TEMA 6 ECUACIONES E INECUACIONES

Transcripción

1 6.1 Ecuación. Soluciones TEMA 6 ECUACINES E INECUACINES Ejemplo Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones. 1. x 1 7 La solución es x, pues de esa forma al sustituir nos queda: x 1 5 La solución es x, pues de esa forma al sustituir nos queda: x 1 La solución es x 9, pues de esa forma al sustituir nos queda: x x 6 La solución es x, pues de esa forma al sustituir nos queda: 6 5. x 6 La solución es x, pues de esa forma al sustituir nos queda: x1 65 La solución es x, pues de esa forma al sustituir nos queda: x 1 La solución es x, pues de esa forma al sustituir nos queda: x 1 La solución es x 1, pues de esa forma al sustituir nos queda: Tareas : todos los ejercicios de la página Ecuaciones de primer grado PÁGINA 96 ACTIVIDADES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: f x 10x 1 x 9 1x 10x 10 x 1 1x 10x x Esto siempre es cierto, por lo que cualquier valor de x cumple esta ecuación y por tanto es solución. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. f x x 9 x 1 1x 9 9x 9 x 9 x 1 9 1x 9 Como tenemos una igualdad donde todas las fracciones tienen el mismo denominador, lo podemos eliminar. 9x x x 1x 1x 1x 6 1

2 x 10 x 10 5 Tareas : todos los ejercicios que faltan del. 6 La suma de tres números consecutivos es cuatro veces el menor de ellos. Qué números son? PLANTEAMIENT Llamamos x al primero de ellos, los tres números consecutivos serán: x, x 1, x Tenemos que: suma de tres números consecutivos es cuatro veces el menor de ellos x x 1 x x RESLUCIÓN x x 1 x x x x x x x SLUCIÓN Los números son,,5. Tareas :,,5 6. Ecuaciones de segundo grado Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: 1. x x 0 Ecuación de º grado completa con x b b ac a 6 6 b c Tiene dos soluciones distintas:,. x 1x 9 0 Ecuación de º grado completa con x b b ac a a b 1 c Tenemos una sola solución repetida:. x x 6 0 Ecuación de º grado completa con 1 b c

3 x b b ac a 100 negativos no tiene solución pues no se pueden calcular raíces cuadradas de números Ejemplo: Calcula el discriminante b ac de la ecuaciones de º grado del ejecicio anterior y di cuántas soluciones tendrá cada una. 1. x x 0 Ecuación de º grado completa con b c b ac entonces tienes dos soluciones distintas.. x 1x 9 0 Ecuación de º grado completa con a b 1 c 9 b ac entonces una sola solución repetida. x x 6 0 Ecuación de º grado completa con b c 6 b ac entonces no tiene solución Tareas : el ejercicio 1 de la página 9 Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: 1. x Es una ecuación de segundo grado incompleta pues b 0 x 100 x x 5 5 tenemos dos soluciones distintas. x 0 Es una ecuación de segundo grado incompleta pues b 0 x x 16 x 16 no tiene solución pues las raíces cuadradas sólo se pueden calcular de números mayores o iguales que cero.. x 1 Es una ecuación de segundo grado incompleta pues c 0 xx 7 0 El producto de números es cero cuando uno de ellos es cero. x 7 0 x 7 tenemos dos soluciones distintas.. 5x Es una ecuación de segundo grado incompleta pues c 0

4 x5x 0 El producto de números es cero cuando uno de ellos es cero. 5x 0 x 5 tenemos dos soluciones distintas. Tareas : ejercicio de la página 9 Tareas : todos los ejercicios de la página 99, 100 y tros tipos de ecuaciones. Página 10 Actividades 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a. x x 6 0 Esto esta expresando el producto de números que da como resultado cero: eso ocurrirá cuando uno de los dos es cero. x 0 x 6 0 x x 6 Las soluciones son, 6 f x 1x 5x 0 Esto esta expresando el producto de números que da como resultado cero: eso ocurrirá cuando uno de los dos es cero. x 1 0 x 5x 0 Vamos línea a línea: x 1 0 x 1 x 1 x 5x 0 Ecuación de º grado completa con b 5 c x b b ac a Las soluciones son 1,, 5 11 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 Resuelve. b x x Dejamos la raiz cuadrada a solas. x x Ahora elevamos al cuadrado en ambos lados de la igualdad. x x

