4ºB ESO Capítulo 5: Inecuaciones LibrosMareaVerde.tk

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1 ºB ESO Capítulo : Inecuaciones

2 10 1. INTERVALOS 1.1. TIPOS DE INTERVALOS 1.. SEMIRRECTAS REALES. INECUACIONES.1. INECUACIONES EQUIVALENTES: Índice. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO.. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.. SISTEMAS DE INECUACIONES.. INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO. INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.. SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Resumen En muchas ocasiones vas a encontrarte con inecuaciones. Si trabajas con intervalos dirás a < < b, por ejemplo. En otras ocasiones tu problema será que algo debe ser menor que una cierta cantidad. Imagina que queremos construir una ventana en la pared de una habitación de metros de larga, metros de alta. Es imposible que la ventana tenga unas dimensiones maores que las de la pared. Para complicarlo un poco, imagina ahora que la longitud total de los perfiles con los que vamos a construir la ventana es de 10 metros. Si la ventana es rectangular llamamos a la longitud de la base e a la de la altura, por ahora sabemos que,,, Por ahora ha muchas soluciones que resuelven el problema. Pero el arquitecto desea que la ventana tenga la maor luz posible. Tú a sabes que el área máima la consigues con un cuadrado, pero esta solución no te sirve porque el lado debería medir, metros nos saldríamos de la pared. Debemos jugar con esas desigualdades para dar una solución al problema.

3 11 1. INTERVALOS Recuerda que: Un intervalo de números reales es el conjunto de números correspondientes a una parte de la recta numérica, en consecuencia, un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales Tipos de intervalos Intervalo abierto: es aquel en el que los etremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los etremos forman parte del intervalo, salvo los propios etremos. En otras palabras I = (a, b) = { a < < b}, observa que se trata de desigualdades estrictas. Gráficamente, lo representamos en la recta real del modo siguiente: Intervalo cerrado: es aquel en el que los etremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los etremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo. En otras palabras I = [a, b] = { a b}, observa que ahora no se trata de desigualdades estrictas. Gráficamente: Intervalo semiabierto: es aquel en el que solo uno de los etremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los etremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo. Intervalo semiabierto por la izquierda, el etremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras: I = (a, b] = { a < b}, observa que el etremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta. Intervalo semiabierto por la derecha, el etremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras I = [a, b) = { a < b}, observa que el etremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta. Gráficamente: 1.. Semirrectas reales Semirrecta de los números positivos S = (0, Semirrecta de los números negativos S = ( hasta cero. Con lo que toda la recta de los números reales es = (, ). ), es decir, desde cero hasta infinito. A una semirrecta se la puede considerar como un intervalo infinito., 0), es decir, desde el menos infinito, el infinito negativo,

4 1 Actividades propuestas 1. Escribe los siguientes intervalos mediante conjuntos represéntalos en la recta real: a) [1, 7) b) (, ) c) (, 8] d) (, 6). Representa en la recta real escribe en forma de intervalo: a) < < b) < c) < 6 d) 7. INECUACIONES Una desigualdad es una epresión numérica o algebraica unida por uno de los cuatro signos de desigualdad:,,,. Por ejemplo: <, +,, +. Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas. El grado de una inecuación es el maor de los grados al que están elevadas sus incógnitas. Así, + + son inecuaciones de primer grado, mientras que es de segundo grado. Resolver una inecuación consiste en encontrar los valores que la verifican. Éstos se denominan soluciones de la misma. Por ejemplo: + 1 (, ].1. Inecuaciones equivalentes: Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. A veces, para resolver una inecuación, resulta conveniente encontrar otra equivalente más sencilla. Para ello, se pueden realizar las siguientes transformaciones: Sumar o restar la misma epresión a los dos miembros de la inecuación. + < + < < Multiplicar o dividir ambos miembros por un número positivo. < : < : < 1 Multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo cambiar la orientación del signo de la desigualdad.

5 1 < ( ) ( 1) > ( 1) > (, + ) Actividades propuestas. Dada la siguiente inecuación + < + 1, determina cuáles de los siguientes valores son solución de la misma: 0, 1, 1,,,,, 6, 7, 1, 1. Realiza las transformaciones indicadas de modo que se obtengan ecuaciones equivalentes: a) Sumar : 1 > b) Restar : > 7 c) Multiplicar por : 8 9 d) Multiplicar por : 7 e) Dividir entre : < 10 f) Dividir entre : 10. Escribe una inecuación que sea cierta para = falsa para =,.. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA.1. Inecuaciones de primer grado Una inecuación de primer grado con una incógnita puede escribirse de la forma: a > b, a b, a < b ó a b. Para resolver la inecuación en la maoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento: 1º) Quitar denominadores, si los ha. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. º) Quitar los paréntesis, si los ha. º) Transponer los términos con a un miembro los números al otro. º) Reducir términos semejantes. º) Despejar la. Ejemplo: ( 7) 6 ( ) ( 7) ( ) 6 6 ( ) ( 7) ( ) ,

