INECUACIONES LINEALES

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Pilar Toro Macías
hace 6 años
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1 INECUACIONES POLINÓMICAS EN UNA VARIABLE Las inecuaciones en general, son desigualdades entre epresiones algebraicas en las que intervienen una o más variables. Cuando las epresiones algebraicas de cada miembro de la desigualdad cumplen con ciertas condiciones, las ecuaciones reciben nombres particulares. De esta manera: Ecuaciones Polinómicas: Son aquellas en las que las epresiones algebraicas que intervienen en la ecuación, son polinomios Ejemplos de ecuaciones polinómicas: a) b) y 7 y c) y z 5 Inecuaciones Polinómicas en una Variable: Son inecuaciones en las que las epresiones algebraicas que intervienen son polinomios que poseen una sola variable. En general, son epresiones de la forma: P 0 El primer miembro es un polinomio en la variable (puede indicarse con cualquier otra letra). Esa variable es la incógnita de la inecuación y el grado de la inecuación, es el grado del polinomio P. Ejemplos de inecuaciones polinómicas en una variable: a) 0 0 b) 0 c) m m 0 es una inecuación de primer grado. es una inecuación de segundo grado. es una inecuación de cuarto grado (o de grado cuatro) INECUACIONES LINEALES Definición: Se llama inecuación lineal o de primer grado a toda inecuación que admite alguna de las siguientes formas: a + b < 0; a + b > 0 ; a + b 0 ; a + b 0 Donde es la incógnita, a y b R; a 0

2 : Resolver una inecuación lineal es muy similar a resolver ecuaciones lineales y de ser el caso aplicar las propiedades de las desigualdades. Entre estas propiedades tenemos: : p. p. p. p. a < b b > a si a < b y c > 0 ac < bc si a < b y c < 0 ac > bc a < b < c a < b b < c Las propiedades también se cumplen para:, Ejemplos:. Resolver: ( ) + < + Eliminando el paréntesis y agrupando términos semejantes: < + De donde: < Por lo tanto, C.S. = (-, ) = { R / < }. Resolver: Mínimo común múltiplo de (,, 0) = 60 Luego: 5 (5 - ) 6 ( ) 0 (5 + ) Efectuando, obtenemos - Despejando y aplicando propiedad p se obtiene Por lo tanto, C.S = (-, ]. Resolver: ( - 6) < ( + ) +

3 Eliminando paréntesis y agrupando términos semejantes: 5 + < + 7 Aplicando propiedad p : < + 7 De donde: 6 > - De los resultados: - < 6 Por lo tanto, C.S. = (-, 6] INECUACIONES CUADRÁTICAS Definición: Inecuación cuadrática o de segundo grado es aquella inecuación que admite ser reducida a cualquiera de las siguientes formas: a + b + c < 0 ; a + b + c 0 a + b + c > 0 ; a + b + c 0 Donde: = incognita; a, b y c R, a 0 MÉTODOS DE SOLUCIÓN. Por intervalos o puntos críticos. Procedimiento: a) Llevar todo término al primer miembro y factorizar la inecuación. b) Igualar a cero cada factor, hallando así los valores de la variable, llamados puntos críticos. c) Graficar sobre la recta real los puntos críticos, estableciendo intervalos entre dichos puntos. d) A la derecha del mayor punto crítico asignar signo positivo (+) al intervalo y a su izquierda alternar los signos. e) El conjunto solución de la inecuación estará dado por: E) Unión de intervalos abiertos con signo negativo, si la factorización es menor que cero. E) Unión de intervalos cerrados con signo negativo, si la factorización es menor igual que cero. E) Unión de intervalos abiertos con signo positivo, si la factorización es mayor que cero.

