TEMA 5 ECUACIONES 2 2, 17

Transcripción

1 TEMA ECUACINES.1 Ecuaciones. Solución de una ecuación. ACTIVIDADES DE LA PÁGINA Es solución de alguna de las siguientes ecuaciones?. Justifica tu respuesta. a. x 3 11x 1 Sustituimos la incógnita x por : CIERT, entonces si es solución. d 1 x Sustituimos la incógnita x por : FALS, entonces no es solución k x Sustituimos la incógnita x por : FALS, entonces no es solución Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 Clasifica las siguientes ecuaciones en polinómicas, con radicales, con la x en el denominador y con la x en el exponente. a. x 3 11x 1 polinómica b. x 4 x 3 00 polinómica c. 3x 7 x 10 polinómica d. 1 x con la x en el exponente e. x 1 4x 7 polinómica f. x1 1 con la x en el exponente g. x 3 x x 1 11 polinómica h. 10x x 3 polinómica i. x 0 x polinómica j. 3x 1 1 con radical k. x polinómica l. 3x polinómica m. x 11 4 con la x en el denominador x ACTIVIDADES DE LA PÁGINA 9 3 Tanteando, halla la solución entera de las siguientes ecuaciones. c x x 4 Si x 4 no sirve Si x no sirve Si x 4 solución f x 1 x, Solution is: 1 i 1 17, 17 1 i 1 No tiene solución entera, pues a un mismo valor se le resta 1 y por otro lado. Además, como a la primera resta hay que someterla a la raíz cuadrada, este valor nos va a quedar todavía más pequeño que el número menos. Esto hablando para números enteros. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 4 Encuentra la solución, aproximando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones. Hazlo por 1

2 tanteo, ayudándote de la calculadora. e x 3 x 00 Si x Si x Si x 3 10 Si x Si x Si x solución aproximada Tareas : todos los ejercicios que faltan del 4. Ecuaciones de primer grado PÁGINA 97 ACTIVIDADES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: c x x 3 x 1 x 1 x x 3 1 x 1 x 1 Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, se pueden suprimir. x x x x 1 1x x 1 4x 1 x x k x 9 x x 4 9x 4 x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, se pueden suprimir. x 4 9x 4 x 14x 19 x n x 7 x x x 7 3x 7 100x 3x 3 30x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, se pueden suprimir. 3x x 10 30x x 4x 10 1 x 11 x 11 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1.3 Ecuaciones de segundo grado Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: 1. x x 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b c

3 x b b 4ac a Tiene dos soluciones distintas:, 4. 4x 1x 9 0 Ecuación de º grado completa con x b b 4ac a a 4 b 1 c Tenemos una sola solución repetida: 3 3. x x 0 Ecuación de º grado completa con x b b 4ac a 100 negativos a 1 b c no tiene solución pues no se pueden calcular raíces cuadradas de números Ejemplo: Calcula el discriminante b 4ac de la ecuaciones de º grado del ejecicio anterior y di cuántas soluciones tendrá cada una. 1. x x 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b c b 4ac entonces tienes dos soluciones distintas.. 4x 1x 9 0 Ecuación de º grado completa con a 4 b 1 c 9 b 4ac entonces una sola solución repetida 3. x x 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b c b 4ac entonces no tiene solución Tareas : todos los ejercicios de la página 9 3

4 Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: 1. 4x Es una ecuación de segundo grado incompleta pues b 0 4x 100 x x tenemos dos soluciones distintas. 3x 4 0 Es una ecuación de segundo grado incompleta pues b 0 3x 4 x x 1 no tiene solución pues las raíces cuadradas sólo se pueden calcular de números mayores o iguales que cero. 3. x 14 Es una ecuación de segundo grado incompleta pues c 0 xx 7 0 El producto de números es cero cuando uno de ellos es cero. x 7 0 x 7 tenemos dos soluciones distintas. 4. x 3 Es una ecuación de segundo grado incompleta pues c 0 xx 3 0 El producto de números es cero cuando uno de ellos es cero. x 3 0 x 3 tenemos dos soluciones distintas. Tareas : todos los ejercicios de la página 99 ACTIVIDADES PÁGINA Resuelve las siguientes ecuaciones. x d 3xx 1 x 1x 1 1 xx 1 x 4x 4 x 1 30 Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos suprimir. x x x 4x 4 x 30 x x 10x x 10x 3 0 Ecuación de º grado completa con x b b 4ac a a 3 b 10 c

5 Tareas : todos los ejercicios que faltan de la página 100 Tareas : todos los ejercicios de la página 101 EJERCICIS FINALES DEL TEMA 1. Es 3 o - solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. d) x 3x x 1 Para x FALS: entonces no es solución Para x FALS: entonces no es solución Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 3 Resuelve mentalmente y explica el proceso que has seguido. e) 3 x Para x CIERT: entonces es solución f) x 7 Para x CIERT: entonces es solución Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 4 Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones. d) x 3 x x 1 Para x CIERT: entonces es solución Tareas : todos los ejercicios que faltan del 4 Busca por tanteo una solución aproximada de las siguientes ecuaciones: como mucho, aproxima hasta las décimas. e). 3 Para no sirve Para 0 1 no sirve Para no sirve Para Para no sirve Nos quedamos con. 7 f) x Para x no sirve Para no sirve Para x no sirve Para x no sirve Para x no sirve Para x Para x no sirve Nos quedamos con x 43. Tareas : todos los ejercicios que faltan del