6 1 Actividades propuestas 6. Resuelve las siguientes inecuaciones representa la solución en la recta real: a) + < + 1 b) c) 6 + > 6 + d) Resuelve las siguientes inecuaciones representa la solución en la recta real: a) ( + ) < ( + 1) b) (1 + ) (7 + ) c) (6 + ) + ( 1) > (6 + ) 8. Resuelve las siguientes inecuaciones representa la solución en la recta real: a) + < / + b) + / 7/ + c) ( + 7)/ > 8 + d) ( + 8) + ( + 9)/7 9. Escribe una inecuación cua solución sea el siguiente intervalo: a) [1, ) b) (, ) c) (, ] d) (, 6) 10. Calcula los valores de para que sea posible calcular las siguientes raíces: a) b) 1 c) d) 1.. Inecuaciones de segundo grado Una inecuación de segundo grado con una incógnita puede escribirse de la forma: a + b + c > 0, empleando cualquiera de los cuatro signos de desigualdad. Para resolverla, calculamos las soluciones de la ecuación asociada, las representamos sobre la recta real, quedando por tanto la recta dividida en tres, dos o un intervalo, dependiendo de que la ecuación tenga dos, una o ninguna solución. En cada uno de ellos, el signo del polinomio se mantiene constante, por lo que bastará con determinar el signo que tiene dicho polinomio para un valor cualquiera de cada uno de los intervalos. Para saber si las soluciones de la ecuación verifican la inecuación, bastará con sustituirla en la misma comprobarlo. Ejemplo: Representa gráficamente la parábola = e indica en qué intervalos es > 0. Observa en la gráfica que la parábola toma valores positivos entre 1. La solución de la inecuación es: (, 1). El punto no es solución, ni tampoco el punto 1, pues el problema tiene una desigualdad estricta, >. Si tuviera la desigualdad, la solución sería: [, 1}. Si fuera < 0, la solución sería: (, ) (1, + ). Si fuera , la solución sería: (, ] [1, + ).

7 1 Ejemplo: = 0 sus raíces son = 1 =. (,1) 1 ( 1,) (, ) Signo de si no si Por tanto, la solución es (, 1] [, ) Actividades propuestas 11. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 1 0 b) 0 c) 9 >0 d) + 0 e) 0 < 0 f) +1 0 g) > 0 h) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) + 0 b) > 0 c) 8 d) e) > 0 f) 10 < 0 1. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 0 b) 7 > 0 c) 0 d) > e) 8 > 0 f) + 0 g) 0 h) > 0 1. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 0 b) c) > 0 d) e) < 0 f) > 0 g) h) 0 1. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

8 16 a) + 6 > 0 b) 1 0 c) 0 < 0 d) e) + + > 0 f) g) h) + 1 < Calcula los valores de para que sea posible obtener las siguientes raíces: a) 1 b) c) 6 d) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) ( + )( ) 11 b) ( )( ) ( 10)( ) 0 c).. Sistemas de inecuaciones Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es aquel en el que la única variable que interviene en todas las ecuaciones está elevada a un eponente igual a la unidad. Sistemas de dos ecuaciones, tienen por epresión general: a a 1 b 1 b, con cualesquiera de los signos <, >, ó. Para resolverlos, independientemente del número de inecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por separado, al final se determina la solución como la intersección de todas ellas, es decir, el intervalo que verifican todas las inecuaciones. Ejemplo:, los intervalos solución son,,,, =, Luego la solución común a ambas está en la intersección de ambos, es decir, en,. Gráficamente puede verse: Actividades propuestas 18. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:

9 17 a) b) 6 0 c) d) Indica un número positivo que al sumarle sea menor que Epresa mediante una inecuación el área de un cuadrado sabiendo que su perímetro es maor que el de un rectángulo de lados 7 cm. 1. Determina las posibles edades de Pepita de su hija Charo sabiendo que difieren en más de 0 años que dentro de años, la cuarta parte de la edad de la madre es menor que la edad de la hija... Inecuaciones en valor absoluto Una inecuación en valor absoluto es aquella en la que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. La epresión general es de la forma a b c, empleando cualquiera de los cuatro signos de desigualdad. Para resolverla, aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad pasamos a un sistema de dos ecuaciones cua solución es la solución de la inecuación. a b c por definición a b c a b c Ejemplo: ,,8, No eiste ningún que a la vez sea menor que maor que 8, pero la solución son los valores que o bien pertenecen a un intervalo o bien al otro: (, ) (8, + ). Comprueba que, por ejemplo, = 10 verifica que 6 = 0 6 = 1 > 10, que =, también a que 6 = 6 6 = 1 cuo valor absoluto es maor que 10. Actividades propuestas. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) + < b) + > 1 c) 6 d)