5 x x x 0 x x x 0 x 5x Ecuación de º grado completa con b 5 c x b b ac a Ahora hemos de comprobar las soluciones: si x FALS: no es solución. si x CIERT: si es solución. Tareas : todos los ejercicios que faltan del Página 10 Actividades Resuelve las ecuaciones siguientes. c 1 x 1 x Hay que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores. Por lo tanto, hay que descomponer en factores primos los denominadores. x x x x x De ahí que el m. c. m.x, x, x x x x x x Como tenemos una igualdad en la que todos los denominadores son iguales, estos se pueden suprimir. x x x x 0, Solution is:, Ecuación de º grado completa con a b c x b b ac a Ahora hemos de comprobar las soluciones: 6 6 si x CIERT: si es solución. si x CIERT: si es solución Tareas : todos los ejercicios que faltan del Un grupo de amigos alquilan un autocar por 000 euros para una excursión. Fallan cuatro de 5

6 ellos, por lo que los restantes deben pagar 5 euros más cada uno. Cuàntos había al principio? PLANTEAMIENT Llamamos x al número de amigos inicial. un autocar por 000 euros para una excursión Fallan cuatro de ellos, por lo que los restantes deben pagar 5 euros más cada uno Si van todos, lo que paga cada uno es 000 x Lo que paga cada uno si no van cuatro es 000 x 5 Será x 000 x RESLUCIÓN x 000 x x 000 x 5x x 000 x 100 5x 000x x 5x 5x 100x 000 0, Solution is: 0,16 Ecuación de º grado completa que se resuelve aplicando la fórmula. SLUCIÓN Al principio había 0. 5 En un triángulo rectángulo, un cateto mide cm. Calcula la longitud del otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide cm más que el. PLANTEAMIENT En todo triángulo rectángulo, se cumple el Teorema de Pitágoras, que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En particular en nuestro caso se cumple que: c c RESLUCIÓN c c c c 6 c c 6 c SLUCIÓN El otro cateto mide 15 cm 6. Inecuaciones de primer grado 6

7 ACTIVIDADES DE LA PÁGINA Traduce a lenguaje algebraico a) El triple de un número más unidades es menor que 0 x 0 b) El doble del número de personas de mi clase no supera a 70 x 70 También es válida x 70. Resuelve y representa gráficamente las soluciones: a) 5x 5 x Intervalo, 1 b) x 7 x 7 x Intervalo, c) 10 9x 5x 10 9x 1 0x 9x x 116 x Intervalo, d) x 1x 5 1 x 1x x x 7 1x x Intervalo, 1 e) x x 5x 1 6 Hallamos el m. c. m.,, x 1x 1 0x 1 1 Como tenemos a ambos lados de la desigualdad el mismo denominador, lo suprimimos. x 1x 9x 9x x 9 9 Intervalo, 9 Como el número que pasa dividiendo es negativo, se cambia el sentido de la desigualdad. f) x x x 6x x 6x 1 1 6x x x 11 x Intervalo, 11. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 7

8 a) b) x 15 x x 15 5 x x 5 x 1 x 5x x x 5 1 x 5x solución:, 5 c) d) x 17 x 1 x 17 x 1 solución:, 17 5x 7 x 5x 7 x x x 5 6 x 11 solución: x 1 1 x 5x 6x 5 x x x 16 1x 5 6x 15 10x 16 1x 5 x x 10x x 5 11 x x 5 11 x solución: 5, 11. Tres amigos contratan tres viajes a Praga. Les cuesta algo menos de 00 euros en total. Cinco amigos contratan el mismo viaje. Por ser cinco, les hacen una bonificación de 500 euros,