4 E) Unión de intervalos cerrados con signo positivo, si la factorización es mayor igual que cero. Ejemplo : Resolver: + < Sigamos el procedimiento: º Paso: + < 0 ( + 7) ( ) < 0 º Paso: + 7 = 0 = - 7 = 0 = º y º Paso: º Paso: Según caso ) C.S. = (- 7, ) Ejemplo : Resolver: Factorizando: ( + ) ( 5) 0 Hallando los puntos críticos: = Graficando en l recta real: ; = Según caso E):

5 C.S. = (-, ] [5, + ) Completar Cuadrados. Recomendable cuando no es posible factorizar la epresión cuadrática a + b + c. Por lo que, completar cuadrados dicha epresión cuadrática y luego aplicar uno de los teoremas: T. a < b ; b 0 - b < a < b T. a > b ; b 0 a > b a < - b Nota. Los teoremas también se cumplen para:, Ejemplo. Resolver: + 6 < < Coeficiente de se divide entre, se eleva al cuadrado y el resultado se suma en ambos etremos de la desigualdad. Esto es: () < + () De donde: ( + ) < Por T : - < + < Sumando a cada parte de la desigualdad: - - < < - De donde: -, < <, - 6, < < 0, Por lo tanto, C.S. = (-6, ; 0,) Nota. Para completar cuadrados el coeficiente de debe ser la unidad y positiva. De no serlo, hacer la transformación necesaria. 5

6 Ejemplo : Resolver: Dividiendo a toda la epresión entre : 5 Completando cuadrados: De donde: Por T : 9 5 De donde: Por lo tanto, C.S. = 5 Resolver:

7 P ; ; ; : Sol 0

8 Sol : ; ; ; INECUACIONES RACIONALES Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: ºLa solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica. Ejemplo : ) Dada la siguiente inecuación 0 0 halle el conjunto solución y grafique. Factorizando los polinomios dados: 0 5, Las raíces que anulan el numerador son 5 y, y las que anulan el denominador son y, las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad. 8

9 Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por: S 5,, Gráficamente: G ( -5 ) ( ) - Ejemplo : 9

10 La solución está representada por aquellos valores de para los cuales el cociente es positivo o cero. No se puede olvidar que en = 0 y = el cociente no está definido. Ejercicios Encuentra el conjunto solución de las siguientes inecuaciones a) 0 6 b) 0 c) 0 5 d) 5 e) 5 f) 0 g) 0 h) i) j) k) l) 0 6 ( )( 7) m) 0 ( )( 6)( ) n) ñ) 0 5 o) ( ) ( ) 5 p) 5 q) 8 r) s) 5( ) t) 0 8 u) 0 5 v) 0 9 w) 6 ) ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones con valor absoluto de la forma a + b = c 0

11 El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, a = -a. Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si =, entonces = ó = -. Por lo tanto, la solución de la ecuación = es - y. Las soluciones de una ecuación de la forma a + b = c, donde a 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: a + b = c ó a + b = -c. Ejemplo. Resolver - = 5 - = 5 - =5 ó = -5 = ó = -/ Por lo tanto, conjunto solución: CS = { = ; = -/} Practique resolviendo las siguientes ecuaciones: ) - = ) + + = 8 ) ) - 6 = Inecuaciones con valor absoluto de la forma a + b < c Qué significa <? Significa que es un número menor que unidades desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica. Observa que los valores que satisfacen la epresión < están entre - y. Es decir, que estos valores están en el intervalo entre - y, esto es, - < <. Propiedad: Si a es un número real positivo y < a, entonces a < < a. También la propiedad se cumple para Ejemplo. Resolver

12 -5 5 [-5; 5] Por lo tanto, conjunto solución: CS= [-5; 5] Practique resolviendo las siguientes inecuaciones: ) 5 ) - 6 < 5 ) + ( ) < 0 Inecuaciones con valor absoluto de la forma a + b > c Qué significa >? Significa que es un número mayor que unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando está a la izquierda de - en la recta numérica, esto es, cuando < -. También ocurre cuando está a la derecha de en la recta numérica, esto es, cuando >. Dibuja la recta numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo. De manera que la solución de > es < - ó >. Propiedad: Si a es un número real positivo y > a, entonces < -a ó > a. La propiedad también se cumple para Ejemplo. Resolver - > 5 - > 5 < - 5 ó - > 5 < - ó > Por lo tanto, conjunto solución: CS= < - ó > Practique resolviendo las siguientes inecuaciones: ) > 5 ) + 6 > ) -5 - >

13 ) 7 6 >-6 5) 0 < 6) 5 9 7) 8 -

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