10 18. INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.1. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Es toda inecuación del tipo: a + b > c, con cualesquiera de los signos <, >, o. Para resolverlas: 1º) Representamos gráficamente la función lineal asociada a + b = c. º) La recta divide al plano en dos semiplanos. Utilizando un punto obtenemos cual es el semiplano solución. º) La inclusión o no en dicha solución de la frontera, depende de si la desigualdad es estricta o no, respectivamente. Ejemplo: +. Se dibuja la recta + =. El punto (0, 0) no verifica la desigualdad, luego el semiplano solución es el otro. El semiplano marcado en amarillo es la solución del sistema, incluendo la recta que se marca de forma continua, pues inclue todos los puntos que verifican la inecuación. Ejemplo: + <. Dibujamos la recta + =. El punto (0, 0) verifica la desigualdad. El semiplano marcado en amarillo es la solución del sistema, ecluendo la recta que se marca de forma discontinua, pues inclue todos los puntos que verifican la inecuación los de la recta no lo hacen. Actividades propuestas. Representa los siguientes semiplanos: a) + < b) + > 0 c) + 7 d).. Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Es un conjunto de inecuaciones de primer grado, todas con las mismas dos incógnitas. El conjunto solución está formado por las soluciones que verifican a la vez todas las inecuaciones. Al conjunto solución se le llama región factible. Ejemplo:. La superficie marcada en amarillo es la solución del sistema, incluendo las semirrectas roja gris, a que ambas desigualdades son no estrictas. Es lo que se denomina región factible. Actividades propuestas. Representa la región factible de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones: 1 0 a) b)

11 19 CURIOSIDADES. REVISTA Piensa! Si un cubo pesa medio kilo más la mitad de su propio peso, cuánto pesa? Tenemos una circunferencia de radio cm. Apoamos en ella un rectángulo como el de la figura. A toda velocidad, calcula la diagonal AB del rectángulo.

12 10 Estos chistes son de la Eposición Ríete con las mates del grupo de innovación educativa Pensamiento Matemático de la Universidad Politécnica de Madrid. Programación lineal La programación lineal se basa en sistemas de inecuaciones se utiliza en microeconomía, en administración de empresas para minimizar los gastos maimizar los beneficios, en asignación de recursos, en planificación de campañas de publicidad, para solucionar problemas de transporte Razonamiento engañoso Todo número es maor que, porque para cualquier valor de, ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ). Dónde hemos engañado en este razonamiento? Observa que hemos dividido la desigualdad por ( ) que para unos valores de es positiva no cambia el sentido de la desigualdad, pero para otros es negativa sí cambia.

13 11 RESUMEN Ejemplos Inecuación Inecuaciones equivalentes Propiedades de las desigualdades Inecuación de primer grado con una incógnita Inecuación de segundo grado con una incógnita Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita Desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas + Si tienen la misma solución + Sumar o restar la misma epresión a los dos miembros de la desigualdad: a < b, c a + c < b + c Multiplicar o dividir ambos miembros por un número positivo: a < b, c > 0 a c < b c Multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo cambiar la orientación del signo de la desigualdad: a < b, c < 0 a c > b c a > b, a b, a < b, a b < 1 + < + < < < : < : < 1 < ( ) ( 1) > ( 1) < < 1 > 1 a + b + c > a a 1 b 1 b ;. No ha solución > = (, 1] [ 1,1] [1, ) Solución: (, 1] [1, ) Inecuación en valor absoluto a b c por definición a b c a b c ( ) 1 [1, ] Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas a + b > c Representamos gráficamente dos semiplanos que separa la recta decidimos. + < Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Representamos las regiones angulares separadas por las dos rectas decidimos cuál o cuáles son solución.

14 1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. 1. Representa en la recta real escribe en forma de intervalo: a) b) c) 1. Escribe los siguientes intervalos mediante conjuntos represéntalos en la recta real: a) [, 6) b) ( 7, 1) c) (0, 9]. Dada la siguiente inecuación 1, determina si los siguientes valores son solución de la misma: 0, 1, 1,,,,, 6, 7, 1, 1. Realiza las transformaciones indicadas de modo que se obtengan ecuaciones equivalentes: i. Sumar : > ii. Restar 6: > 8 iii. Multiplicar por 6: 10 iv. Multiplicar por : 8 v. Dividir entre : 6 < 1 vi. Dividir entre : Resuelve las siguientes inecuaciones representa la solución en la recta real: 6. Resuelve: a) b) c) 1 6 d) 9 e) 6 f) g) 1 a) 6 b)