6 Resuelve las siguientes ecuaciones. d) 4x 7 33x 1 7 x x 9x 3 7 x x x 3 x x 13 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 7 Comprueba si estas dos ecuaciones son equivalentes: x 1 x 1 x 1 x x x 1 1 x Sustituimos este valor en la otra para ver si es solución también de esa ecuación FALS: entonces no es solución Finalmente, las ecuaciones no son equivalentes pues no tienen la misma solución. Resuelve las siguientes ecuaciones: f) x x Calculamos el m. c. m., 3 3 x x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos quitar. 4x 1 1 3x 4x 1 1 3x 4x 3x 7x 14 x 14 7 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9 Resuelve las siguientes ecuaciones: c) x x 4 x 10 x 0 4 Calculamos el m. c. m., 4, 10, x x 1x x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos quitar. 4x x 1x x 4 4x 10 x 1x 7 x 19x 14 9 x 1 x 1 3 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9 10 Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y hallas sus soluciones. xx 1 x 1 d) 3x 4 1 1

7 Calculamos el m. c. m.,, 4 4xx 1 x 1 3x 1 1 Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos quitar. 4x 4x 4x 4x 1 x 1 4x 4x 4x 4x 1 x 1 x x 1 1 x x 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado sin utilizar la fórmula de resolución: a) 3x 1 Como se trata de un producto, será cero si alguno de los multiplicandos es cero. x 4 0 x 4 Tenemos dos soluciones distintas 0, 4 e) 9x 0 Ecuación de º grado incompleta pues b 0 9x x 9 x Tenemos dos soluciones distintas 3, 3 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 11 1 Resuelve: a) x 4x 1 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b 4 c 1 x b b 4ac a Tenemos dos soluciones distintas 3, 7 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 1 BIS Sin resolver las siguientes ecuaciones de º grado, determina, cuántas soluciones tiene cada una. a) x 4x 1 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b 4 c 1 Calculamos el discriminante y estudiamos su signo: b 4ac entonces tiene dos soluciones distintas1s que faltan 7

8 del 1 BIS 13 Resuelve igualando a cero cada uno de los factores: a) x3x 1 0 Como se trata de un producto, será cero si alguno de los multiplicandos es cero. 3x 1 0 3x 1 x 1 3 Tenemos dos soluciones distintas 0, 1 3 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Resuelve las siguientes ecuaciones: d) x 4 x 1 x x x 1 4x 4x 1 x x 1 4x 4x 1 0 3x 4x 1 0 Ecuación de º grado completa con x b b 4ac a 4 14 a 3 b 4 c Tenemos dos soluciones distintas 3, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 14 1 Resuelve las ecuaciones siguientes: e) x 1 x 1 4 x 3 x 1 Tenemos que calcular el m. c. m., 4, 3, 1 x 1 3x x 1 4x x 4x Como tenemos una igualdad con todos los denominadores iguales, los podemos quitar todos. x 3x x 3 4x x x x x x 1 1 Tenemos dos soluciones distintas 1, 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 1 La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos 11. Cuáles son esos números? Los tres números naturales consecutivos serán: x, x 1, x suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos 11 x x 1 x x 11 x x 1 x x 11

9 3x x 11 3 x 14 x 14 7 Los números son 7,,9 17 Calcula un número tal que sumándole su mitad se obtiene lo mismo que restando a los 9 de ese número. Llamamos x al número buscado. número tal que sumándole su mitad se obtiene lo mismo que restando a los 9 de ese número x x 9x x x 9x Calculamos m. c. m., 10 10x x 1x Como tenemos una igualdad que tiene todos los denominadores iguales, los podemos suprimir. 10x x 1 1x El número es 0. 1 Halla tres números impares consecutivos tales que su suma será 117. (un número impar es de la forma x 1 Los tres números impares consecutivos son x 1, x 3, x su suma será 117 x 1 x 3 x 117 x 1 x 3 x 117 x x 10 x 10 1 Los números son He pagado 14,30 euros por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo. Cuál es el precio de cada artículo? Llamamos x al precio del bolígrafo: el cuaderno cuesta el doble que el bolígrafo x el precio de la carpeta es veces el del cuaderno x 10x 9