9 y pagan algo más de 000 euros. Cuánto vale ese viaje a Praga, si sabemos qué es múltiplo de 10? PLANTEAMIENT Llamamos x al precio del viaje. Tres amigos contratan tres viajes a Praga. Les cuesta algo menos de 00 euros en total 0 Cinco amigos contratan el mismo viaje. Por ser cinco, les hacen una bonificación de 500 euros, y pagan algo más de 000 euros 5x es múltiplo de 10 RESLUCIÓN 0 5x x x x x Ahora, hay que emplear que se trata de un número que es múltiplo de 10. Entonces el precio del viaje puede ser 710, 70 o 70 euros. SLUCIÓN Entonces el precio del viaje puede ser 710, 70 o 70 euros. EJERCICIS FINALES DEL TEMA 1. Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones: d) x 1 7 La solución es x 1 7 Tareas : todos los ejecicios que faltan del 1 Las siguientes ecuaciones tienen más de una solución entera. Búscalas tanteando. d) x La solución es x 1 1 La solución es x Tareas : todos los ejecicios que faltan del Busca por tanteo, con la calculadora, una solución aproximada hasta las décimas. d) x 0 si x si x si x 7 si x si x si x Nos quedadmos con x. 1 Tareas : todos los ejecicios que faltan del Resuelve las siguientes ecuaciones: c) x 5x x Hallamos el m. c. m.,, 6 6 x 5x x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales los podemos suprimir. x 9 10x 1 9x 9

10 x 9 10x 1 9x 7x 9x 1 11 x 1 x 1 6 Tareas : todos los ejecicios que faltan del Tareas : 5, 6 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: d) x x 0 Ecuación de º grado completa con b 1 c que se resuelve aplicando la fórmula: x b b ac a 1 Entonces como el discriminante b ac 7 0, no tiene solución dado que no se puede calcular la raiz cuadrada de un número negativo. Tareas : todos los ejecicios que faltan del 7 Resuelve. a) x 6 0 Ecuación de º grado incompleta que no se resuelve aplicando la fórmula. x 6 x 6 16 x 16 b) x 9 Ecuación de º grado incompleta que no se resuelve aplicando la fórmula. xx 0 Se trata de un producto que es igual a cero si uno de los multiplicandos es cero. x 0 x Tareas : todos los ejecicios que faltan del Tareas : 9 10 Resuelve. d) xx xx 1 1x x 1x x x 1x x 1x 1x x x x Tareas : todos los ejercicios que faltan del Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general. c) x 1x 1 x 6 x x 1 x 6 x Calculamos el m. c. m., 6 6 x 1 6 x 6 x 6 Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos 10

11 eliminar. x x x x x 6x xx 1 0 Como se trata de un producto, será cero si uno de los multiplicandos es cero. x 1 0 x 1 x 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 11 1 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: xx 1 xx 1 d) x 1 0 Tenemos que calcular m. c. m.,, 1 1 x x x x 1 1 x 1 0 Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos eliminar. x x x x x 0 x x 0 Ecuación de º grado completa con b c Se resolvería aplicando la fórmula: x b b ac a Pero, hay un método más rápido!!!!!!!!!!!!! x x 0 x 0 Como se trata de un cuadrado, será cero cuando la base es cero. x 0 x Se trata de un solución repetida. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones. d) x 1x x 0 Como se trata de un producto, será cero si uno de los multiplicando es cero. x 1 0 Ó x x 0 d.1) x 1 0 x 1 11