15 1 c) ( ) d) e) f) Escribe una inecuación cua solución sea el siguiente intervalo: a), b), c) (,) d), 8. Calcula los valores de para que sea posible calcular las siguientes raíces: a) 6 b) c) 10 d) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 7 < 0 b) c) + 0 d) 80 0 e) 1 > 0 f) < 0 g) 9 16 < 0 h) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) + 0 b) c) < 8 d) 6 0 e) + < 0

16 1 f) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado : a) 0 b) 8 > 0 c) < 0 d) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 1 0 b) 0 c) d) > 0 e) 0 f) 1 0 g) < 0 h) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) > 0 b) 0 c) 0 0 d) + > 0 e) ( ) + 1 f) ( )( + ) + 1 g) + + < + 1 h) ( + ) + (+1) 1. Calcula los valores de para que sea posible obtener las siguientes raíces: a) +- b) + 1 c) 1 d) + e) 1 6 f) +6 7 g) 1

17 1 1. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) ( 1) b) ( + 1) 1 c) < d) ( ) > 1 e) ( + ) 0 f) 9( + 1) Resuelve las siguientes inecuaciones: a) ( ) ( ) 8 b) ( + )( ) 11 c) (7 + ) + (7 ) > 10 d) ( )( ) ( 1)( ) 0 e) ( )( ) ( 7)( ) < 1 f) 8( ) > (8 ) 6 g) h) Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita: 0 a) 1 0 b) 1 c) 7 1 d) 9 8 e) Resuelve las siguientes inecuaciones:

18 16 a) 1 b) 1 c) 9 10 d) 1 1 e) 1 6 f) 10 g) Representa gráficamente la parábola = + 6 e indica en qué intervalos es +6>0, dónde + 6 < 0, dónde + 6 0, dónde Representa los siguientes semiplanos: a) 0 b) 0 c) 0 d) 1 e) f) g) 1. Representa la región factible de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones: a) b). Cuáles son los números cuo triple es maor o igual que su doble mas 0?. Averigua cual es el menor número entero múltiplo de que verifica la inecuación: + < Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 70 Km/h 110 Km/h. Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de horas?. La tarifa de telefonía de la empresa A es euros fijos mensuales más 10 céntimos de euro por minuto de conversación, la de la empresa B es 0 euros fijos más 0 céntimos por minuto de conversación. A partir de cuantos minutos empieza a ser más rentable la tarifa de la empresa A? 6. Una fábrica paga a sus comerciales 0 por artículo vendido más una cantidad fija de 600. Otra fábrica de la competencia paga 0 por artículo 00 fijos. Cuántos artículos debe vender un comercial de la competencia para ganar más dinero que el primero? 7. A un vendedor de aspiradoras le ofrecen 1000 euros de sueldo fijo más 0 euros por aspiradora vendida. A otro le ofrecen 800 euros de fijo más euros por aspiradora vendida. Eplica razonadamente qué sueldo es mejor a partir de qué cantidad de aspiradoras vendidas. 8. El área de un cuadrado es menor o igual que 6 cm. Determina entre qué valores se halla la medida del lado. 9. El perímetro de un cuadrado es menor que 60 metros. Determina entre qué valores se halla la medida del lado. 0. Un panadero fabrica barras hogazas. La barra de pan lleva 00 gramos de harina gramos de sal, mientras que la hogaza lleva 00 gramos de harina 10 gramos de sal. Si dispone de 00 kg de harina kg de sal, determina cuántos panes de cada tipo pueden hacerse. c) 0

19 17 AUTOEVALUACIÓN 1. La desigualdad < < 7 se verifica para los valores: a), 6 b), 7 6 c), 7 d), 8. Tiene como solución = la inecuación siguiente: a) < b) > c) d) + <. La solución de la inecuación, +, 8,1 < 9, + 7, es: a) < 10/17 b) > +6/10, c) > 10/1,7 d) < +6/10,. La ecuación tiene de soluciones: a) (, ) b) [, ] c) (, ) (, + ) d) (, ] [, + ). La suma de las edades de dos personas es maor de 0 años su diferencia menor o igual que 8 años. Cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones nos permite calcular sus edades? a) 0 8 b) El perímetro de un rectángulo es menor que 1 cm. Si la base es maor que el doble de la altura menos cm, algún valor que verifica es sistema es: a) base = cm, altura = 1 cm b) base = cm, altura = cm c) base = 6, altura = cm 7. La solución de la inecuación 7 8 es: c) d) base = 9 cm, altura = cm a) [ 1, 1] b) (, 1] c) ( 1, 1) d) [1, ) 8. Las soluciones posibles de 9 son: a) < 9/ b) > 9/ c) 9/ d) 9/ 9. La solución de la inecuación 1 es: a) (1, ) b) (, 1) c) < 1 > d) ( 1, ) 10. Una inecuación cua solución sea el intervalo (, ) es: a) + < 9 + b) < 9 + c) + < d) + > d) 0 8

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