Tema 5 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

Transcripción

1 Tema Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Inecuaciones lineales PÁGINA 9 EJERCICIOS. Comprueba en cada caso si el valor indicado forma parte de la solución de la inecuación. b de la inecuación Sustituimos por el valor dado:.. Falso!!!!!!! No forma parte de la solución. Tareas --0: todos los ejercicios que faltan del Resuelve las inecuaciones lineales siguientes: c Solución:, R/ Tareas --0: todos los ejercicios que faltan del. Inecuaciones de segundo grado PÁGINA 9 EJERCICIOS Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado. f Otra forma de hacerlo: No tiene solución pues todo número elevado al cuadrado es positivo o cero. d 0 0

2 0 Por que es siempre positivo 0 Hacemos 0 Tenemos la tabla siguiente signo/intervalo 0 0 0,, 0 0, Para determinar los signos de cada epresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo en la epresión en. Ojo en la última fila, consideramos el producto de las dos anteriores por columnas. Solución:, 0, Tareas 6--0: todos los ejercicios que faltan del Representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones. d Como es siempre negativo será 0 Hacemos Tenemos la tabla siguiente: signo/intervalo,, 0 0, Para determinar los signos de cada epresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo en la epresión en. Ojo en la última fila, consideramos el producto de las dos anteriores por columnas. Solución:, 0, Falta hacer su representación gráfica. Tareas 6--0: todos los ejercicios que faltan del. Inecuaciones polinómicas y racionales PÁGINA 96 EJERCICIOS Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas y representa gráficamente las soluciones:

3 f Como es siempre positivo: Hacemos Consideramos el siguiente cambio de variable: t Nos queda: t 6t 7 0, Solution is:,7 Resolviéndola por la fórmula correspondiente a una ecuación de º grado completa: si t si t 7 7 imposible!!!!!! Tenemos la tabla siguiente: signo/intervalo,,, 6 7 si si si Para determinar los signos de cada epresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo en la epresión en. Solución:,, 6 Tareas 6--0: todos los ejercicios que faltan del 6 Representa en la recta real las soluciones de las siguientes inecuaciones racionales: e Como 0 para todo número real, podemos pasarlo al otro lado multiplicando sin peligro de que haya que cambiar el sentido de la desigualdad. 0 0 Esto es cierto para cualquier valor real ecepto para el ; en ese caso tendríamos 0 0 Solución: R b 0 Como se trata de un cociente, será negativo cuando el numerador y denominador tengan distinto signo. Vamos a factorizar los polinomios de la fracción algebraica.. Atención esto es siempre positivo o cero para cualquiera valor de, pues se trata de un cuadrado. Es cero sólo cuando. Las raíces de este polinomio son, Tenemos la tabla siguiente:

4 signo/intervalo,,, Para determinar los signos de cada epresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo en la epresión en. La última fila es el cociente de las dos anteriores. La solución es,. NOTA El producto de dos números es positivo si los dos números son positivos o negativos a la vez; es decir, si los dos tienen el mismo signo. En lenguaje simbólico: a b 0 a 0 y b 0 ó a 0 y b 0 El producto de dos números es negativo si uno de ellos es positivo y el otro es negativo; es decir, si tienen distinto signo. En lenguaje simbólico: a b 0 a 0 y b 0 ó a 0 y b 0 Análogamente para el cociente. Tareas 7--0: todos los ejercicios que faltan del 6. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita PÁGINA 97 EJERCICIOS 7 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales: d Solución: intervalo, Tareas 7--0: todos los ejercicios que faltan del 7. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas PÁGINA 99 EJERCICIOS 9 Representa los semiplanos formados por las soluciones de las siguientes inecuaciones. d y 0 y 0 y 8 Vamos a representar la recta y 8 Consideramos la tabla de valores siguiente: y

5 Tomamos un punto cualquiera fuera de la recta; en este caso elegimos el punto de coordenadas, y lo sustituimos en la inecuación: falso!!!!!! La región del plano que verifica la inecuación es toda la que queda por debajo de la recta y 8 y 8 y Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9 Tareas : 0 Epresa mediante un sistema de inecuaciones los siguientes subconjuntos del plano. b Puntos con ordenada positiva que están por encima de la bisectriz del primer cuadrante. eje de abscisas eje OX eje de ordenadas eje OY Los puntos de esta región cumplen que su coordenadas son ambas positivas y que la primera coordenada es más pequeña que la segunda. La región pedida está determinada por el siguiente sistema de inecuaciones lineales: y 0 y 0 y y

