b) = 0 Por ejemplo: + = 0 (+) = 0 = 0 + = 0 = Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) = 0 IES ANTONIO CALVÍN 7

8 ) =0 ) -5 + = 0 ) = 0 5) - + 1= 0 6) = 0 7) ( +1) - -=0 8) = 0 9) = 0 10) 9 = 0 11) 1 = 0 1) = 0 1) = ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO MÁS COMPLEJAS Cuando una ecuación de segundo grado tiene una fisonomía más compleja, debemos arreglarla antes de aplicar la fórmula. Tendremos que quitar paréntesis (si los hay), quitar denominadores (si los hay), agrupar términos y pasarlos todos al primer miembro. Ejercicio resuelto: Resolver la siguiente ecuación: 1 + = Quitamos los paréntesis: + 1 = + + Quitamos los denominadores, multiplicando los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. (, ) = ( +1) ( ) = IES ANTONIO CALVÍN 8

9 ( + 1) ( ) = = + 5 Agrupamos los términos, pasándolos todos al primer miembro: = = 0 donde a = -, b =- 8 y c =11 8 ± ± 196 = = 1 = 1 y = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( 1) ( + 1) + ( ) = ( + ) ( +1) 1 b) + = 0 c) ( + ) ( ) + = d) ( + 1) ( + ) + 1 = 0 ( +1) e) ( + 1) - = f) ( + 1) ( 1) + = + 6. OTRAS ECUACIONES Para resolver ecuaciones que están factorizadas, igualamos a cero cada uno de los factores. Ejemplo 1 Resolver la ecuación: ( 1) ( ) = 0 En el primer miembro tenemos dos factores y su producto es cero. Para que al multiplicar dos números, el resultado dé cero, al menos uno de ellos ha de ser cero. Por eso, podemos obtener así las soluciones: IES ANTONIO CALVÍN 9

10 ( 1) ( ) = 0 1 = 0 1 = 1 = 0 = La ecuación tiene dos soluciones Ejemplo Resolver la ecuación: ( 1) ( 5 + 6) = 0 1 = 0 1 = 0 = = 0 = y = Ejemplo Para resolver una ecuación del tipo 5 + = 0, vemos que es de º grado, pero solo tiene términos de grado par. Hacemos el siguiente cambio de variable: llamamos = y. de esta forma, = y y la ecuación queda: y 5y + = 0 y = 1 e y = Los valores que buscamos son los de, y sabemos que = y: Si y = 1 = 1 = ± 1 1 = 1, = -1 Si y = = = ± = -, = La ecuación tiene cuatro soluciones 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( 6) = 0 b) ( + ) ( ) = 0 c) ( + 1) ( 5) = 0 d) ( + 1) ( ) = 0 e) = 0 f) = 0 IES ANTONIO CALVÍN 10

11 ACTIVIDADES DEL TEMA 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: 1+1 ( +1) (1 a) + = 8 +1 ( b) = ) ) ( 1) ( ) 5 c) + = d) (+) (+1) =1 (+) e) 6 = ( ) Las siguientes ecuaciones son de primer grado. Compruébalo y resuélvelas: a) ( +1) + ( - ) = ( + ) + ( 1) b) ( ) ( + ) ( + 1) = c) ( - ) + 1 = ( + ) ( 1) d) 5( ) + 6 = - ( + 1) (1 ) e) ( ) (7 + ) ( ) = ( 5) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( 1) 16 5 = 16 + ( 1) 1 b) + = c) = d) + = e) ( + ) + (1 -) = ( 11) d) ( ) + ( - ) = ( + 1) + 5( 1) 57. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) -6 = 0 b) 9 = 0 IES ANTONIO CALVÍN 11

12 c) = 0 d) 7 = 0 e) ( +) ( 1) = 15 f) ( +) ( 1) = 8 g) + ( ) = 8 h) + ( ) = 7 + ( - ) ( + ) i) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) = 5 j) ( + 1) ( ) + ( ) ( ) = - 1 k) ( + ) ( + 5) + = Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general: a) ( + 1) ( 1) b) =1 ( 1)( +1) ( c) + 1 ( - ) = ) + = Resuelve las siguientes ecuaciones: +1 a) 1= b) = c)( ) + ( + )( ) = 60. Di cuáles son las soluciones de estas ecuaciones: a) ( ) ( + ) ( 5) = 0 b) ( 7) ( 1) = 0 c) ( + ) ( +) = 0 IES ANTONIO CALVÍN 1