10 pagado 14,30 euros por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta 10x x x x x x x x Los precios de los artículos son: bolígrafo euros cuaderno euros carpeta euros 0 Calcula la altura de un árbol que es 1 m más corto que un poste que mide el doble que el árbol. La altura del árbol es x Tenemos que: altura de un árbol que es 1 m más corto que un poste que mide el doble que el árbol x 1 x x 1 x 1 x x x 1 El árbol mide un metro. Tareas : 1,,3,4, Tres amigos trabajan 0, 30 y 0 días en un negocio. Al cabo de tres meses se reparten los beneficios, correspondiendo al tercero 300 euros más que al segundo. Cuál es la cantidad repartida? Llamamos x a la cantidad repartida. Tenemos que: Cuánto cobra cada uno por día trabajado? El primero, trabajando 0, días cobrará 0 x x El segundo, trabajando 30 días, cobrará 30 x x El tercero, trabajando 0 días, cobrará 0 x x al tercero 300 euros más que al segundo x 300 3x 10 x 300 3x 10 x x 100 euros. m. c. m., x x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos quitar. x x x 3x 3000 x 3000 x

11 La cantidad repartida fueron 100 euros. 7 Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 130. Cuál es ese número? El número buscado es x. Tenemos que: al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 130 x 3x 130 x 3x 130 x 3x Ecuación de segundo grado completa con a 1 b 3 c 130 x b b 4ac a Los números buscados son 13 y 10 Comprobación: Tareas :,9 31 Del dinero de una cuenta bancaria retiramos 1 : ingresamos después de lo que quedó y 7 1 aún faltan 1 euros para tener la cantidad inicial. Cuánto dinero había en la cuenta? Llamamos x al dinero que había en la cuenta: Tenemos que: retiramos 1 quedará x 7 7 ingresamos después 1 de lo que quedó 1 ingresado ingresamos después 1 inicial x 7 3 4x 1 x de x 7 1 x x 3 4 x es lo de lo que quedó y aún faltan 1 euros para tener la cantidad Atención: lo que queda en la cuenta será lo que había mas lo que ingresamos. x 4x x Calculamos m. c. m.7, x 3 3 4x x 3 Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos quitar. 30x 4x 40 3x 40 3x 34x 40 x 11

12 En la cuenta había 40 euros Tareas : 3, 34 3 La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 14 años será el doble. Qué edad tiene cada uno? Llamamos x a la edad del hijo. Tenemos la tabla siguiente: edad actual dentro de 14 años padre 3x 3x 14 hijo x x 14 Por otro lado sabemos que: dentro de 14 años será el doble 3x 14 x 14 3x 14 x 14 3x 14 x 3x x 14 x 14 Las edades actuales son 14 años el hijo años el padre 3 Estamos haciendo bocadillos de chorizo para llevar a la excursión. Si ponemos 4 rodajas en cada uno, sobran 1, y si ponemos, nos faltan. Cuántos bocadillos queremos preparar? Llamamos x al número de bocadillos que queremos preparar. Tenemos que: Si ponemos 4 rodajas en cada uno, sobran 1 4x 1 son las rodajas de chorizo si ponemos, nos faltan x son las rodajas de chorizo 4x 1 x 4x 1 x 1 x 4x 0 x Se quieren preparar 0 bocadillos. Tareas : 37, 3 39 Al mezclar 30 kg de pintura con 0 kg de otra de calidad inferior, obtenemos una mezcla a euros/kg. Si el precio de la barata es la mitad que el de la otra, Cuál es el precio de cada pintura? Llamamos x al precio de la pintura cara. Tenemos la tabla siguiente: 1

13 cantidad (kg) precio/kg precio total pintura cara 30 x 30 x pintura barata 0 x 0 x mezcla Será: 30x 0 x 4 30x 0 x 4 30x x 4 x 4 x 4 4. Los precios de la pinturas son: 4. euros/kg la pintura cara. 4 euros/kg la pintura barata Tareas : 40, Un ciclista que va a 1 km/h tarda tres cuartos de hora en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de. km. Qué velocidad lleva el que va delante? La velocidad con la que se acercan es la diferencia de las velocidades absolutas. Llamamos x a la velocidad del segundo ciclista. Tenemos que: la velocidad a la que se acercan es 1 x la distancia recorrida por el primer ciclista será km la distancia recorrida por el segundo ciclista será. 7. las distancias recorridas son iguales x x x x x El segundo ciclista va a 1 km/h Tareas : 44, 4 4 Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm. Cuánto mide el lado del cuadrado? 13

14 El área de un cuadrado es lado al cuadrado. el área del cuadrado pequeño es x x x el área del cuadrado grande es x x 4x Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm x 147 4x x 147 4x 147 4x x 147 3x x x 49 7 El lado mide 7 cm Tareas : 47,4, 1, 0 Dos grifos llenan un depósito en 3 horas. Si sólo se abre uno de ellos, tardaría horas. Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito? Llamamos x al tiempo en horas que el segundo grifo tarda en llenar el depósito. Dos grifos llenan un depósito en 3 horasen una hora llenan 1 del depósito 3 primero tardaría horasen una hora llena 1 del depósito x tarda el segundo grifo en llenar el depósitoen una hora llena 1 x del depósito será x x 1 Tenemos que calcular el m. c. m.3,, x 1x 1x x 1x 1 1x 3x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, se pueden suprimir. x 1 3x x 3x 1 x 1 x

15 El otro grifo tarda 7. horas, es decir, 7 horas y media. 1