6 y Tareas : todos los ejercicios que faltan del Tareas :.6 Aplicaciones de las inecuaciones Página 0 Ejercicios En la población de un territorio se han producido, en un periodo de tiempo determinado, las siguientes variaciones medidas sobre la población inicial:.% de nacimientos.% de defunciones. 0.% de emigrantes. 0.7% de inmigrantes Entre qué valores estará la población final si la inicial estaba entre 000 y 6000 habitantes? Sabemos que P t P i N DIE P t P t La población final estará entre los valores y 60 habitantes. Tareas : Representa la región del plano determinada por el sistema de inecuaciones: y y y y y y y y y y Recordamos que if 0 if 0. y Consideramos la recta y ; hemos de representarla por lo que consideramos una tabla de valores: y 0 De las dos regiones en las que queda dividido el plano, hemos de elegir la que verifica nuestra inecuación, para ello tomamos un punto que no esté en la recta, 0, 0, y lo sustituimos en la inecuación: 6

7 0 0 0 cierto!!!!!!! Por lo tanto, los puntos del plano que verifican la inecuación están por debajo de la recta.. y Análogamente.. y Análogamente.. y Análogamente. La región pedida es: y y y y y EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 6 Escribe en cada apartado una inecuación que tenga por solución el intervalo o semirrecta dado. d Claramente vemos que son los valores de que cumplen que: Recuerdo que if 0 if 0 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 6 7

8 Tareas : 7 8 Resuelve las siguientes inecuaciones lineales, epresa las soluciones en forma de intervalo y represéntalas sobre la recta real. e Se cambia el sentido de la desigualdad porque hemos pasado dividiendo un número negativo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Tenemos el intervalo 0, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 8 9 Epresa mediante intervalos las soluciones de las siguientes inecuaciones. d Se trata del intervalo, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9 0 Halla y representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones de segundo grado: h 0 Se trata de un producto por lo tanto habrá de ser: En forma de intervalo la solución vendría dada por,, f 0 Resolvemos la ecuación de º grado completa 0 con a c b b b ac 7 a No tiene solución!!! La función y es una parábola que no tiene cortes con el eje OX. Por otro lado, tiene sus ramas hacia arriba pues el coeficiente de es positivo. De ahí que concluyamos que la epresión sea siempre positiva. La solución de la inecuación es el vacío. Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del 0 8

9 Simplifica y resuelve las siguientes inecuaciones de segundo: a Se trata de un cuadrado que ha de ser negativo o cero, y esto sólo pasa si la base es cero. Esto ocurre cuando Solución de la inecuación: f Consideramos la ecuación de º grado completa 8 0 con b b ac a 0 0 Esto nos dice que 8 Tenemos la tabla siguiente: signo/intervalo,,, a b c 8 Observa que la última fila es producto de las dos anteriores. Ten en cuenta que los signos en las filas segunda y tercera, se obtienen sustituyendo un valor cualquiera del intervalo considerado. Solución de la inecuación:, Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del Resuelve las inecuaciones dadas observando la gráfica de la función polinómica f 8 6 9

10 y a. 0 La solución es el intervalo, pues asi el producto 0 con 0 Si observas la gráfica de esa parábola, para esos valores de tenemos el dibujo por debajo del eje OX, lo que significa que las alturas son negativas. b Es lo mismo de antes. Representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones polinómicas: f 0 Consideramos la ecuación polinómica correspondiente: 0 Vamos buscar alguna raíz: si si 0 no es raíz - 0 no es raíz si 0 Podemos aplicar la regla de Ruffini para : es raiz del polinomio resto Asi sacamos que Por lo tanto signo signo Hemos de estudiar donde 0 pues es siempre positivo. Solución: intervalo, Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del. Resuelve las siguientes inecuaciones: c Consideramos la ecuación polinómica Consideramos la ecuación de º grado completa 6 0 con a b c 6 0

11 b b ac a Por lo tanto 6 tabla de signos: signo/intervalo, , 0 0, 7 7 lo que da pie a la siguiente La última fila es es producto de las tres anteriores. 7 7 La solución es, 0, Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del 8 Epresa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones racionales: d 9 0 Estos ocurrirá cuando signo signo 9 Estudiaremos los signos del denominador y del numerador. signo Resolvemos la ecuación polinómica 0 Aplicamos la regla de Ruffini: 0 resto 0 resto Conclusión signo 9 Resolvemos la ecuación polinómica 9 0 Aplicamos la regla de Ruffini: resto Conclusión Recapitulamos 9 Por lo tanto podemos considerar la siguiente tabla de signos:,