12 x 1 d.) x x 0 Ecuación º grado completa con Se resolvería aplicando la fórmula: b 1 c x b b ac a Las soluciones son 1, 1, 1 9 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 1 Di cuáles son las soluciones de estas ecuaciones. d) xx 16x 0 Como se trata de un producto, será cero si uno de los multiplicando es cero. Ò x 1 0 Ò 6x 0 d.1) x 1 0 x 1 Imposible pues todo número elevado al cuadrado es positivo o cero. d.) 6x 0 6x x 6 1 Las soluciones son 0, 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 15 Resuelve. a) x x x x Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad. x x x x x x 5x 0 Ecuación de º grado completa con b 5 c x b b ac a aplicando la fórmula

13 Ahora hemos de comprobar estas soluciones: si x CIERT: entonces es solución. si x FALS: entonces es solución. Tareas : todos los ejercicios que faltan del Resuelve estas ecuaciones: e) x x x 1 Calculamos el m. c. m.x, x x x x x x x x x x x x x x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos suprimir. x x x x x x x x 0 x x 0 Ecuación de º grado completa con x b b ac a a b c Ahora hemos de comprobar estas soluciones: si x aplicando la fórmula CIERT: entonces es solución. 1 si x CIERT: entonces es solución. Tareas : todos los ejercicios del Resuelve esta ecuaciones. d) x 1 x x Calculamos el m. c. m., x x xx x x x x x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos eliminar. x x x x x Ecuación de º grado incompleta: esto no se resuelve aplicando la fórmula!!!!!!! xx 0 Un producto es cero si uno de los multiplicandos es cero. Ó x 0 Ó x Ahora, hay que comprobar las soluciones: si

14 0 1 FALS: entonces no es solución. si x CIERT: entonces es solución. Tareas : todos los ejercicios que faltan del Halla el conjunto de soluciones de cada inecuación y represéntalo. f) 1 10x 1 10x 5 10x x La solución en forma de intervalo es 1, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 19 0 Resuelve las siguientes inecuaciones: d) 1 x x 1 x x x x x x x x La solución en forma de intervalo es, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 0 1 Halla el conjunto de soluciones de los sistemas de inecuaciones siguientes: d) x Representación gráfica. Solución:, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: b) x x 1 5 x x 1 x x 5 x x x 5 5x x x Representación gráfica. Solución:, 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Calcula la edad de Alberto sabiendo que dentro de años tendrá el triple de su edad actual. PLANTEMIENT 1

15 Llamamos x a la edad actual de Alberto. Sabemos que: dentro de años tendrá el triple de su edad actual x x RESLUCIÓN x x x x x x 11 SLUCIÓN La edad actual de Alberto es 11 años. Tareas :, 5 6 Traduce a lenguaje algebraico: c) El perímetro de un cuadrado es menor que 15. Llamamos x al lado del cuadrado. Como el perímetro de una figura es la suma de todos sus lados, será x 15 Tareas : todos los que faltan del ejercicio 6 7 El triple de un número natural menos unidades es menor que 1. Cuál puede ser ese número? PLANTEAMIENT Llamamos x al número buscado. triple de un número natural menos unidades es menor que 1 x 1 RESLUCIÓN x 1 x 1 x 9 x 9 SLUCIÓN El número natural puede ser 0, 1, Tareas :, 9 0 La suma de dos números consecutivos es menor que 7. Cuáles pueden ser esos números si sabemos que son de dos cifras? PLANTEAMIENT Los números naturales consecutivos serán x y x 1. suma de dos números consecutivos es menor que 7 x x 1 7 RESLUCIÓN x x 1 7 x 7 1 x 6 1 SLUCIÓN La solución es 10 y y 1 1 y 1 Tareas :, Un tipo de aceite de. euros/l se obtiene mezclando un 60% de aceite virgen de euros/l y el 15

16 resto con otro más barato. Cuál es el precio del otro? PLANTEAMIENT Llamamos x al precio del aceite barato. Tenemos la tabla siguiente: aceite caro aceite barato mezcla de los dos aceites precio (euros/l) x. cantidad en un litro precio de cada parte Se cumple que: x 1. SLUCIÓN. 0. x. 0. x SLUCIÓN El aceite barato vale euros/l Tareas : 5, 6 16