12 signo/intervalo,,, La última fila es el cociente de las dos anteriores: Solución: intervalo, Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del 8 Tareas -0-0: 9 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita. f e Se pintan los tres intervalos, y se ve que la parte común a los tres es el intervalo, 0 0 Recordamos que el producto de dos números es mayor que cero cuando los dos números tienen el mismo signo( es decir, son los dos positivos o son los dos negativos). 0 y 0 0 y 0 y y Lo representamos gráficamente para obtener que la solución es,, Tareas 6-0-0: todos los ejercicios que faltan del Comprueba si el par de valores, y es una solución del sistema: y y y Se sustituyen en las inecuaciones y se ve si las verifican o no. ciertosi la verifica ciertosi la verifica ciertosi la verifica Como se verifican las tres inecuaciones, si cumple las condiciones del sistema. Gráficamentes es:

13 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. f y y 6 Vamos a pintar cada uno de los semiplanos asociados a cada inecuación. Asociado a la recta vertical, serán todos los puntos del plano cuya primera coordenada es mayor o igual que. Es decir, todos los puntos, incluyendo los de la recta, que están a la derecha. y Asociado a la recta horizonta y, serán todos los puntos del plano cuya segunda coordenada es mayor o igual que. Es decir, todos los puntos, incluyendo a los de la recta, que están por encima. y 6 Asociada a la recta y 6 Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores: 0 6 y 6 0 Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a la inecuación. Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta: 0, cierto pertenece a la solución. La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por debajo de la recta. Gráficamente es:

14 La región factible es: y Tareas 6-0-0; todos los ejercicios que faltan del 6 Considera el siguiente sistema de inecuaciones: y 8 y y 0 a. Resuélvelo gráficamente: Vamos a ir paso a paso. representando en unos mismos ejes las tres inecuaciones. y 8 Asociada a la recta y 8 Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores: 0 8 y 0 Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a la inecuación. Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta: 0, cierto pertenece a la solución. La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por debajo de la recta. y Asociada a la recta y

15 Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores: 0 y 0 Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a la inecuación. Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta: 0, falso no pertenece a la solución. La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por encima de la recta. y 0 Asociada a la recta y 0 Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores: 0 y 0 Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a la inecuación. Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta:, 0 cierto pertenece a la solución. La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por encima de la recta. y 8 y y 0

16 y b) Encuentra todas las soluciones enteras. Ahora hemos de encontrar todos los puntos de esa región, y cuyas coordenadas sean dos números naturales. Del triángulo que tenemos sacamos los puntos siguientes: b.) y 8 y Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se resuelve por el método de reducción: Restando en columna nos queda: y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de : y Punto, b.) y Punto, b.) b.) y y y 8 Punto, Punto, b.) y 0 y Punto, Tareas : 7,8,9 0 Averigua qué números naturales verifican que al sumarles los dos siguientes se obtiene un número superior a 7. Sea un número natural. números naturales verifican que al sumarles los dos siguientes se obtiene un número superior a Solución: son todos los números naturales mayores que. Es decir, del en adelante Entre qué medidas se debe aumentar el lado de un cuadrado que tiene por área 6 cm si se quiere que la nueva superficie esté comprendida entre cuatro y nueve veces la inicial? La superficie de una cuadrado es si tiene de lado. 6

17 Será: Recordamos que a ba b a b Recordamos que el producto de dos números es negativo si los números tienen distinto signo. 0 y 0 0 y y y vacio 8,, 8 y y 8 y 8 8 y La solución al problema es el intervalo, 8 pues las medidas de los lados de un cuadrado son siempre positivas. Tareas -0-0:,,, 6 Un montañero puede caminar a una velocidad comprendida entre y 6 km/h dependiendo de la mayor o menor dificultad del terreno. Averigua entre qué valores oscila el tiempo que tardará en recorrer una senda de km. Tenemos que v e t t e v Será t medido en horas 6 7 En un territorio, el crecimiento de la población se ajusta a un modelo eponencial: P f t, r P i 00 r t Si actualmente la población es de 000 personas, Cuál debe ser la tasa mínima de crecimiento para que en cinco años pase a ser de 0000 personas? r r r 6 00 Ahora tomamos logaritmo neperiano en ambos lado de la desigualdad. ln ln 6 00 r 0 ln 6 ln 00 r 0 ln ln 6 ln 00 r 0 ln ln 6 ln r 0 ln ln 6 ln00 r ln 00 0 ln ln 6 ln00 r ln 00 ln ln 6 ln 00 ln00 r ln 6 00 ln00 r Ahora quitamos los logaritmos neperianos. ln r r r vacio ln00 r 7